两条直线的夹角

，
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11.3-2两条直线的夹角
β
α
图1
图2
图1和图2可用哪个角表示两直线的夹角？
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11.3-2两条直线的夹角
y

二、两直线夹角定义及范围：
1.两条相交直线的夹角: 两条相交直线所成的锐角或直角 称为两条相交直线的夹角. 2.如果两条直线平行或重合,我们 规定它们的夹角为 0 3.平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
a1a2 b1b2 a2 2 b2 2
1
或一个斜率不存在，另一个斜率为零.
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逐渐减弱
11.3-2两条直线的夹角
感谢各位老师莅临指导！
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y

d2


d2 l 2 x

d1
l1
1)
o
l1
2)
o
x
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11.3-2两条直线的夹角
向量推导 二条直线：l1 : a1 x b1 y c1 0 直线夹角 的大小.
l2 : a2 x b2 y c2 0
(其中a1、b1不同时为零; a2、b2不同时为零) 求两 解:根据 l1与 l2的方程,取 d1 (b1, a1 ), d2 (b2 , a2 ) 为 l1与 l2的方向向量. d1 d 2 a1a2 b1b2 由向量的夹角公式得: cos d1 d 2 a12 b12 a2 2 b2 2 由cos cos 所以两直线的夹角公式: cos
α θ β
l 2:a2x+ b2y+
l 1 x
O
α β
O
x
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典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例1.求下列各组直线的夹角 ：
(1)l1 : 3x y 12 0, l2 : 2x y 3 0;
解：（1）根据l1 与l2的方程及两直线夹角公式可得:
2 cos 2 2 2 2 2 (1) 3 1 2
3 2 1 (1)
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
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典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例1.求下列各组直线的夹角 ： (2)l1 : 3x y 12 0, l2 : x 0;
解：（2）根据l1 与l2的方程及两直线夹角公式可得:

o



o
x
y
x
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11.3-2两条直线的夹角
三、两直线夹角公式的推导
若 时: 2
d2的夹角为 两直线 l1、 l2的夹角为 ;方向向量 d1、
若 为钝角时:
于是得:cos cos
y d1

d1 d2
l2
解： (5)l1的一般式方程为ax y 1 0, l2的一般式方程为x ay a 0,
cos a = |a? 1 a ? ( 1) | a 2 + 12 ? 12 p = 0, \ a = 2 (- a )2
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典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0 3 的夹角为 arccos ，求直线l 的方程。 5 解: 1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意; 2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2), 即kx-y+2k+1=0;
3 因为l与l0的夹角为 arccos ,由两直线夹角公式得： 5
3 2 2 5 9 16 a b 3a 4b
2 2 3 a 4 b 3 a b 整理得:
即:b(24b-7a)=0, 当b=0时直线l 的方程为x+2=0; 当 b 0时直线l 的方程为7x+24y-10=0;
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0 3 的夹角为 arccos ，求直线l 的方程。 5 解: 法二:设直线l 的一个法向量为 n (a, b) ,则直线 的点法向式方程为a( x 2) b( x 1) 0 整理得: ax by 2a b 0
问题:此时角 是唯一确定的吗?
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a1a2 b1b2
a12 b12 a2 2 b2 2
11.3-2两条直线的夹角
斜率推导法
l 1:a1x+ b1y+ c1= 0 y l 2
θ
l c1 0b1y+ c1= 0 l x+ 1:a 2:a2x+ b2y+ 2=
y l 2 l 1
3 10 cos 10 (1)2 32 12 02
3 1 1 0
3 10 因为 0， ,所以 arccos 10 2 3 10 即直线 l1 和 l2 的夹角为 arccos 10 21:49:52
典型例题
11.3-2两条直线的夹角
3x 1
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11.3-2两条直线的夹角
练习2 2.求经过点A(1,0)，且与直线x-y+3=0成 30o的直线的方程；
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11.3-2两条直线的夹角
思考题
思考题：已知 ABC 的三个顶点 为 A(2,1), B(6,1), C (5,5) ； (1)求 ABC 中 A的大小; (2)求 A的平分线所在直线的方程.
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所以直线l 的方程为x+2=0或7x+24y-10=0;
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0 3 的夹角为 arccos ，求直线l 的方程。 5 y
P(2,1)
o
x
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Hale Waihona Puke Baidu
11.3-2两条直线的夹角
练习1 1.已知直线l经过原点，且与直线 y 的夹角为 6 ，求直线l的方程；
例1.求下列各组直线的夹角 ：
(3)l1 : y 3x 12, l2 : x y 0;
解：l1的方程化为一般式为：3x+y-12=0 根据 l1与 l2的方程及两直线夹角公式可得:
5 cos 2 2 2 2 5 (1) 3 1 (1) 3 1 1 (1)
3 因为两直线夹角为 arccos ， 5 3k 4 3 3 cos(arccos ) 所以有 5 5 25 k 2 1
解得
k
7 24
所以直线方程为7x+24y-10=0； 由1)、2)可知，方程为7x+24y-10=0 或x=2;
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典型例题
11.3-2两条直线的夹角
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小结：
11.3-2两条直线的夹角
1. 二条直线：l1 : a1 x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0 (其中 a1、b1不同时为零;
a2、b不同时为零 ) 2
a12 b12
(1)两直线的夹角公式:cos 2.当直线 l1 和 l2 垂直时: (1) a1a2 b1b2 0 k1 k2 (2)两直线斜率都存在时，
11.3-2两条直线的夹角
零陵中学
邵
伟
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11.3-2两条直线的夹角
一、复习
判断下列各组直线的位置关系，若相交并求出 其交点： （1）l1 : 3x y 12 0 l2 : 6x 2 y 24 0 （2）l1 : 3x y 12 0 l2 : 2x y 3 0 l3 : x y 0 （3）l1 : 3x y 12 0
5 因为 0， ,所以 arccos 5 2 5 即直线 l1和 l2的夹角为 arccos 21:49:52 5
典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例1.求下列各组直线的夹角 ： 1 (4)l1 : y ax 1, l2 : y x 1(a R, a 0) a