高中数学必修一错题笔记

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通用版高中数学必修一函数及其性质易错知识点总结

(每日一练)通用版高中数学必修一函数及其性质易错知识点总结单选题1、若(x2+4x2−4)3的展开式中含x2项的系数为m，常数项为n，则函数f(x)=mx+n在[1,+∞)上的最小值为（）A．-200B．-100C．160D．220 答案：B解析：(x2+4x2−4)3=(x−2x)6，写出展开式的通项，令x的指数等于2，即可求得m，令x的指数等于0，即可求出n，从而可求的函数f(x)=mx+n在[1,+∞)上的最小值.解：因为(x2+4x2−4)3=(x−2x)6，所以(x−2x )6展开式的通项为T r+1=C6r x6−r(−2x)r=(−2)r C6r x6−2r.令6−2r=2，得r=2，则m=(−2)2C62=60；令6−2r=0，得r=3，则n=(−2)3C63=−160.所以f(x)=60x−160，当x∈[1,+∞)时，f(x)min=f(1)=60×1−160=−100.故选：B.2、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A解析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A3、对于函数f (x )=x|x|+x +1,下列结论中正确的是（）A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在定义域上是单调递减函数C ．f (x )的图象关于点(0,1)对称D ．f (x )在区间(0,+∞)上存在零点答案：C解析：把f (x )=x|x|+x +1转化为分段函数f (x )={−x 2+x +1,x ⩽0x 2+x +1,x >0，画出图像，即可得解.如图，f (x )={−x 2+x +1,x ⩽0x 2+x +1,x >0由图象可知，图象关于点(0,1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(−∞,0)上有零点，故选：C．小提示：本题考查了利用函数解析式求函数相关性质，考查了分类讨论思想和数形结合思想，本题主要是数形结合，根据函数图像，直观的看出函数相关性质，属于简单题.解答题4、已知定义在R上的函数f(x)=b−4xa+4x是奇函数.（1）求实数a,b的值；（2）判断函数的单调性并加以证明；（3）若对任意的t∈[−1,3]，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围.答案：（1）a=b=1；（2）f(x)为R上的减函数，证明见解析；（3）k<−13.解析：（1）利用f(0)=0和f(−1)=−f(1)可得a,b的值，注意检验.（2）利用定义可证明f(x)为R上的减函数.（3）函数不等式等价于不等式3t2−2t>k在[−1,3]上恒成立，求出ℎ(t)=3t2−2t在[−1,3]上的最小值后可求实数k的取值范围.（1）因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0且f(−1)=−f(1)，所以{b−1=0 b−14a+14=−b−4a+4，所以{b=1a=1，故a=b=1.此时f (x )=1−4x 1+4x ，f (−x )=1−4−x 1+4−x =1−14x 1+14x =4x −14x +1=−f (x )，f (x )为R 上的奇函数. （2）f (x )=1−4x 1+4x =−1+21+4x ，可判断f (x )为R 上的减函数，证明如下：设∀x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=2(4x 2−4x 1)(1+4x 1)(1+4x 2)，因为x 1<x 2，故4x 2−4x 1>0，而(1+4x 1)(1+4x 2)>0，∴f (x 1)−f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )为R 上的减函数.（3）函数不等式可化为f (t 2−2t )>−f (2t 2−k )，因为f (x )为R 上的减函数且为奇函数，故可得t 2−2t >k −2t 2即3t 2−2t >k 在[−1,3]上恒成立，令ℎ(t )=3t 2−2t ，t ∈[−1,3]，当t =13时，ℎ(t )有最小值且ℎ(t )min =−13，所以k <−13.小提示：含参数的奇函数或偶函数，可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.具体函数的单调性证明的基本步骤为设点（注意任取）、作差、定号，最后给出结论，其中作差后需通过因式分解、配方法等定出差的符号.函数不等式可利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则f .5、已知函数f (x )=x +12x +12.（1）当x ∈[1,+∞)时，判断f (x )的单调性并证明；（2）若不等式f (1+x 2)>f (x 2−2x +2)成立，求实数x 的取值范围.答案：（1）f (x )在[1,+∞)上单调递增，证明见解析；（2）(12,+∞) 解析：（1）利用证明函数单调性的定义，取值，作差，定号，下结论即可判断；（2）先判断1+x2≥1，x2−2x+2≥1，根据f(x)的单调性去掉f可得关于x的不等式，解不等式即可求解. （1）设任意的x1,x2∈[1,+∞)，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=x1+12x1−x2−12x2=x1−x2+x2−x12x1x2=(x1−x2)(1−12x1x2)=(x1−x2)(2x1x2−12x1x2)，因为1≤x1<x2，所以x1−x2<0，x1x2>1，2x1x2−1>0，所以(x1−x2)(2x1x2−12x1x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，可得f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，（2）1+x2≥1，x2−2x+2=(x−1)2+1≥1，且函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以由f(1+x2)>f(x2−2x+2)可得1+x2>x2−2x+2，即2x>1，解得：x>12，所以实数x的取值范围是(12,+∞).。

数学必修1 基本易错题总结

数学必修1基本易错题总结在高中的数学学习中，出题的题型千变万化，各种不同的题型，不同的解题思路让同学们很困惑。

事实上，难题并不是占据了主导地位，更多的是同学们可以掌握的题型。

在初等题中有一大部分是基础题型，这是大家需要牢牢掌握的。

而中等难度的题绝大部分是由初等题型转化，综合，变型而来的，基础题型掌握好了这个也很容易解决。

而在难题中，有绝大部分是由于综合性比较强，但是基础扎实了后也是完全可以克服的。

这里帮同学解决主要总结基本易错题型，以及我们已经学到的数学解题思想。

一、基本易错题1、忽略空集（1）已知2{|320},{|20}A x x x B x ax =-+==-=且A B A = ，求实数a 组成的集合C ．解：∵A B A = ∴B A ⊆ 又2{|320}{1,2}A x x x =-+==∴B =∅或{1}{2}，∴C={0，1，2}总结：此题要理解为什么B =∅时0a =（2）已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x p x p =--≤=≤≤＋－．若B A ⊆，求实数p的取值范围．解：①当B ≠∅时，即1212p p p ≤∴≥＋－. 由B A ⊆得21215p p ≤≤－＋且－∴ 23p ≤≤ ②当时B =∅，即1212p p p >∴<＋－. 综上由①、②得：3p ≤.总结：不少同学在解决①时很容易忘了考虑前提2p ≥，在最后23p ≤≤和2p <做并集时直接就写成了23p ≤≤和2p <。

练习1 设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，A B B = ，求实数a 的值．（答案 1 1a a ≤-=或）2、集合的含义已知集合{|A x y ==，2{|,}B y y t t A ==∈，求B A解：{|{|11}A x y x x ===-≤≤，2{|,}{|01}B y y t t A y y ==∈=≤≤， {|01}B A x x =≤≤总结：首先要注意的是集合中的元素和元素符合的条件，在集合A 中元素为x 是函数的定义域，在集合B 中元素为y 是函数的值域，要注意此时B 中这个条件t A ∈。

