量子力学 2-2-晶格周期性和晶向晶面
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程序。
非晶：不具有长程序，但具有短程序。
准晶：粒子的排列有序，但不具有平移对称性，具有晶体所 不允许的旋转对称性。
固体物理学将晶体作为主要讨论对象，基本的出发点在于原子 排列周期性。本章主要讨论晶体内部原子的规则排列问题。
3
晶格的概念
•晶体内原子排列的具体方式称为晶体格子，或者简称晶格。
•不同晶体之间，如果原子排列方式不同，我们称为具有不 同晶格。 •不同晶体之间，如果原子排列方式相同，只是原子种类或 间距不同，我们称为具有相同晶格。
Ω = av1 ⋅ (av2 × av3 )
•由于基矢选择的不唯一性，原胞的选择也不是唯一的。但每 一中点阵都有约定的基矢和原胞选择方式。
19
基矢和原胞选择的非唯一性，但通常选择（1）。 20
立方晶格的原胞
•对于简单晶格（=布拉菲点阵）而言，一个原胞只包含一个原子。
简单立方晶格（sc）
k
体心立方（bcc）
复式晶格：包括两种或更多种不等价的原子（或离子）。包 括化学性质不等价和几何位置不等价。
例如：六角密排结构；金刚石结构； <几何位置不等价> 例如：NaCl结构；CsCl结构；闪锌矿结构 <化学性质不等价>
复式晶格可以看作各等价原子组成的晶格互相穿套而成的。
6
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 倒点阵 晶格宏观对称性和晶格分类
7
晶体最本质的特征是其结构的周期性或者平移对称 性。固体理论特别强调晶格的周期性。
晶格周期性的两种描述方法：
基元和点阵（布拉菲格子） 基矢和原胞
8
基元和点阵
一个实际晶格包含的原子可以是完全等价的（简单晶格）， 也可以是不完全等价的（复式晶格）。 无论是简单晶格还是复式晶格，都能找到一个最小的完全 等价的结构单元，一个理想的晶体可由这个全同的结构单元 在空间无限周期重复而得到。这个基本结构单元称为基元。
i =1
当li取一切整数时，Rl端点的集合 (l1, l2, l3)包含且仅包含点阵 所有的阵点。 Rl称为点阵平移矢量。
•对于复式晶格，每个原子的坐标可以写成：
l1av1 + l2av2 + l3av3 + rα α = 1, 2, ..., i
rα为基元内原子间相对位移（假设每个基元有i个原子）
主要内容（本学期）
量子力学基础 固体结构 固体结合 固体原子振动理论及热学性质 固体电子理论
1
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性及其结构分类 倒点阵
2
晶体、非晶、准晶
固体材料是由大量的原子（或离子）构成，1cm3体积中约包 含1023个原子。固体内原子的具体排列方式为固体的结构。根 据固体内原子排列方式的不同，可将固体分为三类： 晶体：原子排列具有周期性（平移对称性），或者说具有长
13
基矢选择
•一个给定的点阵，基矢的选择不是唯一的，存在无限种可能， 但每种选择必须满足基矢a1，a2，a3构成的平行六面体的体积 a1⋅ (a2×a3)最小，只包含一个阵点。
二维情况
红色非点阵基矢
14
为什么Rl完全表征了晶格的平移对称性？
•Rl端点的集合 (l1, l2, l3)包含且仅包含点阵所有的阵点。 •点阵平移Rl复原 •晶体内任一点x和x+Rl点完全相同。
•V(x)表示晶体内x点的某 一物理量，如电子云密度 或势能，则有：
V
( xr )
=
V
( xr
+
v Rl
)
=
V
( xr
+
l1av1
+
l2av2
+
l3av3
)
15
常见布拉菲点阵
简单立方点阵
体心立方点阵
面心立方点阵
16
结构
sc结构 bcc结构 fcc结构 hcp结构 金刚石结构 NaCl结构 CsCl结构 ZnS结构
a1
面心立方（fcc）
a3
j
a2 i
晶格类别 基元中原(离)子 点阵 数目
简单
1
sc点阵
简单
1
bcc点阵
简单
1
fcc点阵
复式
2
六角点阵
复式
2
fcc点阵
复式
2
fcc点阵
复式
2
sc点阵
复式
2
fcc点阵
自然界晶格类型很多，但只有14种布拉菲格子。
17
关于布拉伐点阵的几点说明
布拉菲点阵是一个无限的点的阵列，阵点完全等价。 布拉菲点阵是一个几何抽象，并不一定与晶体结构完全对应。 简单晶格的结构与点阵形式完全对应，复式晶格的结构与点阵 形式上并不一致。总的来说：晶格=点阵+基元。 布拉菲点阵代表了晶体最本征的特性，即晶体中原子的周期 性排列，或称为晶体的平移对称性。 具体的晶体结构多种多样，但布拉菲点阵只有14种。
