2015高考数学模拟试卷及答案解析

2015高考文科数学模拟试卷及答案解析
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2015高考文科数学模拟试卷 ......................................................................... 1 2015高考文科数学模拟试卷答案解析 (5)
2015高考文科数学模拟试卷
（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）
参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．复数1i
Z i
=
+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A.12- B.12i C.12 D.1
2
i -
2．已知集合(){}
lg 3A x y x ==+，{}
2B x x =≥，则A B =（ ） A. (3,2]- B.(3,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[3,)-+∞ 3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A. 1
y x x
=+
B. sin y x x =
C. 1y x =-
D. cos y x = 4.命题“2
1,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）
A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或
B.若11<<-x ，则12
<x
C.若1x >或1x <-，则12>x
D.若1x ≥或1x ≤-，则12
≥x 5．若向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =
A.(5,7)
B.(3,3)--
C.(3,3)
D.(5,7)--
6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：
那么方程220x x x +-
-=的一个最接近的近似根为（ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5
7．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ） A ．22 B ．16 C ．15 D ．11
（7题） （8题）
8．函数())(,0,)2
f x x x R
π
ωϕωϕ=+∈><
的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是
（ ） A ．2,3
π
-
B.2,6
π
-
C.4,6
π
-
D. 4,
3
π
9．若双曲线22
221x y a b
-= ）
A.2±
B.12±
D.2
± 10．已知函数2
2
2,0
()()()2(1),2,0
x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是 A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]
2,2-
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） （一）必做题（11～13题） 11. 计算33log 18log 2-= ．
12．变量x 、y 满足线性约束条件22
2200
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，
则目标函数z x y =+的最大值为 .
13
（二）选做题：第14、15全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xOy 参数方程为：3cos 13sin x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以Ox 为极轴建立极
坐标系，直线极坐标方程为：cos 06πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，则圆C 截直线所得弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，
BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，
若3OB =，5OC =，则CD = .
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设函数1
()cos sin 122
f x x x =
++ （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;
C
正视图
D
C
B
A
F
E
（2）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
π
α+
的值. 17．(本题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. 18．（本小题满分14分）
如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，
ED ⊥面ABCD ,3
BAD π
∠=
．
（1）求证://BCF AED 平面平面.
（2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。

19．（本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 的首项11,a =公差0,d >且2514,,a a a 分别是等比数列{}n b 的234,,.b b b （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （
2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12
112
n
n n
c c c a b b b ++++
=成立，
求122014c c c +++的值.
20.（本题满分14分）
已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为e =，过1C 的左焦点1F 的直线
:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2
122a PF PF b
=,若存在，指出有
几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+
-∈ （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性.
2015高考文科数学模拟试卷答案解析
1. 【解析】化简得i z 2
2+=，则虚部为2，故选C
2．C 【解析】
(){}
{}lg 33A x y x x x ==+=>-，{}2B x x =≥，所以[2,)A B =+∞,
故选C.
3．【解析】根据奇函数的定义可知A 正确。

4．【解析】由逆否命题的变换可知，命题“若12<x ，则11<<-x ” 的逆否命题是“若1
x ≥或1x ≤-，则12
≥x ”，故选D. 5．【解析】()3,3BC BA AC =+=--
6．【解析】因为()1.40625 0.0540f =<－，()1.4375 0.1620f =>，由零点存在定理知，最接近的近似根为1.4.
7．【解析】程序执行过程中，,i s 的值依次为1,1i s ==；1,2s i ==；11,3s i =+=；
112,4s i =++=；1123,5s i =+++=；11234,6s i =++++=；
112345,7s i =+++++=，输出s 的值为16.
8．【解析】由图知()f x 在5π12x =
T 满足35ππ+.4123T =
故
A =32π3π,2,
4ωω⨯=
=5π)12θ⨯
+=5π
sin()1,
6θ+=
5πππ2π,2π,623k k k θθ+=+=-∈Z .
所以π
()(2).
3x f x -=
或由5(π)12f =
π
()(2).
3x f x -= 9．
【解析】试题分析：双曲线的离心率c e a a ====
b a =，其渐
近线的方程为b
y x a
=±
，其斜率为 B. 10.【解析】 由偶函数定义可得()f x 是偶函数，故
()()f a f a -=，原不等式等价于()(1)f a f ≤，又根据偶函数定
义，()()f a f a =(1)f ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，1a ≤，
[1,1]a ∈-．或利用图象求a 范围．选C.
11. 2 12.
4
3
13. 24 14. 11. 【解析】333318
log 18log 2log log 922
-=== 12. 【解析】作出不等式组2222
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的可行域如图所示，联立2222x y x y +=⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
作直线:l z x y =+，则z 为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 224
333
z =
+=. 13．【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个
小三棱锥得到的，如图111
345(34)324232
V =
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
14．
【解析】圆3cos :13sin x C y θ
θ
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩（θ
为参数）表示的曲线是以点
)
为圆心，以3为半径
的圆，将直线cos 06πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
0y -=
，圆心)
到直线
0y -=的距离d =
1=
，故圆C
截直线所得弦长.
15．【解析】由于//OC AD ，BOC BAD ∴∠=∠，而OD OA =，因此ODA BAD ∠=∠， ODA BOC ∴∠=∠，//OC AD ，COD ODA ∴∠=∠，COD BOC ∴∠=∠，OD OB =，OC OC =，BOC DOC ∴∆≅∆，故CD BC =，由于BC 切圆O 于点B ，易知OB BC
⊥，由
勾股定理可得BC =4=，因此4CD BC ==
. 16．解：依题意1
()cos sin 122
f x x x =
++sin()13x π=++ ………2分
（1） 函数)(x f 的值域是[]0,2； ………4分 令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+ ………7分 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66
k k k Z ππ
ππ-
++∈. ………8分 （2）由9
()sin()1,35
f παα=++=得4sin()35πα+=,
因为2,63ππα<<
所以,23ππαπ<+<得3
cos()35
πα+=-, ………10分 2sin(2+)sin 2()33
ππ
αα=+432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯2425=- ………12分
17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为
61305
= ∴男生应该抽取1
2045
⨯=人 …………………………４分
（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。