高一数学必修一易错点总结

高一数学
必修一易错点总结
集合函数
基本初等函数
定义域单调性二次项系数对数运算底数分类真数大于零
【例1】
集合易错点总结
1.元素与集合关系，集合与集合关系的问题，不要忘记验证元素的互异性。

2.用描述法表示集合，首先要看清集合的代表元素是谁，其次要理解代表元素所满足的特征性质。

3.注意空集是任何集合的子集，集合关系的问题一定不能忽视空集。

4.求参数的取值范围，要想清楚端点处的值能不能取到，区间为开区间还是闭区间。

函数易错点总结
1.一定不能忽视函数的定义域，尤其在函数奇偶性的判断、解含f 的不等式、求复合函数单调区间等问题中。

2.关于单调性需要注意以下几点：①分式函数的单调区间写“和”而不是“∪”；②分段函数的单调性要考虑连接点处的函数值；③复合函数的单调性要考虑定义域的限制。

3.二次函数的问题一定不要忘了二次项系数为零的情形。

基本初等函数易错点总结
1.对数运算的运算法则不要搞混。

2.注意对数式的真数大于零。

3.指对函数的单调性与底数的范围有关，因此底数不确定时一般需要分类讨论。

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k Y o T h a n。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100.故选：A2、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m <0且m +3>0，即m <0且m >−3，则−3<m <0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1，故选：D ．3、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.4、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.5、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D6、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A7、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.8、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．多选题9、已知函数f(x)={|lnx|,x>0−x2+1,x≤0，若存在a<b<c，使得f(a)=f(b)=f(c)成立，则（）A．bc=1B．b+c=1C．a+b+c>1D．abc<−1答案：AC分析：采用数形结合可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，然后简单计算可知b+c>1，bc=1，a+b+ c>1，故可知结果.如图：可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1c+c>a+2>1.故选:AC.10、(多选)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t ＝{64,x ≤0,2kx+6,x >0,且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B ．当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少C ．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D ．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间答案：AD分析：由题设可得k =−12即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可. 由题设，可得24k+6=16，解得k =−12， ∴t ={64,x ≤026−x 2,x >0， ∴x =6，则t =23=8，A 正确；x ∈[−6,0]时，保鲜时间恒为64小时，x ∈(0,6]时，保鲜时间t 随x 增大而减小，B 错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C 错误；由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D 正确.故选：AD.11、已知函数f (x )={−2−x +a,x <0,2x −a,x >0.(a ∈R )，下列结论正确的是（） A ．f (x )是奇函数B ．若f (x )在定义域上是增函数，则a ≤1C ．若f (x )的值域为R ，则a ≥1D．当a≤1时，若f(x)+f(3x+4)>0，则x∈(−1,+∞)答案：AB分析：对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知−2−0+a≤20−a即可求解；对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合f(x)的值域为R，即可求解；对于D，将f(x)+ f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，利用函数定义域及单调性即可求解；对于A，当x<0时，−x>0，f(x)=−2−x+a，f(−x)=2−x−a=−(−2−x+a)=−f(x)；当x>0时，−x<0，f(x)=2x−a，f(−x)=−2x+a=−(2x−a)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，由f(x)在定义域上是增函数，知−2−0+a≤20−a，解得a≤1，故B正确；对于C，当x<0时，f(x)=−2−x+a在区间(−∞,0)上单调递增，此时值域为(−∞,a−1)，当x>0时，f(x)=2x−a在区间(0,+∞)上单调递增，此时值域为(1−a,+∞)，要使f(x)的值域为R，则a−1>1−a，解得a>1，故C错误；对于D，当a≤1时，由于−2−0+a≤20−a，则f(x)在定义域上是增函数，f(x)+f(3x+4)>0等价于f(x)>f(−3x−4)，即{x≠0−3x−4≠0x>−3x−4，解得x∈(−1,0)∪(0,+∞)，故D错误；故选：AB填空题12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可.由题设，可得：log4x≤log4412，则0<x≤412=2，∴不等式解集为(0,2].所以答案是：(0,2].13、若log2[log3(log4x)]=0，则x=________．答案：64分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log 2[log 3(log 4x )]=0⇒log 3(log 4x )=1⇒log 4x =3⇒x =43=64.所以答案是：64小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.解答题15、已知函数f(x)=(12)x−a −b(a,b ∈R)的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，满足条件的x 的值.答案：（1）a =1，b =1；（2）x =−log 23.分析：(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.（1）由题意可得{(12)1−a −b =0(12)−a −b =1 ⇒{(12)−a −2b =0(12)−a −b =1 ⇒{b =12a =2 ，解得a =1，b =1，（2）由（1）可得f(x)=21−x −1，而g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，于是有21−x −1=4−x −4，设2−x =t ，t >0，从而得t 2−2t −3=0，解得t =3，即2−x =3，解得x =−log 23，所以满足条件的x=−log23.。

高一数学错题笔记

高一数学错题笔记易错题型一：集合与常用逻辑用语【典型例题】1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M ∩N=（）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y ≥1} 【错解】求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ∴选B 【易错分析】在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集, M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x ∈R)，y =x ＋1(x ∈R)的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集．【正确答案】M={y |y =x 2＋1,x ∈R}={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M ∩N={y |y ≥1}∩{y|(y ∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D 。

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R}、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的。

