加权余量法 ppt课件

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有限元原理(加权余量法和变分法)

3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。

4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程：线性微分算子
( ) q ( ) s

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。加权余量法误差（即余数）的定义：
2 2 场域内 : R R （）（）边界上：
问题的自由度
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
* * {[ w ( ) d ] C } {[ w ( ) d ] C } w q d w j i j i i i j j s d i 1 i 1 n

5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
通过尝试函数，简化加权余数后：
F j ( R ) w j ( 2 q ) d w * j(
i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 i 2 1 2 2 ( C x ) ( C x ) ( C x ) i 1 2 i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2
其中： C i i
i 1 n
R ( ) ( ) ( ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：

有限元的理论基础

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

03加权余量法

dx u0 u1 0
解：（1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2

积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0

例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。例（同前）：步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2

x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20

有限元第2讲：加权余量法

x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1

有限元分析理论基础

有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。

若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。

加权余量法 ppt课件

加权余量法
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~

加权余量法简介

在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB

V
W Ii R I d V

S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ，一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此对一维问题对二维问题其余类推这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即可，消除余量的条件为:

由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1

[用加权余量法分析圆形遂道]加权余量法ppt

[用加权余量法分析圆形遂道]加权余量法ppt摘要:采用在低级近似情况下可获得较高精度的加权余量法对圆形隧道可能承受的各种荷载情况进行分析,给出了相应的权残方程和内力的通式以及它们的实用算式、算例表明:计算简便易行,控制内力降低,在规律性上更好地体现了圆拱形结构的良好力学性能,较现行方法有明显的优越性、关键词：加权余量法圆形隧道权残方程内力计算中图分类号：U45文献标识码：A 文章编号：一、前言水力工程涵洞和铁路隧道等工程广泛采用着圆拱形结构其合理计算应遵循与周围地层共同工作原理、不计弹性抗力的自由变形方法 ,原则上可用于松软地层中的隧洞分析,然而,鉴于松软地层含义的相对性,如预先认定不免带有一定的盲目性、计入假设的弹性抗力方法 ,则由于该抗力不尽符合共同工原理,所得结果将具有一定的任意性、把周围地层的连续弹性抗力仅简化为若干法向弹性支承反力的链杆法,则需将结构分割较多的直梁单元才会有较好的精度,而这将使各项工作量加大;重要的是该法还没有也难以考虑切向弹性抗菌素力的作用、加权余量法在我国正日益广泛地被引入结构分析领域[4,5] 由于其原理统一,计算简便准确、,并容易在计算机上实施等优点,为同时考虑法向和切向弹性抗力时地层中圆形隧道的合理计算提供了便利条件、二、控制微分方程和边界条件图1示地层中单位厚度圆形隧道结构的计算简图,承受竖向荷载qV、水平侧向茶载qH 、自重G和水压力或灌浆压力ρ0等主动荷载的作用;结构、荷尔蒙载均为正对称,顶点O为坐标原点,RH 为计算半径,h为壁厚,H为顶点水头,rs为水的容量;上部两侧各为45°范围为不计弹性抗力的脱离区、脱离区的范围与结构在qV、qH以及G等作用下产生的变形状态有关,一般只能用迭代法逐次接近;根据大量试验和工程实践经验总结,该脱离区一般约为2×34°－2×45°, 我国水工隧洞设计规范推荐2×45°,故本文将此值作为已知条件引入计算简中、从图1中截取微分单元RHdθ,其中w为法向位移;V为切向位移;kw w、kV V分别为法向、切向弹性抗力,kw 、kV分别为法向、切向地层弹性抗力系数;各项荷载、抗力及结构的弯矩M 、剪力Q和轴力N均为以图示方向为正; rh为钢盘混凝土容重、可忽略轴力产生的切向应变: 由于结构对称,故只需对右半部分进行分析,在=0和θ=π处应满足如下位移和应力边界条件:三、伽辽金权残方程通式及内力通式设法向位移试函数= s°sinAmcos满足式所有边界条件，并使C=0由于qV在θ=π／2处和弹性抗力在θ=π／4处出现间断性，故将式代入式所得残函数有3种形式：在0－π／4子域：式中：s° =m5－2m3+m; s = s° + ƒ取权函数集Wj=cos,相应其任一项的全域伽辽金权残方程为WjRIdθ= Wj RI1dθ+ Wj RI2dθ+Wj RI3dθ=0将式代入后，注意到：qH= －θ,sin2θcosdθ=[sinθ+sinθ]／2,qHsin2cosdθ=sin2cosdθ－×dθ+sin3θcosdθ);p0=rs,=rsRHsinθ,cosdθ=rsRHsinθcosdθ、于是得到全域伽辽金权残方程的通式:sincosdθ+ssincosdθ)Am=ƒsinθcosdθ+ƒdθ,式中:sincosdθ= 将对应于各权函数Wj的权残方程依次组合并写成求解Am的矩阵形式为:Am=[Km,j ] Tj当选定试函数项数m后,权函数项数即一定,所以, Am的系数矩阵[Km,j ]和荷载项列阵 Tj 均可预先由式列出供实用;划去相应的行和列,它还可以用于项数小于m的情况、由式、、分别列出内力通式为：在求0－π／4域的轴力时，应令km=0；求π／2－π域的轴力时，应令qv=0。

