人教版小学数学广角教材整理汇编

数学广角
二上【搭配（一）：简单的排列组合思想、有序思想和逻辑推理能力】
教材97-99页，例1要探索用非0的3个数字组成没有重复数字的两位数的个数，是排列问题。

教材分两个层次编排：第一个层次是找出所有满足条件的两位数，第二个层次是数出满足条件的两位数的个数。

例2紧密结合学生已有知识，让学生从3个数中任取2个求和，确定得数的种类数。

两个数相加之和与数的位置无关，是组合问题。

其编排层次有2个。

第一层次是找出所有满足条件的和，第二层次是数出满足条件的和的个数。

二下【推理：排列思想、推理的数学思想和有顺序地、全面地思考问题的意识】
教材109-112页，例1以猜书的游戏活动，3本书每人各拿一本书、小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书。

教材呈现了摘录信息再连线的方法和综合排除法，其中右侧学生的方法又体现了一定的开放性，“可以肯定”后面可以补充为“小丽拿的是语文书或品德与生活书”，也可以是“小刚拿的是数学书”。

例2是让学生利用推理解决按要求在方格内填数的问题。

在问题呈现上，教材体现了以下几个特点：一是通过字母标示，对于解决问题的关键步骤进行了提示，降低了问题的难度；二是通过小精灵的提示，给出解决问题的关键，降低了思考难度；三是以两幅连续的学生交流图呈现了完整的推理思路，突出了学生对推理过程的体验和表述。

三上【集合：集合思想、分类思想和数形结合的方法】
教材104-107页，在例1用统计表的形式给出三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单，提出要解决的问题——参加两项比赛的共有多少人。

教材呈现了一一列举出参加两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），把重复的连起来（找到交集的元素）解决问题的方法，让学生体会在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

同时介绍用Venn图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合元素的特性。

三下【搭配（二）：排列组合思想、分类讨论思想、数形结合思想、符号化思想，掌握简单搭配的方法，发展有序、全面思考问题的能力】
教材101-105页，例1，要求学生用4个数字（含0）组成没有重复数字的两位数，教学稍复杂的排列问题。

例2，通过两件上衣、三件下装的搭配，教学分步乘法计算原理。

例3，通过求4支球队的比赛（每两个队赛一场即单循环）次数，教学组合问题。

四上【优化：运筹思想】
教材104-108页，例1分析家里来客人需要沏茶时，怎样安排各种事情能让客人尽快喝上茶。

教材在情境图下给出了沏茶所要做的各种工序，以及做每件事情所需的时间。

首先要明确沏茶的大致顺序，也就是说哪些事情要先做，然后再考虑还有哪些事情可以同时做，能同时做的事尽量同时做，这样才能节省时间。

教材还提示可以用流程图的方式表示解决问题的顺序或方案，教给学生设计方案的具体方法。

例2讨论烙饼时怎样操作最省时间，让学生体会在解决问题中优化思想的应用。

教材首先给出一幅生动有趣的情境图，让学生探索发现：3张饼的烙法，最好的方法是先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的反面，这种方法只需9分钟。

然后还可以让学生在实验的基础上独立完成：如果要烙的是4张饼，5张饼……10张饼，怎样安排最节省时间？再通过小组讨论交流发现：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2个2个的烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。

例3呈现了“田忌赛马”的故事，让学生体会对策论方法在实际中的应用。

教材首先引导学生回忆这个故事，并让学生把田忌在赛马中使用的方法通过表格的形式列出来。

通过比较让学生看到：虽然在同等级的马中，田忌的马都不如齐王的马；如果拿同等级的马进行比赛田忌一定会输，但是田忌所采用的策略却让他赢了。

从而让学生体会到对策论的方法在这场比赛中的重要性。

接下来让学生思考：田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？并让学生把田忌所有可以采用的策略列出来，通过对照来找到答案。

田忌可以采用的策略一共有6种，但只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。

最后教材让学生说一说田忌的这种策略在生活中还有哪些应用，让学生体会对策论方法在生活中的应用。

四下【鸡兔同笼：化繁为简的思想、数形结合的思想、数学模型的思想、分类的思想，列表尝试法、假设法】
教材103-107页，教材主题图借助富有情趣的古代课堂情境，生动地引出《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，并通过古代课堂上学生冥思苦想的画面和小精灵的提问激发学生解决古代数学问题的兴趣。

教材先将《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题数据变小编排了例1，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据比较大的原题。

例1教学依次呈现让学生经历从猜测到列表法，再到“假设法”解决问题的探究过程。

“阅读材料”中还介绍了古人的巧妙解法，拓宽学生的解题思路。

让学生在经历、体验解决问题的过程中感受解决问题的策略和方法的多样化。

五上【植树问题：模型思想、化归思想、对应思想、数形结合思想、极限思想】
教材106-111页，例1通过学生熟悉的植树情境，引导学生借助线段图，经历猜想、实验、抽象等数学活动过程，探索间隔与点之间的数量关系，建立植树问题的数学模型，再运用模型解决实际问题。

让学生经历分析、思考、解决问题的全过程。

例2讨论两端都不栽的问题，通过迁移呈现出两端都不栽的线段图解决。

例3讨论的是在封闭图形周围栽树的情形。

教材首先提示研究方法：“先画图试试看。

假设周长是40 m……”，当学生直观看出能栽4棵后，教材并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是请小精灵进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。

接下来，教材通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了例3与前面的例1、例2间的联系。

五下【找次品：逻辑推理的思想、极限思想、归纳法】
教材111-114页，例1：从3件物品中找出1件次品。

教材从最简单的问题（3瓶钙片）入手，让学生讨论找次品的方法，通过交流聚焦到用天平来找次品的方法上来。

通过用天平直观演示，说明基本推理过程：如果天平平衡……如果天平不平衡……。

接着教材通过小精灵的提问：“你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？”引导学生用直观方式记录找次品的思维过程。

例2：教学找次品的一般方法。

有了例1的基础，学生已经知道找次品的基本推理思路，教材在让学生理解了“至少称几次能保证找出次品”的含义后，通过小精灵直接提出“你们打算怎样表示找次品的过程？”可采取以下措施：一是让学生将推理的过程用直观、简洁的方式表示出来，并用“直观图”示例引导；二是让学生把不同的方案记录在表格中，以便进行分析、猜测；三是通过问题给出探索的线索，找出称的次数最少的方法，进行归纳、验证，概括出找次品的最优方法。

六上【数与形：数形结合的思想、归纳法】
教材107-111页，例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。

让学生计算从1开始的连续若干奇数之和。

借助图形，可以通过1=1^2，1+3=2^2，1+3+5=3^2…发现规律：从1开始，连续n个奇数之和，就是n的平方。

例2：等比数列之和等于1。

本例让学生计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…的得数。

学生在计算的过程中发现加数有规律，即后一个加数是前一个加数的1/2；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。

但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1。

六下【鸽巢问题：模型思想和归纳法、假设法、枚举法】
教材68-71页，例1：描述“抽屉原理”的最简单的情况。

教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。

剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结
构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽
屉原理”的初步认识。

例2：描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。

教材探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。

例3：是抽屉原理的一个逆向的应用。

要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。

这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。

教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，再通过小天使的话给予提示。