分别求解二次函数的值域和一次函数的值域化简集合M和集合N，然后直接利用交集的运算求解。

2. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．【错解】由x2－3x＋2=0得x=1或2。

当x=1时，a=2，当x=2时，a=1。

【易错分析】上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A。

当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}。

【正确答案】∵A∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}1或∴C={0，1，2}∴B=或{}{}2【解析】解二次方程x2﹣5x+6＝0可以求出集合A，根据A∪B＝A可得B⊆A，分B＝{2}、B ＝{3}、B＝Φ，三种情况分别求出对应的a值，即可求出实数a组成的集合C。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结单选题1、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.3、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.4、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D7、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.8、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．多选题9、定义：若集合A 非空，且是集合B 的真子集，就称集合A 是集合B 的孙子集.下列集合是集合B ={1,2,3}的孙子集的是（）A ．∅B ．{1}C ．{1,2}D ．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B 的关系，即可确定正确选项.A ：∅为集合B 的真子集，当不是非空集，不合要求；B ：{1}为集合B 的真子集，且为非空集，符合要求；C ：{1,2}为集合B 的真子集，且为非空集，符合要求；D ：{1,2,3}为集合B 的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC10、已知p ：x 2+x −6=0；q ：ax +1=0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（）A ．﹣2B ．−12C ．13D ．−13答案：BC解析：根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.由题意得p:A ={−3，2}，当a =0时，q ：B =∅，当a ≠0时，q ：B ={−1a }，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a =0时满足题意，当−1a =−3或−1a =2时，也满足题意，解得a =13或a =−12，故选：BC.小提示：本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.11、命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ≥4C ．a ≥−2D ．a =4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD填空题12、含有三个实数的集合可表示为{a,b,1}，也可以示为{a2,a+b,0}，则a2013+b2014的值为____.a答案：−1分析：根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.解：由题意，若a=a2，则a=0或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a=a+b，则b=0，所以a2=1，则a=−1，故a2013+b2014=−1.所以答案是：−1.13、非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S．则满足条件且含有两个元素的数集S=______．（写出一个即可）答案：{0,1}（或{−1,1}）分析：设S={a,b}，结合题意与集合的性质分析即可.不妨设S={a,b}，根据题意有a2，ab，b2∈S所以a2，b2，ab中必有两个是相等的．若a2=b2，则a=−b，故ab=−a2，又a2=a或a2=b=−a，所以a=0（舍去）或a=1或a=−1，此时S={−1,1}．若a2=ab，则a=0，此时b2=b，故b=1，此时S={0,1}．若b2=ab，则b=0，此时a2=a，故a=1，此时S={0,1}．综上，S ={0,1}或S ={−1,1}．所以答案是：{0,1}（或{−1,1}）14、若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.答案：a <3解析：根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.因为“x >3”是“x >a ”的充分不必要条件， ∴a <3．所以答案是：a <3．小提示：本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解答题15、已知a ∈R ，集合A ={x ∈R |ax 2−3x +2=0}.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；(2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围.答案：(1)(98,+∞)；(2)当a =0时，A ={23}；当a =98时，A ={43}；(3)(−∞,98].分析：（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围；（2）（3）讨论a =0、a ≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.（1）若A 是空集，则关于x 的方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0，且Δ=9−8a <0，所以a >98，即实数a 的取值范围是(98,+∞).（2）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2−3x +2=0应有两个相等的实数根，则Δ=9−8a =0，得a =98，此时A ={43}，符合题意. 综上，当a =0时A ={23}；当a =98时A ={43}. （3）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的方程ax 2−3x +2=0有实数根，则Δ=9−8a ≥0，得a ≤98. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a 的取值范围为(−∞,98].。

高一数学必修1知识点及易错点汇总(第一、二章)-精选学习文档

高一数学必修1知识点及易错点汇总（第一、二章）学数学是一个由简单至复杂的思维锻炼过程，小编准备了高一数学必修1知识点及易错点，具体请看以下内容。

第一章集合与函数的概念1.1.1 集合的含义与表示题型1 集合的含义与元素的特征题型2 元素与集合的关系题型3 元素的表示方法易错点a、忽略集合中元素的互异性而致错b、混集合的表示方法而致错c、不理解集合中的自定义运算而致错d、不理解集合中元素性质的意义而致错1.1.2 集合间的基本关系题型1 子集的概念题型2 真子集的概念题型3 集合的相等与空集易错点a、混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错b、忽视对空集的讨论而致错1.1.3 集合的基本运算题型1 并集运算题型2 交集运算题型3 补集运算易错点a、集合运算中忽视对空集的讨论而致错专题1 集合的综合问题题型1 已知集合间的关系求参数题型2 已知集合间的运算结果求参数题型3 集合新定义问题题型4 利用数形结合、分类讨论、正难则反思想解决集合问题1.2.1 函数的概念题型1 函数定义的理解题型2 函数定义的求法题型3 函数值与函数的值域题型4 函数对应关系的表示易错点1、忽略定义中的唯一y值而致错2、忽略参数的讨论而致错3、忽略题目中括号内的条件而致错4、混淆自变量的判定而致错1.2.2 函数的表示法题型2 分段函数题型3 映射题型4 函数解析式的求法易错点1、忽略分段函数的自变量范围而致错2、忽略函数的定义域而致错3、忽略象(值域)的要求而致错1.3.1 单调性与最大(小)值课时1 函数的单调性题型1 单调性定义的理解题型2 函数单调性的判断题型3 函数单调性的应用课时2 函数的最大（小）值题型1 函数的最大(小)值的判定题型2 函数的最大(小)值的应用易错点1、忽略分段函数的分段点而致错2、忽略函数图像的平移而致错1.3.2 奇偶性题型1 函数奇偶性概念的理解题型2 函数奇偶性的判断易错点1、忽略偶函数的对称性而致错专题2 函数的性质专题2 函数的性质及应用题型1 分段函数的应用题型2 函数的单调性、奇偶性与最值的确定题型3 函数的单调性、奇偶性的应用考点1、集合中的元素个数2、集合之间的关系3、集合之间的运算4、分段函数的应用5、函数图像的应用6、函数的单调性与奇偶性第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 指数与指数幂的运算题型1 根式题型2 分数指数幂题型3 有理指数幂的运算性质易错点1、忽略偶次根式的定义域而致错2.1.1 指数函数及其性质题型1 指数函数的概念题型2 指数函数的图像题型3 指数函数的性质易错点1、忽略二次函数的值域而致错2、忽略讨论指数函数的底数而致错3、忽略解题过程中的分类讨论思想而致错2.2.1 对数与对数运算2.2.1、对数与对数运算题型1 对数的概念题型2 对数的运算题型3 对数的换底公式易错点1、忽略底数与真数的范围而致错2、忽视指数式子与对数式子的互换而致错2.2.2 对数函数及其性质题型1 对数函数的概念题型2 对数函数的图像题型3 对数函数的性质题型4 对数函数与指数函数互为反函数易错点1、忽略对底数的讨论而致错2、忽略复合函数的定义域而致错3、忽略分段函数的端点值而致错4、忽略函数定义域而致错专题3 指数函数、对数函数题型1 利用指数、对数函数的性质比较大小题型2 指数与对数的运算题型3 指数函数与对数函数的图像题型4 应用指数、对数函数的性质确定参数的值或范围2.3 幂函数题型1 幂函数的概念题型2 幂函数的图像题型3 幂函数的性质与应用易错点1、选错幂函数或指数函数而致错2、误判幂函数的奇偶性而致错3、忽视幂函数的图像特点而致错高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的高一数学必修1知识点及易错点，希望大家喜欢。

