几何(二)曲线图形
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
解析几何中的二次曲线分类
解析几何中的二次曲线分类解析几何是数学中的一个重要分支，它旨在研究图形形状、大小、位置等性质，以及这些性质之间的相互联系。
在解析几何中，二次曲线是一类特殊的几何图形，由于其广泛的应用，在解析几何的研究中占有重要的地位。
本文将介绍二次曲线的分类及其特点。
一、二次曲线的基本概念首先，我们需要澄清二次曲线的定义。
在平面直角坐标系中，我们可以表示一个点的坐标为$(x,y)$。
如果一个点$(x,y)$在坐标系中满足一个由$x$和$y$的二次多项式方程表示的条件，那么这个点就在这个方程所描述的二次曲线上。
二次多项式方程一般的形式为：$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$$其中，$A,B,C,D,E,F$为实数，$A$和$B$不能同时为零。
二次曲线的几何形状取决于二次项和常数项的系数。
二、椭圆如果$AC-B^2>0$，那么二次曲线就是椭圆。
这里，$A>0$和$B>0$。
椭圆的特点是，它的任何一条直径都可以被看作是它的两个焦点之间的连线。
此外，椭圆还有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之和是一个定值，叫做椭圆的长轴长度。
三、双曲线如果$AC-B^2<0$，那么二次曲线就是双曲线。
在这种情况下，我们可以定义一个新的变量$y'=\frac{y}{x}$，这样就可以将原方程化为标准式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$和$b$都是正实数。
双曲线取决于$a$和$b$的大小关系。
如果$a>b$，我们称之为正双曲线；如果$b>a$，我们称之为负双曲线。
无论哪一种情况，双曲线都有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之差是一个定值，叫做双曲线的焦距。
四、抛物线如果$AC-B^2=0$，且$A$和$B$不同时为零，那么二次曲线就是抛物线。
在这种情况下，我们可以将原方程变形为标准式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$和$b$都是实数。
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))(2)
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为
y 3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 ( 3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
12
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
几何曲线与图像：曲线图形分析
几何曲线与图像：曲线图形分析几何曲线是数学中的一个重要概念，它们具有丰富多样的形态和特性，常常用于理解和描述自然界和人工结构中的各种现象。
本文将重点讨论几何曲线的图形分析，探讨曲线图像的特征和应用。
一、直线与斜率首先，我们从直线开始分析。
直线是最简单的几何曲线之一，它由无数个相互平行的点组成。
直线的图像可以通过斜率来进行分析。
斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点间的纵横坐标差值的比例来求得。
斜率的正负值反映了直线的上升或下降趋势。
例如，对于一条向上倾斜的直线，其斜率为正；而对于一条向下倾斜的直线，其斜率为负。
斜率为零表示直线为水平线，斜率为无穷大则表示直线为垂直线。
通过分析直线的斜率，我们可以得到直线图像的整体趋势和特征。
二、抛物线与焦点抛物线是常见的二次曲线图形，在自然和人工中都有广泛的应用。
抛物线由一定形式的二次方程描述，其图像特征受控于曲线方程中的各项系数。
抛物线的图像通常呈现出对称性，其焦点是一个重要的概念。
焦点是指所有离该抛物线上的点距离焦点和直线的距离相等。
抛物线的焦点对于图像的形态和定位至关重要。
当抛物线的焦点位于抛物线的顶点时，图像呈现出最大值或最小值，并且具有最优化的特征。
而焦点的位置和距离则直接决定了抛物线图像的形状和方向。
三、圆与半径圆是几何学中最为简洁和优美的曲线形态之一，具有多种特性和应用。
圆的图像由一组离圆心相等距离的点组成，这个相等距离称为圆的半径。
圆的半径决定了图像的尺度和大小。
通过改变圆的半径，我们可以展示不同大小的圆图像，从而在空间感知中起到重要的作用。
此外，圆与直线的交点和切点也是分析圆图形的重要依据。
交点和切点的位置和数量直接影响了圆的相对位置和与其他几何对象的关系。
四、椭圆与长轴短轴椭圆是一种由曲线方程控制的曲线图像，其呈现出对称性和优美的形态。
椭圆具有两个特殊的轴，分别称为长轴和短轴。
长轴是椭圆的主轴，通过椭圆的中心，并与椭圆对称。
短轴则是椭圆的次轴，垂直于长轴，并与椭圆对称。
微分几何_曲线的概念
a v (t t0) ．
2 2 2
点 t0 0 ，s(t) □
a2 2 v 2 t ．
