幂级数概念

§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念

函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞

=1)(n n x u .

收敛点与发散点:

对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞

=1

0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞

=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞

=1

0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞

=1

)(n n x u 的发散点.

收敛域与发散域:

函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所

有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:

在收敛域上, 函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),

s (x )称为函数项级数∑∞=1

)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞

==1

)()(n n x u x s .

∑u n (x )是∑∞

=1

)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.

在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:

函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),

函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).

在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞

→或s n (x )→s (x )(n →∞) .

余项:

函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差

r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的余项.

函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞

→x r n n .

二、幂级数及其收敛性 幂级数:

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:

1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !

1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++

+n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是

a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数

1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅

可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有

11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x

.

定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞

=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式

|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞

=0

n n n x a 当

x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.

定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n

是∑∞

=0

n n n x a 的简记形式.

证 先设x 0是幂级数∑∞

=0

n n

n x a 的收敛点, 即级数∑∞

=0

n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有

0lim 0=∞

→n

n n x a , 于是存在一个常数M , 使

| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).

这样级数∑∞

=0

n n n x a 的的一般项的绝对值

n n n n n n

n n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||0000

0⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n n x x M ||00

⋅∑∞

=收敛, 所以级数∑∞=0||n n

n x a 收敛, 也就是级数∑∞

=0n n n x a 绝对

收敛.

简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为 n n n n n n

n n n

n x x M x x x a x x x a x

a || |||| || ||0000

0⋅≤⋅=⋅=,

而当||||0x x <时, 等比级数n

n x x M ||

⋅∑∞

=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a n x n 绝对收敛.

定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.