高中数学《不等式的性质 》课件
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高中数学必修5《不等式基本性质》PPT
不等式的性质：
性质 1 a b b a
（对称性）
证明：(1) a b a b 0
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0， 即 b a 0，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a) 0， 即 a b 0，
ab
故 a b b a
当 c 0 时，(a b)c 0，即 ac bc .
性质5：a b且c d a c b d （同向可加性）
证明： a b，
acbc.
(1)
cd，
bcbd .
(2)
由 (1)、(2) 得 a c b d
说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式 与原不等式同向。
性质 3 a b a c b c
证明： (a c) (b c) a b 而 ab ab0
即 (a c) (b c) 0
（同加性）
acbc
想一想： a b a c b c ?
根据性质1，得 a b a c b c
说明： 由性质3可以得出：
abc acb.
性质 2 a b且b c a c 或 c b且b a c a
证明： a b，b c ，
a b 0，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
(a b) (b c) 0，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
性质4 a b且c 0 ac bc a b且c 0 ac bc
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中， 恒成立的不等式有哪些？
高中数学《不等式的性质》课件
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所
得的不等式与原不等式同向。
这个性质是不等式的加法法则。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性） 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
知识回顾
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
新知探究
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b. 性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
2
，求
2 , 2
的取值范围。
2
2
2
,
2
≤
2
0
例3 已知:函数
f ( x) ax2 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f ( 3) 的取值范围. 解：因为f(x)=ax2－c, f (1) a c 所 f (2) 4a c 以
由－4≤a－b≤－1，得
5 5 20 ≤ ( a b) ≤ 3 3 3
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所
得的不等式与原不等式同向。
这个性质是不等式的加法法则。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性） 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
知识回顾
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
新知探究
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b. 性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
2
，求
2 , 2
的取值范围。
2
2
2
,
2
≤
2
0
例3 已知:函数
f ( x) ax2 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f ( 3) 的取值范围. 解：因为f(x)=ax2－c, f (1) a c 所 f (2) 4a c 以
由－4≤a－b≤－1，得
5 5 20 ≤ ( a b) ≤ 3 3 3
人教高中数学不等式的基本性质PPT完美版
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
高中必修高一数学PPT课件不等式的性质
3.数轴的三要素：
原点、长度单位、正方向
4.如何表示数轴上两个点所对数的大小：
数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。
B 。 A 。
bLeabharlann a5.如图，A、B是数轴上的两个点，A、B所对数分别为a、b， 试比较a-b与0的大小
a>b a-b>0
a<b a-b<0
a=b a-b=0
例1.比较(a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)的大小。
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都 大于右边,或每一个的左边都小于右边. 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左 边大于右边,而另一个的左边小于右边.
2 2
(a a 1)(a a 1)的大小。
2 2
课外作业：
1.书P8习题6.1（1—3） 2. 设 a 0 且 a 1 , t 0 1 t 1 的大小. log t 与 log a a 比较 2 2
3.比较M a 1 a和N a a 1的大小（a 1 ）.
解：(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 0
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
2 2 4 2 ，比较 ( x 1) 与x x 1 的大小 例2.已知 x 0
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
高中数学必修第一册2.2.1 不等式及其性质 课件
再根据性质4可知 a+c>b+d.
我们把a>b和c>d（或a<b和c<d）这类不等号方向相同的不等式，称 为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到 的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
你能证明 3 7＜2 5 吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得 可以怎样证明这个结论？
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是 “要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论， 所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是 “所要以证分析p，法只的需实证质明就q是”不，断这寻可找以结表论示成为立p的q充，分其条中件p是. 需要证明的结论，
人教B版 必修第一册
创创原原家家独独
第二章 等式与不等式
网网
科科
学学
2.2.1 不等式及其性质
你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车 道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同） 应该满足
100≤v1≤120； 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速 率v2应该满足 _6_0_≤_v_2≤_1_0_0_____
（2）已知a>b，ab>0，求证：1a ＜
1 b
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：
a c
＞
b d
学
证明（1） 因为a>b，c<d，所以 a>b，-c>-d，
我们把a>b和c>d（或a<b和c<d）这类不等号方向相同的不等式，称 为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到 的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
你能证明 3 7＜2 5 吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得 可以怎样证明这个结论？
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是 “要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论， 所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是 “所要以证分析p，法只的需实证质明就q是”不，断这寻可找以结表论示成为立p的q充，分其条中件p是. 需要证明的结论，
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第二章 等式与不等式
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2.2.1 不等式及其性质
你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车 道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同） 应该满足
100≤v1≤120； 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速 率v2应该满足 _6_0_≤_v_2≤_1_0_0_____
（2）已知a>b，ab>0，求证：1a ＜
1 b
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：
a c
＞
b d
学
证明（1） 因为a>b，c<d，所以 a>b，-c>-d，
高中数学新人教A版必修一等式性质与不等式性质课件35张
解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0,而3x2+1＞0. 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1.
