2010年河南专升本高数真题+答案解析

2010年河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

一、选择题 （每小题2 分，共60 分）

1．设函数()f x 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)f x e -的定义域为（ ）

A ．[]2,2-

B ．(1,1]-

C ．(2,0]-

D ．(0,2]

【答案】D

【解析】由题意得，()f x 的定义域为(1,1]-，则在(1)f x e -中，1(1,1]x -∈-，即02x <≤，故选D ．

2．若()()f x x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是（ ） A ．[]331(),1,1y x x x -∈- B ．3()tan ,(,)y xf x x x ππ=+∈-

C ．[]3sin (),1,1y x x f x x =-∈-

D ．[]2

5()sin ,,x y f x e x x ππ=∈-

【答案】D

【解析】()f x 为奇函数，对于选项D ，2

2

()55()sin ()()sin x x f x e x f x e x ---=，故选D ．

3．当0x →时，21x e -是sin3x 的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小

C ．等价无穷小

D ．同阶非等价无穷小

【答案】D

【解析】200122

lim lim sin333

x x x e x x x →→-==，从而21x e -是sin3x 的同阶非等价无穷小，故选D ．

4．设函数2

51

1sin ,0(),

0x

x x x f x e x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是()f x 的（ ）

A ．可去间断点

B ．跳跃间断点

C ．连续点

D ．第二类间断点

【解析】2

501

lim sin 0x x x

+

→=，1

0lim 0x x e -→=，00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=，从而0x =是()f x 的可去间断点，故选A ．

5．下列方程在区间(0,1)内至少有一个实根的为（ ） A ．20x += B ．sin 1x π=-

C ．32520x x +-=

D ．21arctan 0x x ++=

【答案】C

【解析】对于选项C ，构造函数32()52f x x x =+-，(0)20f =-<，(1)40f =>，由零点定理得，()0f x =在(0,1)上至少存在一个实根，故选C ．

6．函数()f x 在点0x x =处可导，且0()1f x '=-，则000

()(3)

lim

2x f x f x h h

→-+=（ ）

A ．

23 B ．23-

C ．32

-

D ．

32

【答案】D 【解析】000000

0()(3)(3)()333

lim

lim ()23222x x f x f x h f x h f x f x h h →→-++-⎛⎫'=⋅-=-= ⎪⎝⎭

，故选D ．

7．曲线ln y x x =平行于直线10x y -+=的切线方程是（ ） A ．1y x =- B ．(1)y x =-+

C ．1y x =-+

D ．(ln 1)(1)y x x =+-

【答案】A

【解析】ln 1y x '=+，又直线10x y -+=的斜率1k =，令1y '=得1x =，0y =，从而与直线平行的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，故选A ．

8．设函数212sin 5

y x π

=-，则y '=（ ）

A ．2

2cos

5

1x π

-- B ．2

1x

-

C 2

1x

-

D ．22cos 5

51x π

-

【解析】(

2

212sin 51y x x

π''⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭-B ．

9．若函数()f x 满足2()2sin df x x x dx =-，则()f x =（ ）

A ．2cos x

B ．2cos x

C +

C ．2sin x C +

D ．2cos x C -+

【答案】B

【解析】2()2sin df x x x dx =-，则2222()(2sin )sin cos f x x x dx x dx x C =-=-=+⎰⎰，故选B ． 10．sin(12)b x

a d e x dx dx

--=⎰（ ）

A ．sin(12)x e x --

B ．sin(12)x e x dx --

C ．sin(12)x e x C --+

D ．0

【答案】D

【解析】sin(12)b

x a e x dx --⎰为一常数，从而

sin(12)0b x

a d e x dx dx

--=⎰，故选D ．

11．若()()f x f x -=，在区间(0,)+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(,0)-∞内（ ） A ．()0,()0f x f x '''<< B ．()0,()0f x f x '''>>

C ．()0,()0f x f x '''><

D ．()0,()0f x f x '''<>

【答案】D

【解析】()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，又在(0,)+∞上，()0f x '>，()0f x ''>，所以在(,0)-∞上()0f x '<，()0f x ''>，故选D ．

12．若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，在点0x x =处不可导，0(,)x a b ∈，则（ ） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点

C ．0x 不是()f x 的极值点

D ．0x 可能是()f x 的极值点

【答案】D

【解析】由判断极值的方法知，0x 可能是()f x 的极值点，故选D ．