女生2人记,A B ；男生4人为,,,c d e f ，
则从6名学生任取2名的所有情况为:(,)A B 、(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、
(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共15种情况， (8)
分
其中恰有1名女生情况有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f ，共8种情况， …………………………10分 故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为8
P 15
=. …………………12分
18．证明：（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴
,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面
//BC ADE ∴面………………………………3分
由BDEF 是矩形//BF DE ∴
,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面 //BF ADE ∴面
,,BC BCF BF BCF BC
BF B ⊂⊂=面面……………6分
（2）连接AC ，AC
BD O =
由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥
由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥
,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面
AO BDEF ∴⊥面，……………………………………………10分
则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=
，则A BD ∆为等边三角形，
由BF BD a ==；则,AD a AO ==
，
2
BDEF S a =，
23
13A BDEF V a -=⋅=
………………………………………14分
19.解：（1）∵25141,14,113a d a d a d =+=+=+，且2514,,a a a 成等比数列，
∴2(14)(1)(113)d d d +=++，即2d =， ……………2分 ∴1(1)22 1.n a n n =+-⋅=- ……………………4分
又∵22353,9,b a b a ====∴113,1,3.n n q b b -===………………6分 （2）∵
12
112n
n n
c c c a b b b +++=， ① ∴
121c a b =，即112
3c ba ==，又1
12
12
1
(2)n n n c c c a n b b b --++=≥， ② ①-②得
12n
n n n
c a a b +=-= ……………………………………………9分 ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥，∴1
3
(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩
，………………………………11分 则12201411220143232323c c c -++
+=+⋅+⋅+
+⋅12201332(333)=+⋅+++
201320143(13)
323.13
-=+⨯
=- ………………14分 20.解：因为直线l 的方程为:20l x y -+=，令0y =，得2x
=-，即1(2,0)F - ……1分
∴2c = ，又∵c e a =
=，∴ 26a = ， 2222b a c =-= ∴ 椭圆1C 的方程为22
1:162x y C +=.………………………………………４分 （2）存在点P ，满足2
122a PF PF b
=
∵ 圆心2
(3,3)C 到直线:20l x y -+=的距离为d =
=，
又直线:20l x y -+=被圆222:66310C x y x y m +--++=截得的弦长为
∴由垂径定理得2r =
==，
故圆2C 的方程为222:(3)(3)4C x y -+-=.………………………………８分
设圆2C 上存在点(,)P x y ，满足2
122a PF PF b
=即123PF PF =，
且12,F F 的坐标为12(2,0),(2,0)F F -，
则= 整理得2259
()24
x y -+=
，它表示圆心在5(,0)2C ，半
径是
3
2
的圆。

∴ 2CC ==………………………………………１２分 故有233
2222
CC -
<<+，即圆C 与圆2C 相交，有两个公共点。

∴圆2C 上存在两个不同点P ，满足2
122a PF PF b =.………………………１４分
21.解：（1）当1a =－时，2()ln 1,(0,)f x x x x x
=++∈+∞－
''212
()1,(2)ln 22,(2)1,ln 2f x f f y x x x
=
+-=+==+所以切线方程为： ……6分 （2）因为11ln )(--+-=x
a
ax x x f ， 所以211)('x a a x x f -+-=2
21x
a
x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令,1)(2
a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x ……………………8分
（i ）当a=0时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－
所以当(0,1)x ∈时g(x)>0, '
()0f x <此时函数()f x 单调递减，
x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0,'
()0f x >此时函数f ,
(x)单调递增。

第 11 页 共 11 页 （ii ）当0a ≠时，由()=0f x ，解得：121
1,1x x a
==－……………………10分 ①若12
a =
,函数f(x)在(0,+)∞上单调递减，……………………11分 ②若102a <<，在1(0,1), (1)a +∞－，单调递减，在1(1, 1)a －上单调递增. ③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x ∈(0,1)时，g(x)>0,此时'()0f x <,函数f(x)单调递减；
x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0 ,'()0f x >,此时函数()f x 单调递增。

综上所述：
当a ≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;
函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当12
a =
时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当102a <<时，函数f(x)在1(0,1), (1)a
+∞－，上单调递减； 函数 f(x)在1(1, 1)a －上单调递增；………14分。