参数变换 定义：对于曲线 : r r (to ), 给出函数 t (u) 如果 , (u) 0 ，则称 t (u ) 为曲线 的一个参数 变换，在次变换下曲线 的方程为 r r[ (u)]. 命题1：参数变换曲线的正则性和正向不变。 证： , (u) 0 t增加则u增加,故正向不变
切线的坐标式Βιβλιοθήκη 方程 设r(t0 ) {x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )}, r (t0 ) {x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )},
, , , ,
则切线方程消去
得到
X x(t0 ) Y y(t0 ) Z z (t0 ) , , , , x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )
dr dr dt , = =r(t) , (u ) 0 du dt du
故正则性不变
命题：曲线上两点间的弧长与参数的选取无关。 证：设 t (u) 为曲线 的一个参数变换且
u0 =u(t0 )
t ,
r=r(t)=r*(u)
t ,
dt s (t ) r (t ) dt r (t ) du t0 t0 du * u dr dt u dr | | du | | du s (u ) u0 dt du u0 du
例
2.3曲线的切线和法面
Q 给出曲线上一点 P 点 ， 是 P 邻近一点，把线 PQ 绕 P 点旋转，使 Q 点沿曲线趋近于 P 点，若割线 PQ 趋近于一定的位置，则我们把割线 PQ 的极限位 置称为曲线在 P 点的切线，定点 P 称为切点。
奥数平面几何之曲线图形例题加练习加答案
平面几何之曲线图形基本模型：【例1】已知AB=120米，从A 到B 有三条半圆弧路线可走，走 圆弧路线的长度最短，最短长度是 。
（π=3） ☞点拨：三条路线，都是有半圆弧线构成，若想求最短的长度，实则是分别求圆弧的长度。
【分析】设线路（1）的两圆弧半径分别为1r 和2r ，则圆弧的长度为12122r 2r 2(r r )60180222ππππ++==⨯=（米） 同理线路（2）的长度也为180米，线路（3）的长度为260260180ππ⨯÷==（米）所以三条线路的长度是一样，都为180米。
【巩固1】 如图，阴影部分的面积是多少？ 【巩固2】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。
【例2】如图1中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。
求阴影部分的面积和（π取3.14）☞点拨：此题是一个不规则图形，可用基本公式求解一块阴影面积，再求得阴影的面积总和，但这并不是最好的方法，可否通过割补，平移、对称、旋转、翻转等方法转化为规则图形呢？【分析】将原图割补成如上图2，阴影部分正好是一个半圆，面积为cm）⨯⨯÷=（23.1455239.25【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3)例【例3】如图1，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。
已知AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)☞点拨：一种思路是把不规则的图形利用图形的分割转化为熟悉的图形求解。
另一种方法是通过图形扩展，从易求的整体面积里排除掉不需要的面积求解。
【分析】方法一：如上图，连接PD、AP、BD，如图PD//AB,那么△ABD与△ABP同底等高，面积相等，则阴影部分的面积转化为△ABP与圆内的小弓形的面积和。
△ABP 的面积()10102225S ABP =⨯÷÷=;弓形面积 =3.14554552=7.125S ⨯⨯÷-⨯÷弓阴影部分面积为==257.125=32.125ABP S S S ++阴弓方法二：构造弯角形【例4】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示。
微分几何-曲线的概念
01
描述三维空间的形状和结构
曲线可以用来描述三维空间中的各种形状和结构，如球面、圆柱面、圆
锥面等。
02
确定点、线、面之间的相对位置
通过曲线的性质和定义，可以确定三维空间中点、线、面之间的相对位
置关系，如相交、平行、垂直等。
03
解决几何问题
利用曲线的性质和定理，可以解决立体几何中的各种问题，如求体积、
微分几何-曲线的概念
目录
• 曲线的基本定义 • 曲线的局部性质 • 曲线在平面上的投影 • 曲线在三维空间中的形态 • 曲线在几何图形中的应用
01
曲线的基本定义
曲线的数学定义
曲线是由点在二维或三维空间中按照 某种规律排列而形成的几何图形。在 二维空间中，曲线由无数个点组成， 这些点满足某种参数方程或显式方程。 在三维空间中，曲线同样由无数个点 组成，但需要考虑更多的自由度。
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+
y(t)mathbf{ j}
+
z(t)mathbf{k}$。
隐式方程
通过一个方程表示曲线， 如 $F(x, y, z) = 0$。
三维空间中曲线的性质
光滑性
曲线上的每一点都有确定的切线或法 平面。
可微性
连续性
曲线在每一点都连续，没有断裂或间 断。
曲线在每一点都可微，即可以求导数。
三维空间中曲线的应用
3
曲率半径
曲率半径是表示曲线弯曲程度的另一种方式，它 等于1/曲率。
