第二次数学危机
第二次数学危机
第二次数学危机PB08207005 蒋晓澄第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。
此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。
但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。
贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。
他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。
1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。
“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。
贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。
贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。
贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。
他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。
第二次数学危机的历史意义
第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。
其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。
下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。
1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。
数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。
在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。
这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。
2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。
危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。
因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。
这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。
3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。
在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。
因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。
4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。
危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。
同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。
这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。
总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。
数学小讲师--三次数学危机
学
小
讲
师
三次数学危机
01
第一次数学危机
公元前六世纪，在古希腊学 术界占统治地位的毕达哥拉斯 学派，其思想在当时被认为是 绝对权威的真理。其主要奉献 之一就是证明了毕达哥拉斯定 理，也就是勾股定理。
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是正整数和可通 约的数〔即分数，两个整数的比〕， 除此之外不再有别的数，即是说世 界上只有整数或分数。
有理数 无理数
02
第二次数学Байду номын сангаас机
•
0.9
1
03
第三次数学危机
危机：既是危险，也是机遇。数学史上的每 一次危机都极大地推动了数学的开展。每一 次开展都是人们认识这个世界的更进一步。 数学也有着自己独特的文化与韵味。
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数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
第二次数学危机
三、危机的解决
进入19世纪，历史要求给微积分以 严格的基础。
终 于 在 数 学 家 们 的 共 同 努 力 下 ， 到 19世纪末，分析的严格化问题得到 了解பைடு நூலகம்。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
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历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、
天 文学家和物理学
家
微积分受到攻击与责难
十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对这些基 础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观的局面。 微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，其中最
有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
贝克莱的发难
• 他贝克指莱责，牛1顿8世纪“英依国靠哲双学重家错，误西 • 得这方代表近到使。代了得他主不数对观科学微唯学家积心却在分主正将强义确近有哲力学的20的的结0年批主果的评要”，。 • 因时在数为 间学无 里界穷 ，产小 不生量 能了在彻最牛底令顿反人震的驳撼理贝的论克撞中莱 一是的击1家7。3”会 零 责4年之儿 。 难，名说 。贝出是克版零莱了，以一一“本会渺针小对儿的微又哲积说学分不 • 因直基础此 至的， 柯书贝 西—克 创—莱 立《嘲极分笑限析无理学家穷论》小，。量才在是较
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
第二次数学危机
第二次数学危机的产生
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴 导源于微积分工具的使用 随着人们科学理论与实践认识的提高， 随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期， 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 就显示出它的非凡威力。 就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿， 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的 理论都建立在无穷小分析之上， 理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
历史上的三次数学危机
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3．危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基 础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数 学家的一块心病。
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而且，随着时间的推移，研究范围的 扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候，做出许多错误的证 明，并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级 数收敛的问题）。
成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不 是
0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家
提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学 家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
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3）实践是检验真理的唯一标准
应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。
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3）严格的实数理论的建立 ① 对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极 限理论的进一步严格化，需要实数理论的 严格化。微积分或者说数学分析，是在实 数范围内研究的。但是，下边两件事，表 明极限概念、连续性、可微性和收敛性对 实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。
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一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉 斯（K.T.W.Weirstrass，1815—1897）构造 了一个“点点连续而点点不可导的函数”。
无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭
到指责。
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2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻 击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量， 究竟是不是0？
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① 如果是0，（*）式左端当 t 和 S 变
第二次数学危机
• 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底
反驳贝克莱的责难。
• 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克
莱的责难。 • 直至魏尔斯特拉斯创立“
”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
实践是检验真理的唯一标准