第一章-理论基础-加权余量法和变分原理

第一章-理论基础-加权余量法和变分原理同济高校土木工程学院争辩生课程《有限单元法》第一章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理1、微分方程的近似解法2、加权余量法3、变分原理与里兹法4、弹性力学基本方程5、弹性力学变分原理授课老师：吴明儿教授2021年春1、微分方程的近似解法将连续体进行离散化，将微分方程离散成有限个未知数的代数方程组进行近似求解。

典型的离散方法有里兹法、加权余量法、差分法等。

数值解加权余量法变分法差分法数值积分法Monte Carlo法配点法最小二乘法力矩法伽辽金法里兹法变分法：存在泛函，取泛函数驻值，里兹法。

固体力学领域加权余量法：系统不需要存在泛函数。

其他领域2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)近似解T=β=1MNβx TβNβ:摸索函数已知函数；Tβ:待定参数未知系数选取：Nβ0=0β=1,2,…,M满足边界条件1加权余量法1wαΩd2T?T dx+wαΓd Tdx?1x=1=0(α=1,2,…,M)wαΩ及wαΓ为任意的加权函数。

加权函数的选取方法有配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法等，以伽辽金法最为常用。

伽辽金法：wαΓ=?wαΩ=?Nα分部积分、考虑Nα0=0：Nαd Tdx1+1?dNαd Tdx?NαT dx+?Nαd Tdx?1x=1=01dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1若边界条件2左边为零，则Nα1=0，上式不需要对边界进行处理。

依据这种性质，边界条件2称为自然边界条件，边界条件1称为强制边界条件。

2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)将T=β=1M Nβx Tβ代入1dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1得KαβTβ=fα上式称为刚度方程，Kαβ为对称矩阵。

第四章加权余量法

§4.1 微分方程的等效积分形式
微分方程的等效积分形式可以通过不同途径给出。与微分方程等价的泛函极值问题，就是其一
种等效的积分形式，如对于对称、正定的算子方程 L(u) f ，其等价的泛函极值问题 J[u] L(u),u 2 f ,u 就是其等效的积分形式。
（4.2.1-4）
其中i 是待定参数；{i } (i 1, 2,, n) 是一组基函数(或试探函数、形函数)，为已知函数，它取
自完全的函数序列，是线性独立的。另外，近似解通常要满足强制边界条件（4.2.1-3b）和连续性的要求。
由于近似解是不能精确满足微分方程（4.2.1-3a），它将产生余量或残差（Residual），即
1
1
[
x
0

1
(2

x

x2
)](2

x

x2
)dx

0
积分后，得到
105 5
1

11 2

0
由此求得
1

55 202
0.2723 ，
故一级近似解：
u1 0.2723x(1 x)
● 在（4.2.2-10）式中取两项，得到二级近似解
代入微分方程，余量为
u2 1x(1 x) 2 x2 (1 x)
一点都得到满足，也存在余量（或残差） R T (u) g ，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）
不能对任何 v 、 v 都精确成立。
为获得微分方程的近似解 u ，我们取有限个给定函数
v wi ， v wi （ i 1, 2,）

《加权法与案例分析》课件

04
加权法的优缺点分析
加权法的优点
简单易行
加权法是一种简单直观的数学方法，易于理解和操作，不需要复
杂的计算和模型。
考虑因素全面
加权法通过赋予不同因素不同的权重，能够全面地考虑各种因素的影响，从而更准确地反映实际情况。
可比性强
加权法得出的结果具有可比性，可以用于不同地区、不同时间、不同对象的比较和分析。
《加权法与案例分析》ppt课件
目
CONTENCT
录
• 加权法概述 • 加权法的计算方法 • 加权法案例分析 • 加权法的优缺点分析 • 加权法与其他方法的比较 • 总结与展望
01
加权法概述
加权法的定义
总结词
加权法是一种将不同数据按照其重要性赋予不同权重的统计方法。
详细描述
加权法是一种数据处理方法，它根据各个数据项的重要性或影响程度，为每个数据项赋予不同的权重，然后根据权重对数据进行汇总或比较。权重可以反映数据项在整体中的相对重要性。
加权法的改进方向
引入机器学习方法
通过机器学习算法自动确定权重，可以减少主观因素的影响，提
高结果的客观性和准确性。
优化权重计算方法
改进权重计算方法，如采用层次分析法等更为科学的方法来确定权重，可以提高结果的可靠性。
结合其他方法使用
加权法可以结合其他方法一起使用，如回归分析、聚类分析等，以更全面地考虑各种因素的影响，提高分析的准确性和可靠性。
加权法的选择与使用
总结词
根据实际情况选择合适的加权法进行计算。
VS
详细描述
在选择加权法时，需要考虑数据量、数据点的重要性以及实际需求等因素。简单加权法和平均加权法适用于数据量较小或重要性均衡的情况；指数加权法则适用于数据量较大且重要性差异较大的情况。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的加权法进行计算，以达到更好的分析效果。