[高一数学易错点]高一数学易错题

[高一数学易错点]高一数学易错题高一数学易错点(一)易错点1 遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况.易错点2 忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求.易错点3 混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件;如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点5 “或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假);綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解.易错点6 函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可.易错点7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数.易错点8 函数零点定理使用不当致误如果函数y=f(某)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(某)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(某)在(a，b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题.易错点9 导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率.但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程.然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解.因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.易错点10 导数与极值关系不清致误f′(某0)=0只是可导函数f(某)在某0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(某)在某0两侧异号.另外，已知极值点求参数时要进行检验.高一数学易错点(二)易错点1 三角函数的单调性判断致误对于函数y=Ain(ω某+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ω某+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=in某的单调性相同，故可完全按照函数y=in某的单调区间解决;但当ω<0时，内层函数u=ω某+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=in某的单调性相反，就不能再按照函数y=in某的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决.对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断.易错点2 图像变换方向把握不准致误函数y=Ain(ω某+φ)(其中A>0，ω>0，某∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度;(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变);(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0易错点3 忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视.易错点4 向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题.数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况.易错点5 an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.易错点6 对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N某)是等差数列.易错点7 数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n=1和n≥2分开讨论，再看能不能统一.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定.易错点8 错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和.基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.易错点9 不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误.易错点10 忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a+b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a+b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件.对形如y=a某+b某(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意a某，b某的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量某的取值范围，在此范围内等号能否取到.高一数学易错点(三)易错点1 解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如a某2+b某+c>0的不等式时，首先要考虑对某2的系数进行分类讨论.当a=0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论;当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(某-某1)(某-某2)>0，其中某1，某2(某10，则不等式的解集是(-∞，某1)∪(某2，+∞)，如果a<0，则不等式的解集是(某1，某2).易错点2 不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意某∈[a，b]都有f(某)≤g(某)成立，即f(某)-g(某)≤0的恒成立问题，但对存在某∈[a，b]，使f(某)≤g(某)成立，则为存在性问题，即f(某)min≤g(某)ma某，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系.易错点3 忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出，这一点很容易疏忽.易错点4 面积、体积的计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法.(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法.(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用.(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积.(4)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题，常画出轴截面进行分析求解.易错点5 随意推广平面几何中的结论致误平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立.易错点6 对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法，此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化.易错点7 空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致.易错点8 忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况.利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.利用直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，就可以避免讨论.易错点9 忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式.因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况.易错点10 忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支. 看了<高一数学易错点>的人还看了：1.高一数学必修一易错点2.高一数学期末考易错知识点总结3.高一数学知识点总结4.高一数学不等式知识点总结5.高一上数学知识点总结。

高一数学易错点知识点归纳

高一数学易错点知识点归纳在高一数学学习过程中，有一些知识点容易让学生出错。

本文将对高一数学中常见的易错点进行归纳，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

一、直线与平面几何1. 平面与空间直线的交点：在解题时，要注意确定平面和直线的位置关系，避免产生误解。

通常可以通过两面夹直线、过一点垂直于平面等条件来确定坐标关系。

2. 角的判定：判断角的性质时，要仔细审题，并结合给出的已知条件进行分析。

常见的角的性质判定包括对顶角、邻补角、互补角等。

3. 平行直线的判定：相互平行直线的判定方法有很多，包括同位角相等、对应角相等、斜率相等等。

在解题时，要灵活运用这些方法，并注意分析题目中给出的条件。

二、函数与方程1. 函数的定义域与值域：在确定函数的定义域和值域时，要注意分析函数的表达式，并排除可能的分母为零或开方不合法等情况。

同时，还需要注意对不等式进行求解时的取值范围。

2. 一次函数与二次函数：对于一次函数和二次函数的性质判定，要理解函数图像与函数表达式之间的关系，并能够准确应用相关的性质进行解题。

3. 方程的解与方程组的解：在求解方程和方程组的解时，要注意化简方程、分析方程的性质，并注意观察方程是否存在无解、有唯一解或无穷多解的情况。

三、平面向量1. 向量的加减法：在进行向量的相加减时，要注意向量的方向和模长，并将其进行合理的加减操作。

另外，需要注意将向量运算与题目所给条件相结合。

2. 向量的共线与垂直：判断向量共线或垂直的条件包括向量的数量积、向量的模长关系等。

在解题时，要将这些条件与题目给出的向量信息相结合.3. 向量与线段长度关系：在求线段长度时，要借助向量的知识将线段向量表示成为两个点坐标的向量差，然后计算向量的模长即可得到线段的长度。

