泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，　y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。

2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。

3、1l 的共轭空间是（ ）。

4、设X按积空间<x,y>成为积空间，则对于X中任意向量x,y成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。

( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。

( )3、若数满足平行四边形法则，数可以诱导积。

( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。

( )5、设X是线性赋空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。

( )四、计算题（10分）叙述1l空间的定义，并求1l上连续线性泛函全体所成的空间？。

五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。

2、设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令10(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。

3、证明nR 按数||||max ||i ix ξ=组成的赋线性空间X 与nR 按数1||||||ni i x ξ==∑组成的赋线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有一个弱*收敛子列。

5、设H 是积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。

泛函分析期末考试试卷答案一、选择题1、A2、D3、B4、D5、D二、填空题1、柯西点列2、巴拿赫空间3、∞l 4、|<x,y>|≦||x||||y|| 5、对于一切x ∈X,<TX,X>是实数 三、判断题1、对2、对3、错4、错5、错 四、计算题答： 1121(,,),,(1,2)i i i l x R i ξξξξ∞=⎧⎫==<∞∈=∞⎨⎬⎩⎭∑ 对于任意12(,,,)n x ξξξ=，12(,,)n y ηηη=，定义运算1122(,)n n x y ξηξηξη+=+++，12(,)n ax a a a ξξξ=1l 按上述加法与数乘运算成为线性空间11i i x ξ∞==∑1l 按上述定义的数构为Banach 空间令(0,01,0),1,2n ne n ==，121(,,0,0,),nn n n i i i x x e ξξξξ===∑则121(,)nnx l ξξξ∀=∈能被表示为lim n n x x →∞=，对任意给定()'1f l ∈，令(),1,2n n f e n η==则11()(lim )lim ()lim ()n nn n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞→∞→∞======∑∑.又因为1i e =对于i ∀有1()i i i f e f e f η=≤=。

由此可得sup i if η≤即12(,)nl ηηη∞∈反之，对12(,)nb l ηηη∞∀=∈，作1l 上泛函()f x 如下：1121(),(,)ni i ni f x x l ξηξξξ==∀=∈∑，显然f 是1l 上线性泛函，又因为1111()sup .sup ,i i i i i i i iii i i f x x ξηξηηξη∞∞∞====≤≤=∑∑∑因此，1'(),f l ∈并且有sup .i if b η∞≤=综上1'().l l ∞=五、证明题（共50分）1、 证：反证法。

若T 为定义在整个空间X 上的闭算子，由于X 为闭集，而X 为Banach 空间，由闭图像定理可知，T 为X 到X 的有界闭算子， 这与T 为无界闭算子矛盾，原命题成立。

2、证：由定义，对于,[0,1],x y C ∀∈显然(,)0,d x y ≥且如果()(),[0,1],x t y t t =∈显然(,)0,d x y =反之如果(,)0,d x y =因为|()()|0,x t y t -≥所以()(),..[0,1],x t y t a e =于由于(),()x t y t 为连续函数，若0[0,1],t ∃∈使得00()(),x t y t ≠则存在0,δ>使得在00(,)[0,1]t t δδ-+⊂区间上，均有()(),x t y t ≠这与()(),..x t y t a e =相矛盾，所以()(),[0,1].x t y t t ≡∈此外，对于,,[0,1],x y z C ∀∈111(,)|()()||()()||()()|(,)(,)d x z x t z t dt x t y t dt y t z t dt d x y d y z =-≤-+-≤+⎰⎰⎰即三点不等式成立。

因此(,)x d 成为度量空间。

3、证：定义X ’到Y 的映射T ，任意'1,((),,()),n f X Tf f e f e ∈=其中(0,,0,1,0,0),1,2,,i e i n == 对任意1ni i i x e ξ==∑，11()()()max nniiiii i f x f e f e ξξ===≤∑∑=Tf x ，于是f Tf ≤。

反之，对任意()1,,,n y Y ηη=∈定义'f X ∈：对任意1n i i i x e ξ==∑，1(),ni i i f x ξη==∑则Tf y =。

因此T 是从X ’到Y 上的映射。

若(0,,0)y =，则显然0f =，则0Tf f == 若1(,,)(0,,0),n y ηη=≠令1(sign )ni i i x e η==∑，则1x =。

因此()f f x ≥=1.nii y Tf η===∑从而.Tf f =于是T 是从X ’到Y 的同构映射，在同构的意义下X ’=Y 。

4、证： 设{},n f M ⊂存在0,,1,2,.n K f K n >≤=设{}n x 是X 的可数稠密子集.考察有界数列{}11().n n f x ∞=由Weierstrass 定理，存在收敛子列{}{}1,11()().n n f x f x ⊂同理{}1,21().n n f x ∞=也有收敛子列{}2,2()n f x .一般地，若已有子列{},1()k n k n f x ∞=收敛，考察{},11().k n k n f x ∞+=.由于数列的有界性可找到收敛子列{}1,11()k n k n f x ∞++=我们用对角线法则,取泛函列{}{},11k kn n k f f ∞∞==⊂,{},k k f 在稠密子集{}n x 上点点收敛.事实上,由定义,对任意i ,{},1()i n i n f x ∞=是收敛的，而{},k kk if ∞=是{},1i nn f ∞=的子列，因此{},1()k k i k f x ∞=也是收敛的，{},k kf 在{}nx 上点点收敛,即 {},k kf 弱*收敛。

5、证：对于,,,,a R x y M z M ⊥∀∈∀∈∀∈则,,,0,x y z x z y z +=+=,,0,ax z a x z ==因此M ⊥为H 的线性子空间。

另外，对于任意M ⊥中的聚点x ，即存在由M ⊥中互异的点组成的点列{},n x 使得lim .n n x x →∞=由积的连续性，可知,lim ,lim ,0,n n n n x z x z x z →∞→∞===即x M ⊥∈,因此M ⊥为H 的闭线性子空间。

.试卷评价：题型丰富，难易结合。