(2)已知a＞0,b＞0,比较aabb与abba的大小.
解:(2)因为 a>0,b>0,所以 aabb>0,abba>0. 所以 aabb = a a b =( a )a-b.
4.已知x＜1,则x2+2与3x的大小关系为
.
解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2). 因为x＜1,所以x-1＜0,x-2＜0, 所以(x-1)(x-2)＞0, 所以x2+2＞3x. 答案:x2+2＞3x
5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为
.
解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4. 答案:4
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a＜b,或者a=b”,等 价于“a不大于b”,即若a＜b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者a＞b,若者a=b”,等价 于“a不小于b”,即若a＞b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系. 例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40. ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系.
(2)已知a＞0,b＞0,比较aabb与abba的大小.
解:(2)因为 a>0,b>0,所以 aabb>0,abba>0. 所以 aabb = a a b =( a )a-b.
4.已知x＜1,则x2+2与3x的大小关系为
.
解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2). 因为x＜1,所以x-1＜0,x-2＜0, 所以(x-1)(x-2)＞0, 所以x2+2＞3x. 答案:x2+2＞3x
5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为
.
解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4. 答案:4
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a＜b,或者a=b”,等 价于“a不大于b”,即若a＜b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者a＞b,若者a=b”,等价 于“a不小于b”,即若a＞b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系. 例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40. ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系.
【】不等式基本性质PPT教学课件
知识回顾:
等式的基本性质:
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，等式仍旧成立 等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数， 等式仍旧成立
不等式 的”或 或“ “＞ ＞””号号填填空空:: ((11))77×＞3 ＞4; 4×3; (3)7+(-3) ＞ 4+(-3); ((22))77+×3(-＞3) ＜4+43×; (-3(4)；)7+(2x+1) ＞ 4+(2x+1); 观(3察)-3上＜面-2的，题-3的×大5 小＜比较-2，×你5能；得到怎样的结论？ (4) -3 ＜-2，-3 ×0.5 ＜ -2 ×0.5； (5) -3 ＜-2，-3 ×（-1） ＞ -2 ×（-1）； (6) -3 ＜-2，-3 ×（-0.5） ＞ -2 ×（-0.5）。
例：将下列不等式化成 x ＜a或 x ＞a的形式
(1) x-5＞ -1 (2) -2x＞ 3 (3) 7x＜6x -6
第9页 随堂练习：1，2
作业： 第9页 习题1.2 1， 2
试一试：1
PPT教学课件
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10
无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方
形的面积，即
l2
4
＞
l2 16
你能用不等式基本性质解释这一结论吗？
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等式的方向不变。
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等式的方向不变。 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等式的方向改变。
若a ＜ b 且c ＞ 0,则 ac _＜___ bc 若a ＜ b 且c ＜ 0,则 ac __＞__ bc
等式的基本性质:
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，等式仍旧成立 等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数， 等式仍旧成立
不等式 的”或 或“ “＞ ＞””号号填填空空:: ((11))77×＞3 ＞4; 4×3; (3)7+(-3) ＞ 4+(-3); ((22))77+×3(-＞3) ＜4+43×; (-3(4)；)7+(2x+1) ＞ 4+(2x+1); 观(3察)-3上＜面-2的，题-3的×大5 小＜比较-2，×你5能；得到怎样的结论？ (4) -3 ＜-2，-3 ×0.5 ＜ -2 ×0.5； (5) -3 ＜-2，-3 ×（-1） ＞ -2 ×（-1）； (6) -3 ＜-2，-3 ×（-0.5） ＞ -2 ×（-0.5）。
例：将下列不等式化成 x ＜a或 x ＞a的形式
(1) x-5＞ -1 (2) -2x＞ 3 (3) 7x＜6x -6
第9页 随堂练习：1，2
作业： 第9页 习题1.2 1， 2
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10
无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方
形的面积，即
l2
4
＞
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你能用不等式基本性质解释这一结论吗？
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等式的方向不变。
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等式的方向不变。 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等式的方向改变。
若a ＜ b 且c ＞ 0,则 ac _＜___ bc 若a ＜ b 且c ＜ 0,则 ac __＞__ bc
不等式的基本性质-【新】苏教版高中数学必修第一册PPT全文课件(69ppt)
17
课
情
堂
景 导
(2)[解] 不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得
小 结
学
探
ax>－1 (不等式性质3)，
新
提 素
知
当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，
养
合
当a>0时，不等式两边同时除以a得
课 时
作
分
探 究 释
x>－a1 (不等式性质4)，
层 作 业
疑
难
不等式的基本性质-【新】苏教版高中 数学必 修第一 册PPT 全文课 件(69pp t)【完 美课件 】
1
课
情
堂
景
小
导 学 探
第3章 不等式
结 提
新
素
知
养
3.1 不等式的基本性质
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
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2
情
学习目标
核心素养
课 堂
景 导
1．结合已有的知识，理解不等式
小 结
学
探 的6个基本性质．(重点)
新
提 素
知 2．会用不等式的性质证明(解)不 通过不等式性质的应用，培养逻 养
合 等式．(重点)
9
课
情
堂
景
小
导
提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式 结
学
提
探 新
的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
素
知
养
(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强
高中数学同步教学课件 不等式的性质 (2)
三
利用不等式的性质求范围
例3
已知12<a<60,15<b<36,求a-b和 的取值范围.