曲线的挠率
挠率定义
挠率是描述曲线在三维空间中弯曲和扭转程度 的量。
挠率性质
挠率与曲线的方向导数有关，表示曲线在该点 的扭曲程度。
挠率与曲率和主法线的关系
挠率等于曲率乘以主法线的方向导数。
解析几何中的曲线与双曲线
解析几何中的曲线与双曲线几何学是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的图形和形状。
而解析几何则是将几何问题用坐标和代数方法进行描述和解决的一种方法。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而双曲线则是曲线中的一种特殊类型。
本文将会对曲线与双曲线进行详细的解析和分析。
一、曲线的定义与特点在解析几何中，曲线是指由一系列点组成的连续图形。
通常我们可以通过方程来表示和描述曲线。
曲线有许多种类，包括直线、圆、椭圆、双曲线等等。
不同类型的曲线具有不同的数学模型和特点。
对于一条曲线来说，我们可以通过以下几个要素来描述它：1. 方程：我们可以通过一个数学方程来表示曲线。
例如，对于直线来说，它的方程可以写成y = kx + b的形式；对于圆来说，它的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式。
2. 曲线的形状：通过观察曲线的形状，我们可以了解到曲线是直线、圆、椭圆还是双曲线等等。
3. 相对位置：我们可以通过曲线与坐标轴的相交关系来了解曲线在空间中的位置。
4. 参数方程：有些复杂的曲线需要用参数方程来进行描述，参数方程可以用一组参数来描绘曲线上的每一个点。
二、双曲线的定义与性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由两个分离的曲线组成的。
双曲线的方程通常可以写成下面的形式：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或者 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1其中(a, b)为椭圆的中心点，而a,b则分别为椭圆沿x轴和y轴的半轴长度。
双曲线有以下几个重要性质：1. 双曲线的中心点：双曲线的中心点为(h, k)。
2. 对称轴：双曲线包含两条对称轴，分别是以中心点为中心的水平对称轴和垂直对称轴。
3. 渐近线：双曲线还有两条渐近线，它们是双曲线与其两个分支的切线。
双曲线的形状和特点取决于参数a和b的大小和正负。
第02讲 平面、立体图形综合二(曲线型)(解析版)
曲线型几何题课前小测1、如图，由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是________．2、如图所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A 处切掉一个棱长为4的正方体，得到如右图所示的立体图形．这个立体图形的表面积是__________．左图右图AA 3、若正方体的棱长被平均分成3份，其中3面、2面、1面涂色、0面涂色的小正方体各有多少个？课程目标1、掌握圆与扇形中的方中圆、圆中方、割补法、重叠法等题型的解题方法。
2、掌握圆柱圆锥的基本公式，会解决旋转体问题、浸没问题等。
知识图谱圆与扇形知识精讲一、方中圆、圆中方方中圆：正方形面积：内切圆面积=4:π圆中方：圆面积：内接正方形面积=:2π二、割补法求面积1、分割法：把图形切开，但是并不移动，使题目便于解答．组合图形中，如多边形、圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要用到割补的方法．图形比较规则时，我们还可以将整个图形分割成若干最小单元。
2、填补法：把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；注意：切割下来的面积和要补上的面积要相等．三、旋转几何图形绕定点旋转，分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．四、重叠法1、弓形弓形面积为两个扇形面积减去一个正方形的面积．2、其它重叠图形观察图形，利用规则图形面积（如正方形面积、扇形面积等）推出不规则图形的面积．3、差不变求面积把不规则图形转化成规则图形，利用差不变的思想求面积．圆与扇形例题例题1、（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）例题2、已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）例题3、如图，一只小狗被栓在一个边长为4米的正方形的建筑物的一边的中点B处，四周都是空地．绳长8米，小狗的活动范围是多少平方米？B例题4、根据图中所给的数值，求（1）这个图形的周长；（2）这个图形的面积．（π取近似值3.14）12例题5、如图，两个直角扇形的半径分别是2和4，那么图中两块阴影部分的面积之差是多少？（π取3.14）随练随练1、如图，已知正方形的周长是16cm．（π取3.14）（1）求圆的周长．（2）求阴影部分的面积．随练2、如图，图中阴影部分的面积是________．（π取近似值3.14）随练3、如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）随练4、如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？