江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学(理)试题 Word版含答案
江西师大附中高三年级数学（理）期末试卷命题人： 审题人： 2019.1一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()R A C B =( )A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}12x x <≤ D ．{}12x x ≤≤2．复数)5z i i i =+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ． 4i + 3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．5k ≥ B ．5k < C ．5k > D ．6k ≤4．已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===uuu r uuu r uuu r ，则A B B C B C C A C A A B ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u ur 的值等于( )A ．25 B.24 C ．25- D. 24- 5．设2cos5a π=，0.33b =，5log 3c =，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ． b c a << 6．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( )A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为( ) A ．9214π+ B ．8214π+ C ．9224π+ D ．8224π+8．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos =α( )A ．10-B ．10 C ．10- 或10D ． 10-9．在区间[]1,1-上任取两点a ，b ，方程20x ax b ++=有实数根的概率为p ，则( )A ．102p <<B ．19216p << C ．9161625p << D ．16125p << 10．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），BD l =为定长，则ABC ∆的面积最大值为( )A ．221l k- B ． 21l k - C ．()2221l k -D ．()221lk -11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数(x R ∈)，如：[]1.32-=-，[]0.80=，[]3.43=．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：①使[]13x +=成立的x 的取值范围是23x ≤<； ②函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③2320202019201920192019+++=10092020202020202020⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭． 其中正确的命题有( ) A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．2)nx-的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．14．已知实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最大值等于 ． 15．设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，集合{}123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且325a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．16．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为 ．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+.18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB AC ⊥，且1AA AC =. （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ，如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50％，即取出的每件产品是优质品的概率都是12，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a b∑+=>>的离心率1F 、2F ，直线:20l x y +-=经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． （Ⅰ）求∑的方程；（Ⅱ）在∑上是否存在C 、D 两点，满足CD //AB ，11FC F D =？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln ln u x x x x =-，()v x x a =-，()aw x x=，三个函数的定义域均为集合{}1A x x =>．（Ⅰ）若()()u x v x ≥恒成立，满足条件的实数a 组成的集合为B ，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由；（Ⅱ）记[]()()()()()2w x G x u x w x v x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，是否存在m N +∈，使得对任意的实数(),a m ∈+∞，函数()G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，若不存在，请说明理由．（以下数据供参考： 2.7183e ≈，)ln 10.8814≈）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． （I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--， （I ）解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．2018-2018学年度江西师大附中高三上学期期末数学（理）答案1． D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．C 7．A 8. A 9．B 10．C 11．B ． 12．A 13． 112 14． 12 15．55 16．3h = 17． 解析：（1）点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+， 当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+；当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>++， 122n c c c n ∴+++>，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++，121222n n c c c n ∴<+++<+成立．18．.【解析】（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11A ACC 中， 由AC AA =1得平行四边形11A ACC 为菱形，所以11AC C A ⊥， 又11AB C A ⊥，所以111C AB C A 面⊥，所以111C B C A ⊥，又1111C B C A ⊥，所以1111A ACC C B 面⊥，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C （2）取11C A 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则11A ACC 面的法向量为)0,0,1(=，设面11AA B 的法向量为),,(z y x n =，因为)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(11B A A -，所以)0,2,2(),3,1,0(11==B A A A由110220z A A n y A B n x y x y ⎧⎧=⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩3-=y ，则)1,3,3(-=设所求二面角为θ，则721cos cos ==θ， 故二面角111C AA B --的余弦值为7． 19 解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品的事件为A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()1122()A A B A B =，且11A B 与22A B 互斥，所以()()()()()()1122111222()P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+41113161616264=⨯+⨯=. （Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()150016P X ==，()18004P X ==，所以X 的分布列为期望506.25EX = 20．解：（Ⅰ）∵直线:20l x y +-=经过焦点2F ， ∴()22,0F ，即2c =； 又3e =，∴a b = ∴椭圆∑的方程为22162x y +=；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD ， ∵CD ∥AB ，∴k CD =k AB =﹣1，设直线CD 的方程为y x m =-+，由22162x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩， 得2246360x mx m -+-=， ∴296120m ∆=->；（*） 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则1232m x x +=，212364m x x -=；由已知11FC F D =，若线段CD 的中点为E ，则F 1E ⊥CD ，∴11F E k =； 又()12,0F -，3,44m m E ⎛⎫⎪⎝⎭； 故14=1324F E mk m =+，解得4m =-； 当4m =-时，296120m ∆=-<，这与（*）矛盾， ∴不存在满足条件的直线CD ． 21．（Ⅰ）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=()1()ln ,1,m x x x x'=-∈+∞， 已知1()ln m x x x '=-在()1,+∞上单调递减，()(1)1m x m ''∴<=，存在()01,x ∈+∞，使得0()=0m x '，函数()m x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，0()a m x ≥， 由0()=0m x '得001ln x x =，001()=11m x x x +->，1,a B A ∴>⊆． （Ⅱ）令()()()ln ln af x u x w x x x x x=-=--， ()()()(),1,22w x ag x v x x a x x=-=--∈+∞， ()21(1)()ln 10,1,af x x x x x '=+-+>∈+∞，由于(),a m ∈+∞，()1,(1)0,,a f a x f x ⇒>=-<→+∞→+∞，由零点存在性定理可知，()1,a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．()2(2)()10,1,2a g x x x '=+>∈+∞，3(1)102a g =-<，(),x g x →+∞→+∞， 同理可知()1,a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．()3假设存在()01,x ∈+∞，使得00()=()=0f x g x ，2000000ln ln ,2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消a ，得002002ln 021x x x x -=--． 令22()ln 21x h x x x x =---，()222142()021x h x x x x +'=+>--， ()h x ∴单调递增． 44132(2)ln 2ln 055h e =-=<，0.88140h =>，()0x ∴∈，此时200001181,21125422x a x x x ⎛⎫==++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， ∴满足条件的最小正整数2m =．22．【解析】（Ⅰ）1sin()62πρθ-=Q11cos )22ρθθ∴-=，1122y x -=，10x +=.…………5分 （Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(22cos ,2sin )αα+ 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离4cos()37322d πα++==≤………10分 解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为32所以，最大距离为37222+= ………10分 23．【解析】（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. …………………5分 (II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥--- 11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分。
江西师大附中高二上学期期末数学试题与答案
江西师大附中高二上学期期末数学试题一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知函数/(%) = +, f(x)是/(x)的导函数，若广(勺)=12,则旺=() A. 2 B. -2C ・ ±2D ・ 土迈 2. 命题“对任意xe/?,都有xO 201站的否定是( )A.对任意xwR,都有X 2<2019B.不存在使得X 2<2019C.存在“wR,使得对》2019D.存在使得尤v 20193. 复数z = (l +，)(2 + i),则其对应复平而上的点位于() 4. 由直线x = -— , x = —, y = 0与曲线y = cosx 所I 询成的封闭图形的而积为(6 65. 已知函数fM = e-x +x, "[1,3],A ・函数/(x)的最大值为3 + 1 eC ・函数/(x)的最大值为3 6.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数g 4 c 中恰有一个偶数"正确的反设为( )A. a, b, c 中至少有两个偶数B. “，b, c 中至少有两个偶数或都是奇数 c. G b,。
都是奇数 D.⑴b, €都是偶数 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四彖限 A.则下列说法正确的是() B.函数于(x)的最小值为3+丄 eD ・函数/(x)的最小值为38.设函数/(x) = x 2+/nln(l + x)有两个极值点，则实数加的取值范用是()A.(—1,”B.(0,g) D. (7勻9.已知函数f(x) = e x +x2 +x+l与g(x) = 2 兀_3, P、Q分别是函数/（x）、g（x）图象上的动点，则PQ的最小值为（）A. —B. >/5C.空D. 2亦5 510.下列命题中，真命题是（）A.设z p z2eC,则z,+z2为实数的充要条件是石,乙2为共辅复数;B.“直线/与曲线C相切"是“直线/与曲线C只有一个公共点“的充分不必要条件;C.“若两宜线厶丄厶，则它们的斜率之积等于-1“的逆命题：D./•（“）是R上的可导函数,“若勿是/（X）的极值点，则广（心）=0“的否命题.11.已知斤，耳分别是双曲线务-右=1@>0上>0）的左、右焦点,两条渐近线分别为人,心，经过右焦点竹垂直于厶的直线分别交人仏于人3两点，^\OA\ + \OB\=2\AB\,且竹在线段AB ±,则该双曲线的离心率为（）A. ■B. >/2C. 2D. y/^212.已知函数/（欠）=匚［（尸一2/）占甘，则/（x）在（0,乜）的单调递增区间是（）A. (0,2)B. (0,71)C. (>/2,+oo)D. (2,+oo)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)Y Y X 13.设函数/(x) = —观察：/1(x) = /(x) = —/2« = /(/iU)) = -—x + \ x + \ lx + 1x x/3« = /(/2«)= —= ，……，根据以上事实，由归纳3x +1 4x +1推理可得：厶她(切= ________________ ・14. j*： J16_F(/x +J J x^dx =15・已知直线/「4x — 3y + ll = 0和直线/2:x = -l,抛物线y2=4x± 一动点P到直线厶和直线人的距离之和的最小值是_______________ ・16.已知X/ami,?), 3x o e(O,l],使得lnx0+^>^ + - + /n ,则实数加的取值范围2 2为____________ •三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知命题卩：函数f (x) = x3 - /nr2 +1在xe[l,2] ±单调递减；命题q:曲线2 2亠一一丄一=1为双曲线.m-2 6 —〃？(I)若“〃且G”为真命题，求实数加的取值范围；(II)若S或広'为真命题，5且为假命题，求实数川的取值范風18・(本小题满分12分)已知函数f(x) = x3 + x-2.(I )求曲线y = fM在点(2,8)处的切线方程;(II)直线/为曲线y = /(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.19.(本小题满分12分)已知直线/过点P(O,l),圆C:F+),2_6X +8=0,直线/与圆C交于A,B不同两点.(I >求直线/的斜率&的取值范用；(II)是否存在过点0(6,4)且垂宜平分弦A3的直线人？若存在，求直线人斜率«的值, 若不存在，请说明理由.20・(本小题满分12分)己知函数/(x) = ln(av + l) + -―- ( x>0 ),其中«>0.1 + x(I)若/(X)在JV = 1处取得极值，求实数“的值；(II)若f(x)的最小值为1,求实数d的取值范困.21・(本小题满分12分)2 2已知椭圆C：4 + 4 = l (a>b>0)的左右焦点分别为件(一1,0八F.(LO),经过代的cr Zr直线/与椭圆C交于B两点,且厶F、AB的周长为&(I )求椭圆C的方程：(II)记AAg与呵笃的面积分别为S］和$2,求\S.-S2\的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数/(x) = (^v-2)(ln6/-lnx)(其中兀>0, «>0),记函数/(x)的导函数为g(x) = /'(x) •(I)求函数g(x)的单调区间；(II)是否存在实数"，使得fix) < 0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数〃；若不存在，请说明理由.江西师大附中高二上学期期末数学试题答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6()分.CDABD BABBC AD二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)X13・——-- 14. & 15. 3 16. (Y,e-1)2019X + 1三、解答题：本大题共6小题，共70分.317.【解析】(【)若0为真命题，f,(x) = 3x2-2mx<0在xe[l,2]恒成立，即m>-x在2 3"[1,2]恒成立,V-x在"[1,2]的最大值是3, --m>3①2若g为真命题，贝|](〃?一2)(6 —加)>0,解得2<加<6,②in > 3若“〃且tT为真命题，即卩，q均为真命题，所以｛" ,解得3S〃2V6,2 < in <6综上所述，若''"且q”为真命题，则实数加的取值范围为[3,6)；........... 5分(II)若“卩或7’为真命题，“p且⑴'为假命题，即p, q—真一假，in > 3当“真Q假时，：,解得77?>6,m < 2或加> 6当“假g真时，W< >解得2v〃?v3,又因为/(一1) = 7,切点为(-1,-4) ...... 12分19.【解析】(I)法1：直线1的方程为y =d + l,则2 < in < 6综上所述，实数加的取值范围为(2,3)U[6,P).................................. 10分18.【解析】(I)广(x) = 3P + l,所以广⑵=13 .................................. 3分所以所求的切线方程为y-8 = 13(x-2),即13—y —18 = 0 ....................... 6分(II)设切点为(X0,X03+ X0-2),则/Vo)=3V+1................................... 7分所以切线方程为y—(如彳+勺一2)=(3x02 +l)(x-x0) ........................ 9分因为切线过原点，所以—2)=-兀(3血+ 1),所以2xJ=—2,解得x0=-l, .............................................. 11 分所以/'(—1) = 4,故所求切线方程为y = 4x,I y=kx+\由 \ X 2+J 2-6X +8=0 得(Zc + l)x 2 +(2x-6)x+9 = 0由厶=(2&-6)2-36(疋+1)>0得-24«-36疋>0,故-二<« <0法2：直线1的方程为y = kx + \,即Ax-y + l=O,圆心为C (3, 0),圆的半径为1则圆心到直线的距离d=严 T 因为直线与有交于A.B 两点，哙吕<「心<5 (II)假设存在直线厶垂直平分于弦AB,此时直线人过Q(6,4),C(3,0),4-0 4 3则X 百3故初的斜率—7由⑴可知，不满足条件.2。
