华中农业大学《概率论》概率论第二章复习.ppt
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性质：连续的
9
注意： 1）p(x)不是概率，它代表X在x附近 取值概率的大小。
2）连续型的随机变量X
P{X a} 0,a
故P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
10
七、一维连续型随机变量的重要分布
1. 均匀分布（Uniform Distribution）
p(x)
2. 三项分布
17
( X ,Y ) ~ B(n, p1, p2 )
P{X
i, Y
j}
C
Ci j
n n
i
p1i
p2j
(1
p1
p2 )n i j
(i, j 0,1,, n) i j n,
0 p1, p2 1, p1 p2 1
18
十一、二维随机变量的联合分布函数 F(x, y) P{X x, Y y}
xn1 x xn
p1 p2 pn 1
xn x.
8
六、一维连续型随机变量的分布函数
1. 分布密度： 1）p(x)是实轴上处处有定义、非负、可积
b
2） P{a X b} a p(x)dx F (b) F (a)
p(x) F(x)
2. 分布函数： F (x) P{X x} x p(x)dx
15
九、二维离散型随机变量的分布律
( X ,Y ) 的取值 (xi , y j )有有限组或可数组
P{X xi ,Y y j} pij
X \Y y1
x1 p11
x2 p21
x i
pi1
y2 y j
p12 p1 j p22 p2 j pi2 pij
1）0 pij 1
19
十二、二维连续型随机变量的分布函数
1.分布密度：
1）p(x,y)是平面上处处有定义、非负、可积
2）P{( X , Y ) (a, b] (c, d ]}
bd
p( x, y)dxdy
ac
2. 分布函数：
yx
F (x, y)
Baidu Nhomakorabea
p(u, v )dudv
注：
1)
p(x,
y)
2F (x,
y)
3. 几何分布： X ~ G( p) （可列重伯努利试验）
P{ X k} p(1 p)k1 (k 1,n)
5
4. 泊松（Poisson）分布： X ~ P( )
P{ X k} k e
k!
(k 0,1,n)
5. 超几何分布： X ~ H(n, M, N )
P{ X
m}
C
m M
C
nm NM
3)F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
7
五、一维离散型随机变量的分布函数
F (x) P{X x} P X xk PX xk
xk x
xk x
性质：处处右连续 0
x x1
F(x)
p1
p1 p2
p1 p2 pn1
x1 x x2 x2 x x3
C
n N
性质：当N很大，n很小时
C
m M
C
nm NM
C
n N
Cnm
M N
m
1
M nm
N
6
四、一维随机变量的分布函数
1. 定义： F(x) P{X x}
P(a<X b) F(b)-F(a)
2. 性质：
1) x ，0 F(x) 1;
2)x1 x2，F (x1) F (x2 );
( x , ,为常数， 0)
X ~ N(, 2)
X ~ N (0,1)
F(x) P{X x} P{ X x } ( x )
14
八、二项分布的正态近似
若Y ~ B(n, p), 则当n很大时,
Y np
•
~ N (0, 1)
np(1 p)
lim P Y np x (x) n np(1 p)
2
一、随机变量（Random Variable）
主要的思想： 将样本空间数量化,即用数值表示试验的结果。
1.定义：由试验结果而决定取某一数值的变量。
2. 分类：1）一维、多维（二维） 2）离散型、非离散型（连续型和其它）
3
二、一维离散型随机变量的分布律
P{X xi } pi (i 1,2,3,)
b
1
a
,
x (a,b)
0
x (a,b)
X ~ U (a,b)
0
x
xa
F(x)
p( x)dx
b
1
a
xa a xb
bx
11
2. 指数分布（Exponential Distribution）
ex x 0
p(x)
0
x0
( 0)
X ~ E()
x
1 ex
F(x) p(x)dx
0
x0 x0
X x1 x2 xi P p1 p2 pi
1）0 pi 1
2） pi 1
4
三、一维离散型随机变量的常用分布
1.0—1分布： X ~ B(1, p) （1次伯努利试验） 2. 二项分布： X ~ B(n, p) （n重伯努利试验）
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k 0,1,n)
12
3. 标准正态分布(Normal Distribution)
p(x)
1
x2
e2
2
( x )
X ~ N(0,1)
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
(x) 1 (x) (x 0)
13
4. 正态分布（Normal Distribution）
p(x)
1
( x )2
e 2 2
2
（钟形图像）
性质：1) x ， y , 0 F(x, y) 1;
2)x1 x2，F (x1, y) F (x2 , y); y1 y2，F (x, y1) F (x, y2 );
3)F(, y) F(x,) 0，F(,) 1;
4)P{(X , Y ) (x1, x2 ] ( y1, y2 ]} P{x1 X x2 , y1 Y y2} F (x2, y2 ) F (x1, y2 ) F (x2, y1) F (x1 y1)
2） pij 1
ij
16
十、二维离散型随机变量的常用分布 1. 超几何分布 ( X ,Y ) ~ H (n, M1, M2, N )
P{X
i, Y
j}
C C C i
j ni j
M1 M2 N M1 M2
C
n N
(i 0,1,, M1, j 0,1,, M2)
M1 M2 N , i j n N M1 M2
xy
2) P{(X , Y ) D} p(x, y)d xy
D
20
十三、二维连续型随机变量的常用分布 1. 均匀分布（Uniform Distribution）
9
注意： 1）p(x)不是概率，它代表X在x附近 取值概率的大小。
2）连续型的随机变量X
P{X a} 0,a
故P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
10
七、一维连续型随机变量的重要分布
1. 均匀分布（Uniform Distribution）
p(x)
2. 三项分布
17
( X ,Y ) ~ B(n, p1, p2 )
P{X
i, Y
j}
C
Ci j
n n
i
p1i
p2j
(1
p1
p2 )n i j
(i, j 0,1,, n) i j n,
0 p1, p2 1, p1 p2 1
18
十一、二维随机变量的联合分布函数 F(x, y) P{X x, Y y}
xn1 x xn
p1 p2 pn 1
xn x.