随练5、如图，长方形OABC中，6OA=，4AB=，分别以O和B为圆心作图中的两段圆弧．求阴影部分的面积（π取3.14）圆柱圆锥知识精讲一、圆柱圆锥相关公式圆柱体的侧面展开图为长方形，长方形的长即为圆柱体的底面周长，长方形的宽即为圆柱体的高，因此，圆柱的侧面积＝底面周长×高．如果用S侧表示圆柱的侧面积，C表示底面周长，h表示高，那么S Ch=侧．圆柱的侧面积加上上下两个底面积即为圆柱的表面积．二、旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，该定直线叫做旋转体的轴，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．三、浸没问题容器中放入物体的问题要分三种情况对待：第一：完全浸没在水中，这时物体的体积等于水面上升的水的体积．第二：不完全浸没水中，这时水的总高度等于水的体积除以容器底面与物体底面的面积之差．第三：水有溢出，这时物体的体积等于水面上升和溢出的水的体积之和．圆柱例题例题1、一台压路机的前轮是圆柱形（如图），轮宽1.5m，直径1.2m，前轮滚动一周，压路的面积是多少平方米？例题2、一瓶装满的矿泉水，小强喝了一些，瓶中水深15cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高6cm，瓶内直径是8cm．小强喝了多少水？例题3、把一张铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮水桶，求所制铁皮水桶的容积．（铁皮厚度忽略不计，π取3．14）16．56cm例题4、将一根长16分米的圆柱形钢材截成三段较短的圆柱形，其表面积增加了24平方分米，这根钢材原来的体积是多少？例题5、一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水．请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？随练随练1、用一个滚刷往墙壁上刷涂料，滚刷的半径是6cm，长30cm．如果每蘸一次涂料，滚刷可以滚动四圈，那么可以刷多少平方厘米的墙壁？随练2、一个内直径是8cm的酱油瓶里，酱油的高是15cm．如果将它倒置放平，空瓶部分的高度是10cm，这个酱油瓶的容积是多少？随练3、把一张长方形铁皮按下图剪开正好能制成一个底面半径2分米的铁皮油桶．这张铁皮的面积至少多少平方分米？随练4、把一根长1.5m的圆柱形钢材截成3段后，如图所示，表面积比原来增加9.6dm2，求这根钢材的体积是多少？随练5、一个圆柱形钢材被切割成如下形状，求它的体积．圆锥例题例题1、计算圆柱的表面积和圆锥的体积．例题2、一个圆锥的底面半径是一个圆柱底面半径的34，圆柱的高与圆锥的高的比是4:5，那么圆锥的体积是圆柱体积的________．例题3、建筑工地有堆近似于圆锥的沙子，量得底面的周长是12.56米，高是1.65米．如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子约有多少千克？（π取3.14）例题4、（1）如下左图所示，将对角线长度为6的正方形，按照如图所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）（2）如下右图所示，将上底是2，下底是4，高是4的梯形，按照图中所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）例题5、如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升？随练随练1、计算圆柱的表面积和圆锥的体积．随练2、一个圆柱体和一个圆锥体的体积相等，圆柱和圆锥底面积的比是3︰5，圆柱的高是8厘米，圆锥的高是________厘米．随练3、打谷场上有一堆圆锥形的稻谷，底面半径是2米，高1.5米，把这堆稻谷装入一个内直径是3米、高1米的圆柱形粮囤内，能不能装完？随练4、左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？拓展拓展1、如右图所示，如果正方形的边长为2厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．（π取3.14）拓展2、如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）．拓展3、如图，计算图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米， 取3.14）10拓展4、如图，每个圆的面积都为12.56，求该图形的外周长．拓展5、图中的两个直角扇形的半径分别是2和6，那么阴影部分的面积是______．（π取近似值3.14）拓展6、一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米．如果每分钟转动8周，那么每分钟能压路多少平方米？（最后结果保留整数）拓展7、一个胶水瓶（如下图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘米。
双曲线的简单几何性质(二)
2
−
λ2a
2
= 1(λ2 ≠ 0) 即
a
2
−
b
2
的形式. = −λ2 (−λ2 ≠ 0) 的形式.