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题理
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题 理一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()R A C B I =( ) A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}12x x <≤ D ．{}12x x ≤≤2．复数()53z i i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ． 4i + 3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．5k ≥ B ．5k < C ．5k > D ．6k ≤4．已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===uuu r uuu r uuu r ，则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r的值等于( )A ．25 B.24 C ．25- D. 24- 5．设2cos5a π=，0.33b =，5log 3c =，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ． b c a <<6．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( )A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为( ) A ．9214π+ B ．8214π+ C ．9224π+ D ．8224π+8．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos =α( )A．10-B．10 C．10-或10D ．10-9．在区间[]1,1-上任取两点a ，b ，方程20x ax b ++=有实数根的概率为p ，则( )A ．102p <<B ．19216p << C ．9161625p << D ．16125p << 10．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），BD l =为定长，则ABC ∆的面积最大值为( )A ．221l k - B ． 21l k -C ．()2221l k -D ．()221lk -11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数(x R ∈)，如：[]1.32-=-，[]0.80=，[]3.43=．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：①使[]13x +=成立的x 的取值范围是23x ≤<； ②函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③2320202019201920192019+++=10092020202020202020⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭L ． 其中正确的命题有( ) A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．2)nx-的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．14．已知实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最大值等于 ．15．设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，集合{}123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且325a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．16．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为 ．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+L .18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =. （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ，如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50％，即取出的每件产品是优质品的概率都是12，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a b∑+=>>的离心率为31F 、2F ，直线:20l x y +-=经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． （Ⅰ）求∑的方程；（Ⅱ）在∑上是否存在C 、D 两点，满足CD //AB ，11F C F D =？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln ln u x x x x =-，()v x x a =-，()aw x x=，三个函数的定义域均为集合{}1A x x =>．（Ⅰ）若()()u x v x ≥恒成立，满足条件的实数a 组成的集合为B ，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由；（Ⅱ）记[]()()()()()2w x G x u x w x v x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，是否存在m N +∈，使得对任意的实数(),a m ∈+∞，函数()G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，若不存在，请说明理由．（以下数据供参考： 2.7183e ≈，)ln 10.8814≈）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--， （I ）解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．2018-2018学年度江西师大附中高三上学期期末数学（理）答案1． D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．C 7．A 8. A 9．B 10．C 11．B ． 12．A 13． 112 14． 12 15．55 16．3h = 17．解析：（1）Q 点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+， 当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+；当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++， 122n c c c n ∴+++>L ，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11122222n n n =+-<++，121222n n c c c n ∴<+++<+L 成立．18．.【解析】（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11A ACC 中， 由AC AA =1得平行四边形11A ACC 为菱形，所以11AC C A ⊥， 又11AB C A ⊥，所以111C AB C A 面⊥，所以111C B C A ⊥，又1111C B C A ⊥，所以1111A ACC C B 面⊥，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C （2）取11C A 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则11A ACC 面的法向量为)0,0,1(=，设面11AA B 的法向量为),,(z y x =，因为)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(11B A A -，所以)0,2,2(),3,1,0(11==B A A A 由11303220z A A n y z A B n x y x y ⎧⎧=⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩u u u r r u u u r r，令3-=y ，则)1,3,3(-= 设所求二面角为θ，则721cos cos ==n m θ， 故二面角111C AA B --的余弦值为217． 19 解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品的事件为A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()1122()A A B A B =U ，且11A B 与22A B 互斥，所以()()()()()()1122111222()P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+41113161616264=⨯+⨯=. （Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()150016P X ==，()18004P X ==，所以X 的分布列为期望506.25EX = 20．解：（Ⅰ）∵直线:20l x y +-=经过焦点2F ， ∴()22,0F ，即2c =； 又e =，∴a b == ∴椭圆∑的方程为22162x y +=；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD ， ∵CD ∥AB ，∴k CD =k AB =﹣1，设直线CD 的方程为y x m =-+，由22162x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩， 得2246360x mx m -+-=， ∴296120m ∆=->；（*） 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则1232m x x +=，212364m x x -=；由已知11F C F D =，若线段CD 的中点为E ，则F 1E ⊥CD ，∴11F E k =；又()12,0F -，3,44m m E ⎛⎫⎪⎝⎭； 故14=1324F E mk m =+，解得4m =-； 当4m =-时，296120m ∆=-<，这与（*）矛盾， ∴不存在满足条件的直线CD ． 21．（Ⅰ）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=()1()ln ,1,m x x x x'=-∈+∞， 已知1()ln m x x x '=-在()1,+∞上单调递减，()(1)1m x m ''∴<=，存在()01,x ∈+∞，使得0()=0m x '，函数()m x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，0()a m x ≥， 由0()=0m x '得001ln x x =，001()=11m x x x +->，1,a B A ∴>⊆． （Ⅱ）令()()()ln ln af x u x w x x x x x=-=--， ()()()(),1,22w x ag x v x x a x x=-=--∈+∞， ()21(1)()ln 10,1,af x x x x x '=+-+>∈+∞，由于(),a m ∈+∞，()1,(1)0,,a f a x f x ⇒>=-<→+∞→+∞，由零点存在性定理可知，()1,a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．()2(2)()10,1,2a g x x x '=+>∈+∞，3(1)102a g =-<，(),x g x →+∞→+∞， 同理可知()1,a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．()3假设存在()01,x ∈+∞，使得00()=()=0f x g x ，2000000ln ln ,2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消a ，得002002ln 021x x x x -=--． 令22()ln 21x h x x x x =---，()222142()021x h x x x x +'=+>--， ()h x ∴单调递增．44132(2)ln 2ln 055h e =-=<Q，0.88140h =->，()0x ∴∈，此时200001181,21125422x a x x x ⎛⎫==++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， ∴满足条件的最小正整数2m =．22．【解析】（Ⅰ）1sin()62πρθ-=Q11cos )22ρθθ∴-=，1122y x -=，10x -+=.…………5分 （Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(22cos ,2sin )αα+ 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离4cos()37322d πα++==≤………10分 解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为32所以，最大距离为37222+= ………10分 23．【解析】（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. …………………5分 (II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥--- 11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分。
江西省师范大学附属中学2019届高三数学上学期期末测试试题(含解析)
江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学（理）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A=，B=，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合补集与交集求结果.【详解】因为，所以,选D.【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题.2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：,所以复数的共轭复数为,故选B.考点：复数的运算与相关概念.3.如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式。
【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题。
4.已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（）A. 25B. 24C. -25D. -24【答案】C【解析】本题考查三角形的性质，向量加法的平行四边形法则或三角形法则，向量的数量积的运算. 因为所以所以三角形为直角三角形，且则故选C5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断a,b,c与1的大小，再判断a,c与的大小，利用不等式的传递性即可.【详解】由在R上是增函数，0.3>0，所以.函数在是增函数，3<5，,所以，,又，所以.由函数在是增函数，，所以，得c>a.综上a<c<b.故选C.【点睛】本题考查比较函数值的大小，会判断函数的单调性，函数单调性的应用，不等式的性质应用，属于基础题.6.已知命题，命题,则（）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】当x=10时，x-2=10-2=8，lg10=1，则不等式x-2＞lgx成立，即命题q是真命题，当x=0时，x2＞0不成立，即命题q是假命题，则命题p∧（￢q）是真命题，故选：C．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7.某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.【答案】A试题分析：三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.,选A.考点：三视图.8.已知，，则( )A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】由，只需利用平方关系求，再利用两角和与差的余弦公式可得. 【详解】由，得，因为所以，所以=，故选A.【点睛】本题考查三角函数的求值问题.三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：要仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，充分利用已知角的函数值求解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在区间上任取两点，，方程有实数根的概率为，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在区间上任取两点，，确定点,作出点对应的区域，计算其面积.再确定方程有实数根的点对应的区域，计算其面积（或范围）由几何概型概率计算公【详解】由题意，组成的平面区域是由组成的正方形，其面积为4，要保证方程有实数根，则有,则表示的区域即为抛物线下方区域，其面积大于面积为2的矩形的面积，而小于两个全等的直角梯形的面积和，其面积的取值范围是,∴由题目中的新定义知所求的概率，故选B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，弄清问题是直线型、平面型、立几型中哪一种，再分别求所有基本事件的测度（长度、面积、体积）及所求事件包含的基本事件的测度，利用概率计算公式求解，属于基础题.10.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，（k为常数，且），BD=l 为定长，则△ABC的面积最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设，，即整理得：，即，∴.故选C.考点：函数的最值.11.已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③．其中正确的命题有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断. ①讨论x的范围，判断何时；②考虑x为整数或介与两个整数之间求函数的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求和.【详解】①由，，所以；x<2或时.②当x为整数时，当时，[x]=n，所以的值域为[0,1).③因为=所以n为偶数时=n为奇数时=所以==1010综上，只有命题①正确，故选B.【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,，，故选A．考点：椭圆与双曲线离心率问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是．【答案】112【解析】的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，，展开式的通项公式为，当时，，故它的常数项是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.若实数，满足约束条件则的最大值等于________．【答案】12【解析】由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．故答案为：12．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.设集合，集合，，满足且，那么满足条件的集合的个数为_________．【答案】55【解析】【分析】先确定，的取值，再判断有多少种取法，得集合A的个数.【详解】因为，，，所以2，当时、3、4、5、6、7，分别可以取3~7、4~8、5~8、6~8、7~8、8；当，、4、5、6、7时可以取4~8，5~8、6~8、7~8、8；当，=4、5、6、7时可以取5~8、6~8、7~8、8；当，=5、6、7时可以取6~8、7~8、8；当，=6、7时可以取7~8、8；当，=7时可以取8.所以满足条件的集合的个数为(5+5+4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=55,故答案为55.【点睛】本题考查加法计数原理，从集合S中任选3个元素组成集合A，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．16.若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．【答案】【解析】【分析】设四棱锥底面边长为a，高为h，由四棱锥的体积，得a,h的关系，利用四棱锥中的三角形建立外接球的半径R关于h的函数，再利用导数求函数何时区得最小值.【详解】设四棱锥底面边长为a，高为h，底面对角线交于O，由条件四棱锥P-ABCD为正四棱锥，其外接球的球心M在高PO上，设外接球半径为R，在直角三角形MAO中，，又该四棱锥的体积为9，所以所以，，，时，时，所以时R极小即R最小，此时体积最小.故答案为3.【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数的最值，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）令，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）点均在函数的图象上，则,可得，并验证即可；（Ⅱ）证明：由，得；由，得；即证．试题解析：（Ⅰ）点在的图象上，，当时，；当时，适合上式，（）；（Ⅱ）由，，又，，成立．考点：数列与函数的综合，18.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）证明：连接，在平行四边形中，得，又，证得，利用线面垂直的判定定理得，进而得到平面平面.（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到平和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则的法向量为，设面的法向量为，因为，所以由，令，则设所求二面角为，则故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. （本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。