四、概率与统计1. 事件的独立性：在判断事件独立性时，要综合考虑事件之间的关系，特别是事件发生的条件以及前后事件的影响。

要注意区分事件相互独立和互斥的概念。

2. 抽样调查和统计图表：在进行抽样调查和分析统计图表时，要注意读图和解读数据的能力。

高一上数学易错知识点总结

高一上数学易错知识点总结数学作为一门基础学科，对于高中学生来说是一门必修课程。

但是，由于数学的抽象性和深度，很多同学在学习过程中会遇到一些易错的知识点。

本文将对高一上数学中常见的易错知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

1. 恒等式和条件等式的区别在代数运算中，我们常常会遇到恒等式和条件等式。

恒等式是对于任何满足条件的变量都成立的等式，而条件等式只在满足一定条件时成立。

同学们在题目中要认清等式的性质，避免将条件等式误以为是恒等式进行计算。

2. 幂的乘法和除法法则幂数学运算中，幂的乘法和除法法则是非常基础也容易混淆的知识点。

幂的乘法法则指的是相同底数的幂相乘，指数相加；幂的除法法则指的是相同底数的幂相除，指数相减。

同学们在运用这两个法则时，要注意底数和指数之间的对应关系，不要忽略其中的符号。

3. 有理数的运算有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。

同学们在有理数的加减乘除运算中，经常会出现计算错误。

其中，分数的运算需要注意通分、约分和注意运算顺序；小数的计算则需要掌握小数的移位和规律性。

4. 直线与平面的位置关系在几何学中，直线与平面的位置关系是一个比较容易混淆的知识点。

同学们需要根据不同情况来判断直线与平面的位置关系，如直线与平面的相交、平行、垂直等。

为了更好地理解这些关系，可以通过画图、举例和思考几何解释来加深对这些知识点的理解。

5. 函数图像与函数性质的关系在函数的学习中，同学们经常会遇到函数图像与函数性质的关系问题。

函数的图像可以反映出函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

同学们需要注意通过观察图像来判断函数的性质，同时也要注意使用数学方法来证明这些性质。

6. 列举法与排列组合在概率与统计学中，列举法与排列组合是常用的方法。

列举法是指通过逐个列举的方式来计算可能的结果；排列组合则是通过计算排列数和组合数来得到结果。

同学们在解决问题时，要注意问题的条件和要求，选择恰当的方法进行计算，避免出现答案错误的情况。

通用版高中数学必修一集合易错知识点总结

(每日一练)通用版高中数学必修一集合易错知识点总结单选题1、已知集合A={x|1<x<2}，集合B={x|x>m}，若A∩(∁R B)=∅，则m的取值范围为（）A．(−∞,1]B．(−∞,2]C．[1,+∞)D．[2,+∞)答案：A解析：由题可得A⊆B，再利用集合的包含关系即求.由题知A∩(∁R B)=∅，得A⊆B，则m≤1，故选：A．2、已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3）C．{1，2，3，4}D．{1}答案：A解析：根据集合交集定义直接求解，即得结果.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{1，2}故选：A.小提示：本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A解析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.解答题4、设n(n⩾2)为正整数，若α=(x1,x2,⋯,x n)满足：①x i∈{0,1,⋯,n−1},i=1,2,⋯,n；②对于1⩽i<j⩽n，均有x i≠x j；则称α具有性质E(n).对于α=(x1,x2,⋯,x n)和β=(y1,y2,⋯,y n)，定义集合T(α,β)={t|t=|x i−y i∣,i=1,2,⋯,n}.（1）设α=(0,1,2)，若β=(y1,y2,y3)具有性质E(3)，写出一个及相应的T(α,β)；（2）设α和β具有性质E(6)，那么T(α,β)是否可能为{0,1,2,3,4,5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由；（3）设α和β具有性质E(n)，对于给定的α，求证：满足T(α,β)={0,1,⋯,n−1}的β有偶数个.答案：（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析解析：（1）根据性质E(3)的定义可得答案；（2）利用反证法以及性质E(6)的定义推出相互矛盾的结论可得解；（3）通过构造γ=(z1,z2,⋯,z n)，证明当α=(x1,x2,⋯,x n)，β=(y1,y2,⋯,y n)确定时，γ=(z1,z2,⋯,z n)唯一确定，由α,γ也仅能构造出β，即可得证.（1）β=(0,1,2)，T(α,β)={0}；β=(0,2,1)，T(α,β)={0,1}；β=(1,0,2)，T(α,β)={0,1}；β=(1,2,0) T(α,β)={1,2}；β=(2,1,0)，T(α,β)={0,2}.（2）假设存在α=(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6)和β=(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,y 6)均具有性质E(6)，且T(α,β)={0,1,2,3,4,5}，则0+1+2+3+4+5=∑|x i −y i |=156i=1，因为|x i −y i |与x i −y i 同奇同偶，所以∑|x i −y i |6i=1与∑(x i −y i )6i=1同奇同偶，又因为∑|x i −y i |6i=1 =15为奇数，∑(x i −y i )6i=1 =0为偶数，这与∑|x i −y i |6i=1与∑(x i −y i )6i=1同奇同偶矛盾，所以假设不成立.综上所述：不存在具有性质E(6)的α和β，满足T(α,β)={0,1,2,3,4,5}.（3）不妨设α=(x 1,x 2,⋯,x n )与β=(y 1,y 2,⋯,y n )构成一个数表A ，交换数表中的两行，可得数表B ，调整数表各列的顺序，使第一行y 1,y 2,⋯,y n 变为x 1,x 2,⋯,x n ，设第二行变为z 1,z 2,⋯,z n ，令γ=(z 1,z 2,⋯,z n )，则γ具有性质E(n)，且T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，假设β=(y 1,y 2,⋯,y n )与γ=(z 1,z 2,⋯,z n )相同，则y 1=z 1,y 2=z 2,⋯,y n =z n ，不妨设x 1≠y 1，x 1=y k (k ≠1)，则有z 1=x k ，故|x 1−z 1|=|y k −x k |，因为T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，所以|x 1−y 1|≠|x i −y i |(i =2,3,⋯,n)，因为y 1=z 1=x k ，所以|x 1−y 1|=|x k −y k |(k ≠1)，与|x 1−y 1|≠|x i −y i |(i =2,3,⋯,n)矛盾. 故对于具有性质E(n)的α=(x 1,x 2,⋯,x n )，若β=(y 1,y 2,⋯,y n )具有性质E(n)，且T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，则存在一个具有性质E(n)的γ=(z 1,z 2,⋯,z n )，使得T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，且β=(y 1,y 2,⋯,y n )与γ=(z 1,z 2,⋯,z n )不同，并且由γ的构造过程可以知道，当α=(x 1,x 2,⋯,x n )，β=(y 1,y 2,⋯,y n )确定时，γ=(z 1,z 2,⋯,z n )唯一确定，由α,γ也仅能构造出β.所以满足T(α,β)={0,1,⋯,n −1}的β有偶数个.小提示：关键点点睛：理解性质E(n)的定义，通过构造法解题是解题关键.5、在①B ⊆(∁R A )，②(∁R A )∪B =R ，③A ∩B =B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若问题中的实数a 不存在，请说明理由.已知集合A ={x |x 2−5x +4≤0}，B ={x |a +1<x <2a −1}，是否存在实数a ，使得________？答案：答案见解析.解析：若选①：求出∁R A ，分B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组可得答案；若选②：由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，列出不等式组可得答案；若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，分B =∅和B ≠∅列出不等式组可得答案.集合A ={x |x 2−5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}.若选①：∁R A ={x |x <1或x >4}，由B ⊆(∁R A )得，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −12a −1≤1 或{a +1<2a −1a +1≥4，解得a ∈∅或a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞).综上，存在实数a ，使得B ⊆(∁R A )，且a 的取值范围为(−∞,2]∪[3,+∞).若选②：∁R A ={x |x <1或x >4}，由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，所以{2a −1>4a +1<1，解得a ∈∅，所以不存在实数a ，使得(∁R A )∪B =R . 若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −1a +1≥12a −1≤4，解得2<a ≤52. 综上，存在实数a ，使得A ∩B =B ，且a 的取值范围为(−∞,52].小提示：本题考查了集合的运算，解题关键点是对于B ⊆(∁R A )和(∁R A )∪B =R 中含有参数的集合要分情况进行讨论，要熟练掌握集合间的基本运算.。