7
综上所述,原命题成立.
课堂练习
是否存在同时满足下列条件的双曲线, 思考 2:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在求 出其方程,若不存在,说明理由. 出其方程,若不存在,说明理由. ⑴渐近线方程为 x + 2 y = 0 , x − 2 y = 0 ; ⑵点 A(5,0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 .
标准方 程 焦点 对称性 顶点 渐近线 离心率
y2 x2 − 2 = 1( a > 0, b > 0) 2 a b
F1(0,-c) , F2(0,c) -
a ─实半轴长
b─虚半轴长 c─半焦距
c =a +b
2 2 2
y x 可由 2 − 2 = 0 得 a b
2
2
学习运用 运用这 知识来解决问题 问题. 这一节,我们学习运用这些知识来解决问题.
作业: 作业:课本 P
67
A 组第 6 题,B 组第 1 题.
13
根据下列条件，求双曲线方程 : 根据下列条件，求双曲线方程: 为什么可以这样设? 为什么可以这样设 x2 y 2 有共同渐近线， ⑴与双曲线 − = 1 有共同渐近线，且过点 ( −3, 2 3) ； 9 16 x2 y2 有公共焦点， ⑵与双曲线 − = 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
过点（ ， ）， ），且渐近线为 1. 过点（1，2），且渐近线为
2
的双曲线方程是________. 的双曲线方程是 16 y − 9 x
抛物线的几何性质(二)
•
三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名
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三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
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三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
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二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
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三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
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六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
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七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
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八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
数学二特殊曲线图形
数学二特殊曲线图形
数学二特殊曲线图形是数学中非常重要的一类图形，它们的几何特性一直是数学研究的重要课题，自古以来被用于图形计算、空间视觉等领域。
本文将介绍数学二特殊曲线图形的特性及其应用。
首先，让我们来了解数学二特殊曲线图形的特点。
这些特殊曲线图形主要分为抛物线和双曲线。
抛物线的几何特征是它的曲率在不同的点上是相同的，而它的准确定义是它的焦点和拐点分别在x轴和y 轴上；双曲线的几何特征是它的曲率在不同的点上是不同的，而它的准确定义是它的焦点分别在x轴和y轴上。
其次，让我们来了解数学二特殊曲线图形的应用。
这些特殊曲线在日常生活中可以见到，比如抛物线可以用来描述物体下落的轨迹，双曲线能够用来描述宇宙膨胀的规律。
除此之外，它们也被广泛用于建筑、设计、几何计算等领域，这些领域涉及到了许多实际的问题，包括音乐、楼层、游乐场、屋顶等等，这也是数学二特殊曲线图形如此受到关注的原因。
最后，我们来总结一下本文。
数学二特殊曲线图形是一类重要的几何图形，它们的曲率在不同的点上是相同或者不同的。
它们的应用范围包括建筑、设计、几何计算等领域，涉及到了实际问题，如物体运动、宇宙膨胀等。
因此，数学二特殊曲线图形的研究对于解决一些实际问题具有重要的意义。
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几何（二）曲线图形
小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质
在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不成规则的变为规则的，把不可求的变为可求的，把我们不熟悉的变为我们熟悉的。
在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。
在求解几何图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转换成我们所熟知的图形。
（1）加减法
把要求的图形转换成几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。
（2）割补法
把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。
（3）旋转平移法
把要求的图形通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。
（4）重叠法
要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。
（5）比例法
把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例方法。
2、图形旋转的问题
在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题，一般情况下，我们所能遇到的有以下两种情况：
（1）求图形一边扫过的面积
在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动。
首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求旋转，旋转停止后，这条边旋转所得到的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。
（2）求图形扫过的面积
在求图形一边扫过的面积的基础上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分，就很容易地找到整个图形扫过的部分。
（3）几个特殊的问题
①活动范围的问题，我们先来看看下面几个问题。
●假设茫茫的草原上有一木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊
能吃到的草的面积有多大？
●草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了
一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？
●羊圈建成了，羊在平时被拴在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊
这个时候能吃到的草的面积是多大？
你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊能吃到的草的范围活动的半径在跟着变化。
那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题的重要思想。
另外，数学源自生活，通过想象生活中的情境，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。
②滚硬币的问题
把两枚一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个沿着其周围滚动。
当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己转了多少周？
注意观察：滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。
这也是一切硬币滚动类问题的特点，常见的还有齿轮，滑轮等。