江西省江西师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-或1C ．1-D ．1 【答案】D考点：复数的运算. 2.已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：原函数向右平移3π个单位后所得函数为)33sin(ωππ-+=wx y 其与原函数关于x轴对称，则必有)3sin(-)33sin(πωππ+=-+wx wx ，由三角函数诱导公式可知ω的最小正值为3，故本题的正确选项为D.考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式. 3.若()241cos2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：a ax x dx a x -=-=-⎰232121212）（；212sin 212cos 4040==⎰ππx xdx ，两定积分相等，则12321=⇒-=a a ，故本题的正确选项为B. 考点：定积分的计算.4.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（ ） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-17【答案】A考点：程序语言. 5.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．1123【答案】C 【解析】试题分析：由定义可知2215......n a a a n =+++，212115......）（+=+++++n a a a a n n ，可求得5101+=+n a n ，所以510-=n a n ，则12-=n b n ，又)11(21111++-=n n n n b b b b ，所以12231011111b b b b b b +++=21101121111......11121111111010221=-=-+--+-）（）（b b b b b b b b ，所以本题正确选项为C.考点：求数列的通项以及用拆项法求前n 项和.6.若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ） A.12或14 B.12或18 C.1或12 D.1或14【答案】A考点:线性约束条件.7．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】试题分析：由正视图与侧视图可知底面为长6，宽2的矩形，由俯视图可知此集合体为四棱锥，其高与正视图三角形的高相同，为4，由四棱锥的体积公式Sh V 31=可求出体积，由图可求得底面积为12，所以此四棱锥体积为1641231=⨯⨯，故本题正确选项为C. 考点：三视图，棱锥的体积.8.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 【答案】C考点：二项式定理.9.不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≤311D ．a ≤29【答案】A 【解析】试题分析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以2y ，能够得到01)(22≥+-yxayx，令yx t =，则不等式变为0122≥+-at t ，其中t 由y x ,得范围决定，可知]2,31[∈t ，这样就将原不等式恒成立转化为0122≥+-at t 在]2,31[∈t 时恒成立，由0122≥+-at t 可得tt a t t a 12122+≤⇒+≤，当22=t 时，tt 12+取得最小值22，且此时]2,31[22∈=t ，所以有a ≤22 ，故本题的正确选项为A. 考点：重要不等式.【方法点睛】本题重在考察重要不等式以及学生的观察变通能力，题干中条件为不等式恒成立，其中变量有两个，对于存在两个变量，而求其中参数范围的问题，在高中属于较难题，对此类问题，可用两个变量表示参数，即等号（不等号）一侧是参数，一侧是两个自变量的代数式，而代数式通过一定的方法可化简为一元代数式或者常见的曲线，通过求代数式在区间上的最值来求参数的范围．10.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C考点：双曲线的离心率，一元二次方程根的情况.11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．34- D ．1- 【答案】B 【解析】试题分析：可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点)01(，-A ，点C B ,为动点，由AB AC →→=可知C B ,的坐标关于横轴对称，所以可假设),(),,(y x C y x B -，其中y x ,满足1122-≠=+x y x 且，则)1(),1(y x y x -+=+=，，，所以21)21(222)1(2222-+=+=-+=⋅x x x y x ，可见当21-=x 时，AB AC →→⋅可以取得最小值21-，故本题的正确选项为B.考点：向量的运算，函数的最值.【思路点睛】因为圆关于圆心中心对称，所以可在直角坐标系中以原点作单位圆，这样能使向量坐标化，把向量转化为坐标，方便找到三点的坐标间的关系，从而利用向量的数量积公式将C AB⋅A 转化成某一变量的函数，再利用函数的最值便可求得C AB⋅A 的最小值． 12.已知函数()22xx af x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,1- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：函数的单调性，导数的运用.【思路点睛】本题中函数解析式含有绝对值，要判断其单调性，首先要去绝对值，所以要对a 的取值进行讨论，这样才能将函数写为分段函数，从而可进一步判断其单调性，在判断单调性时因为a 的正负未知，所以适合利用导函数根据函数的单调性来求a 的范围，在解本题时，建议同学们首先利用换元法将函数转化为ta t t f -=)(，这样在后面进行分类讨论是会方便的多．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+= ．【答案】7 【解析】试题分析：由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ，有点M 必在切线上，代入切线方程4y x =+，可得6)2(=f ，所以有7)2()2(=+'f f ． 考点：导数的运用.14.已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是 ．【答案】1考点：三角函数的恒等变换，对数的运算.15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使直线1:3l x ay +=，2:63l bx y +=平行的概率为1P ，不平行的概率为2P ，若点()12,P P 在圆()226572x m y -+=的内部，则实数m 的取值范围是 ．【答案】711,3636⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：直线1l 的斜率为a k 11-=，直线2l 的斜率为62bk -=，21//l l 则必有21k k =即 661=⇒-=-ab ba ，又b a ,由骰子投掷得到的数字，所以能使21//l l 的数字分别为）（6,1， )1,6(),2,3(),3,2(，即能使21//l l 的概率为913641==P ，不能平行的概率为982=P ，又点()12,P P 在圆 ()226572x m y -+=的内部，所以有7265)98()91(22<+-m ，可解得m 的取值范围711,3636⎛⎫- ⎪⎝⎭．考点：随机事件的概率，两直线平行的性质，点与圆的位置关系.【思路点睛】题中两直线的斜率由投掷骰子得到的随机数字b a ,所决定，所以可先求得直线的斜率，在根据平行直线的性质，找出b a ,所要满足的关系式，从而得到对应的b a ,的值，并求得使直线平行的概率21,P P ，因为点()12,P P 在圆内，所以可列不等式，从而求得m 的取值范围．16.已知ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===，P 点在平面ABC 内，且70PA PC ⋅+=，则||PB 的最大值为 ．【答案】10考点：向量的运算，三角函数的值域.1a 【思路点睛】直接求||PB 表较复杂，但是由题中已知可得7PA PC ⋅=-，又因为ABC ∆三边均已知，所以可利用向量加（减）法，将PA PC ⋅转化成,,PB AB BC 之间的关系，其中,AB BC 已知，所以可利用PB BA BC +与的夹角的余弦值列不等式，从而求得||PB 的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a的等差中项是（Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.【答案】（I ）（II ）32-+．考点：等比数列，等差中项，余弦定理，三角函数图象.18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。
2017-2018学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
江西省南昌市江西师范大学附属中学2017~2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析：根据并集的定义，结合题意写出对应集合X，即可得出结论.详解：集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，若M∪X＝N，则集合X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个.故选：D.点睛：本题考查了并集的定义与应用问题.2．已知命题p：∀x∈R，2x>0；q：∃x0∈R，x＋x0＝－1．则下列命题为真命题的是() A. p∧q B. (┐p)∧(┐q) C. (┐p)∧q D. p∧(┐q)【答案】D【解析】分析：分别判断p，q的真假即可.详解：指数函数的值域为(0，＋∞)，对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q为假命题，则p∧q，┐p为假命题，┐q为真命题，┐p∧┐q，┐p∧q为假命题，p∧┐q为真命题．故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识.3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表：由K2＝，算得K2＝≈7.8.附表参照附表，得到的正确结论是()A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】因为，而，故由独立性检验的意义可知，相关的概率大于，故选择 C.5．已知a>0，b>0，且a≠1，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：已知，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解.详解：a>0，b>0且a≠1，若log a b>0，a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0,则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1,∴log a b>0，∴“log a b>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．故选：C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．6．函数f(x)＝ln(x－)的图象是()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出的单调性，问题得以解决.详解：f(x)＝ln(x－)，x－＝>0，解得－1<x<0或x>1，函数的定义域为(－1,0)∪(1,＋∞)，可排除A，D.函数u＝x－在(－1,0)和(1,＋∞)上单调递增，函数y＝ln u在(0,＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(－1,0)和(1,＋∞)上单调递增，故选：B.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．7．设X～N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A. 6038B. 6587C. 7028D. 7539【答案】B【解析】分析：求出，即可得出结论.详解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X＜3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.341 3，故估计的个数为10000×(1－0.3413)＝6587，故选：B.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性.8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 16B. (10＋)πC. 4＋(5＋)πD. 6＋(5＋)π【答案】C【解析】分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故选：C.点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.9．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【答案】C【解析】试题分析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C42A33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30种；故选C．【考点】简单组合应用问题。
江西省师大附中等四校2018-2019学年度下学期期末联考高二数学(理)试题及答案
江西省师大附中等四校2018-2019学年度下学期期末联考高二数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{|A x y ==，集合3{|log ,},B y y x x A ==∈则()U A C B = （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3 C. (2,9] D ．(3,9]2．设i 为虚数单位，若复数12aii+-为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 12- B. 2- C. 12D. 23．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．92 B ．5 C ．112D. 6 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知首项1a =13，且对任意正整数,m n 都有m n m n a a a +=⋅，若n S k <恒成立，则实数k 的最小值为（ ）A.13B. 12C. 32 D.3 5．已知ABC ∆为锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为（sin cos ,cos sin A B A C --），则()f θ=sin()cos()22|cos ||sin |ππθθθθ+++的值为 （ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．与θ的大小有关6． 给出下列四个命题：①已知函数()22,xxf x -=+则(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称；②平面内的动点P 到点(2,3)F -和到直线:210l x y ++=的距离相等，则点P 的轨迹是抛物线； ③若向量,a b 满足0,a b ⋅<则a 与b 的夹角为钝角；○4存在0(1,2),x ∈使得02000(32)340x x x e x -++-=成立，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知点P 是曲线22:14x C y -=上的任意一点，直线:2l x =与双曲线C 的渐近线交于,A B 两点， 若,(,,OP OA OB R λμλμ=+∈O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．2212λμ+≥B ．222λμ+≥C ．2212λμ+≤ D ．222λμ+≤8. 若平面直角坐标系中两点P 与Q 满足：○1P 、Q 分别在函数(),()f x g x 的图像上；○2P 与Q 关于点（1,1）对称，则称点对（,P Q ）是一个“相望点对”（规定：（,P Q ）与（,Q P ）是同一个“相俯视图 左视图望点对”），函数21x y x -=-与2sin 1(24)y x x π=+-≤≤的图像中“相望点对”的个数是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．29. 已知函数2349923499()1,()12349923499x x x x x x x x f x x g x x =-+-+--=+-+-++， 设()F x =(1)(1)f x g x -⋅+且函数()F x 的零点在区间[,1]a a +或[,1](,,)b b a b a b Z +<∈内，则a b +的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．410.在函数cos ([,])22y x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的图形中，直线:(,)22l x t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦从点A 向右平行移动至B ，l 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的函数()S f t =的图像可表示为（ ）第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．“求方程512()()11313x x+=的解”有如下解题思路：设512()()()1313x x f x =+，因为()f x 在R 上单调递减，且(2)1,f =所以原方程有唯一解为 2.x =类比上述解题思路，不等式632(23)32x x x x -+<+-的解集为 .12．随机输入整数[1,12],x ∈执行如右图所示的程序框图， 则输出的x不小于39的概率为 .13．已知点P 是面积为1的ABC ∆内一点（不含边界），若,PAB ∆,PBC ∆PCA ∆的面积分别为,,,x y z 则1y z x y z+++的最小值为 . 14. 若数列{}n a 满足：1234212n n a a a a a a -<><>><>，则称数列{}n a 为“正弦数列”，现将1,2,3,4,5这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为a ，则二项式6的展开式中含2x 项的系数为 ． 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分.15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相等的长度单位建立极坐标系，若直线:cos()4lπρθ+=14cos :4sin 3x C y αα=⎧⎨=-⎩(α为参数)相交于,A B 两点，则线段AB 长度为_________.（2）（不等式选做题）若存在实数x ，使不等式2|23||21|3x x a a +--<-成立,则实数a 的取值范围为_________.