chap1.2加权余量法-2012-03-1_480402246

§1.1.2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.2
对等效积分形式中
∫
Ω
进行m次分部积分。进行m次分部积分。
Ω
∫ C~ (v) D(u)d Ω + ∫ E ~ ~ ~ ~
T Γ
T
(v ) F (u)d Γ = 0 （6）
~ ~ ~
均为m阶微分算子。此时 C , D 均为m阶微分算子。 ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
δ( 例如： ~ - ~ j ) L(Ni (xj )) 例如： x x % % %
Nj (x) % ~
加权余量法的几种常用方案
1. 2. 3. 4. 5. 配点法，以笛拉克函数δ作为权函数子域发最小二乘法力矩法伽辽金法
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
为了下面讨论方便：为了下面讨论方便：不失一般性的认为 N i 已满足边界条件
所以上式可表示为：所以上式可表示为：
L ∑ ~ ( N ( x )) a − f ( x ) = 0 ~ ~ ~ ~
i =1 i j i j
n
j = 1, 2,..., n
即，得到n个方程
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
L ∑ ~ N (x ) a − f (x ) = 0 ~ ~ ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
例：简支梁弯曲问题
微分方程及其边界条件
d 4w EJ -q= 0 4 dx x ∈ (0, l)
w=0
dw =0 dx
x = 0, l
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.

紧支试函数加权余量法_865603298

MLS近似可以精确地重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即
∑ N ( x) p ( x ) = p ( x)
I =1 I i I i
n
对于线弹性断裂问题，基函数可以取为
pT ( x ) = [1, x, y, r cos θ , r sin θ , r sin θ sin θ , r cos θ sin θ ] = [1, x, y, r ]
| 有限元法
16/40
近似函数
u h ( x, x ) = ∑ pi ( x )ai ( x ) = p T ( x )a ( x )
i =1 m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数） ai ( x ) — 待定系数
线性基： p T ( x ) = [1, x , y , z ], m = 4 二次基： p T ( x ) = [1, x , y , z , x 2 , xy , y 2 , yz , z 2 , xz ], m = 10
15/40
移动最小二乘近似
移动最小二乘近似
N N 2 ⎡m ⎤ h J = ∑ wI ( x ) ⎡ ⎣u ( x , x I ) − u ( x I ) ⎤ ⎦ = ∑ wI ( x) ⎢∑ pi ( xI ) ⋅ ai ( x) − uI ⎥ I =1 I =1 ⎣ i =1 ⎦ 2
有限元
I
I
I
i =1 I =1 I i I j I i I =1 I j I
m
⎡
N
⎤
N
I
3
移动最小二乘近似
a ( x) = ∑ w ( x) p ( x )u ∑⎢ ∑ w ( x) p ( x ) p ( x ) ⎥ ⎣ ⎦

加权余量法简介

伽辽金法解此时， N1 = x5 + lx 4 − 14l 2 x3 + 26l 3 x 2 消除余量的条件为:
∫
由此可得:
0.00908q EIl
l
0
N1RI dx = 0
C=
∆B
( 4)
0.1262ql 4 = EI
矩法解由于只有一个待定常数，因此消除余量条件只需零次矩即可, 此时显然与子域法完全相同。
3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。 I (C ) = ∫ RI2 dV = ∫ RIT RI dV 若记余量平方和为I(C)，即 V V 则极值条件为:
∂ I (C ) ∂RI T = 2∫ ( ) RI dV = 0 V ∂C ∂C
RI = EIc (120 x + 24l ) − q
因此本问题属内部法。下面分别用基本方法进行求解。子域法解由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即可，消除余量的条件为:
∫ EIc (120 x + 24l ) − q dx = 0
l 0
由此可解得:
c=
q 84 EIl
5.1 加权余量法的基本概念加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残值法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。早在20世纪30年代就在数学领域得到应用，随着计算机的发展，它受到了国内外学者的普遍重视，得到了迅速的发展。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后，我国加权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。