•我们把每个原子想象成一个球，把晶格看作一个个原子 球的规则排列，来处理一些晶格的实例。
4
简单立方晶格
面心立方晶格
体心立方晶格
六角密排晶格
金刚石结构
NaCl结构
CsCl结构
闪锌矿结构
5
简单晶格和复式晶格
简单晶格：晶格中所有原子完全等价---不仅化学性质等价， 而且所处几何位置完全等价。
例如：体心立方晶格：Li晶体，W晶体。 面心立方晶格：Cu晶体、Au晶体。
基元可以是一个原子，也可以是一个原子（离子）团。
对于一个实际的晶体结构，我们可以忽略掉基元内原子分 布的细节，用一个几何点来代替它。这个几何点称为结点 或阵点，这些点的空间阵列称为点阵或者格子，也常称为 布拉菲点阵或布拉菲格子。
9
晶体结构
基元，含有两 个不同离子
空间点阵
<晶体结构> = <点阵> + <基元>
18
基矢和原胞
•前面论及布拉菲点阵可以定义三个不共面的基矢a1，a2，a3，
∑ 使得点阵平移矢量RRvl：l = l1av1 + l2av2 + l3av3 = 3 liavi i =1
的端点集合遍及点阵各结点，无一遗漏。
•基矢a1，a2，a3所确定的平行六面体我们称为原胞，其作为整 个晶格的最小周期重复单元，整个晶格可以由原胞平移堆砌 形成。原胞体积：
10
不同晶体结构，相同点阵
11
面心立方晶格
NaCl结构
不同晶体结构（晶格），相同点阵，同为面心立方点阵
12
点阵平移矢量---布拉伐点阵的数学描述
•对于一个给定点阵，我们可以选择三个不共面的基矢a1，a2， a3，使得矢量Rl：
∑ v
Rl
=
l1av1
+ l2av2
+ l3av3
=
3
li avi
非晶：不具有长程序，但具有短程序。
准晶：粒子的排列有序，但不具有平移对称性，具有晶体所 不允许的旋转对称性。
固体物理学将晶体作为主要讨论对象，基本的出发点在于原子 排列周期性。本章主要讨论晶体内部原子的规则排列问题。
3
晶格的概念
•晶体内原子排列的具体方式称为晶体格子，或者简称晶格。
•不同晶体之间，如果原子排列方式不同，我们称为具有不 同晶格。 •不同晶体之间，如果原子排列方式相同，只是原子种类或 间距不同，我们称为具有相同晶格。
Ω = av1 ⋅ (av2 × av3 )
•由于基矢选择的不唯一性，原胞的选择也不是唯一的。但每 一中点阵都有约定的基矢和原胞选择方式。
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基矢和原胞选择的非唯一性，但通常选择（1）。 20
立方晶格的原胞
•对于简单晶格（=布拉菲点阵）而言，一个原胞只包含一个原子。
简单立方晶格（sc）
k
体心立方（bcc）
复式晶格：包括两种或更多种不等价的原子（或离子）。包 括化学性质不等价和几何位置不等价。
例如：六角密排结构；金刚石结构； <几何位置不等价> 例如：NaCl结构；CsCl结构；闪锌矿结构 <化学性质不等价>
复式晶格可以看作各等价原子组成的晶格互相穿套而成的。
6
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 倒点阵 晶格宏观对称性和晶格分类
7
晶体最本质的特征是其结构的周期性或者平移对称 性。固体理论特别强调晶格的周期性。
晶格周期性的两种描述方法：
基元和点阵（布拉菲格子） 基矢和原胞
8
基元和点阵
一个实际晶格包含的原子可以是完全等价的（简单晶格）， 也可以是不完全等价的（复式晶格）。 无论是简单晶格还是复式晶格，都能找到一个最小的完全 等价的结构单元，一个理想的晶体可由这个全同的结构单元 在空间无限周期重复而得到。这个基本结构单元称为基元。
i =1
当li取一切整数时，Rl端点的集合 (l1, l2, l3)包含且仅包含点阵 所有的阵点。 Rl称为点阵平移矢量。
•对于复式晶格，每个原子的坐标可以写成：
l1av1 + l2av2 + l3av3 + rα α = 1, 2, ..., i
rα为基元内原子间相对位移（假设每个基元有i个原子）
主要内容（本学期）
量子力学基础 固体结构 固体结合 固体原子振动理论及热学性质 固体电子理论
1
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性及其结构分类 倒点阵