四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222()CA CB c a b ⋅=-+． （1）求角C 的大小；（2）求24sin()23A B π--的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17.（本小题满分12分）某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望.18.（本小题满分12分）如图所示，在边长为3的等边ABC ∆中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且满足1,2AD CE DB EA ==现将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结11,A B AC .（1）求证：1A D BCED ⊥平面；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 具有性质：○11a 为整数；○2对于任意的正整数,n 当n a 为偶数时，1;2nn a a +=当n a 为奇数时，112n n a a +-=． （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）若1a 为正整数，求证：当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a =．20.（本小题满分13分）定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以为半径的圆O 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的“准圆”.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为，直线:250l x y -+=与椭圆C 的“准圆”相切.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作斜率存在且不为0的两条不同的直线12,l l ， 使得1l ，2l 与椭圆都相切，试判断1l 与2l 是否垂直？并说明理由.21.（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =，()()ag x a R x=∈，设()()()()()(),F x f x g x G x f x g x =+=⋅ （1） 求函数()F x 的单调区间；（2） 若以函数()()(0,2)y F x x =∈图像上任一点()00,P x y 为切点的切线斜率为12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3） 当1a =时，对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x <，已知存在()012,x x x ∈使得DBCEA 1B()()()21/021G x G x G x x x -=-，求证：0x <参考答案1-5 CDBBC 6-10 CACBD2sin 3A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ （9分）20,3333A A ππππ<<∴<+<当32A ππ+=即6A π=时，24sin()23A B π--的最大值为2+6B π=24sin()23A B π∴--的最大值为26A B π== （12分）17、解：（1）14442421243C P A ⨯⨯=== （4分）X ∴的分布列为 X20- 5- 10 20P38 13 14 124（10分）()()3111352051020834246EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=- （12分）18、解：（1）等边三角形ABC 的边长为3，且AD 1=DB 2CE EA =，1,2AD AE ∴== 在ADE ∆中，60DAE ︒∠=，由余弦定理得DE =222AD DE AE ∴+= AD DE ∴⊥，折叠后有1A D DE ⊥ （3分）二面角1A DE B --为直二面角，∴平面1A DE⊥平面BCED 又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊆平面1A DE ，1A D DE ⊥ 1A D ∴⊥平面BCED （5分）（2）假设在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒由（1）证明， 可知DE DB ⊥，1A D BCED ⊥平面，以D 为坐标原 点，以射线1,,DB DE DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图过点P 作PH BD ⊥，垂足为H ，连接1,A H PH 设()2023PB a a =≤≤，则,,2BH a PH DH a ===-()()()10,0,1,2,0,A P a E ∴- （7分）()12,,1PA a ∴=-1ED A BD ⊥平面，1A BD 平面的一个法向量为()DE =1PA 与1A BD 平面所成的角为60︒11sin 6024PA DE PA DE︒⋅∴===54a =522PB a ∴==，满足023a ≤≤，符合题意∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =（12分） 19、解：（1）设122,a k a k ==，123,,a a a 成等差数列，3322,0k a k a ∴+=∴= （2分）○1当k 为偶数时，230,0,22a ka k ===∴=此时10a = （4分） ○1当k 为奇数时，23110,1,22a k a k --===∴=此时12a = 综合上述，可得1a 的值为2或0 （6分）（2）211log n a >+，211log n a ∴->，112n a -∴< （7分）又由定义可知，1212n nn n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数12n n a a +∴≤， 112n n a a +∴≤ （9分）1121111121112122n n n n n n n n a a a a a a a a a ------∴=⋅⋅≤<⋅=,0n n a N a ∈∴=y综上可知，当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a = （12分）（2）由（1）知椭圆C 的“准圆”方程为225x y +=设点()00,P x y ，则22005x y += （7分） 设经过点()00,P x y 与椭圆C 相切的直线为()00y k x x y =-+联立()0022132y k x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()2220000236360k x k kx y x kx y +--+--= 由0∆=，化简得()()22200003230x k x y k x ----= （10分）设直线12,l l 的斜率分别为12,k k . 直线1l ，2l 与椭圆C 相切12,k k ∴满足方程()()22200003230x k x y k x ----=121k k ∴⋅=-，故直线1l 与2l 垂直 (13分)21、解：（1）由题意可知()()()()ln 0aF x f x g x x x x=+=+>()'221a x aF x x x x-∴=-= （1分）○1当0a ≤时，()'0F x >在()0,+∞上恒成立 ()F x ∴的增区间为()0,+∞ ○2当0a >时，令()'0F x >得x a >；令()'0F x <得0x a << ()F x ∴的增区间为(),,a +∞减区间为()0,a 综合上述可得：当0a ≤，增区间为()0,+∞；当0a >时，增区间为(),,a +∞减区间为()0,a （4分）()'0h x ∴< ()h x ∴在()0,2上是减函数，即()'G x 在()0,2上是减函数要证0x <()''0G x G >，即证()''00G x G ->对任意()12,0,2x x ∈，存在()012,x x x ∈使得()()()21'21G x G x G x x x -=-()21''2102112ln ln x x x x G x G x x -∴-=-()()()22221221111112212121111ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭1202x x <<< 21210,1x x x x ∴⋅>> 2110xx ∴->∴只需要证22211111ln 102xx x x x x ⎛⎫⎛⎫+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即要证：21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+。
江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1C.25．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1xf x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．5BC ．5D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．2018—2019学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分 （Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分 所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+错误！未找到引用源。
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题 文
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题文一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,1)-，则z=（）A．1i-B．1i+C．1i--D．1i-+2．设集合2{|20}A x Z x x=∈--≤，集合{2,0,1}B=-，则A B =（）A．{2,0,1}-B．{1,0,1}-C．{2,1,01}--，D．{2,1,01,2}--，3．已知向量a，b满足||1a =，||7a b+=，||3a b-=，则||b=( ）A．1 B．2 C．3 D．44．在平面直角坐标系xOy中，点1(2P是单位圆O上的点,且xOPα∠=，则sin2α=( ）A．12B C．12-D．5．根据如下的样本数据：得到的回归方程为ˆy bx a=+,则直线30ax by+-=经过定点（) A．(1,2)--B．(1,2)-C．(1,2)-D．(1,2)6．在ABC∆中，3Aπ=，a=4b=，则ABC∆的面积等于（）A ．2B ．23C ．4D ．437．设()f x 是定义在R 上的偶函数，则“(0)0f =”是“()f x 有且只有一个零点"的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A ．83B ．163C ．203D ．89．已知(1)f x +为定义在R 上的奇函数，且当1x ≥时,()ln f x x m =+，则实数m =（）A ．0B ．1-C ．1D ．e 10．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323lx y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（)A ．1B ．2C ．3D ．4 11．函数,0()sin ,0ax x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上存在不同的两点关于原点对称,则正数a 的取值范围为（ )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0,2)D ．(0,2] 12．若对于任意12,(,)x xa ∈+∞，且12x x <，都有12212212x x x xx e x e ++<,则实数a 的最大值为( ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知BE 为圆O 的一条直径,,,,ABO CBO FEO DEO ∆∆∆∆均为等边三角形，则往圆O 内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________． 14．若变量,x y满足约束条件22020y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y=-的最大值为____________．15．已知棱长为a 的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍,则实数a =________．16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线的左焦点,若1||||PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题:本大题共6小题，共70分 。
2018—2019上学期师大附中高二数学(理科)期中考试试卷(解析版)
江西师大附中高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题1.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ）A.2B.4C.12D.14【答案】D 【解析】椭圆方程可化为：2211y x m+= 椭圆焦点在y 轴上a∴=1b = 222a b ∴=⨯，即2a b =2=，解得：14m =2.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：x 2+y 2−6x −7=0∴(x −3)2+y 2=16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线准线为x =−p2，由圆与直线相切可知p2=1∴p =23.已知点)M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =交于,A B 点，则ABM ∆的周长为（ ） A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】试题分析：直线(y k x =+过定点()N ，由题设知M N 、是椭圆的焦点，由椭圆定义知：=24AN AM a +=，=24BN BM a +=．ABM ∆的周长为()()()=8AB BM AM AN BN BM AM AN AM BN BM +++++=+++=,故选B4.直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（ ） A.()0,1B.(C.()1,1-D.[]1,1-【答案】C 【解析】由双曲线22:2C x y -=与直线:l ykx =联立可()22120k x --= ，因为直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以()2210810k k ⎧-≠⎪⎨->⎪⎩ 可得11k -<< ，斜率k 的取值范围是()1,1-，故选C.5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【答案】D 【解析】试题分析：因为，双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=中，2222cos ,sin a b θθ==，222tan b a θ=；222222:1sin sin tan y x C θθθ-=中，222tan b a θ=，所以，两双曲线离心率e =相同，选D 。
江西师大附中2017-2018学年度高二年级上学期期末考试数学理答案
江西师大附中高二年级数学（理）期末试卷命题人：肖贤民 审题人：张园和 2018．2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i ii z (21+=是虚数单位）的虚部为（ A ）A ．1-B ．i -C ．i 2D ．22．函数33y x x =-的单调递减区间是( C ) A ． (),0-∞ B ． ()0,+∞ C ． ()1,1-D ． ()(),11,-∞-⋃+∞3．设函数()2ln f x x x=+，则( D )A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点4．在极坐标系中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭与圆2c o s ρθ=的圆心之间的距离为( D )A ． 2B ．C ．5．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( A )A ．:p a c b d +>+，:q a b >且c d >B ．:1,1p a b >>，():xq f x a b =-（0a >且1a ≠）的图象不过第二象限 C ．:1p x = ，2:q x x =D ．:1p a >，():lo g xa q f x =（0a >且1a ≠）在()0,+∞上为增函数 6．双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若M F 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（ C ）A B D ．1+1n a+++=）8． 下面使用类比推理正确的是 （ C ）． A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B ．“若()a b c a c b c +=+”类推出“()a b c a c b c ⋅=⋅”CD ．“()n n n a b a b =” 类推出“()nn n a b a b +=+”9． 已知函数()21x f x e x =-- (其中e 为自然对数的底数)，则()y f x =的图象大致为( C )10． 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()'f x f x <，且()2f x +为偶函数，()41f =则不等式()x f x e <的解集为（ B ）A ． ()2,-+∞B ． ()0,+∞C ． ()1,+∞D ． ()4,+∞11．已知A ，B 是抛物线()220y p x p =>上的两个点，O 为坐标原点，若O A O B =且A OB ∆C ）A ．x p =B ．3x p = D ．32x p=12．函数()331f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是（ A ）A ．20B ．18C ．3D ． 0二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13． 计算定积分0=x ⎰4π14．设直线x t =与函数()2f x x =，()lng x x =的图象分别交于点M ，N ，则当M N 达到最小时t 的值为________．215．椭圆2214xy+=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上一动点，若12F P F ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是 33⎛-⎪⎝⎭16．已知()2ln ,f x x x a x a R =+∈，若函数()f x 在区间()0,1上不单调，则a 的取值范围为 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分10分）（1）已知,a b R +∈,求证a b≥（2）已知复数z 满足：5z z ⋅=，(12)i z +⋅是纯虚数，且z 对应的点在第二象限，求复数z ．解析：（1）综合法：,a b R+∈，a∴≥b≥∴++≥，∴+≥分分析法：略（2）2z i=-+……………………12分18．（本小题满分12分）已知集合{}2230A x x x=--<，()(){}110B x x m x m=-+--≥，（1）当0m=时，求A B⋂；（2）若2:230p x x--<，()():110q x m x m-+--≥且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