高一必修一月考易错知识点

高一必修一月考易错知识点一、数学1. 二次函数的图像和性质在学习二次函数的图像和性质时，同学们容易混淆顶点和轴对称性。

顶点是二次函数的最高点或最低点，其横坐标为-x0/2a，纵坐标为f(-x0/2a)。

而轴对称性是指二次函数的图像关于顶点对称。

因此，记住顶点的横纵坐标以及轴对称性的定义是解题的关键。

2. 解一元二次方程解一元二次方程时，同学们可能会在计算过程中出现错误。

在开展解题步骤时，记得要先将方程转化为标准形式：ax² + bx + c = 0。

然后，可以使用求根公式x = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)来求解。

注意要根据题目要求，确定出符合实际意义的解。

二、物理1. 动态平衡与静态平衡在学习力学平衡时，容易混淆动态平衡和静态平衡。

动态平衡是指物体在作匀速直线运动或自转运动时的平衡状态，物体的合外力和合外力矩都为零；而静态平衡是指物体处于静止状态时的平衡状态，物体的合外力和合外力矩均为零。

因此，要根据题目要求，正确理解和判断物体的平衡状态。

2. 牛顿定律的应用应用牛顿定律进行力学问题的计算时，同学们可能容易忘记考虑物体质量的影响。

牛顿第二定律F=ma中，F为物体所受合外力，m为物体质量，a为物体加速度。

因此，在计算时，需要注意考虑物体质量对合外力的影响。

三、化学1. 元素周期表的运用在元素周期表的运用中，同学们可能会漏掉元素的周期性规律。

元素周期表按照原子核中正电荷数递增和电子层结构相似的特征将化学元素排列。

因此，同一周期的元素具有相似的化学性质，而同一族的元素则具有相似的原子半径和化合价等特征。

要熟悉元素周期表的排列规律，正确运用相关知识。

2. 化学反应的平衡计算在进行化学反应的平衡计算时，同学们可能会忘记考虑化学方程式中的化学计量比。

在平衡配平过程中，要根据元素的质量平衡和电荷平衡原则，按照最小公倍数准则，将化学方程式中的系数配平。

经过配平后，才能正确计算出平衡反应的量比。

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错知识点总结单选题1、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系.因为a =30.7>1，b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1，所以c <1<a <b .故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.2、设m ，n 都是正整数，且n >1，若a >0，则不正确的是（）A ．a m n =√a m n B ．(a 12+a −12)2=a +a −1 C ．a −m n =√a m n D ．a 0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断.由m ，n 都是正整数，且n >1，a >0，、得(a 12+a −12)2=(a 12)2+2a 12⋅a −12+(a −12)2=a +a −1+2，故B 选项错误，故选：B.3、已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞)C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞)答案：D分析：作出函数y =2x 和y =x +1的图象，观察图象可得结果.因为f (x )=2x −x −1，所以f (x )>0等价于2x >x +1，在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x >x +1的解为x <0或x >1.所以不等式f (x )>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.4、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)x C ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B，f(x)=(23)x为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，f(x)=x2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010A．10%B．20%C．50%D．100%答案：B分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.6、已知f(x)={2x−x2,x≥5f(x+3),x<5，则f(4)+f(-4)=（）A．63B．83C．86D．91答案：C分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解. 依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C7、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A8、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A．25天B．30天C．35天D．40天答案：B分析：根据给定条件求出m及a10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m⋅a1020%=m⋅a20，解得m=120,a10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t，即40%=120⋅a10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a10)2=a20，于是得t−10=20，解得t=30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B9、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8答案：B分析：根据题意求出k 的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 即可求得t 的值. 由题可知：50=20+(100−20)e −12k ⇒(e −k )12=38⇒e −k =(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e −kt ⇒(e −k )t =34⇒t ⋅ln e −k =ln 34⇒t =ln 34ln (38)112=12(ln 3−2ln 2)ln 3−3ln 2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.10、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a>0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12，所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A .填空题11、若max{a,b}={a,a ≥b,b,a <b,则函数M(x)=max {log 2x,3−x }的最小值为________．答案：1分析：结合图象可得答案.如图，函数y =log 2x,y =3−x 在同一坐标系中，且log 22=3−2=1，所以M(x)在x =2时有最小值，即M(2)=1.所以答案是：1.12、化简(√a −1)2+√(1−a )2+√(1−a )33=________.答案：a -1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a −1)2知a -1≥0，a ≥1.故原式=a -1+|1-a |+1-a =a -1.所以答案是：a -113、函数f (x )=lnx +x 2−3的零点个数为________．答案：1分析：解法一，将函数f (x )=lnx +x 2−3的零点转化为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令f (x )=0，可得方程lnx +x 2−3=0，即lnx =3−x 2，故原函数的零点个数即为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数y =3−x 2与y =lnx 的图象只有一个交点，故函数f (x )=lnx +x 2−3只有一个零点，所以答案是：1解法二：∵f (1)=ln1+12−3=−2<0，f (2)=ln2+22−3=ln2+1>0，∴f (1)f (2)<0，又f (x )=lnx +x 2−3的图象在(1,2)上是不间断的，∴f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )=lnx +x 2−3在(0,+∞)上是单调递增的，∴函数f (x )的零点有且只有一个，所以答案是：1解答题14、求下列各式的值（1）(279)12−(lg5)0+(2764)−13；（2）log 49−log 2332+2log 23+log 23⋅log 34.答案：（1）2；（2）10.分析：（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）按照对数的运算法则进行对数的运算即可．（1）原式=[(53)2]12−1+[(34)3]−13=53−1+43=2；（2）原式=log 23−(log 23−log 225)+3+log 23⋅log 322=log 23−log 23+5+3+2log 23⋅1log 23=5+3+2=10小提示：本题主要考查了分数指数幂和对数的运算，考查了对数的换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15、给出下面两个条件：①函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点；②函数f (x )的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f (x )的解析式确定.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，且______.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1，所以{2a =2a +b =−1 ，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c . 选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1，由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .（2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]，所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立，所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].（3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意；当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)，所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， {∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞).。

高中数学知识易错点梳理新人教A版必修1

高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异，无序); 已知集合A=｛x ，xy ，lgxy ｝,集合B={0，|x|,y ｝，且A=B ，则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素，才能理解集合的意义。

已知集合M=｛y ｜y=x 2 ，x∈R ｝，N=｛y|y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x ，y)｜y=x 2 ，x ∈R}，N=｛（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}求M ∩N 的区别。

3．集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅。

例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立,求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图；某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项，其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系.},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A ）∩（ C U B ） = C U (A ∪B ）（C U A)∪（ C U B ） = C U （A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或"、“且”和“非”。

p9、否原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。

10、你对映射的概念了解了吗?映射f:A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f(x)，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称。

