固体物理学：4-1 布洛赫定理
什么是电子的布洛赫定理和能带结构
什么是电子的布洛赫定理和能带结构？电子的布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的两个重要概念。
下面我将详细解释布洛赫定理和能带结构，并介绍它们的物理背景和应用。
1. 布洛赫定理：布洛赫定理是指在周期性势场中，电子的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积。
这意味着电子的波函数在周期性势场中是周期性的，具有特定的周期性结构。
布洛赫定理是基于周期性势场的周期性性质而提出的。
在周期性势场中，电子受到周期性的势能影响，因此它们的波函数应该具有相应的周期性特征。
布洛赫定理的提出使得我们能够更好地理解和描述电子在晶体中的行为。
2. 能带结构：能带结构是指固体中电子能量的分布情况。
在固体中，电子的能量是量子化的，只能存在于特定的能级。
能带结构描述了这些能级在动量空间中的分布情况，即电子能量与动量之间的关系。
能带结构的形成是由于布洛赫定理的存在。
根据布洛赫定理，电子的波函数具有周期性，因此它们在动量空间中的分布也是周期性的。
这种周期性分布导致了能级的整体分布，形成了一系列相互重叠的能带。
能带结构可以分为导带和禁带两种。
导带是指电子能量较高的能带，其中存在大量的可移动电子。
禁带是指电子能量较低的能带，其中几乎没有电子存在。
在固体中，导带和禁带之间的能量差异被称为禁带宽度。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响。
导带中存在大量可移动电子，因此固体具有较好的导电性。
禁带中几乎没有电子存在，因此固体具有绝缘性或半导体性质。
禁带宽度的大小决定了导电性和光学性质的特性。
总结起来，布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的重要概念。
布洛赫定理描述了电子波函数的周期性特征，能带结构描述了电子能量在动量空间中的分布情况。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响，它们在材料科学和电子学等领域具有广泛的应用。
《布洛赫定理》PPT课件 (2)教学提纲
黄昆（1919年9月2日－2005年7月6日）。
国际著名的中国物理学家、教育家、中国固体物理学先驱、中国半
导体技术奠基人。
黄昆1919年9月出生学理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布
里斯托大学获得博士学位。
黄昆获得博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论 1907: 独立振子的量子理论(Einstein) 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye) 1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性 (1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科
学提供了量子力学基础. (2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,
固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通 信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技 术也产生了深刻的影响.
波矢空间的基本单元: Brillouin区
焦点: Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢 色散关系
晶格动力学+固体能带理论
3. 范式的定量表述
标量波
波
矢量波
张量波
(电子) (电磁波） (晶格波）
(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下, 电子在周期场中的运动
(de Broglie波)方程:
5 Dielectrics and Ferroelectrics
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的
扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b。
解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为： (2π)3 VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2 π) 3
下面我们证明
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k(r
2 Rn )
k(r) 2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
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这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
固体物理-布洛赫定理
—— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所 满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
电子波函数的计算
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到 具体的波函数
§4.1 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 V (r ) 具有晶格周期性时，电子的
波函数满足薛定谔方程
b3 bj
2ij
平移算符的本征值 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
将
作用于电子波函数
e (r ) ik (m1a1m2a2 m3a3 )
(r
Rm
)
eik Rm
(r
)
—— 布洛赫定理
电子的波函数
(r )
eikr uk
(r )
—— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数
满足布洛赫定理
平移算符本征值的物理意义
Байду номын сангаас
1） 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
2）平移算符本征值量子数 k
—— 原胞之间电子波
函数位相的变化
—— 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
3）简约波矢改变一个倒格子矢量 Gn n1b1 n2b2 n3b3
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
简约波矢的取值
第一布里渊区体积
—— 在
简约波矢
k
l1 N1
b1
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
布洛赫定理及它的指导意义
JISHOU UNIVERSITY《固体物理》期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。
布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。
其中u （r ）与势场具有相同周期性。
布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。
上式表达的波函数称为布洛赫函数。
当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中为晶格周期矢量。
可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。
对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。
这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。
在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。
在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。
上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。
换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。
从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。
更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。
布洛赫定理的内容和意义
布洛赫定理的内容和意义布洛赫定理，这个名字听起来就像是从某个神秘的科学实验室里冒出来的，其实它的内容和意义可不止如此。
想象一下，你在一个典雅的音乐厅里，四周环绕着悠扬的旋律，突然间你发现这音乐是那么有规律、那么动人。
这种规律，就像布洛赫定理揭示的那样，给了我们理解晶体中电子行为的钥匙。
你瞧，晶体就像是一座复杂的乐器，而电子就是那在乐器里自由舞动的音符。
说到布洛赫定理，它的核心观点就是，电子在周期性晶体中运动的时候，能以一种“波”的形式存在。
简单来说，就是在晶体这种规则的环境里，电子不是乱跑，而是像一位老练的舞者，随着节拍有序地跳舞。
这种跳舞的方式，就是那种所谓的“布洛赫波”。
想象一下，如果没有布洛赫定理，我们的电子就像在没有舞台的舞会里，东躲西藏，根本无法形成美妙的旋律。
结果呢？这场舞会就成了一场闹剧，没办法奏出和谐的乐章。
这可不是空穴来风哦，布洛赫定理为我们理解固体物理学的基本现象奠定了基础。
我们在探索金属、半导体等材料时，总要提到它。
说到半导体，大家应该都知道，那可是现代电子产品的“心脏”。
没有布洛赫定理的指导，咱们就没法搞清楚电子是怎么在这些材料里流动的，没法设计出各种各样的电子设备。
就好比一位没有方向感的司机，开车在大街上瞎转，最终只会掉进深坑里。
布洛赫定理还有一个特别之处，就是它让我们意识到周期性是多么重要。
生活中到处都是周期性的现象，比如季节变化、潮起潮落，还有那种看似无止境的星期一到星期五的循环。
晶体内部的结构其实也就是一种周期性，每个原子都在固定的位置上，像排队等候的观众。
这种有序的排列，恰恰为电子的舞蹈提供了舞台。
所以说，周期性不仅仅是自然界的特征，也是科学研究中不可或缺的元素。
再说说布洛赫定理的实际应用。
大家都知道，现代社会离不开电子设备，手机、电脑、平板，哪一样不是靠半导体来支撑的？如果没有布洛赫定理的支持，可能我们现在还在用拨号电话。
你说这可不可以笑掉大牙。
它不仅影响了材料科学，还在纳米技术、光电子学等领域大放异彩。
布洛赫定理的具体形式
布洛赫定理的具体形式布洛赫定理的具体形式引言布洛赫定理是量子力学中一个重要的定理，它描述了晶体中电子的行为。
本文将介绍布洛赫定理的具体形式。
第一部分：基础知识在介绍布洛赫定理之前，我们需要了解一些基础知识。
首先，晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体。
其次，根据量子力学的原理，电子在晶体中表现出波粒二象性。
最后，波函数是描述电子运动状态的数学函数。
第二部分：布洛赫定理的概述布洛赫定理描述了在周期性势场中运动的电子波函数具有特殊形式。
该特殊形式可以表示为：ψ(r) = u(r)exp(ik•r)其中，ψ(r)是电子波函数，u(r)是一个与周期势场有关的函数，k是一个特殊的矢量（称为倒格矢），r是位置矢量。
这个公式表明，在晶格势场中运动的电子波函数可以看作平面波和一个与周期势场有关的函数u(r)相乘得到。
这个公式被称为布洛赫定理。
第三部分：倒格矢的定义在布洛赫定理中，倒格矢是一个非常重要的概念。
它被定义为满足下列条件的矢量：exp(ik•R) = 1其中，R是晶体中任意一个晶格点的位置矢量。
这个条件保证了波函数在晶体中具有周期性。
第四部分：布洛赫定理的推导布洛赫定理可以通过求解薛定谔方程来推导得到。
薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ(r) = Eψ(r)其中，H是哈密顿算符，E是能量本征值。
假设晶体势场具有周期性，即：V(r+R) = V(r)其中，R是任意一个晶格点的位置矢量。