2019-2020学年江西师大附中高二上学期月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西师大附中高二上学期月考数学（理）试题一、单选题1．若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】A【解析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案. 【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.2．过点()1,2且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】按照题意直线在两坐标轴上截距互为相反数，则讨论直线过原点和不过原点两种情况，然后计算出结果，确定直线的条数. 【详解】由题意知直线在两坐标轴上截距互为相反数. 当直线过原点时直线方程为:2y x =； 当直线不过原点时设直线方程为1x ya b+=，又因为截距互为相反数，则=-b a ， 将点()1,2代入有121a a+=-，解得1a =-，此时直线方程为:10x y -+=. 综上满足过点()1,2且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条. 故选：B . 【点睛】本题考查了求直线方程，计算过程中需要满足其截距互为相反数，这里需要注意分类讨论是否过原点，还有就是要注意直线方程有五种形式，解题时设直线方程要结合题中条件运用最优的直线方程来解题.3．直线()2210x a y -++=的倾斜角不可能为（ ）A ．12πB ．9π C ．10π D ．3π 【答案】D【解析】将直线方程化为斜截式，结合倾斜角的正切值等于斜率进行判断. 【详解】已知直线()2210x a y -++=，则有221122y x a a =+++， 不妨令直线倾斜角为θ，则21tan 2a θ=+，又因为222a +≥，所以211022a <≤+，故10tan 2θ<≤，由1tan 32π=>， 所以直线()2210x a y -++=的倾斜角不可能为3π. 故选：D . 【点睛】本题考查了直线斜率和倾斜角之间的关系，需要掌握tan θk =，但是本题需要求出斜率的取值范围，本题较为简单.4．已知圆C 的圆心坐标为()1,0，且y 轴被C e 截得的弦长为C 的方程为（ ）A ．()2219x y -+= B ．()22133x y -+= C ．()2213x y -+= D ．()2217x y -+=【答案】A【解析】由已知条件可知圆心到y 轴距离为1，运用勾股定理和弦长公式求出圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】已知圆C 的圆心坐标为()1,0，则圆心到y 轴距离为1，又因为y 轴被C e 截得的弦长为，则运用勾股定理可得3r ==， 所以圆C 的方程为()2219x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了求圆的标准方程，求解过程中已知弦长求半径，可由弦长公式用，结合勾股定理求出半径，进而得到圆的方程，本题较为基础.5．已知圆C ：222x y r +=，点()00,P x y 在圆C 内，则直线l ：200x x y y r +=与圆C的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不确定【答案】B【解析】因为点()00,P x y 在圆C 内，所以22200x y r +<，计算圆心到直线的距离d ，由d 与r 的大小关系得到直线l 与圆C 的位置关系. 【详解】因为点()00,P x y 在圆C 内，所以22200x y r +<，又因为圆心C ()0,0到l的距离d r =>，所以直线l 与圆C 相离. 故选：B . 【点睛】本题是一道考查直线和圆位置关系的题目，解题的方法是求出圆心到直线的距离，比较d 与r 的大小关系，进而判定直线和圆的位置关系，需要掌握解题方法.6．若点(),Aa a 在圆2222230xy ax a a +-++-=外，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()3,1-C ．()3,31,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】将已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P 的坐标和半径，并求出满足圆成立的条件时a 的范围，利用两点间的距离公式求出AP 的值，比较AP 和半径的大小关系，列出关于a 的不等式，即可求得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程为：22()32x a y a -+=-， 可得圆心P 的坐标为(,0)a，半径r =320a ->，即32a <. 根据题意点(),Aa a 在圆2222230xy ax a a +-++-=外，即||AP r =>=即有232a a >-，整理可得2230a a +->，即(3)(1)0a a +->，计算可得3a <-或1a >，又32a <，可得3a <-或312a <<， 则实数a 的取值范围是()3,31,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U . 故选:C . 【点睛】本题考查了由点和圆的位置关系求参数的取值范围，解题时的方法是判断点到圆心的距离和半径进行比较大小，需要注意圆成立时满足的条件，这里容易出错.7．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26C ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为MA MB +的最小值. 【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且()()22=32+61=26A B '--故选：B . 【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.8．不等式组223x y x y +≤⎧⎨+≥⎩的解集记为D ，下列四个命题是真命题的有：（ ）1P ：任意(),x y D ∈，22x y -≥-， 2P ：任意(),x y D ∈，22x y -≤，3P ：存在(),x y D ∈，23x y -≥， 4P ：存在(),x y D ∈，20x y -≤.A ．2P ，3PB ．1P ，4PC ．1P ，2PD ．1P ，3P【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，结合二元一次不等式所表示的平面区域逐一分析四个命题即可得到答案. 【详解】由约束条件223x y x y +≤⎧⎨+≥⎩作出可行域，如图所示：令2x y z -=，则2y x z =-对于1P ，联立232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()1,1A ，如图所示，把A 的坐标代入2y x z =-，即min 22111z x y =-=⨯-= 则任意(),22x y D x y ∈-≥-，成立，故1P 成立；对于2P ，点()2,0在区域D 中，此时242x y -=>，则不满足任意 (),x y D ∈，使得22x y -≤，故2P 为假命题；对于3P ，点()2,0在区域D 中，此时24x y -=，满足存在(),23x y D x y ∈-≥，，故3P 为真命题；对于4P ，把A 的坐标代入2x y -可得最小值为1，即21110⨯-=>，不存在(),x y D ∈，20x y -≤故4P 为假命题；综上可得正确的命题是1P ，3P . 故选：D . 【点睛】本题考查了运用线性规划知识求解取值范围问题，解答此类题目的方法是先画出可行域，然后改写目标函数，最后在可行域内求出最优解或者取值范围，需要掌握解题方法.9．已知直线1l ：()111100A x B y C C ++=≠与直线2l ：()222200A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A ．121212120A AB B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．121212120A A B B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O ，M 的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 【详解】直线1l ：111110A B x y C C ++=，直线2l ：222210A B x y C C ++=， 两式相减可得121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为点O ，M 的坐标都满足该直线的方程，故点O ，M 都在该直线上.所以直线OM 的方程为121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.10．已知点()2,0A -，()2,0B ，如果直线340x y m -+=上有且只有一个点P 使得PA PB ⊥，那么实数m 等于（ ）A ．4±B ．5±C ．8±D ．10±【答案】D【解析】根据条件PA PB ⊥结合A 、B 两点坐标可以求出点P 轨迹，是以AB 为直径的圆，结合题意和直线与圆的位置关系求出实数m 的值 【详解】已知点()2,0A -，()2,0B ，且满足点P 使得PA PB ⊥，则有1PA PB k k ⋅=-， 设点(,)P x y ，故有00122y y x x --⋅=-+-，化简得224x y +=， 又因为点P 在直线340x y m -+=上，有且只有一个，所以直线与圆相切，故有2d ==，解得10m =±.故选：D . 【点睛】本题考查了直线与圆得位置关系，运用了转化的思想，解题时的方法是先求出动点满足题意的轨迹方程，然后结合题意转化为直线和圆的位置关系，最后判定d 和r 的大小关系求出结果.11．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ）A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124【考点】1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法12．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.二、填空题13．已知两条平行直线1l ：10ax y ++=与2l ：30x y -+=的距离为d ，则d =______.【答案】【解析】由题意两条直线平行求出a 的值，再运用平行线之间的距离公式求出结果. 【详解】由条件知两条直线1l :10ax y ++=与2l :30x y -+=平行，则两条直线斜率相等， 直线1l :1y ax =--，直线2l :3y x =+，故1a -=，1a =-， 所以直线1l :10x y -++=，即10x y --=，则两条平行线之间的距离d ==.故答案为：【点睛】本题考查了由直线平行求参数以及求平行线之间距离，解答本题的关键是要熟记公式，并能灵活运用公式来解题，需要掌握解题方法.14．两圆2241x y x y +++=-与222210x y x y ++++=的公共弦所在直线的方程为______.【答案】2y x =【解析】要求公共弦所在直线的方程只需要将相交两圆的方程相减即可求出结果. 【详解】2241x y x y +++=-，即22410x y x y ++++=①，222210x y x y ++++=②①-②可得20,2x y y x -==，两圆公共弦所在直线的方程为2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查了求公共弦所在直线的方程，解题方法是将相交两圆的方程相减求得结果，需要掌握解题方法，较为基础. 15．过点()3,0P作一直线，使它夹在两直线1l ：220x y --=与2l ：30x y ++=之间的线段AB 恰被点P 平分，则此直线的方程为______.【答案】8240x y --=【解析】设出A 、B 其中一点坐标，结合中点坐标公式表示另一点坐标，代入直线方程求出A 、B 两点坐标，进而计算此直线方程. 【详解】设过点(3,0)P 的一条直线为l ，与1l 和2l 分别交于点,A B ，则点,A B 关于点P 对称. 设()00,22A x x -，则()006,22B x x --.将点B 坐标代入直线2l :30x y ++= 可得()0062230x x -+-+=，解得0113x =. 则1116716,,,3333A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线l 方程的斜率为160381133k -==-. 所以此直线方程为8(3)y x =-，整理后即为8240x y --=. 故答案为：8240x y --= 【点睛】本题主要考查了求直线方程，解题时点P 为中点，运用中点坐标设两点坐标是关键，然后代入直线方程求解点坐标，进而求出直线方程，需要掌握此题的解法，且有一定计算量.16．圆C 的方程为：()()221x a y a ++-=，点()0,3A ，O 为坐标原点，若C 上存在点P ，使得2PA PO =，则a 的取值范围是______.【答案】11022⎡⎤⎡---⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦,U 【解析】设出点P 的坐标，利用2PA PO =，求出点P 的轨迹方程，又因为点P 在圆C 上，将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得到答案.【详解】设点(),P x y ，因为2PA PO =，()()222234y x x y ∴-+=+，化简整理可得()2214x y ++=.所以点P 在以()0,1D -为圆心，2为半径的圆上， 又点(),P x y 在圆C 上，即圆C 与圆D 相交有公共点P ， 又因为(),C a a -，半径1r =，则满足2121CD -≤≤+，即13≤≤，即212219a a ≤++≤，可得2222112219a a a a ⎧++≥⎨++≤⎩，解得22040a a a a ⎧+≥⎨+-≤⎩，即011122a a a ≥≤-⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩或，可得0a≤≤1a ≤≤-. 综上实数a的取值范围是11022⎡⎤⎡---⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦,U .故答案为：11022⎡⎤⎡----⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦,U . 【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，解题的关键是计算出动点的轨迹方程，其轨迹程是圆，进而转化为圆和圆的位置关系，考查了转化思想，属于常考题型，需要掌握解题方法.三、解答题17．已知直线1:260l ax y ++=，直线()22:110l x a y a +-+-=（1）求a 为何值时，12l l // （2）求a 为何值时，12l l ⊥【答案】（1）2a =； (2) 23a =. 【解析】（1）由l 1∥l 2，得()()()2112211a a a b a ⎧⋅-=⨯⎪⎨-≠-⎪⎩，由此能求出a 的值； （2）由l 1⊥l 2，得a+2（a ﹣1）=0，由此能求出a 的值． 【详解】（1）∵要使12//l l ∴()()()2112211a a a b a ⎧⋅-=⨯⎪⎨-≠-⎪⎩解得1a =-或2a =(舍去) ∴当1a =-时，12//l l（2）∵要使12l l ⊥ ∴()1210a a ⋅+⋅-= 解得23a = ∴当23a =时，12l l ⊥ 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨-≠⎩，1212120l l A A B B ⊥⇔+= ．18．已知圆C 与直线1x y +=相切于()2,1A -，且圆心在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=（2）0x =或34y x =-【解析】（1）设出圆心坐标，根据题意得出圆心到直线的距离和圆心到点A 距离相等，求解出圆心坐标，进而求出圆的方程.（2）分类讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况，利用被圆C 截得的弦长为2，求出直线的斜率，即可求得答案. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a -， 又因为圆C 与直线1x y += 相切于(2,1)A -，=，化简为2210a a -+=，解得1a =，所以圆心为(1,2)-，半径r =22(1)(2)2x y -++=；（2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，1=，解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =-.综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =-. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题.19．设x ，y 满足约束条件102200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩.（1）求目标函数z x y =-的最大值；（2）若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为6，求13a b+的最小值. 【答案】（1）1 （2）92【解析】（1）由不等式组作出可行域，运用线性规划知识求出目标函数的最大值. （2）由目标函数取得最大值时得到a 和b 的数量关系，运用基本不等式求出13a b+的最小值. 【详解】（1）由条件知x ，y 满足约束条件102200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，画出可行域，如图所示，目标函数z x y =-，即y x z =-，由图可得当过点(1,0)时取得最大值， 则有101z =-=，所以目标函数z x y =-的最大值为1； （2）目标函数(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b=-+， 由图可得当过点(3,4)A 时z ax by =+的最大值为6，即346a b +=，则1311319419(34)()(312)(156662a b a b a b a b b a +=⋅++=⋅+++≥⨯+=， 当且仅当94a b b a =时等号成立，满足题意，所以13a b +的最小值为92. 【点睛】本题考查了运用线性规划知识求出最值问题，以及运用基本不等式求出两数和的最小值问题，解答线性规划问题的方法是先画出可行域，然后改写目标函数，最后求出最值，在解答基本不等式的题目时注意1的运用，需要掌握解题方法，并能灵活运用. 20．数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若ABC ∆的顶点()2,0A ，()0,4B ，且ABC ∆的欧拉线的方程为20x y -+=.（1）求ABC ∆外心F （外接圆圆心）的坐标； （2）求顶点C 的坐标.（注：如果ABC ∆三个顶点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，则ABC ∆重心的坐标是123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭.） 【答案】（1）(1,1)- （2）(4,0)-【解析】（1）三角形外心是三边中垂线的交点，由已知条件知顶点()2,0A ，()0,4B ，计算出AB 边上的中垂线，结合三角形的欧拉线，联立方程组求出外心坐标； （2）由题意知重心也在欧拉线上，设出顶点C 的坐标，表示出重心坐标代入欧拉线方程，再结合（1）中的外心坐标，外心到三个顶点距离相等，得到方程组求出顶点C 的坐标. 【详解】（1）三角形外心是三边中垂线的交点，由已知条件知顶点()2,0A ，()0,4B ，则AB 中点坐标为(1,2)，40202AB k -==--， 所以AB 边上的中垂线方程为12(1)2y x -=-，化简得230x y -+=， 又因为三角形的外心在欧拉线上，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以ABC ∆外心F 的坐标为(1,1)-；（2）设(,)C m n ，则ABC ∆的重心坐标为24(,)33m n ++， 由题意可知重心在欧拉线上，故满足242033m n ++-+=，化简得40m n -+=， 由（1）得ABC ∆外心F 的坐标为(1,1)-，则CF AF == 整理得22228m m n n ++-=， 联立2240228m n m m n n -+=⎧⎨++-=⎩，解得40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=⎩， 当0m =，4n =时，点C 与点B 重合，故舍去， 所以顶点C 的坐标为(4,0)-. 【点睛】本题考查了欧拉线的知识，实际上还是求直线方程，解两条直线交点坐标，运用两点之间的距离公式计算结果，需要审清题目，熟练运用各公式进行求解，本题较为综合. 21．一般地，对于直线():0,0l Ax By C A B ++=不全为及直线l 外一点()00,P x y ，我们有点()00,P x y 到直线():00l Ax By C A B ++=，不全为的距离公式为：d =”（1）证明上述点()00,P x y 到直线():00l Ax By C AB ++=，不全为的距离公式 （2）设直线():210l kx y k k R ++-=∈，试用上述公式求坐标原点O 到直线l 距离的最大值及取最大值时k 的值. 【答案】（1）见解析 （2）2k =-【解析】（1）设A≠0，B≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l于点R （x 1，y 0）；作y 轴的平行线，交l 于点S （x 0，y 2），分别求出RS u u u v . PR u u u v 、PS u u u v 由三角形面积公式可知：d•RS u u u v =PR u u u v •PS u u u v即可得出．（2）利用（1）中点到直线的距离公式，将题意转化为函数的单调性求最值. 【详解】解：(1)证明：设A≠0，B≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R （x 1，y 0）；作y 轴的平行线，交l 于点S （x 0，y 2），由11002x +y +=0x +y +=0A B C A B C ⎧⎨⎩得0012-y -C -x -x =,y =B A CA B ． ∴PR u u u v =|x 0﹣x 1|=00Ax By CA ++，PS u u u v =|y 0﹣y 2|=00B Ax By C ++，RS u u u v=|Ax 0+By 0+C|由三角形面积公式可知：d•RS u u u v =PR u u u v •PS u u u v∴d =可证明，当A=0时仍适用．(2)由直线():210l kx y k k R ++-=∈，由（1）中点到直线距离公式可得原点到直线l 距离为：d ===43t k =+，则34t k -=，k R t R ∈∴∈Q ，所以d ==，t R ∈当0t =时，2d =当0t ≠时，d ===若0t >，则02d ≤< 若0t <，2d <≤综上可知：0d ≤≤5t =-，即2k =-时，可取最大值． 