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晶体、非晶、准晶
固体材料是由大量的原子（或离子）构成，1cm3体积中约包 含1023个原子。固体内原子的具体排列方式为固体的结构。根 据固体内原子排列方式的不同，可将固体分为三类： 晶体：原子排列具有周期性（平移对称性），或者说具有长
13
基矢选择
•一个给定的点阵，基矢的选择不是唯一的，存在无限种可能， 但每种选择必须满足基矢a1，a2，a3构成的平行六面体的体积 a1⋅ (a2×a3)最小，只包含一个阵点。
二维情况
红色非点阵基矢
14
为什么Rl完全表征了晶格的平移对称性？
•Rl端点的集合 (l1, l2, l3)包含且仅包含点阵所有的阵点。 •点阵平移Rl复原 •晶体内任一点x和x+Rl点完全相同。
•V(x)表示晶体内x点的某 一物理量，如电子云密度 或势能，则有：
V
( xr )
=
V
( xr
+
v Rl
)
=
V
( xr
+
l1av1
+
l2av2
+
l3av3
)
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常见布拉菲点阵
简单立方点阵
体心立方点阵
面心立方点阵
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结构
sc结构 bcc结构 fcc结构 hcp结构 金刚石结构 NaCl结构 CsCl结构 ZnS结构
a1
面心立方（fcc）
a3
j
a2 i
晶格类别 基元中原(离)子 点阵 数目
简单
1
sc点阵
简单
1
bcc点阵
简单
1
fcc点阵
复式
2
六角点阵
复式
2
fcc点阵
复式
2
fcc点阵
复式
2
sc点阵
复式
2
fcc点阵
自然界晶格类型很多，但只有14种布拉菲格子。
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关于布拉伐点阵的几点说明
布拉菲点阵是一个无限的点的阵列，阵点完全等价。 布拉菲点阵是一个几何抽象，并不一定与晶体结构完全对应。 简单晶格的结构与点阵形式完全对应，复式晶格的结构与点阵 形式上并不一致。总的来说：晶格=点阵+基元。 布拉菲点阵代表了晶体最本征的特性，即晶体中原子的周期 性排列，或称为晶体的平移对称性。 具体的晶体结构多种多样，但布拉菲点阵只有14种。
•我们把每个原子想象成一个球，把晶格看作一个个原子 球的规则排列，来处理一些晶格的实例。
4
简单立方晶格
面心立方晶格
体心立方晶格
六角密排晶格
金刚石结构
NaCl结构
CsCl结构
闪锌矿结构
5
简单晶格和复式晶格
简单晶格：晶格中所有原子完全等价---不仅化学性质等价， 而且所处几何位置完全等价。
例如：体心立方晶格：Li晶体，W晶体。 面心立方晶格：Cu晶体、Au晶体。
基元可以是一个原子，也可以是一个原子（离子）团。
对于一个实际的晶体结构，我们可以忽略掉基元内原子分 布的细节，用一个几何点来代替它。这个几何点称为结点 或阵点，这些点的空间阵列称为点阵或者格子，也常称为 布拉菲点阵或布拉菲格子。
9
晶体结构
基元，含有两 个不同离子
空间点阵
<晶体结构> = <点阵> + <基元>
18
基矢和原胞
•前面论及布拉菲点阵可以定义三个不共面的基矢a1，a2，a3，
∑ 使得点阵平移矢量RRvl：l = l1av1 + l2av2 + l3av3 = 3 liavi i =1
的端点集合遍及点阵各结点，无一遗漏。
•基矢a1，a2，a3所确定的平行六面体我们称为原胞，其作为整 个晶格的最小周期重复单元，整个晶格可以由原胞平移堆砌 形成。原胞体积：
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不同晶体结构，相同点阵
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面心立方晶格
NaCl结构
不同晶体结构（晶格），相同点阵，同为面心立方点阵
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点阵平移矢量---布拉伐点阵的数学描述
•对于一个给定点阵，我们可以选择三个不共面的基矢a1，a2， a3，使得矢量Rl：
∑ v
Rl
=
l1av1
+ l2av2
+ l3av3
=
3
li avi