根据周期性条件和波函数的形式（ψ(r) = u(r)exp(ik•r)），我们可以将薛定谔方程变形为：[(-h^2/2m)∇^2 + V(r)]u(r)exp(ik•r) = Eu(r)exp(ik•r)将u(r)exp(ik•r)分离得到两个方程：(-h^2/2m)[∇^2u + 2i(k•∇u)+k^2u] + [V(r)-E]u = 0和∇(u exp(ik•r)) = iu(k+G)其中，G是任意一个倒格矢。
第五部分：布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理中有广泛的应用。
布洛赫定理的内容
布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一个重要定理，描述了周期势场中电子波函数的特性。
具体内容如下：
1. 布洛赫定理指出，在周期势场中，电子的波函数具有形式为
ψ(r) = u(r)exp(ik·r)的解，其中u(r)是一个与周期势场具体形
式相关的函数，exp(ik·r)是一个平面波因子，k是电子的晶格动量。
2. 布洛赫定理说明了电子波函数在周期势场中的行为具有周期性，即ψ(r + R) = ψ(r)，其中R是晶格常数。
3. 根据布洛赫定理，电子波函数可以用一个波矢k来标记，称
之为布洛赫矢量。
每个布洛赫矢量对应一个能量本征态，称为布洛赫能带。
4. 布洛赫定理还指出，对于周期势场中的电子，其能量本征态
具有沿晶格方向传播的特性。
这意味着，电子在周期势场中的行为可以用一系列具有不同波矢k的平面波叠加来描述，每个平面波对应不同的能量本征态。
5. 布洛赫定理基于周期势场的周期性，可以有效地描述晶体中
的电子行为，例如能带结构、导电性等。
该定理为固体物理学提供了一个重要的理论框架，对于理解和研究晶体中电子行为具有重要意义。
固体物理复习
321a a a ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛414141第一章1.固体按其结构的有序程度可分为晶体和非晶体。
晶体:长程有序（分为单晶体和多晶体（微晶））。
非晶体：不具有长程序的特点。
具有短程序。
准晶体：有长程有序性，没有平移对称性。
2. 基元：构成晶体的基本单元。
它可以包含一个或几个原子、离子或分子。
格点：空间抽象出来的代表基元的点。
它可以是基元重心的位置，也可以是基元中任意的点。
布拉维格子（布喇菲格子）：格点形成的晶格；晶格（点阵）＋基元＝晶体结构；晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。
3.晶格平移矢量： ，基矢： 4.原胞（固体物理学原胞）：由基矢为棱边，组成的平行六面体形成的晶格结构的最小重复单元。
特点：a. 基矢和原胞选取选取具有多样性。
b. 只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。
C.原胞反映了晶体晶格的周期性。
体积： 5.维格纳-塞茨原胞（简写为WS 原胞），也称为对称原胞: 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S 原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。
既反映了晶体的周期性，又反映了晶体的一切对称性 。
6.晶胞（结晶学原胞）：能直观反映晶体对称性的晶格的重复单元。
基矢选取原则：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向。
模a, b, c 为各轴上的周期，称为晶格常数。
特点：（a ）具有明显的对称性和周期性。
（b ）晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。
其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
体积： 立方晶系晶胞的体积: 。
(a)简立方SC:晶胞和原胞都包含包含1个格点。
固体物理学原胞的体积(b)体心立方（bcc):平均每个晶胞包含 2个格点。
固体物理学原胞的体积：(c)面心立方(fcc):每个面心立方晶胞包含4个有效格点。
第四章 第一节 布洛赫定理
该方程可以在一个正点阵元胞内求解，属于在有 限区域内的厄米本征值问题，应该有无穷多分立 的本征值E n(k)，对应无穷多的本征函数。
2. 对于一个确定的n， 能量本征值和波函
数都是k的周期函数
我们注意到
其中 将
仍然是正点阵的周期函数 代入能量本征值方程，得到
对比
它们完全相同，因此
即
有相同的本征值，即
对所有具有时间反演对称性的晶体能谱有：
由式子4.1.20有
两边取共轭，k -> -k
能量本征值必须是实数：
结果
满足同一方程，有
5. 等能面垂直于布里渊区界面
等能面定义为k空间，所有能量相等的k构成的曲面。
布里渊区界面是K h的中垂面，因此相对于K h 和-K h的一对布里渊区界面有镜面反演对称。 设A，B为布里渊区界面上关于m对称的两个点，a, b为 布里渊区界面上关于m对称的两个点。它们之间正好 相差一个倒格矢K h。 过a,b两点等能面的法线为
这就是布洛赫定理。
当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增 加一个相位因子。
注意：不是R的周期函数！
布洛赫定理的另一种表达形式： 周期势场中的单电子波函数可以写成一个调幅的 平面波（布洛赫波函数）：
其中调幅因子u满足R的周期性：
很显然，该函数必然满足布洛赫定理
与自由电子波函数相比，周期场的作用只是用一 个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。
平移算符
晶体最重要的特征是平移对称性，定义三个基本的 平移算符： 对任一函数：
它们是可对易的：
同时，平移算符 也是可对易的：
与哈密顿
即
这四个算符具有相同的本征函数，可以用它们所对 应的本征值的量子数来标志周期中的单电子态。
固体物理 第四章(1)Bloch定理
i
ˆ H i i r i Ei i r i
（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一 个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。