【点睛】本题考查了利用三角形面积公式得出点到直线的距离公式的证明方法，和利用点到直线的距离公式转化为函数的单调性求最值的问题.22．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M 的方程为()222x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y .原点O 在圆M 内.（1）求证：34121234y y y y y y y y ++=. （2）设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q .求证：OP OQ =. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）联立直线方程和圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.（2）分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合（1）中得证结论，从而证明成立. 【详解】（1）已知圆M 的方程为()222x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，联立()222x y b r x my⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，化简得2222(1)20m y by b r +-+-=，则12221b y y m +=+，221221b r y y m -=+，所以1222122y y b y y b r +=-， 同理线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ，联立()222x y b r x ny⎧+-=⎪⎨=⎪⎩ 化简得2222(1)20n y by b r +-+-=， 则12221b y y n +=+，221221b r y y n -=+，所以3422342y y b y y b r +=-， 故有34122212342y y y y b y y b r y y ++==-，所以34121234y y y y y y y y ++=成立；（2）不妨设点(,0)P p ，点(,0)Q q ，因为C 、P 、F 三点共线，所以414100y y x p x p --=--，化简得411414x y x y p y y -=-，因为点C 在直线x my =上，所以11x my =，点F 在直线x ny =上，所以44x ny =， 则4114141414()ny y my y y y n m p y y y y --==--，同理因为E 、Q 、D 三点共线，所以322300y y x q x q --=--，化简得233232x y x y q y y -=-， 因为点D 在直线x my =上，所以22x my =，点E 在直线x ny =上，所以33x ny =， 则2332233232()my y ny y y y m n q y y y y --==--，又由34121234y y y y y y y y ++=，可得12341111y y y y +=+，41231111y y y y ∴-=-， 即32141423y y y y y y y y --=，所以23141432y y y y y y y y =--，则23141432()()y y m n y y n m y y y y --=---，所以p q =-，所以OP OQ =成立. 【点睛】本题在蝴蝶定理背景下考查了直线和圆的位置关系，在解答过程中关键是联立直线方程和圆的方程进行求解，本题有一定的计算量，尤其含有多个字母的运算，考查了转化能力，计算能力.。
江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（文）试题一，选择题(每小题5分,共12小题,共60分)1.若复数Z 满足(1)34i Z i +=+,则Z 地实部为（ ）A ．32-B ．52- C ．32D ．522. 若函数xe x x y -++=23log ,则='y （ ）．A ．x e x x -++2ln 1414 B ．x e x x --+2ln 1414 C ．x e x x --+2ln 132D ．xe x x -++2ln 1323. 直线y ＝kx ＋b 与曲线31y x ax ＝＋＋相切于点()2,3 ,则b 地值为 ( )A. －15B. －7C. －3D. 94. 下面表达正确地是( )A ．“若x 2＝1,则x =1,或x =-1”地否定是“若x 2=1则x ≠1,或x ≠-1”B ．a ,b 是两个命题,假如a 是b 地充分款件,那么⌝a 是⌝b 地必要款件．C ．命题“∃x 0∈R,使得20010x x ++<”地否定是：“∀x ∈R,均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若α＝β,则sin α＝sin β”地否命题为真命题5. 已知/()(1)ln f x f x x =+,则()f e 是（ ）A ．1e +B ．eC ．2e +D ．36. 设抛物线24y x =地焦点为F ,不过焦点地直线与抛物线交于1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y两点, 与y 轴交于点C （异于坐标原点)O ,则ACF ∆与BCF ∆地面积之比为( )A ．12x xB ．1211x x ++C ．2122x x D ．212211x x ++7，已知定义在R 上地函数f （x ）满足f （4）=f （﹣2）=1,f′（x ）为f （x ）地导函数,且导函数y=f′（x ）地图象如图所示．则不等式f （x ）＜1地解集是（）A ．（﹣2,0）B ．（﹣2,4）C ．（0,4）D ．（﹣∞,﹣2）∪（4,+∞）8，设=)(x f 3,x x x +∈R ,当02πθ≤≤时,0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 地取值范围是（ ）A ．（0,1）B ．)0,(-∞C ．21,(-∞D ．)1,(-∞9，直线2by x a=与双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）地左支，右支分别交于A,B 两点,F 为右焦点,若AB ⊥BF,则该双曲线地离心率为（ ）A B C D ．210.设函数()f x 是定义在(),0-∞上地可导函数,其导函数为()f x ',且有x x f x x f <'+)()(,则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 地解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，11.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤,若()f x 与()g x 地图象上分别存在点M,N,使得MN 有关直线y e =对称,则实数k 地取值范围是（ ）A ．224[,e e-- B ．2[,2]e e -C ．24[,2]e e- D ．24[,)e-+∞12. 已知当()1,x ∈+∞时,有关x 地方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解,则k 值范围是（）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,7二，填空题（每小5分,共4小题,共20分）13. 定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()21331x xxx f x +=地图象在点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1处地切线方程是__________.14. 复数z 1=1-2i,|z 2|=3,则|z 2-z 1|地最大值是___________．15.语文中有回文句,如：“上海自来水来自海上”,倒过来读完全一样。
2018-2019学年江西省名校联考高二(上)数学试卷
2018-2019学年江西省名校联考高二（上）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某市教委为了了解全市初三学生的身体状况，从中抽取了500名学生的体重进行分析.在这个问题中，下列说法正确的是（）A. 全市初三学生的身体是总体B. 从中抽取的500名学生是总体的一个样本C. 其中每一名学生的体重是个体D. 500名学生的体重是样本容量2.设函数，a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A. a＜b＜cB. c＜b＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c3.已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 74.设一组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是（）A. 2.5B. 3C. 3.5D. 45.一元二次不等式x2-3x+ab＜0（a＞b）的解集为{x|1＜x＜c}，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 26.已知等比数列，若，则的最小值等于A. 1B.C.D.7.某变量满足约束条件则的最大值为A.B. 10C. 3D. 98.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A. 73.3，75，72B. 72，75，73.3C. 75，72，73.3D. 75，73.3，729.已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. 0B.C.D. 310.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是( ).A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度11.对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-4）12.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=8，则a+b+c的最大值为（）A. 9B. 2C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=ax+ln x，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为______．14.x，y）满足约束条件则实数m的取值范围是________．15.在数列{a n}中，a1=-2，=，则= ______ ．16.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3：5：2．若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽取的可能性相同吗？18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin B sin C的最大值．19.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？20.数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，等比数列{b n}满足：b1=a1，b4=a14．（1）求a n，b n；（2）设C n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．21.教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数．为方便计算，2008年编号为1，2009年编号为2，…，2017年编号为10，以此类推．数据如下：（Ⅰ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数．其中==，=-22.已知函数f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）-g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．参考答案1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. B8. B9. B10. C11. B12. D13.（-∞，-]14.15. 316.17.解：因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成，所以采用分层抽样的方法更合理．由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是=，所以每人被抽到的可能性相同，均为．因为青、中、老年职工的比例是3：5：2，所以应分别抽取：青年职工400×=120（人）；中年职工400×=200（人）；老年职工400×=80（人）．18.解：（Ⅰ）∵=-，∴由正弦定理可得：=-，整理得：cos A sin B+2cos A sin C=-sin A cos B，即2cos A sin C=-sin（A+B），∴2cos A sin C=-sin C，∴cos A=-，又A为三角形的内角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc，①由正弦定理得：===，∴sin B=，sin C=，∴sin B•sin C=，②①代入②，sin B•sin C=≤=，当且仅当b=c时，sin B sin C取最大值．19.解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a=（2x-10）•=（x-5）（y-6）=3030-6x-，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+）≤3030-2=3030-2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，S max=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．20.解：（1）∵数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=2n-1，∵等比数列{b n}满足：b1=a1=1，b4=a14=2×14-1=27，∴1×q3=27，解得q=3，∴．（2）C n=a n b n=（2n-1）•3n-1，∴T n=1•30+3•3+5•32+…+（2n-1）•3n-1，①3T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n，②①-②，得：-2T n=1+2（3+32+33+…+3n-1）-（2n-1）•3n=1+2•-（2n-1）•3n=-2-（2n-2）•3n，∴．21.解：（Ⅰ）由表中数据可得，=×（1+2+3+4+5）=3，=×（3+5+8+11+13）=8，x i y i=3+10+24+44+65=146，=12+22+32+42+52=55；∴===2.6，=-=8-2.6×3=0.2，∴y关于x的回归方程为=2.6x+0.2∴当x=8时，=2.6×8+0.2=21，则第8年的估计值和实际值之间差的绝对值为|21-22|=1；（Ⅱ）当x=11时，=2.6×11+0.2=28.8，预测2018年该省自主招生录取的人数为28.8．22. 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=x-a-a|x|，①若a=，则由F（x）=x-|x|-=0得：|x|=x-，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x-a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x-a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当-1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（-1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a；又对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max-h（x2）min≤6，①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）；∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（-2）=a-2，∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，综上，-2≤a≤-1；②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2，由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=-a；又h（2）=2+a＞a-2=h（-2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，-2≤a≤2．。
江西省师范大学附属中学2019届高三数学上学期期末测试试题文(含解析)
江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学（文）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义即可求得答案.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为,所以z的实部为1，虚部为-1，所以z=1-i，故选A.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标的对应关系：复数（）的几何意义为z对应于复平面上的点或对应于向量，属于简单题.2.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，找出A，B中的所有元素，确定.【详解】由，，又，所以。
因为所以,故选D.【点睛】本题考查集合的化简与运算，考查对这些知识的理解、掌握、运用水平.3.已知向量，满足，，，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对已知向量等式平方，消去，可得向量的模.【详解】由，，，得，即，，所以，又，所以，所以，故选B.【点睛】本题考查向量数量积的运算及性质，要求掌握：一个向量的平方等于这个向量的模的平方.对一个向量（或向量等式）进行平方是实现向量运算向实数运算的途径之一.4.在平面直角坐标系中，点是单位圆上的点，且，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由点是单位圆上的点可得的正弦与余弦，再利用二倍角的正弦公式计算.【详解】因为点是单位圆上的点，所以，，所以，故选B.【点睛】本题考查三角函数的概念及三角恒等变换公式的运用.求三角函数值,主要有下面几种类型：（1）已知角的大小，求函数值；（2）已知角的终边上一点的坐标，求函数值；（3）已知角的某个函数值，求其他函数值.求三角函数值要充分利用三角变形公式进行计算.5.根据如下的样本数据：得到的回归方程为，则直线经过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出数据中心点，利用公式求出b,a，确定直线方程ax+by-3=0可得.【详解】由所给数据，，所以，，所以直线ax+by-3=0方程为，过点（1,2）, 故选D.【点睛】本题考查线性回归方程的建立，会利用公式进行计算，考查运算的熟练与准确程度.6.在中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理可得：,得,所以，,故选B.7.设是定义在R上的偶函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由，举反例说明有且只有一个零点不成立；再由有且只有一个零点，利用反证法及偶函数的性质证明成立. 利用充分条件与必要条件的定义得出判断.【详解】若，取，有三个零点，不能得到有且只有一个零点；若有且只有一个零点，，，由是偶函数，所以，所以有两个零点a,-a，与有且只有一个零点矛盾，所以a=0，成立. 由充分条件与必要条件的定义,故选B.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，命题成立可以证明，命题不成立只要举出反例.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇函数条件得到，对x赋值，利用所给范围的函数式,建立m的方程. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，令x=0，f(1)=-f(1),即f(1)=0,又当时，，所以，m=0,故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，应用与的关系，通过赋值法建立所求量的方程关系.10.已知对任意实数m，直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用、的斜率关系判断、互相垂直，求圆心到、的距离，计算弦长AC、BD，利用计算.【详解】由直线和直线，得，所以，得.又、过圆心C，所以AC=BD=2，所以,故选B.【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长公式，利用对角线互相垂直的四边形面积是两对角线长的乘积的一半，属于中档题.11.函数的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的图象上存在不同的两点关于原点对称可得方程在x>0有解，利用导数及零点存在定理判断函数何时有解.【详解】设图像上的关于原点的对称点也在图像上，不妨设x>0（若x=0，则P,Q重合），由，所以，，设，，①时，，所以在递增，，方程无解；②时，设有解，不妨设，则，，由，，所以.