控制系统的频率特性

系统常用的数学模型
微分方程
线性定常系统
传递函数
频率特性的特点
频率特性
时域 复数域
频域
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确 定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重 要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行 分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。 （3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递 函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
《控制工程基础》
第6章 控制系统的频率特性
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本章主要内容： （1）研究控制系统的频率特性及其表示方法， 即研究控制系统的频率响应。 （2）频率特性的极坐标图（Nyquist图）。 （3）频率特性的对数坐标图（Bode图）。
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6.1 频率特性的基本概念
时域瞬态响应法是分析控制系统的直接方法。 时域瞬态响应法的优点：直观。 时域瞬态响应法的缺点：分析高阶系统非常繁琐。 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号 的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特 性。应用频率特性研究控制系统的经典方法称为频域分析法。 频率特性分析法（频域法） 是利用系统的频率特性来分析 系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准 确性等，是工程上广泛采用的控制系统分析和综合的方法。频率 特性分析法是一种图解的分析方法。不必直接求解系统输出的时 域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统 的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和 时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的 曲线、图表及经验公式，使得控整理制pp系t 统的分析十分方便和直观。3
uot1Aω 2TT2eT 1t
A 1ω2T2
siω ntcoscoωstsin
AT
1t
eT
A sin t-arcωtgT
12T2
1ω2T2
1ω2T2
T
1
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9
系统输出信号的稳态分量为
u ot s s 1 A 2 T 2sit- n arT c A tA g sit n
式中：
设输入信号为正弦信号 U it=Asint
其拉普拉斯变换为
Ui
s
=
A s2+2
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8
则系统输出信号的拉普拉斯变换为
U osG sU isT1 s1s2A ω ω 2 1 A ω 2 T T2s 111A ω 2T2 11 ω 2T2s2 ω ω 21 Tω ω 2T2s2 sω 2
T
作拉普拉斯反变换，得系统的输出信号为
待定系数
n
y(t)Ae jt Aejt A iepit i1
稳态输出 ys(t)Aje tAejt
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式中的待定系数 A , A 可按求留数的方法求得：
A G (s)
X
(sj )s (j
(sj )
)s j
G(
j)
X 2j
A G (s)
X
(sj )s (j
(sj )
)s j
G(
j)
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X 2j
G(j)是一个复数,它可以表示为: G (j)G (j)ej()
G ( j) G ( j) e j ( ) G ( j) e j ( )
式中: () G (j)arc R Im te[[g G G ((jj )) ]]
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将待定系数 A , A 代入式 ys(t)Aje tAejt 中,有:
M(s) (sp1)(sp2) (spn)
j0
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系统的输出为
M (s)
X
Y (s)(sp 1)s(p 2) (sp n)s22
(s p 1 )s( M p (2 s )) (s p n)(sjX )s(j )
稳定系统 Y(s)i n1s Aipi sAjsAj
A ,A和 A i(i1,2, n)
一般线性定常系统,设输入信号为正弦函数,即:
x(t)=Xsint 式中: X—输入信号的振幅;
X(s) G(s) Y(s)
—输入信号的角频率。
其拉氏变换为：
X(s)s2X 2(sj X ) s(j)
一般情况下,传递函数可以写成如下形式:
m
G(s)M N((ss))in0abijss((m n ij))
y s ( t) 2 X jG (j) e j ( )e j t 2 X jG (j) e j ( )e j t X G( j ) ej(t()) ej(t()) 2j X G( j) sin( t ()) Y sint ()
式中:YXG(j) — 稳态输出的幅值,是的函数。 线性定常系统对正弦输入信号Xsint的稳态输出 Ysin(t+),仍是一个正弦信号。其特点是：
注意：稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
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5
输x 入 (t)2 c ： o 5 t s3( )0
红色为输入x(t)，蓝色为全响应y(t)，黑色为稳态响应yss(t)
6
yss(t)
4
2
0
x(t)
-2
-4
-6
y(t)
-80
1
2
3
4
5
6
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6
输x 入 (t) 2 c： o 2t s 0 3 ()0
红色为输入x(t)，蓝色为全响应y(t)，黑色为稳态响应yss(t)
2
1.5
yss(t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 y(t) x(t)
-2
0
1
2
3
4
5
6
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7
6.1.1 引例
引例：如图所示的阻容滤波 RC电路，求其频率特性。
已知该系统的传递函数为
i (t) R ui(t)
C u0(t)
G(s)Uo(s) 1 1 Ui(s) RCs1 Ts1
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4
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同 频率正弦输入信号的稳态响应特性。
2.0 1.5 1.0 0.5
0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
线性系统
5 4
3 2
1 0
-1 -2 -3
-4 -5
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
A 1
12T2
ar cTtg
12T2
T
1
RC电路的传递函数： G(s)Uo(s) 1 1 Ui(s) RCs1 Ts1
将s=jω代入G(s)，可得
G (j) 1 1 ej( ar T c ) tA g()ej( ) jT 1 1 2 T 2
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6.1.2 频率特性的定义