第二次数学危机

莱布尼茨
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了 现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且 很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分 式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微 分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学 的文献。
危机的实质
• 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小 距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法 本身就是不明确的，是含糊的。 • 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的 比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它
不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”
。 • 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没 有明确说清这个词的意思。
第二次数学危机
无穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致矛盾。 • • • • 牛顿对它曾作过三种不同解释： 1669年说它是一种常量； 1671年又说它是一个趋于零的变量； 1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。 但是，他始终无法解决上述矛盾。
莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的 差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过 渡到无穷小量的桥梁。
第二次数学危机
报告人：沈岑
目录
第wk.baidu.com次数学危机 微积分的产生 早期的微积分思想
危机的化解及其影响
一、早期的微积分思想
芝诺悖论 古希腊早期的微积分思想 中国早期的微积分思想
芝诺悖论
芝诺悖论：二分法说
伊 利 亚 学 派
——运动不存在
位移事物在达到目的地之前必 须先抵达一半处，而要通过这一 半处就要抵达一半的一半处， ......即不可能在有限的时间内 通过无限多个点。 要通过有限长度就必须通过无穷 多的点，这就意味着必须到达没 有终点的某种东西的终点．
B、C两个 列队开始 移动，如 下图所示 相对于观 众席A，B 和 C 分别向 右和左各 移动了一 个距离单 位。
●●●●●●●●
C
• 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难 了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点， 后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运 动是间断的观点。
• 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场 轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与 “很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其 后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
• 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面 积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓 “穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重 要而难证的定理。
早期的微积分思想
——早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想
• 微分: 速度、切线、极值
• 积分: 距离、面积、体积
古希腊早期的微积分思想
芝诺 (约公元前490-前430年)
芝诺悖论
芝诺悖论:阿基里斯追龟说
运动是不存在的
芝诺悖论: 飞 矢不动
s, t
时刻t
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位） 里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一 个距离单位。
初始状态: □□□□□□□□ 观众席A ■■■■■■■■队列B向右移动 ●●●●●●●● 队列C向左移动 移动后： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ A B
贝克莱悖论
1734 年，大主教乔治 · 贝克莱 (George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分 析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审 查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教 的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推 理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击 贝克莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数 （导数）“是消失了的量的鬼魂 ……能消化得了二阶、 三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”
危机的化解
阿贝尔
波尔查诺
柯西
狄利克里
波尔查诺
捷克的哲学家波尔查诺不承认无穷小 数和无穷大数的存在，而且给出了连续 性的正确定义。 他曾著有《无穷的悖论》， 明确地提出了级数收敛的概 念，并对极限、连续和变量 有了较深入的了解。
柯西
分析学的奠基人柯西在1821—1823年间出版的《分析教 程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。其中 给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等 式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这 就是所谓极限概念的“算术化”。
微分和积 分 (即求切线 与求面积) 是互逆的 两 种运算。 这是微积 分
建立的关 键 所在。
牛顿
牛顿在1671年写了《流数 术和无穷级数》，这本书直到 1736年才出版，它在这本书里 指出，变量是由点、线、面的 连续运动产生的，否定了以前 自己认为的变量是无穷小元素 的静止集合。他把连续变量叫 做流动量，把这些流动量的导 数叫做流数。牛顿在流数术中 所提出的中心问题是：已知连 续运动的路径，求给定时刻的 速度（微分法）；已知运动的 速度求给定时间内经过的路程 （积分法）。
• 牛顿（1642—1727）是英国伟大 的数学家、物理学家、天文 学家和自然哲学家。 • 牛顿是：从物理学出发，运 用集合方法，结合运动学来 研究微积分。 • 莱布尼茨（1646—1716）德国最 重要的数学家、物理学家、 历史学家和哲学家。 • 莱布尼茨却是：从几何问题 出发，运用分析学方法研究 微积分。
贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的， 他揭示了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分 理论由于在实践与数学中取得了成功，已使大部分数学 家对它的可靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微 积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是 悖论，即著名的贝克莱悖论。
由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中 包含着逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一 定的混乱，一场新的风波由此掀起，于是导致了 数学史中的第二次数学危机。
早期工作
在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的 大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学 家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大 量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙 格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡 瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创 立做出了贡献。 例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲 线的切线以及曲线围成的面积问题有过 深入的研究，并且得到了一些结果，但 是他们都没有意识到它的重要性。
他是历史上最伟大的符号学者之一，他 所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。现今我们 使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精 心选用的。
达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把 基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦 琐。 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻 辑基础，这在初创时期是不可避免的。他们需要做的事情太 多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。 正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学 史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 于是在微积分的发展过程中，出现了 这样的局面：一方面是微积分创立之后 立即在科学技术上获得应用，从而迅速 地发展；另一方面是微积分学的理论在 当时是不严密的，出现了越来越多的悖 论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的 令人不安的危机。
阿基米德（公元前287-前212），数学之神，通过一 条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期微积分思想的 发现者，微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的。 阿基米德在公元前200多 年就已经将积分运算广泛应 用于处理图形的面积、物体 体积等问题中，如阿基米德 在求球体和球缺的表面 （《球体和圆柱体》）、旋 转双曲弓形体体积（《锥形 体和椭球体》）、阿基米德 螺线面积（《论螺线》）等 问题中都进行了微积分运算。 我们可以认为阿基米德已经 掌握了我们后世称之为积分 学的精髓。
极限思想
割圆术
割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所 失矣.