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。 到了19世纪，出现了一批杰出 的数学家，他们积极为微积分 的奠基工作而努力。首先要提 到的是捷克的哲学家和数学家 波尔查诺，他开始将严格的论 证引入到数学分析中。1816年， 他在二项展开公式的证明中， 明确提出了级数收敛的概念， 同时对极限、连续和变量有了
达朗贝尔（法）
波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的 多产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工作， 是最伟大的近代数学家之一。柯西在 1821～1823年间出版的《分析教程》 和《无穷小计算讲义》是数学史上划 时代的著作，在那里，他给出了数学 分析一系列基本概念的精确定义。例 如，他给出了精确的极限定义，然后 用极限定义连续性、导数、微分、定 积分和无穷级数的收敛性。
贝克莱，18世纪英国哲学家， 西方近代主观唯心主义哲学 的主要代表。他对微积分强 有力的批评，在数学界产生 了最令人震撼的撞击。 1734年，贝克莱以“渺小的 哲学家”之名出版了一本针 对微积分基础的书——《分 析学家》。在这本书中，贝 克莱对牛顿的理论进行了攻 击。
线索
一、危机的出现和实质
二、危机的解决
三、危机的影响
四、危机的启示
第二次数学危机
第二次数学危机
第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。
事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。
这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。
四悖论早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离。
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：运动不存在第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
飞矢不动与游行队伍悖论而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。
第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。
当然他们无法解决这些矛盾。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
第二次数学危机名词解释
第二次数学危机名词解释
嘿，你知道啥是第二次数学危机不？这可不是一般的事儿啊！
就好比你正在走一条路，本来走得好好的，突然前面出现了一团迷雾，让你一下子不知道该往哪儿走了。
第二次数学危机就有点像这样。
在历史的长河中啊，数学家们一直在探索数学的奥秘。
微积分的出现，那可是个超级大突破！就像给数学世界打开了一扇全新的大门。
但随之而来的，就是各种问题和争议。
比如说无穷小量，这玩意儿到底是个啥呀？有时候感觉它好像存在，有时候又好像不存在，这可把数学家们给难住了。
这就好像你看到一
个影子，你想抓住它，可怎么抓都抓不住。
当时的数学家们那是争论不休啊，“这怎么解释呀？”“这样对不对呀？”大家都在努力寻找答案。
牛顿和莱布尼茨，这两位大佬，他们可是微积分的重要推动者。
但
他们对于一些概念的解释也不是那么清晰，这就引发了更多的疑问和
讨论。
经过了很长时间的探索和争论，数学家们才慢慢搞清楚这些问题，
让数学又向前迈进了一大步。
这第二次数学危机啊，就像是数学发展道路上的一个坎儿，跨过去可不容易，但一旦跨过去，那就是一片新的天地！它让我们看到了数学的严谨性和不断发展的过程。
我觉得啊，第二次数学危机虽然给数学家们带来了很多困扰，但也正是因为有了这些挑战，才让数学变得更加精彩，更加有魅力呀！你说是不是？。
第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小
第7讲第二次数学危机-幽灵般的无穷小课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如何重建的课时安排：1课时本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机-回归严谨什么是数学危机?危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。
但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。
在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。
这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。
非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。
尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。
尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。
十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。
特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。
数学的三次危机第二次数学危机
数学的三次危机第二次数学危机数学的三次危机——第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于梁。
英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。
”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。
贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。
例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。
”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。
数学三大危机简介
数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。
今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。
小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
第二次数学危机
达朗贝尔（法）
波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的多 产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工 作，是最伟大的近代数学家之一。 柯西在1821～1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作，在那里， 他给出了数学分析一系列基本概念 的精确定义。例如，他给出了精确 的极限定义，然后用极限定义连续 性、导数、微分、定积分和无穷级 数的收敛性。
调形式的计算，而不管基础的可靠与否， 不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微 的意思。 积分学的基础。
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精品课件！
牛顿的“无穷小”
• 牛顿的「无穷小量」 • 无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。 • 无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。 • 也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、 天 文学家和物理学 家
微积分受到攻击与责难
• 十八世纪的数学家对待微积分发展的态 度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。 认为所谓的严密化就是烦琐。 • 在微积分的发展过程中，出现了两种不 荣乐观的局面。 • 微积分的基础问题受到一些人的批判和 攻击，其中最有名的是贝克莱主教在 1734年的攻击 。
威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
二、危机的实质
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 第二次数学危机的实质是什么？应 是也没有明确给出极限的定义。 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说
浅谈第二次数学危机
四、事件影响
这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发 展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科 技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、 数学问题，大大推进了工业革命的发展。就 微积分自身而言，经过本次危机的“洗礼”， 其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展 出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的 “霸主”。
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二、危机的引发
1）牛顿的“无穷小” 微积分的一个来源，是想求
运动物体在某一时刻的瞬时速度。
在牛顿之前，只能求一段时间内的
平均速度，无法求某一时刻的瞬时
速度。
3
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离 有公式
S (t ) 1 2 gt 2
S (t )
，
，其中 g 是固定的重力加速度。
S t
4
当 t 变成无穷小时，右端的 1 g (t ) 2 也变成无穷小，因而上式右端就可以认 为是 gt 0 ，这就是物体在 t 0 时的瞬时
速度，它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量 过去无法解决的科技问题。但是逻辑上
不严格，遭到责难。
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三、初步解决 直到柯西在1821年的《代数分析教程》中 从定义变量出发，他抓住极限的概念，指出无 穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量， 无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导 数和积分在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯 消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极 限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格 地建立在极限的基础上。
我们要求物体在 t 0 的瞬时速度，先求
1 2 1 2 S S (t1 ) S (t0 ) gt1 gt0 2 2 1 1 2 2 g[(t0 t ) t0 ] g[2t0 t (t ) 2 ] 2 2
什么是数学的三大危机
什么是数学的三大危机?
