含三角函数的导数问题

1．已知函数f (x )＝－cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B ．1－sin1 C ．1＋sin1 D ．－1－sin1 答案 C

解析 ∵f (x )＝－cos x ＋ln x ，∴f ′(x )＝1

x ＋sin x ，∴f ′(1)＝1＋sin1.

2．曲线y ＝tan x 在x ＝－π

4处的切线方程为______

答案 y ＝2x ＋π

2－1

解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，所以在x ＝－π

4处的斜率为2，曲线

y ＝

tan x 在x ＝－π4处的切线方程为y ＝2x ＋π

2－1.

3

．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．

答案 (π3，5π

3) :

∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的

增区间为(π3，5π

3)．

4. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是

—

A B C D

5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π

4)的大小关系为______(用“<”连接)．

答案 f (4π3)

4)．

解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π

3]时，sin x <0，cos x <0，

∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π

3]时为减函数，

∴f (4π3)

4)，又函数f (x )为偶函数，

∴f (4π3)

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1， :

于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π

4)．

令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π

2.

因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π

2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.

7． 已知函数2

()sin cos f x x x x x =++

（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。 （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。 解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+

因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =

所以'()0()f a f a b =⎧⎨

=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b

+=⎧⎨++=⎩，解得0

1a b =⎧⎨=⎩

（2）因为2cos 0x +>

所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增

.

当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =， 所以b 的取值范围是(1,)+∞

8.已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.

（Ⅰ）当π

2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π

2

a >时，求函数()f x 的单调区间.

解：（Ⅰ）当π

2a =

时，π()()sin cos ,(0,)2

f x x x x x π=-+∈ π

'()()cos 2

f x x x =- --------------------------------1分

由'()0f x =得π

2

x = --------------------------------------2分

(),

f x f 的情况如下

·

--------------------------------------------------4分

因为(0)1f =，(π)1f =-，

所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-， ①当

π

π2

a <<时，(),'()f x f x 的情况如下

-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2

和(,π)a ②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下