∵15<b<36,∴-36<-b<-15,
∴12-36<a-b<60-15,即-24<a-b<45.
1 1 1
又 < < ,
36 15
12 60
1
∴ < < ,即 < <4.
36 15
∴a>-b>b>-a.
1
2
3
4
3.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是
A.a<b⇒ac3<bc3
B. > ⇒a>b
1 1
>
C.
ቅ⇒ >
< 0
> 0 1 1
D.
ቅ⇒ >
>
√
当c=0时,A不成立;
当c<0时,B不成立;
1 1
当ab<0时,a>b⇒ < ,即 > ,C成立;
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,
所以a3+b3≥ab2+a2b.
二
不等式的性质
问题2
判断下列命题是否正确?
(1)如果a=b,那么b=a;
(2)如果a=b,b=c,那么a=c;
(3)如果a=b,那么a±c=b±c;
(4)如果a=b,那么ac=bc;
(5)如果a=b,c≠0,那么 = .
又因为a>b>0,所以 > .
人教版高中数学1不等式的性质(共17张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
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解析 解法一：∵c2≥0，∴c＝0 时， 有 ac2＝bc2，故 A 为假命题； 由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a， 故 B 为假命题；
aa<<bb<<00⇒⇒－－aa>>－－bb>>00⇒－1b>－1a>0⇒ab>ba，
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探究 1 利用不等式的性质判断真假 例 1 对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a>b>0，则1a>1b C．若 a<b<0，则ba>ab D．若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0
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(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0， ∴ab≤dc，∴ab＋1≤dc＋1， ∴a＋b b≤c＋d d.
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解析 当 c＝0 时，①是假命题．若ca2>cb2，则 c2>0，∴ a>b 成立，故②正确．③先利用不等式的性质变为同向不等 式，再相加，可得结果，故为真命题．a>b，c>d 可取 a＝2， b＝1，c＝－1，d＝－2，可得 ac＝－2，bd＝－2，故④错 误．a>b，可取 a＝1，b＝－1，可得1a>1b，故⑤错误．
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□ (2)a>b，c<0⇒ac 05 < bc. □ 性质 5：a>b，c>d⇒a＋c 06 > b＋d. □ 性质 6：a>b>0，c>d>0⇒ac 07 > bd. □ 性质 7：a>b>0⇒an 08 > bn(n∈N，n≥2)． □ 性质 8：a>b>0⇒n a 09 > n b(n∈N，n≥2)．
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2．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行 求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相 除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取 值范围．
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探究 2 利用不等式的性质证明不等式 例 2 (1)已知 a>b，e>f，c>0. 求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
证明 (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc. ∵f<e， ∴f－ac<e－bc.