又时，时，所以时的极小值，又，所以时=0有解.故选A.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性、极值、零点，会利用零点存在定理，属于难题.12.若对于任意，且，都有，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】从条件，都有，构造函数，可得函数在是增函数，利用导数求的单调区间，得a的不等式关系可得.【详解】设，，因为对于任意，且，都有，，所以，所以在是增函数.，令，,所以在是增函数,所以，故选B.【点睛】本题考查函数的单调性，利用导数求函数的单调区间，将不等式两边化为同一函数的两个函数值，构造新函数是解题关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，已知为圆的一条直径，均为等边三角形，则往圆内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________．【答案】【解析】【分析】由条件求阴影部分的面积为两个扇形面积，利用几何概型概率计算公式计算所求事件概率为阴影部分面积除以圆的面积.【详解】因为为圆的一条直径，均为等边三角形，所以弓形AB、弓形BC、弓形DE、弓形EF全等,，所以阴影部分面积为两扇形BOC 与EOF面积的和，设圆半径为r,设事件A为“往圆内随机投掷一个点，点落在阴影区域内”，由几何概型概率计算公式,故答案为.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，弄清问题是直线型、平面型、立几型中哪一种，再分别求所有基本事件的测度（长度、面积、体积）及所求事件包含的基本事件的测度，利用概率计算公式求解，属于基础题.14.若变量满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】2【解析】【分析】首先由约束条件画出可行域，,最大，观察直线在y轴上的截距即可.【详解】作出约束条件对应的可行域，如图阴影部分，变动直线，当直线过可行域上的点A时z最大，，，所以.故答案为2.【点睛】本题考查线性规划问题，要求准确画出可行域，如何判断目标函数取最值，特别注意目标函数对应直线的斜率与边界直线的斜率的大小关系，属于中档题.15.已知棱长为的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数________．【答案】3【解析】【分析】由正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长，内切球的直径为正方体的棱长，求正方体外接球与内接球的半径，利用已知列出关于a的方程进行求解.【详解】设正方体的外接球半径为R，内接球半径为r，则，，，，因为正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，所以，，解得，故答案为3.【点睛】本题考查空间想象能力，空间几何体的面积与体积计算，常见组合体的关系，属于中档题.16.已知为双曲线右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由双曲线定义，=，要使最小只需最小，利用已知最值建立关于a,b,c的方程可求.【详解】因为P在双曲线的右支上，所以（为双曲线的右焦点），=（当且仅当P在线段上时取等号）, 因为的最小值为，所以.不妨设为，由在上的射影为，所以，又，得，，.故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的计算，利用双曲线的定义将转化为是关键，利用连接两点的直线距离是连接两点的曲线距离中最小的建立a,b,c 的方程,隐含条件,e>1不能忽视.三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是公差的等差数列，，，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差中项及可知，进而通过，，成等比数列计算可知，由此可求得，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论．【详解】（1）因为≠0的等差数列，,,成等比数列即即又由=26得②由①②解得即，即；又为正数，，（2）由（1）知【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.如图1，正方形的边长为，、分别是和的中点，是正方形的对角线与的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连结，，（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到平面的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出平面，然后由线面垂直的性质定理平面，从而可使问题得证；（2）分别把和当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可．试题解析：（1）证明：∵分别是和的中点，∴．又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）∵正方形的边长为，∴，∴是等腰三角形，连结，则，∴的面积．设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为，由（1）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：，∵，即，解得，即三棱锥高为．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、三棱锥的体积．19. 某品牌汽车4S 点，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养调查，汽车4S 店记录了该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．（Ⅰ）求A 型，B 型，C 型各车型汽车的数目；（Ⅱ）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率；（Ⅲ）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”“打分的方式表示4S 店的满意度，按照大于等于80优秀，小于80合格，得到如下列联表问：能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关？请说明原因．附K2=．【答案】（Ⅰ）A型，B型，C型汽车的数目分别为2，4，4；（Ⅱ）这2辆汽车来自同一类型的概率为；（Ⅲ）这个结论有0.01=1%的机会说错，在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关．【解析】试题分析：（Ⅰ）确定A型，B型，C型的比例，即可求A型，B型，C型各车型汽车的数目；（Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求这2辆汽车来自同一类型的概率；（Ⅲ）根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，即可得到结论．解：（Ⅰ）A型，B型，C型的比例为1：2：2，∴三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，各车型汽车的数目分别为2，4，4；（Ⅱ）从抽取的A型和B型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，共有C62=15种，这2辆汽车来自同一类型，共有C22+C42=7种，∴这2辆汽车来自同一类型的概率为；（Ⅲ）K2=≈8.14＞6.635．∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关．考点：独立性检验的应用．20.已知曲线上的任一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于，两点，若对于任意都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意设曲线上的任一点为，则，即；（2）联立方程及，得，设，，则，，所以对任意的恒成立，解得.试题解析：（1）设曲线上的任一点为，则，化简得，即曲线的方程为:.（2）将，代入得.当时，，设，，则，.，，.∵对于任意都有，∴对任意的恒成立.则，解得.所以的取值范围是.考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调减区间为和；（Ⅱ）的取值范围为：或．【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.【详解】(1) ，又由题意有：，故.此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.(2) ，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；……10分⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.综上可得：的取值范围为：或.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线的极坐标方程是．（I）求曲线和交点的直角坐标；（II）、两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积．【答案】（Ⅰ）和；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线的参数方程消去参数得的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标关系将的极坐标方程化为直角坐标方程，把两曲线的直角坐标方程列方程组求交点坐标.（II）利用圆的性质，当A,B在两圆圆心连线上且相距最远时最大。
江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷
则 t 的值为（ ）
A． 2
B． 7
C．10
D．13
5．虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为 30 厘米，短
轴长为 20 厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． 1 3
B． 2
3
C． 5 3
D． 6 3
6．已知随机变量 服从正态分布 N 2, 2 ，且 P( 3) 0.6 ，则 P(1 2) （ ）
段 B1C 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． PQ / / 平面 A1C1D B．Q 到平面 A1C1D 的距离为 2
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C．
PQ
与
A1D
所成角的取值范围为
π 6
,
π 2
D．三棱锥 B PCQ 外接球体积的最小值为 4π 3
12．已知椭圆 C :
x2 9
13．在等差数列an 中，首项 a1 2 ，公差 d 1，若 ak a1 a2 a3 L a7 ，则 k 等于.
14．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14 mm 规格的芯片，现有 20 块该 规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为 6 块、6 块、8 块，且甲、乙、丙生产 该芯片的次品率依次为 1 ，1 ，1 .现从这 20 块芯片中任取 1 块芯片，若取到的芯片是
(1)证明； PA 平面 ABC； (2)在线段 PC 上是否存在点 M，使二面角 M AB C 的余弦值为 13 ，若存在，求出
13 | PM | 的值；若不存在，请说明理由． | PC | 21．“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023 年已 经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间 从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的 7 名学员中恰有 3 人来自 A 中学，从这 7 名学员中选取 3 人， 表示选取 的人中来自 A 中学的人数，求 的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题文2019062602133
江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题 文一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为(1,1)-，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．设集合2{|20}A x Z x x =∈--≤，集合{2,0,1}B =-，则A B =（ ）A ．{2,0,1}-B ． {1,0,1}-C ．{2,1,01}--，D ． {2,1,01,2}--，3．已知向量a ，b 满足||1a =，||7a b +=，||3a b -=，则||b =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在平面直角坐标系xOy 中，点1(2P 是单位圆O 上的点，且xOP α∠=，则sin 2α=（ ） A ．12B C ．12-D ．5．根据如下的样本数据：得到的回归方程为ˆybx a =+，则直线30ax by +-=经过定点（ ） A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)6．在ABC ∆中，3Aπ=，a =4b =，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．设()f x 是定义在R 上的偶函数，则“(0)0f =”是“()f x 有且只有一个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83B ．163 C ．203D ．8 9．已知(1)f x +为定义在R 上的奇函数，且当1x ≥时，()ln f x x m =+，则实数m =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．e10．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323l x y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数,0()sin ,0ax x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0,2)D ．(0,2] 12．若对于任意12,(,)x x a ∈+∞，且12x x <，都有12212212x x x x x e x e ++<，则实数a 的最大值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知BE 为圆O 的一条直径，,,,ABO CBO FEO DEO ∆∆∆∆均为等边三角形，则往圆O 内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________．14．若变量,x y 满足约束条件22020y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为____________．15．已知棱长为a 的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数a =________．16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，若1||||PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =．（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）如图1，正方形ABCD 的边长为E 、F 分别是DC 和BC 的中点，H 是正方形的对角线AC 与EF 的交点，N 是正方形两对角线的交点，现沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置，使得PH AH ⊥，连结PA ，PB ，PD （如图2）．（Ⅰ）求证：BD ⊥AP ；（Ⅱ）求点A 到平面PBD 的距离．19．（本题满分12分）某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车4S 店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：10辆进行问卷回访．（I ）求A 型，B 型，C 型各车型汽车抽取的数目；（II ）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率；（III ）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S 店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系？请说明原因． 附表：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（本题满分12分）已知曲线C 上的任一点到点(0,1)F 的距离减去它到x 轴的距离的差都是1．（I ）求曲线C 的方程；（II ）设直线(0)y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点，若对于任意k R ∈都有0FA FB <，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos ρθ=-． （I ）求曲线1C 和2C 交点的直角坐标；（II ）A 、B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当AB 最大时，求OAB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+． （I ）解关于x 的不等式()20g f x m ⎡⎤+->⎣⎦；（II ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8． B 9．A 10．B 11A 12．B 二、 13．1314． 215． 316． 三、 17．解析：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a = ①……………1分又由46a a +=26得12+826a d = ②……………………2分 由①②解得1=13a d =， 32n a n ∴=-……………………3分324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又 即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b = 12n n b -∴=……………………6分（II ）由知()1322n n na b n -=-……………………7分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-……………………8分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-……………………9分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+……………………12分18．（Ⅰ）证明： ∵E 、F 分别是CD 和BC 的中点，∴EF //BD . 又∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥，故折起后有PH EF ⊥.………2分 又PHAH ⊥，所以PH ⊥平面ABFED ．又∵BD ⊂平面ABFED ，∴PH BD ⊥， …………………4分∵AHPH H =，,AH PH ⊂平面APH ，∴BD ⊥平面APH ，又AP ⊂平面APH ，∴BD ⊥AP …………………………6分（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的边长为∴4AC BD ==，2,1AN NH PH ===，PE PF = ∴PBD ∆是等腰三角形，连结PN ，则PN BD ⊥，PN =∴PBD ∆的面积11422PBD S BD PN ∆=⋅=⨯=…………8分 设三棱锥A BDP -的高为h ，则三棱锥A BDP -的体积为13A BDP PBD V S h -∆=⋅=由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P ABD -的高，∴三棱锥P ABD -的体积：1111141332323P ABD ABD V S PH AB AD PH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯= ……10分∵A BDP P ABD V V --=43=，解得h =. …………12分 19．解析：（I ）A 型，B 型，C 型汽车抽取的数目分别为20404010=210=410=4100100100⨯⨯⨯，，……2分（II ）设抽取的A 型2辆为12,a a ，抽取的B 型4辆为1234,,,b b b b ，随机选出2辆汽车的结果为12{,}a a ，11{,}a b ，12{,}a b ，13{,}a b ，14{,}a b ，21{,}a b ，22{,}a b ，23{,}a b ，24{,}a b ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共15种. ……6分其中这两辆车来自同一类型的基本结果有12{,}a a ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共7种，所以概率为715P =.