在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的理解还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不但严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这个发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分是数学的一个分支，也是现代数学的基础之一。
它的诞生与第二次数学危机有着密切的关系。
第二次数学危机是指19世纪末20世纪初发生在欧洲的一场重大数学危机，其核心问题是如何建立数学的基础理论。
在此之前，数学的基础是欧几里得几何学和代数学，在这个框架下数学可以进行许多研究，但是它们无法处理一些特殊的问题，比如无理数的性质和实数的连续性等等。
在这个时期，数学家们为了解决数学的基础问题纷纷开始探索新的方向。
有人试图通过公理系统来建立数学的基础，有人试图通过集合论来解决问题。
但是这些尝试都没有得到满意的结果。
微积分的创立在这个时期成为了解决数学危机的一个重要路径。
微积分是研究函数的变化和积分的运算规则，并且通过极限的概念来进行定义的。
而极限概念的引入正是为了解决无理数连续性的问题。
微积分的创立在很大程度上改变了人们对数学问题的思考方式，使得数学的发展进入了一个全新的阶段。
微积分的创立对于数学的发展产生了巨大的影响。
它在解决实际问题和理论问题中都具有重要的作用。
在实际问题中，微积分可以描述物体的运动、变化和变化率等等。
在理论问题中，微积分可以用来解决曲线的切线、求解最值、求解微分方程等等。
这使得微积分成为了研究自然现象和科学问题的一把利刃。
第二次数学危机的解决是一个漫长而曲折的过程，需要数学家们的共同努力和不断探索。
微积分的创立仅仅是众多数学家贡献中的一部分，但它却是解决数学危机的一个重大里程碑。
微积分的引入不仅解决了数学中一些核心问题，而且为数学的发展开拓了新的方向，使得数学的应用范围和研究深度都得到了极大的拓展。
微积分的创立与第二次数学危机密不可分。
微积分的引入不仅解决了数学中的一些核心问题，还为数学的发展开拓了新的方向。
微积分的应用领域广泛，对于现代科学的发展也具有重要的作用。
微积分的创立可以说是数学史上的一大里程碑。
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微分和积 分 (即求切线 与求面积) 是互逆的 两 种运算。 这是微积 分
建立的关 键 所在。
牛顿
牛顿在1671年写了《流数 术和无穷级数》，这本书直到 1736年才出版，它在这本书里 指出，变量是由点、线、面的 连续运动产生的，否定了以前 自己认为的变量是无穷小元素 的静止集合。他把连续变量叫 做流动量，把这些流动量的导 数叫做流数。牛顿在流数术中 所提出的中心问题是：已知连 续运动的路径，求给定时刻的 速度（微分法）；已知运动的 速度求给定时间内经过的路程 （积分法）。
例如：对于 y x 言，根据牛顿的流数计算法，有：
2
y y ( x x)2
（1-1） （1-2）
x2 y x2 2xx (x)2
y 2 xx (x)2
y 2 x x x y 2x x
（1-3）
（1-4）
（1-5）
在上面的推导过程中，从式（1-3）到式（1-4）要求 x 不等于零。 从而式（1-4）到式（1-5），又要求 x 等于零。
二、微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就 成了促使微积分产生的因素。四种主要类型的问题： • 第一类是研究运动的时候直 接出现的，也就是求即时速度 的问题； • 第二类问题是求曲线的切线 的问题； •第三类问题是求函数的最大值 和最小值问题； • 第四类问题是求曲线长、曲 线围成的面积、曲面围成的体 积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上 的引力
阿基米德（公元前287-前212），数学之神，通过一 条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期微积分思想的 发现者，微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的。 阿基米德在公元前200多 年就已经将积分运算广泛应 用于处理图形的面积、物体 体积等问题中，如阿基米德 在求球体和球缺的表面 （《球体和圆柱体》）、旋 转双曲弓形体体积（《锥形 体和椭球体》）、阿基米德 螺线面积（《论螺线》）等 问题中都进行了微积分运算。 我们可以认为阿基米德已经 掌握了我们后世称之为积分 学的精髓。
早期工作
在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的 大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学 家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大 量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙 格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡 瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创 立做出了贡献。 例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲 线的切线以及曲线围成的面积问题有过 深入的研究，并且得到了一些结果，但 是他们都没有意识到它的重要性。
• 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面 积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓 “穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重 要而难证的定理。
早期的微积分思想
——早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想
• 微分: 速度、切线、极值
• 积分: 距离、面积、体积
古希腊早期的微积分思想
莱布尼茨
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了 现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且 很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分 式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微 分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学 的文献。
芝诺 (约公元前490-前430年)
芝诺悖论
芝诺悖论:阿基里斯追龟说
运动是不存在的
芝诺悖论: 飞 矢不动
s, t
时刻t
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位） 里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一 个距离单位。
初始状态: □□□□□□□□ 观众席A ■■■■■■■■队列B向右移动 ●●●●●●●● 队列C向左移动 移动后： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ A B
第二次数学危机
报告人：沈岑
目录
第二次数学危机 微积分的产生 早期的微积分思想
危机的化解及其影响
一、早期的微积分思想
芝诺悖论 古希腊早期的微积分思想 中国早期的微积分思想
芝诺悖论
芝诺悖论：二分法说
伊 利 亚 学 派
——运动不存在
位移事物在达到目的地之前必 须先抵达一半处，而要通过这一 半处就要抵达一半的一半处， 即不可能在有限的时间内 通过无限多个点。 要通过有限长度就必须通过无穷 多的点，这就意味着必须到达没 有终点的某种东西的终点．
