数学高考总复习：四种命题、充要条件

数学高考总复习：四种命题、充要条件
【考纲要求】
1、理解命题的概念.
2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】
【考点梳理】
一、命题：可以判断真假的语句。

二、四种命题
原命题：若p 则q ； 原命题的逆命题：若q 则p ；
原命题的否命题：若p ⌝，则q ⌝； 原命题的逆否命题：若q ⌝，则p ⌝ 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系
2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。

所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。

四、充分条件、必要条件和充要条件
1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。

又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。

又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ⊂,则p 是q 的充分不必要条件；A B ⊃,则p 是q 的必要不充分条件。

2、“⇒”读作“推出”、“等价于”。

p q ⇒，即p 成立，则q 一定成立。

3、充要条件
互逆
⌝⌝否命题若p 则q
原命题若p 则q 逆命题若q 则p ⌝⌝逆否命题
若q 则p
互
逆
互
逆否
为
互
逆否为否否互
互
四种命题、充要条件
充要条件
四种命题及其关系
互为逆否关系的命题等价
充分、必要、充要、既不充分也不必要
已知命题p 是条件，命题q 是结论
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：3x <是4x <的充分条件。

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。

但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足
)()(x f x f =-才是偶函数，满足)()(x f x f -=-是奇函数。

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 【典型例题】
类型一：四种命题及其关系
例1. 写出命题“已知,a b 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

解析：逆命题：已知,a b 是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知,a b 是实数，若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题； 逆否命题：已知,a b 是实数，若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题。

点评：
1.“已知,a b 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：
【变式】写出下列命题的否定，并判断真假. (1)∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1>0；
(2)∀x ∈Q ， 13x 2＋1
2
x ＋1是有理数；
(3)∃α、β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (4)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ≠10.
【解析】(1)的否定是“∃x ∈R ，x 2
＋x ＋1≤0”.假命题. (2)的否定是“∃x ∈Q ，13x 2＋1
2
x ＋1不是有理数”.假命题.
(3)的否定是“∀α，β∈R ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β”.假命题. (4)的否定是“∀x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10”.假命题. 类型二：充要条件的判断
2.(2015 湖北高考)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥
3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；
22
222
2
21212312231:()()()n n n n q a a a a a a a a a a a a --++
+++
+=++
+，则（ ）
A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A 解析：
试题分析：对命题p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列，则公比)3(1
≥=
-n a a q n n
且a n ≠0； 对命题q ，①当a n =0时，22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成立；
②当a n ≠0时，根据柯西不等式，等式22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成
立， 则
n
n a a a a a a 132
21-=⋅⋅⋅==，所以a 1，a 2，…，a n 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 故选A
点评：
1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换. 举一反三：
【变式】（2015 天津高考）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
解析：|2|1x -<的解集为（1，3），2
20x x +->的解集为(,2)
(1,)-∞-+∞，故|2|1x -< 是
220x x +->的充分不必要条件。

故选：A.
例3.(2016丰台二模)已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】若⊥，则垂直于内所有直线，所以若⊂，则⊥； 反过来，若n 垂直于内的一条直线，n 不一定垂直于，故不成立。

所以“⊂”是“⊥”的充分而不必要条件。

故答案为：A
【变式】(2016石景山文一模)设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为数列
是首项大于零的等比数列是大前提，
数列
是递增数列所以，充分必
要条件
故答案为：C
类型三：求参数的取值范围
例4.设命题:431p x -≤；命题2
:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，
求实数a 的取值范围.
【答案】由题意知：命题：若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.
1
:43112
p x x -≤⇔
≤≤； 2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤即()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，所以1a x a ≤≤+ ∵p 是q 的充分不必要条件，即()1
[1],12
a a +，，
如图：
，
则1211
a a ⎧<⎪⎨⎪+>⎩，∴102a <<.
即a 的取值范围是1
(0,)2
a ∈.。