周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个 电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所 有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有 电子都适用，是所有电子的解。 如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出 现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电 子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N
（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且
ik r r e uk r
（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再 是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r
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一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数 —— 简约波矢 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
—— 布洛赫定理 3) 简约波矢改变一个倒格子矢量
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应 取值限制第一布里渊区
简约波矢
第一布里渊区体积
简约波矢 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点 每个代表点的体积
—— 布洛赫函数
二 . 周期性边界条件
实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
1. 一维情况
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,
则布洛赫波函数 k ( x)应满足如下条件
k ( x) k ( x Na)
(3)
此式称为周期性边界条件。
a
采用周期性边界条件以
a
后，具有 N 个晶格点的
晶体就相当于首尾衔接
起来的圆环：
周期性边界条件对波 函数中的波数是有影 响的。
图 2 周期性边界条件示意图
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近 实际情况的波函数。
2、三维情况的布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时 电子的波函数满足薛定谔方程
—— 方程的解具有以下性质 —— 布洛赫定理
— 布洛赫定理 为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子
电子的波函数 晶格周期性函数
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 k ( x) ei k xuk ( x)
右边为
k
(
x
Na )
eik(
u x Na ) k
(
x
Na )
e i kNae i kxuk ( x)
所以
ei kNa k ( x)
ei kNa 1
kNa 2n (n 0,1,2,)
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
状态密度
简约布里渊区的波矢数目
波函数为：一个自由电子波函数 ei k x 与一个具有
晶体结构周期性的函数 uk ( x)的乘积。
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只有在 uk ( x) 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
。
2
L
2
。
3
L
2
2
1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
123
L
kx
图 3 二维 k空间
示意图
1、 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相
同的本征函数。
2、利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值，给出电子波函数的形式
布洛赫定理的证明
一：引入平移算符
势场的周期性反映了晶格的平移对称性
k n 2 n 2
Na L
(n 0,1,2,)
k n 2 n 2
Na L
(n 0,1,2,)
k 是代表电子状态的角波数,
n 是代表电子状态的量子数。
2. 三维情况 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
一个 k 对应电子的一个状态。
晶格平移任意矢量
势场不变
在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
二：平移算符 的性质 1：作用于任意函数
——
任意函数如：如势能，哈密顿等 例：平移算符作用于周期性势场
2：各平移算符之间对易性 对于任意函数
3 平移算符和哈密顿量对易性 对于任意函数
和
微分结果一样
T和H存在对易关系，具有共同本征函数 —— 平移算符的本征值
布洛赫定理：
满足（1）式的定态波函数必定具有如下的
特殊形式 k ( x) eik xuk ( x)
(2)
式中 uk ( x) 也是以a为周期的周期函数，
即 uk ( x) uk ( x na)*
具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
三. k 空间
我们以 kx、 ky、 kz 为三个直角坐标轴，建立 一个 假想的空间。这个空间称为波矢空间、 在kk空空间间，中或，动电量子空的间每*个。状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
ky
2
L
ny
(ny 0,1,2,)
kz
2
L
nz
(nz 0,1,2,)