B、C两个 列队开始 移动，如 下图所示 相对于观 众席A，B 和 C 分别向 右和左各 移动了一 个距离单 位。
●●●●●●●●
C
• 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难 了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点， 后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运 动是间断的观点。
• 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场 轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与 “很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其 后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
贝克莱悖论
1734 年，大主教乔治 · 贝克莱 (George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分 析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审 查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教 的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推 理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击 贝克莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数 （导数）“是消失了的量的鬼魂 ……能消化得了二阶、 三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”
贝克莱
英国主观唯心主义哲学家、主教。1685年3月12日 出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753 年1月14日卒于牛津。 少年早熟， 15 岁考进都柏林三一学院， 1704 年获 学士学位， 1707 年获硕士学位 ,留校担任讲师、初级 研究员。 1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识 原理》 ,1713 年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三 篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。 1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教 ,任职18 年 ,仍致力于哲学的思辨。 1752 年移居牛津附近的新 学院。
• 古希腊的数学的特质：具有了演绎推理过程和高度的抽象性。 • 毕达哥拉斯学派——“不可公度”问题
• 德谟克利特——物质世界是由“小到无法被感觉印象所感知”的原 子构成，并且将“原子论”引入几何学。
• 柏拉图——批判了这种将数学依赖于感性经验的做法，并隐约暗示 了无穷小量和连续性的抽象化路线 • 欧多克斯——提出了“穷竭法”的过程：在一个量中减去比其一半 还大的量，不断重复这个过程，可以使得剩下的量变的任意小（阿基 米德引理）
贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的， 他揭示了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分 理论由于在实践与数学中取得了成功，已使大部分数学 家对它的可靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微 积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是 悖论，即著名的贝克莱悖论。
由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中 包含着逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一 定的混乱，一场新的风波由此掀起，于是导致了 数学史中的第二次数学危机。
他是历史上最伟大的符号学者之一，他 所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。现今我们 使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精 心选用的。
达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把 基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦 琐。 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻 辑基础，这在初创时期是不可避免的。他们需要做的事情太 多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。 正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学 史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 于是在微积分的发展过程中，出现了 这样的局面：一方面是微积分创立之后 立即在科学技术上获得应用，从而迅速 地发展；另一方面是微积分学的理论在 当时是不严密的，出现了越来越多的悖 论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的 令人不安的危机。
• 牛顿（1642—1727）是英国伟大 的数学家、物理学家、天文 学家和自然哲学家。 • 牛顿是：从物理学出发，运 用集合方法，结合运动学来 研究微积分。 • 莱布尼茨（1646—1716）德国最 重要的数学家、物理学家、 历史学家和哲学家。 • 莱布尼茨却是：从几何问题 出发，运用分析学方法研究 微积分。
中国早期微积分思想
微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前7世纪 老庄哲学中就有无限可分性和极限思想 ；公元前4 世纪《墨经》中就有了有穷、无穷、无限小（最小 无内）、无穷大（最大无外）等思想。 刘徽（约公元225年—295年）， 一项杰出的创见是对微积分思想的认 识与应用。刘徽的微积分思想，是中 国古代数学园地里一株璀璨的奇葩。 其极限思想之深刻，是前无古人的， 并在极长的时间内也后无来者。
危机的实质
• 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小 距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法 本身就是不明确的，是含糊的。 • 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的 比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它
不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”
。 • 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没 有明确说清这个词的意思。
极限思想
割圆术
割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所 失矣.
刘徽计算到192边形， 求得3.14
割圆术
从刘徽割圆术看出，他 明确地多次使用了极限思想 ，并采取了对面积进行无穷 小分割，然后用求其极限状 态的和的方式解决圆面积问 题.