第二章一阶逻辑

本命题符号化为 ┐ x(W(x)→B(x))。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。
若取赋值为v1，它成为真命题：0是最小的自然 数。若取赋值为v2，它成为假命题：1是最小的 自然数。
⑶ xE(g(x,a),x)是闭式，没有自由变元，不需 考虑赋值。在解释I下，它表示命题： 对于每个自然数x，x· 0＝x。 显然，这是一个假命题。
⑷ xyL(x,y)是闭式，没有自由变元，不需考 虑赋值。在解释I下，它表示命题：
例：将下列命题符号化。 ⑴ 每个人都有心脏。 ⑵ 有的人吸烟。 解 ：⑴若取个体域为人的集合 令 P(x)：x有心脏。 则该命题符号化为x P(x)
若取个体域为动物的集合
令 R(x)：x是人， P(x)：x有心脏。
则该命题符号化为 x(R(x)→P(x))。
⑵ 若取个体域为人的集合
令 S(x)：x吸烟
对于同一个命题，符号化时可取不同的集合 作为个体域，取的个体域不同，符号化的结果 可能不同。
若需要断定的是个体域的一个真子集中的元 素具有某性质，则需引进表示个体域的这个真 子集的一元谓词，我们称其为特性谓词。
若要断定的是个体域的一个真子集中的每个 元素都有某性质，特性谓词后应该用联结词 “” （即 对应 ）。 若要断定的是个体域的一真子集中存在元素 有某性质，特性谓词后应用联结词“” （即 对应 ）
命题符号化
命题符号化时，要指定个体域，并 用大写英 文字母表示谓词，用小写英文字母表示个体， 用小写英文字母f，g，h表示运算。 如果需要为一个谓词提供n个个体才能使其成 为命题，则称该谓词为n元谓词。 例；“…是有理数” 是一元谓词 “…比…高” 是二元谓词 令P表示 “…是有理数” ，则P(x)表示“x是有 理数” H表示“…比…高”， 则H(x,y)表示“x比y高”
定义2.6 没有自由变元的公式称为封闭公式，
简称为闭式。
例如，x(F(x)→G(x))，x yP(x,y)都是闭
式，而xQ(x)∧H(x,y)，P(a,y)都不是闭式。
解释与赋值
定义2.7 一个解释I由以下四部分组成。
⑴ 一个非空集合DI，被称为解释I的个体域，称其中的 元素为个体。
⑵ 为每个个体常元指定一个个体。 ⑶ 为每个n元运算符号指定一个个体域上的n元运算。 ⑷ 为每个n元谓词符号指定一个个体域上的n元谓词。 例如，x(F(x)→G(x))在给定解释后才成为命题
定义2.5 设x是任意变元。若x在公式A中的某次出现是 在x或x中的出现或是在它们的某次出现的辖域中的 出现，则称x在公式A中的该次出现是约束出现。若x 在公式A中的某次出现不是约束出现，则称其为自由 出现。若x在公式A中有约束出现，则称它为A的约束 变元。若x在公式A中有自由出现，则称它为A的自由 变元。
则该命题符号化为 x S(x)
若取个体域为动物的集合
令 R(x)：x是人，S(x)：x吸烟。
则该命题符号化为 x(R(x)∧ S(x))
注：若不特别指出，命题符号化均在全总个体 域中。
练习1： 在一阶逻辑中将下列命题符号化。
⑴ 有的有理数是整数。
⑵ 每个计算机系的学生都学离散数学。
⑶ 每个人都会犯错误。
⒉个体常元：有无限多个，用加或不加正整数 下标的小写英文字母a,b,c,d等表示。 ⒊运算符号：用加或不加正整数下标的小写英 文字母f,g,h等表示，对于每个正整数n，有无限 多个n元运算符号。
⒋谓词符号：用加或不加正整数下标的大写英 文字母表示，对于每个正整数 n，有无限多个 n元谓词符号。 ⒌量词符号： ，。
例：将下列命题符号化
1） 2是有理数。 2）张三比李四高。 3）2与3之和小于2与3之积。 解： 1）设个体域：有理数集。 P（x）：x是有理数。 a： 2 该命题符号化为P（a）
2）设个体域：人的集合。 H(x, y)：x比y高。 a：张三 b：李四 该命题符号化为 H(a, b) 3）设个体域：正整数集合。 f(x, y)=x+y g(x, y)=x· y P(x, y)：x小于y a： 2 b：3 该命题符号化为P( f(a, b), g(a, b) )
⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。
令 R(x)：x是人，P(x)：x是职业， L(x,y)：x喜欢y。 本命题符号化为 x(R(x)→y(P(y)∧L(x,y)))。 ⑶不存在同样高的两个人。 令R(x)：x是人，E(x,y)：x＝y。 H(x,y)：x和y同样高。
本命题符号化为
┐xy(R(x)∧R(y)∧┐E(x,y)∧H(x,y))。
⑷ 如果A是一阶公式，x是变元，则xA和xA都是一 阶公式。
⑸ 只有有限次使用上面四条规则能够得到的符号串 才是一阶公式。 例如，zP(z)∨Q(x,y)，y(P(y)∧Q(a,y))→xP(x)都 是一阶公式
定义2.4 设xA为公式，称x的该次出现的辖 域为A。 设xA为公式，称x的该次出现的辖 域为A。 考查下面公式中每个量词的辖域 y(P(x,y)∧yR(y)→x(P(x,y)∨yQ(y)))
对于每个自然数x，存在自然数y，使得x＜y。 显然，这是一个真命题。
设解释I的个体域DI＝｛e1,…,en｝，在解释 I和I中赋值v下，
xA(x)＝A(e1)∧…∧A(en) xA(x)＝A(e1)∨…∨A(en)
例2.9 设f是一元运算符号，P是一元谓词符 号，Q是二元谓词符号。给定解释I如下：
量词
全称量词：用 “”表示。
对应于汉语中的“一切”、“示个体域中的每个元素都有性质F。 存在量词：用 “”表示。
对应于汉语中的“有的”、“至少有一个” 或“存在”等。用符号“”表示。
xF(x)表示个体域中至少有一个元素有性质F。
全称量词和存在量词的意义是由个体域决定 的，改变个体域，全称量词和存在量词的意义 也随之改变。 例：令F(x)：x需要呼吸。 若个体域为人的集合，则xF(x)表示 “所有的 人都需要呼吸”。 若个体域为动物的集合，则xF(x) 表示 “所 有的动物都需要呼吸”。 若个体域为全总个体域，则xF(x)表示 “宇宙 中的所有事物都需要呼吸”。
⒍联结词：┐，∧，∨， ， ，。
⒎逗号和圆括号。
定义2.1 项定义如下： ⑴ 个体变元是项； ⑵ 个体常元是项； ⑶ 若 f 是 n 元 运 算 符 号 ， t1,…,tn 是 项 ， 则 f(t1,…,tn)是项； ⑷ 只有有限次使用上面三条规则能够得到的 符号串才是项。 例如，x，a，f(a,x)，g(f(h(b),h(x))，y， g(z,a,b)) 都是项
解 ⑴ 在解释I下，公式E(f(x,a),g(x,a))的意义是: x＋0＝x· 0。
若取赋值为v1，它成为真命题：0＋0＝0· 0。 若取赋值为v2，它成为假命题：1＋0＝1· 0。 ⑵ 在解释I下，公式y(E(x,y)∨L(x,y))的意义 是:“对于每个自然数y,x＝y∨x＜y”,即x是最小 的自然数。
E(x,y): x＝y， v(x)＝0。 E(f(x,a),g(x,a))在解释I及赋值v下成为真命题： 0＋0＝0· 0
例2.8 设 f,g是二元运算符号，E,L是二元谓词符号。 给定解释I和I中赋值v1和v2如下： 个体域DI为自然数集， f(x,y)＝x＋y， g(x,y)＝x· y， a＝ 0， E(x,y): x＝y， L(x,y): x＜y， v1 (x)＝0， v2 (x)＝1。 求下列公式在解释I下，赋值分别为v1和v2时的真值。 ⑴ E(f(x,a),g(x,a)) ⑶ xE(g(x,a),x) ⑵ y(E(x,y)∨L(x,y)) ⑷ xyL(x,y)
定义2.8 设I是一个解释。I中的一个赋值是一个从变 元集到I的个体域DI的函数。
例如：设 f,g 是二元运算符号， E 是二元谓词符号。 E(f(x,a),g(x,a)) 只有给定解释 I 和 I 中赋值 v 后才构成命 题。 给定解释I和I中赋值v如下：
个体域DI为自然数集，
f(x,y)＝x＋y， g(x,y)＝x· y ， a＝ 0，
2.1 一阶逻辑的基本概念
个体:把所讨论的对象称为个体。 个体域：所有讨论对象组成的集合称为个体域。 个体域可以是有限集合，也可以是无限集 合，但不能是空集。 如不特别指出个体域是什么集合，就意味 着个体域包含宇宙间一切事物，这个个体域称 为全总个体域。