……8分 （II ）根据题意，22100(271038258.143135655248K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯）……11分8.1431 6.635>，∴能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系. ……12分 20．解析：（I ）设曲线C 上的任一点为(,)P x y ||1y =，……………3分 即24x y =为所求……………5分（II ）将y k x m =+，代入24x y =得2440x kx m --=.当0m >时，216160k m ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-.………………………………7分11(,1)FA x y =-，22(,1)FB x y -，12121212(1)(1)(1)(1)FA FB x x y y x x kx m kx m =+--=++-+-221212(1)(1)()(1)k x x k m x x m =++-++-2224(1)4(1)(1)m k k m m =-++-+-224(1)4k m m =-+--.………………………………9分∵对于任意k R ∈都有0FA FB <，∴224(1)40k m m -+--<对任意的k R ∈恒成立.则2(1)40m m --<，解得33m -<<+所以m 的取值范围是33m -<+分 21．解析：(Ⅰ) 2(ln 1)()(ln )m x f x x -'=，………………1分又由题意有：21()2f e '=21242m m ⇒=⇒=，故2()ln x f x x =. ……3分此时，22(ln 1)()(ln )x f x x -'=，由()001f x x '≤⇒<<或1x e <≤，所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,]e .……………5分（说明：减区间写为(0,]e 的扣2分. ）(Ⅱ) 2()()1kx g x f x x =--2()()ln 1kx g x x x x ⇒=--，且定义域为(0,1)(1,)+∞，要函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解，亦即要2(1)ln 0x k x x--=在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解.………6分 构造函数22(1)2()ln ()x kx h x k x h x x x --'=-⇒=. ① 当0k ≤时，()0h x '<在(0,1)(1,)x ∈+∞内恒成立，所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点，在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；………………8分②当0k >时， 222()2()()k x kx k h x h x x x--''=⇒= ⑴ 若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k+∞内单调递增.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点；易知2()0h k <，而2222()20k k h e k k e =⋅-+>， 故在2(,)k+∞内有一个零点，所以不满足条件；⑵若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增. 又(1)0h =，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件； ……10分⑶若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(1)k ，内单调递增，在(1,)+∞内也单调递增. 又(1)0h =，所以在2(1)k，及(1,)+∞内均无零点. 又易知2()0h k<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=⋅--+=--，又易证当2k > 时，()0kh e ->，所以函数()h x 在2(0,)k内有一零点，故不满足条件. …………11分综上可得：k 的取值范围为：0k ≤或2k =.………12分 （说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量2(1)ln x k x x -=，再讨论函数2(1)()ln x x x xϕ-=的单调性获得0k ≤给3分）22．解析：（1）由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩两式平方作和得：()2224x y +-=，即2240x y y +-=．① 由24cos cos ρθρρθ=-⇒=，即224x y x +=-②②-①：0x y +=，代入曲线1C 的方程得交点为()0,0和()2,2- ………………5分 （2）由平面几何知识可知，当A 、1C 、2C 、B 依次排列且共线时AB 最大，此时4AB =，O 到直线AB 所以，OAB ∆的面积为：()1422S =⨯=+分23．解析：（1）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得42x -<，∴242x -<-<，∴26x << 故不等式的解集为()()6,22,6-- ………………5分（2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即4m x x <-+恒成立………………8分∵()444x x x x -+≥--=．∴m 的取值范围为(),4-∞．………………10分- 11 -。
江西师大附中四校18-19高二下学期年末联考-数学(理)
江西师大附中四校18-19高二下学期年末联考-数学（理）江西省师大附中等四校 2018—2018学年度下学期期末联考高二数学理试题【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1、全集U R =，集合{|A x y ==，集合3{|log ,},B y y x x A ==∈那么()U A C B = 〔 〕A 、[]1,2B 、[]1,3 C. (2,9] D 、(3,9] 2、设i 为虚数单位，假设复数12aii+-为纯虚数，那么实数a 的值为〔 〕A. 12-B. 2-C. 12D. 2 3、一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕A 、92B 、5C 、112 D. 64、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项1a =13，且对任意正整数,m n 都有m n m n a a a +=⋅，假设n S k <恒成立，那么实数k 的最小值为〔 〕 A.13 B. 12 C. 32D. 3 5、ABC ∆为锐角三角形，假设角θ终边上一点P 的坐标为〔sin cos ,cos sin A B A C --〕，那么()f θ=sin()cos()22|cos ||sin |ππθθθθ+++的值为 〔 〕 A 、2- B 、0C 、2D 、与θ的大小有关①函数()22,xxf x -=+那么(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称；②平面内的动点P 到点(2,3)F -和到直线:210l x y ++=的距离相等，那么点P 的轨迹是抛物线；③假设向量,a b 满足0,a b ⋅<那么a 与b 的夹角为钝角；俯视图左视图○4存在0(1,2),x ∈使得02000(32)340x x x e x -++-=成立，其中正确命题的个数是〔〕 A 、0B 、1C 、2D 、37、点P 是曲线22:14x C y -=上的任意一点，直线:2l x =与双曲线C 的渐近线交于,A B 两点，假设,(,,OP OA OB R λμλμ=+∈O 为坐标原点〕，那么以下不等式恒成立的是〔〕 A 、2212λμ+≥B 、222λμ+≥C 、2212λμ+≤D 、222λμ+≤ 8.假设平面直角坐标系中两点P 与Q 满足：○1P 、Q 分别在函数(),()f x g x 的图像上；○2P 与Q 关于点〔1,1〕对称，那么称点对〔,P Q 〕是一个“相望点对”〔规定：〔,P Q 〕与〔,Q P 〕是同一个“相望点对”〕，函数21x y x -=-与2sin 1(24)y x x π=+-≤≤的图像中“相望点对”的个数是〔〕A 、8B 、6C 、4D 、29.函数2349923499()1,()12349923499x x x x x x x x f x x g x x =-+-+--=+-+-++， 设()F x =(1)(1)f x g x -⋅+且函数()F x 的零点在区间[,1]a a +或[,1](,,)b b a b a b Z +<∈内，那么a b +的值为〔〕A 、2-B 、0C 、2D 、4 10.在函数cos ([,])22y x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的图形中，直线:(,)22l x t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦从点A 向右平行移动至B ，l 在移动过程中扫过平面图形〔图中阴影部分〕的面积为S ，那么S 关于t 的函数()S f t =的图像可表示为〔〕第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、“求方程512()()11313x x +=的解”有如下解题思路：设512()()()1313x x f x =+，因为()f x 在R 上单调递减，且(2)1,f =因此原方程有唯一解为 2.x =类比上述解题思路，不等式632(23)32x x x x -+<+-的解集为.12、随机输入整数[1,12],x ∈执行如右图所示的程序框图，那么输出的x 不小于39的概率为.13、点P 是面积为1的ABC ∆内一点〔不含边界〕，假设,PAB ∆,PBC ∆PCA ∆的面积分别为,,,x y z 那么1y z x y z+++的最小值为. 14.假设数列{}n a 满足：1234212n n a a a a a a -<><>><>，那么称数列{}n a 为“正弦数列”，现将1,2,3,4,5这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为a ，那么二项式6的展开式中含2x 项的系数为、 【三】选做题：请在以下两题中任选一题作答，假设两题都做，按第一题评阅计分，此题共5分. 15.〔1〕〔坐标系与参数方程选做题〕以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相等的长度单位建立极坐标系，假设直线:cos()4l πρθ+=14cos :4sin 3x C y αα=⎧⎨=-⎩(α为参数)相交于,A B 两点，那么线段AB 长度为_________.〔2〕〔不等式选做题〕假设存在实数x ，使不等式2|23||21|3x x a a +--<-成立,那么实数a 的取值范围为_________.【四】解答题:本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222()CA CB c a b ⋅=-+、〔1〕求角C 的大小； 〔2〕求24sin()23A B π--的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小、 17.〔本小题总分值12分〕某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，进行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一是条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望. 18.〔本小题总分值12分〕如下图，在边长为3的等边ABC ∆中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且满足1,2AD CE DB EA ==现将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结11,A B A C .〔1〕求证：1A D BCED ⊥平面；〔2〕在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？ 假设存在，求出PB 的长；假设不存在，请说明理由. 19.〔本小题总分值12分〕当na 数列{}n a 具有性质：○11a 为整数；○2关于任意的正整数,n 为偶数时，1;2n n a a +=当n a 为奇数时，112n n a a +-=、〔1〕假设1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；〔2〕假设1a 为正整数，求证：当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a =、 20.〔本小题总分值13分〕定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以为半径的圆O 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的“准圆”.椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为3，直线:250l x y -+=与椭圆C 的“准圆”相切.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作斜率存在且不为0的两条不同的直线12,l l ，使得1l ，2l 与椭圆都相切，试判断1l 与2l 是否垂直？并说明理由. 21.〔本小题总分值14分〕 函数()ln f x x =，()()ag x a R x=∈，设()()()()()(),F x f x g x G x f x g x =+=⋅ （1） 求函数()F x 的单调区间；（2） 假设以函数()()(0,2)y F x x =∈图像上任一点()00,P x y 为切点的切线斜率为DBCEA 1B12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3） 当1a =时，对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x <，存在()012,x x x ∈使得()()()21/021G x G x G x x x -=-，求证：0x <参考答案1-5CDBBC6-10CACBD2sin 3A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭〔9分〕20,3333A A ππππ<<∴<+<当32A ππ+=即6A π=时，24sin()23A B π--的最大值为2，如今6B π=24sin()23A B π∴--的最大值为2，取得最大值时，6A B π==〔12分〕17、解：〔1〕14442421243C P A ⨯⨯===〔4分〕()()3111352051020834246EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=-〔12分〕18、解：〔1〕等边三角形ABC 的边长为3，且AD 1=DB 2CE EA =，1,2AD AE ∴== 在ADE ∆中，60DAE ︒∠=，由余弦定理得DE =222AD DE AE ∴+=AD DE ∴⊥，折叠后有1A D DE ⊥〔3分〕二面角1A DE B --为直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊆平面1A DE ，1A D DE ⊥1A D ∴⊥平面BCED 〔5分〕〔2〕假设在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒由〔1〕证明， 可知DE DB ⊥，1A D BCED ⊥平面，以D 为坐标原点，以射线1,,DB DE DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图过点P 作PH BD ⊥，垂足为H ，连接1,A H PH设()2023PB a a =≤≤，那么,,2BH a PH DH a ===-()()()10,0,1,2,0,A P a E ∴-〔7分〕()12,,1PA a ∴=-1ED A BD ⊥平面，1A BD 平面的一个法向量为()DE =〔91PA 与1A BD 平面所成的角为60︒11sin 604PA DEPA DE ︒⋅∴===54a =〔11分〕522PB a ∴==，满足023a ≤≤，符合题意 ∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，如今52PB =〔12分〕19、解：〔1〕设122,a k a k ==，123,,a a a 成等差数列，3322,0k a k a ∴+=∴=〔2分〕○1当k 为偶数时，230,0,22a ka k ===∴=如今10a =〔4分〕 x y○1当k 为奇数时，23110,1,22a k a k --===∴=如今12a = 综合上述，可得1a 的值为2或0〔6分〕 〔2〕211log n a >+，211log n a ∴->，112n a -∴<〔7分〕又由定义可知，1212n nn n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数12n n a a +∴≤，112n n a a +∴≤〔9分〕1121111121112122n n n n n n n n a a a a a a a a a ------∴=⋅⋅≤<⋅= ,0n n a N a ∈∴=综上可知，当211log ()n a n N +>+∈时，都有0n a =〔12分〕〔2〕由〔1〕知椭圆C 的“准圆”方程为225x y +=设点()00,P x y ，那么22005x y +=〔7分〕设通过点()00,P x y 与椭圆C 相切的直线为()00y k x x y =-+联立()0022132y k x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()2220000236360k x k kx y x kx y +--+--= 由0∆=，化简得()()22200003230x k x y k x ----=〔10分〕 设直线12,l l 的斜率分别为12,k k . 直线1l ，2l 与椭圆C 相切12,k k ∴满足方程()()22200003230x k x y k x ----= 121k k ∴⋅=-，故直线1l 与2l 垂直(13分)21、解：〔1〕由题意可知()()()()ln 0aF x f x g x x x x=+=+> ()'221a x aF x x x x-∴=-=〔1分〕 ○1当0a ≤时，()'0F x >在()0,+∞上恒成立()F x ∴的增区间为()0,+∞ ○2当0a >时，令()'0F x >得x a >；令()'0F x <得0x a << ()F x ∴的增区间为(),,a +∞减区间为()0,a综合上述可得：当0a ≤，增区间为()0,+∞；当0a >时，增区间为(),,a +∞减区间为()0,a 〔4分〕()'0h x ∴<()h x ∴在()0,2上是减函数，即()'G x 在()0,2上是减函数要证0x <()''0G x G >，即证()''00G x G ->对任意()12,0,2x x ∈，存在()012,x x x ∈使得()()()21'21G x G x G x x x -=-()21''2102112ln ln x x x x G x G x x -∴-=-()()()22221221111112212121111ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1202x x <<<21210,1x x x x ∴⋅>>2110xx ∴-> ∴只需要证22211111ln 102x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即要证：21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+。
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2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1C.25．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1xf x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．5BC ．5D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．2018—2019学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥① 若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分 （Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分 所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+错误！未找到引用源。
，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当m =12S S -．…………12分 22．【】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a x x'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+ ………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a=． 代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。