安阳市高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结

安阳市高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结单选题1、已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选：B.2、已知集合A ={(x,y )∣2x −y +1=0},B ={(x,y )∣x +ay =0}，若A ∩B =∅，则实数a =（）A ．−12B ．2C ．−2D ．12答案：A分析：根据集合的定义知{2x −y +1=0x +ay =0 无实数解．由此可得a 的值．因为A ∩B =∅，所以方程组{2x −y +1=0x +ay =0 无实数解．所以12=a −1≠0，a =−12．故选：A ．3、等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件分析：当q >0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n }是递增数列时，必有a n >0成立即可说明q >0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q >0，但是{S n }不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n }是递增数列，则必有a n >0成立，若q >0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q >0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.填空题6、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去.所以答案是：−4．(a+b+c)，则该三角形的面积S=7、若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12√p(p−a)(p−b)(p−c)，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，AB=2，则该三角形面积的最大值为___________.答案：2√2分析：计算得到p=4，c=2，a+b=6，根据均值不等式得到ab≤9，代入计算得到答案.(a+b+c)=4，c=2，a+b=6，a+b=6≥2√ab，ab≤9，p=12当a=b=3时等号成立.S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√8(4−a)(4−b)=√128−32(a+b)+8ab≤2√2.所以答案是：2√2.8、已知集合A={2,3,4,5,6}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中元素的个数为______.答案：6分析：由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解.因为x∈A，y∈A，x−y∈A，所以x=4时，y=2；x=5时，y=2或y=3，x=6时，y=2或3或4.B= {(4,2),(5,2),(5,3),(6,2),(6,3),(6,4)}，所以集合B中元素的个数为6.所以答案是：6.9、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.答案：(−∞,2]分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.所以答案是：(−∞,2].10、已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.答案：a>18分析：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.因为命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是假命题，不合题意；当a ≠0时，得{a >0Δ=1−8a <0，解得a >18. 所以答案是：a >18 小提示：关键点点睛：转化为命题“∀x ∈R ，使得ax 2−x +2>0”是真命题求解是解题关键.解答题11、已知a ∈R ，集合A ={x ∈R |ax 2−3x +2=0}.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围；(2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围.答案：(1)(98,+∞)； (2)当a =0时，A ={23}；当a =98时，A ={43}；(3)(−∞,98].分析：（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围；（2）（3）讨论a =0、a ≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.（1）若A 是空集，则关于x 的方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0，且Δ=9−8a <0，所以a >98，即实数a 的取值范围是(98,+∞).（2）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2−3x +2=0应有两个相等的实数根，则Δ=9−8a =0，得a =98，此时A ={43}，符合题意.综上，当a =0时A ={23}；当a =98时A ={43}. （3）当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的方程ax 2−3x +2=0有实数根，则Δ=9−8a ≥0，得a ≤98.综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a 的取值范围为(−∞,98].12、已知集合A ={x |x ≤−3 或x ≥−1}，B ={x|2m <x <m −1}，且A ∪B =A ，求m 的取值范围．答案：m ≤−2或m ≥−1分析：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，分别讨论B =ϕ和B ≠ϕ两种情况然后求并集.解：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，当B =ϕ时，2m ≥m −1，解得：m ≥−1；当B ≠ϕ时，{2m <m −1m −1≤−3 或{2m <m −12m ≥−1解得：m ≤−2或m ∈ϕ 所以m ≤−2或m ≥−1.13、已知全集U 为全体实数，集合A ={x||x −a|<2}，B ={x|x−1x−6<0}.(1)在①a =−2，②a =−1，③a =1这三个条件中选择一个合适的条件，使得A ∩B ≠∅，并求∁U (A ∩B)和A ∪B ；(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.答案：(1)选条件③，∁U (A ∩B)={x|x ≤1或x ≥3}，A ∪B ={x|−1<x <6}(2)3≤a ≤4分析：（1）求出集合A,B ，再得出三个条件下集合A ，由A ∩B ≠∅，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算；（2）根据必要不充分条件的定义求解．（1）由题知：集合A={x|a−2<x<a+2}，B={x|1<x<6}，a=−2时，A={x|−4<x<0}，a=−1时，A={x|−3<a<1}，a=1时，A={x|−1<x<3}，∵A∩B≠∅，∴需选条件③a=1，此时A∩B={x|1<x<3}，∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}，A∪B={x|−1<x<6}，（2）∵“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件∴A是B的真子集，∴{a−2≥1a+2≤6且等号不同时取得，解得3≤a≤4．14、已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}.(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.答案：(1)A∪B={x|2<x<10}，(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}；(2)(3,+∞).分析：（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解；（2）分析A∩C≠∅即得解.（1）解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B={x|2<x<10}．因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁R A={x|x<3或x≥7}则(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.（2）解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>3.所以a的取值范围为(3,+∞)．15、已知由实数组成的集合A，1∉A，又满足:若x∈A，则11−x∈A．（1）设A中含有3个元素，且2∈A,求A；（2）A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3）A中含元素个数一定是3n(n∈N∗)个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．答案：（1）A={2,−1,12}；（2）不存在这样的A，理由见解析；（3）是，证明见解析.分析：（1）根据题意得，11−2=−1∈A，11−(−1)=12∈A，故A={−1,12,2}；（2）假设集合A是单元数集合，则x2−x+1=0，根据矛盾即可得答案；（3）根据已知条件证明x，11−x ，1−1x是集合A的元素即可.解：（1）因为若x∈A，则11−x∈A，2∈A,，所以11−2=−1∈A，11−(−1)=12∈A，11−12=2∈A，所以A={−1,12,2}.（2）假设集合A是仅含一个元素的单元素集合，则11−x=x，即：x2−x+1=0，由于Δ=−3<0，故该方程无解，所以A不能是仅含一个元素的单元素集.（3）因为1∉A，x∈A，则11−x ∈A，则11−11−x=x−1x=1−1x∈A，所以11−x−1x =x∈A，故该集合有三个元素，下证x，11−x，1−1x互不相等即可.假设11−x =x，则x2−x+1=0，该方程无解，故x，11−x不相等，假设1−1x =x，则x2−x+1=0，该方程无解，故x，1−1x不相等，假设11−x =1−1x，则x2−x+1=0，该方程无解，故11−x，1−1x不相等.所以集合A中含元素个数一定是3n(n∈N∗)个.小提示：本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明x，11−x ，1−1x互不相等且属于集合A即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.。