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a>b，b≥0，则 a>0.( √ ) (2)由12<3 可得12a<3a.( × ) (3)若 m＋n<e＋f 且 m<e，则 n<f.( × ) (4)若 a<－5，则 a2>25.( √ )
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不等式的性质常与比较大小问题结合起来考查，此类题 目一般可以结合不等式的性质，利用作差法求解．
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【跟踪训练 1】 下列命题： ①若 a<b，则 ac2<bc2； ②若ca2>cb2，则 a>b； ③若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； ④若 a>b，c>d，则 ac>bd； ⑤若 a>b，则1a<1b. 其中正确命题是__②__③____．
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拓展提升 利用不等式的性质判断真假的方法
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件， 不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关 不等式的选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一 定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单， 便于验证计算．
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第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式 第2课时 不等式的性质
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不等式的性质
□ 性质 1：a>b⇔b 01 < a. □ 性质 2：a>b，b>c⇒a 02 > c. □ 性质 3：a>b⇔a＋c 03 > b＋c. □ 性质 4：(1)a>b，c>0⇒ac 04 > bc；
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【知识拓展】 不等式的命题的判断与求范围应注意的问题 1．利用不等式判断正误的 2 种方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质 或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例 即可． ②特殊值法：注意取值要遵循三个原则：一是满足题设 条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代 表性．
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故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0
1a>1b⇒a1－1b>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题．
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解法二：(特殊值排除法) 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错误． 取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1，有1a<1b，故 B 错误． 取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，有ba<ab，故 C 错误．
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2．做一做 (1)若 b<0，a＋b>0，则 a－b____>____0(填“>”或“<”)． (2)若 a<b<0，则 a2____>____ab(填“>”或“<”)． (3)若 a>b>0,0<c<d，则ac与bd的大小关系是___ac_>_bd___． (4)已知 12<a<60,15<b<36，则ab的取值范围为__13_，__4___．
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解析 解法一：∵c2≥0，∴c＝0 时， 有 ac2＝bc2，故 A 为假命题； 由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a， 故 B 为假命题；
aa<<bb<<00⇒⇒－－aa>>－－bb>>00⇒－1b>－1a>0⇒ab>ba，
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探究 1 利用不等式的性质判断真假 例 1 对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a>b>0，则1a>1b C．若 a<b<0，则ba>ab D．若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0
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(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0， ∴ab≤dc，∴ab＋1≤dc＋1， ∴a＋b b≤c＋d d.
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解析 当 c＝0 时，①是假命题．若ca2>cb2，则 c2>0，∴ a>b 成立，故②正确．③先利用不等式的性质变为同向不等 式，再相加，可得结果，故为真命题．a>b，c>d 可取 a＝2， b＝1，c＝－1，d＝－2，可得 ac＝－2，bd＝－2，故④错 误．a>b，可取 a＝1，b＝－1，可得1a>1b，故⑤错误．
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□ (2)a>b，c<0⇒ac 05 < bc. □ 性质 5：a>b，c>d⇒a＋c 06 > b＋d. □ 性质 6：a>b>0，c>d>0⇒ac 07 > bd. □ 性质 7：a>b>0⇒an 08 > bn(n∈N，n≥2)． □ 性质 8：a>b>0⇒n a 09 > n b(n∈N，n≥2)．
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2．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行 求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相 除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取 值范围．
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探究 2 利用不等式的性质证明不等式 例 2 (1)已知 a>b，e>f，c>0. 求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
证明 (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc. ∵f<e， ∴f－ac<e－bc.
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a>b，b≥0，则 a>0.( √ ) (2)由12<3 可得12a<3a.( × ) (3)若 m＋n<e＋f 且 m<e，则 n<f.( × ) (4)若 a<－5，则 a2>25.( √ )
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运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件， 不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关 不等式的选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一 定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单， 便于验证计算．
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第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式 第2课时 不等式的性质
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不等式的性质
□ 性质 1：a>b⇔b 01 < a. □ 性质 2：a>b，b>c⇒a 02 > c. □ 性质 3：a>b⇔a＋c 03 > b＋c. □ 性质 4：(1)a>b，c>0⇒ac 04 > bc；
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【知识拓展】 不等式的命题的判断与求范围应注意的问题 1．利用不等式判断正误的 2 种方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质 或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例 即可． ②特殊值法：注意取值要遵循三个原则：一是满足题设 条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代 表性．
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故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0
1a>1b⇒a1－1b>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题．
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解法二：(特殊值排除法) 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错误． 取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1，有1a<1b，故 B 错误． 取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，有ba<ab，故 C 错误．
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2．做一做 (1)若 b<0，a＋b>0，则 a－b____>____0(填“>”或“<”)． (2)若 a<b<0，则 a2____>____ab(填“>”或“<”)． (3)若 a>b>0,0<c<d，则ac与bd的大小关系是___ac_>_bd___． (4)已知 12<a<60,15<b<36，则ab的取值范围为__13_，__4___．