刘徽计算到192边形， 求得3.14
割圆术
从刘徽割圆术看出，他 明确地多次使用了极限思想 ，并采取了对面积进行无穷 小分割，然后用求其极限状 态的和的方式解决圆面积问 题.
这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思 想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理论 来推算圆周率的数学家.
• 古希腊的数学的特质：具有了演绎推理过程和高度的抽象性。 • 毕达哥拉斯学派——“不可公度”问题
• 德谟克利特——物质世界是由“小到无法被感觉印象所感知”的原 子构成，并且将“原子论”引入几何学。
• 柏拉图——批判了这种将数学依赖于感性经验的做法，并隐约暗示 了无穷小量和连续性的抽象化路线 • 欧多克斯——提出了“穷竭法”的过程：在一个量中减去比其一半 还大的量，不断重复这个过程，可以使得剩下的量变的任意小（阿基 米德引理）
二、微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就 成了促使微积分产生的因素。四种主要类型的问题： • 第一类是研究运动的时候直 接出现的，也就是求即时速度 的问题； • 第二类问题是求曲线的切线 的问题； •第三类问题是求函数的最大值 和最小值问题； • 第四类问题是求曲线长、曲 线围成的面积、曲面围成的体 积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上 的引力
中国早期微积分思想
微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前7世纪 老庄哲学中就有无限可分性和极限思想 ；公元前4 世纪《墨经》中就有了有穷、无穷、无限小（最小 无内）、无穷大（最大无外）等思想。 刘徽（约公元225年—295年）， 一项杰出的创见是对微积分思想的认 识与应用。刘徽的微积分思想，是中 国古代数学园地里一株璀璨的奇葩。 其极限思想之深刻，是前无古人的， 并在极长的时间内也后无来者。
例如：对于 y x 言，根据牛顿的流数计算法，有：
2
y y ( x x)2
（1-1） （1-2）
x2 y x2 2xx (x)2
y 2 xx (x)2
y 2 x x x y 2x x
（1-3）
（1-4）
（1-5）
在上面的推导过程中，从式（1-3）到式（1-4）要求 x 不等于零。 从而式（1-4）到式（1-5），又要求 x 等于零。
贝克莱
英国主观唯心主义哲学家、主教。1685年3月12日 出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753 年1月14日卒于牛津。 少年早熟， 15 岁考进都柏林三一学院， 1704 年获 学士学位， 1707 年获硕士学位 ,留校担任讲师、初级 研究员。 1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识 原理》 ,1713 年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三 篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。 1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教 ,任职18 年 ,仍致力于哲学的思辨。 1752 年移居牛津附近的新 学院。
• 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，
但是也没有明确给出极限的定义。 • 正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不 能满意地解释贝克莱提出的悖论。
• 所以， 由“无 穷小 ” 引发 的第二次数学危机，实质上 是缺少严密的极限概念和极 限理论作为微积分学的基础。
四、危机的化解
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的 意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠 的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他 本人未能提供这样的理论。 最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用 无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾 试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是， 这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概 念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日 的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠 基问题。