8
六、一维连续型随机变量的分布函数
1. 分布密度： 1）p(x)是实轴上处处有定义、非负、可积
b
2） P{a X b} a p(x)dx F (b) F (a)
p(x) F(x)
2. 分布函数： F (x) P{X x} x p(x)dx
15
九、二维离散型随机变量的分布律
( X ,Y ) 的取值 (xi , y j )有有限组或可数组
P{X xi ,Y y j} pij
X \Y y1
x1 p11
x2 p21
x i
pi1
y2 y j
p12 p1 j p22 p2 j pi2 pij
1）0 pij 1
19
十二、二维连续型随机变量的分布函数
1.分布密度：
1）p(x,y)是平面上处处有定义、非负、可积
2）P{( X , Y ) (a, b] (c, d ]}
bd
p( x, y)dxdy
ac
2. 分布函数：
yx
F (x, y)
Baidu Nhomakorabea
p(u, v )dudv
注：
1)
p(x,
y)
2F (x,
y)
3. 几何分布： X ~ G( p) （可列重伯努利试验）
P{ X k} p(1 p)k1 (k 1,n)
5
4. 泊松（Poisson）分布： X ~ P( )
P{ X k} k e
k!
(k 0,1,n)
5. 超几何分布： X ~ H(n, M, N )
P{ X
m}
C
m M
C
nm NM
3)F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
7
五、一维离散型随机变量的分布函数
F (x) P{X x} P X xk PX xk
xk x
xk x
性质：处处右连续 0
x x1
F(x)
p1
p1 p2
p1 p2 pn1
x1 x x2 x2 x x3
C
n N
性质：当N很大，n很小时
C
m M
C
nm NM
C
n N
Cnm
M N
m
1
M nm
N
6
四、一维随机变量的分布函数
1. 定义： F(x) P{X x}
P(a<X b) F(b)-F(a)
2. 性质：
1) x ，0 F(x) 1;
2)x1 x2，F (x1) F (x2 );
( x , ,为常数， 0)
X ~ N(, 2)
X ~ N (0,1)
F(x) P{X x} P{ X x } ( x )
14
八、二项分布的正态近似
若Y ~ B(n, p), 则当n很大时,
Y np
•
~ N (0, 1)
np(1 p)
lim P Y np x (x) n np(1 p)
2
一、随机变量（Random Variable）
主要的思想： 将样本空间数量化,即用数值表示试验的结果。
1.定义：由试验结果而决定取某一数值的变量。
2. 分类：1）一维、多维（二维） 2）离散型、非离散型（连续型和其它）
3
二、一维离散型随机变量的分布律
P{X xi } pi (i 1,2,3,)
b
1
a
,
x (a,b)
0
x (a,b)
X ~ U (a,b)
0
x
xa
F(x)
p( x)dx
b
1
a
xa a xb
bx
11
2. 指数分布（Exponential Distribution）
ex x 0
p(x)
0
x0
( 0)
X ~ E()
x
1 ex
F(x) p(x)dx
0
x0 x0
X x1 x2 xi P p1 p2 pi
1）0 pi 1
2） pi 1
4
三、一维离散型随机变量的常用分布
1.0—1分布： X ~ B(1, p) （1次伯努利试验） 2. 二项分布： X ~ B(n, p) （n重伯努利试验）
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k 0,1,n)
12
3. 标准正态分布(Normal Distribution)
p(x)
1
x2
e2
2
( x )
X ~ N(0,1)
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
(x) 1 (x) (x 0)
13
4. 正态分布（Normal Distribution）
p(x)
1
( x )2
e 2 2
2
（钟形图像）
性质：1) x ， y , 0 F(x, y) 1;
2)x1 x2，F (x1, y) F (x2 , y); y1 y2，F (x, y1) F (x, y2 );
3)F(, y) F(x,) 0，F(,) 1;
4)P{(X , Y ) (x1, x2 ] ( y1, y2 ]} P{x1 X x2 , y1 Y y2} F (x2, y2 ) F (x1, y2 ) F (x2, y1) F (x1 y1)
2） pij 1
ij
16
十、二维离散型随机变量的常用分布 1. 超几何分布 ( X ,Y ) ~ H (n, M1, M2, N )
P{X
i, Y
j}
C C C i
j ni j
M1 M2 N M1 M2
C
n N
(i 0,1,, M1, j 0,1,, M2)
M1 M2 N , i j n N M1 M2
xy
2) P{(X , Y ) D} p(x, y)d xy
D
20
十三、二维连续型随机变量的常用分布 1. 均匀分布（Uniform Distribution）