安阳市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式易错知识点总结

安阳市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式易错知识点总结单选题1、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−ba =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2，故选：D2、若实数x >32，y >13，不等式4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2恒成立，则正实数t 的最大值为（） A ．4B ．16C ．72D ．8答案：D分析：令3y −1=a,2x −3=b ，则(b+3)2a+(a+1)2b≥2t ，由权方和不等式和基本不等式得(b+3)2a+(a+1)2b≥16，即可求解t ≤8．由4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2得4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t因为x >32，y >13，则3y −1>0,2x −3>0 令3y −1=a,2x −3=b则4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t 化为(b+3)2a+(a+1)2b≥2t 恒成立，由权方和不等式得(b+3)2a+(a+1)2b≥(a+b+4)2a+b=(a +b )+16a+b +8≥2√16+8=16当且仅当{b+3a=a+1ba +b =4，得a =53,b =73即x =73,y =109时等号成立．所以16≥2t ⇒t ≤8 故选：D3、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b 满足a +b =ab ，所以1a+1b=1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2b a≥3+2√a b⋅2b a=3+2√2，当且仅当a b=2b a，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C4、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为（） A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使ab+bca 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤2√22b×2b=2√2(a2+c2)=12√a2+2ac+c22(a2+c2)=12√12+aca2+c2≤12√122√a2×c2=12，当且仅当a 2+c2b=2b，且a=c取等，即a=b=c取等号，即则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12，故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.5、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B. 填空题6、函数y =x +1+4x+1(x >−1)的最小值为______.答案：4分析：利用基本不等式直接求解即可因为x >−1，所以x +1>0，所以y =x +1+4x+1≥2√(x +1)⋅4x+1=4，当且仅当x +1=4x+1，即x =1时取等号，所以y =x +1+4x+1(x >−1)的最小值为4，所以答案是：47、已知a 为常数，若关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m =______．答案：1分析：根据给定条件可得m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，借助韦达定理计算作答. 因关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，因此有{m +2=32m =a 2 ，解得m =1,a =4，所以m =1. 所以答案是：18、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3.9、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ．答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽.设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：3210、已知x 、y 为两个正实数，且mx+y ≤1x +1y 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：(−∞,4]分析：由参变量分离法可得m ≤(x +y )(1x +1y )，利用基本不等式求出(x +y )(1x +1y )的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.因为x 、y 为两个正实数，由mx+y ≤1x +1y 可得m ≤(x +y )(1x +1y)，因为(x +y )(1x +1y )=2+xy +yx ≥2+2√xy ⋅yx =4，当且仅当x =y 时，等号成立. 所以，m ≤4，因此，实数m 的取值范围是(−∞,4]. 所以答案是：(−∞,4].解答题11、求下列不等式的解集：(1)x2−4x−5≤0；≥0；(2)−4x2+18x−814x2+3x−5>0；(3)−12答案：(1){x|−1≤x≤5}；}；(2){94(3)∅.分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．（1）解：x2−4x−5=(x−5)(x+1)≤0解得：−1≤x≤5不等式解集为：{x|−1≤x≤5}.（2）≥0，整理得：16x2−72x+81≤0解：−4x2+18x−814即(4x−9)2≤0解得：x=94}.不等式解集为：{94（3）x2+3x−5>0，整理得：x2−6x+10<0解：−12Δ=(−6)2−4×10=−4<0，故不等式再实数范围内无解不等式解集为：∅.12、设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥√43．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.分析：（1）方法一：由(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0, b <0, c <0, a =(−b )+(−c )≥2√bc =2√1a ，则a 3≥4, a ≥√43．故原不等式成立．（1）［方法一］【最优解】：通性通法∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =0， ∴ab +bc +ca =−12(a 2+b 2+c 2).∵abc =1,∴a,b,c 均不为0，则a 2+b 2+c 2>0，∴ab +bc +ca =−12(a 2+b 2+c 2)<0．［方法二］：消元法由a +b +c =0得b =−(a +c )，则ab +bc +ca =b (a +c )+ca =−(a +c )2+ac =−(a 2+ac +c 2) =−(a +c 2)2−34c 2≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0．［方法三］：放缩法方式1：由题意知a ≠0, a +b +c =0, a =−(c +b ), a 2=(c +b )2=c 2+b 2+2cb ≥4bc ，又ab +bc +ca =a (b +c )+bc =−a 2+bc ≤−a 2+a 24=−3a 24<0，故结论得证．方式2：因为a +b +c =0，所以0=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=12[(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)]+2ab+2bc+2ca≥12(2ab+2bc+2ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)．即ab+bc+ca≤0，当且仅当a=b=c=0时取等号，又abc=1，所以ab+bc+ca<0．［方法四］：因为a+b+c=0,abc=1，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，不妨设a≤b<0<c,则a=−(b+c),∴ab+bc+ca=bc+a(c+b)=bc−a2<0.［方法五］：利用函数的性质方式1：6b=−(a+c)，令f(c)=ab+bc+ca=−c2−ac−a2，二次函数对应的图像开口向下，又abc=1，所以a≠0，判别式Δ=a2−4a2=−3a2<0，无根，所以f(c)<0，即ab+bc+ca<0．方式2：设f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)=x3+(ab+bc+ca)x−1，则f(x)有a，b，c三个零点，若ab+bc+ca≥0，则f(x)为R上的增函数，不可能有三个零点，所以ab+bc+ca<0．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设max{a,b,c}=a，因为a+b+c=0,abc=1，所以a>0,b<0,c<0,a=(−b)+(−c)≥2√bc=2√1a，则a3≥4,a≥√43．故原不等式成立．［方法二］：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0，且{b +c =−a,bc =1a,则关于x 的方程x 2+ax +1a =0有两根，其判别式Δ=a 2−4a ≥0，即a ≥√43．故原不等式成立．［方法三］：不妨设max {a,b,c }=a ，则a >0, b =−(a +c ), abc =1, −(a +c )ac =1, ac 2+a 2c +1=0，关于c 的方程有解，判别式Δ=(a 2)2−4a ≥0，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立．［方法四］：反证法假设max {a,b,c }<√43，不妨令a ≤b <0<√43，则ab =1c >√43, −a −b =c <√43，又√43>−a −b ≥2√ab >√√4=21−13=√43，矛盾，故假设不成立．即max {a,b,c }≥√43，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出． 13、已知实数x >0，y >0.（1）若x +y +xy =3，求2xy 的最大值与x +y 的最小值；（2）若x >y ，求xy 2x−y +xy +1y 2的最小值. 答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x +y ⩾2√xy ，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty =y 3t ，且4y 2=1y 2，即x =√2,y =√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy +1y 2最小值为4.14、在①x 2−(2a −1)x +a 2−a <0，②x 2−2ax +a 2−1<0，③x 2−(a +1)x +a <0(a >1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a 的取值范围.已知p:x−4x+3<0，q:_________，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.答案：答案见解析.分析：先解出p 对应的x 的范围即为集合A ,把q 对应的x 的范围即为集合B .根据题意分析只需BA.分别在选条件①②③时，根据BA 列不等式组，求出a 的取值范围.由命题p:x−4x+3<0，得到−3<x <4，规定集合A ={x|−3<x <4}.设q 对应的x 的范围即为集合B . 因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA.选条件①x 2−(2a −1)x +a 2−a <0.由x 2−(2a −1)x +a 2−a <0可解得：a −1<x <a .因为BA ，只需{a −1≥−3a ≤4解得：−2≤a ≤4，当a =−2时，B ={x|−3<x <−2}，有BA ；当a =4时，B ={x|3<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为[−2，4].选条件②x 2−2ax +a 2−1<0，由x 2−2ax +a 2−1<0可解得：a −1<x <a +1.因为BA ，只需{a −1≥−3a +1≤4解得：−2≤a ≤3，当a =−2时，B ={x|−3<x <−1}，有BA ；当a =3时，B ={x|2<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为[−2，3].选条件③x 2−(a +1)x +a <0(a >1).由x 2−(a +1)x +a <0(a >1)可解得：1<x <a .因为BA ，只需{1≥−3a ≤4a >1解得：1<a ≤4，当a =4时，B ={x|1<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为(1，4].15、（1）若不等式ax 2+(1−a )x +a −2≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R ). 答案：（1）a ≥13；（2）答案见解析.分析：（1）根据题意分a =0和a >0两种情况求解；（2）不等式等价于ax 2+(1−a )x −1<0，然后分a =0，a >0和a <0三种情况求解. 解：（1）由题意，ax 2+(1−a )x +a ≥0恒成立，当a =0时，不等式可化为x ≥0，不满足题意；当a ≠0时，满足{a >0Δ≤0，即{a >0(1−a )2−4a 2≤0 ，解得a ≥13. （2）不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R )等价于ax 2+(1−a )x −1<0. 当a =0时，不等式可化为x <1，所以不等式的解集为{x |x <1}；当a>0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，此时−1a<1，所以不等式的解集为{x|−1a<x<1}；当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当−1<a<0时，−1a >1，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<−1时，−1a <1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.。

高中数学知识易错点梳理新人教A版必修1

高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。

3．集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。

},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p9、否原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

高一数学易错点,亲自总结

高一数学(shùxué)易错点,亲自总结高一数学易错点,亲自(qīnzì)总结1．设a1.b1.c1.a2.b2.c2均为非0实数(shìshù)，不等式a1某+b1某+c10和a1某+b1某+c20的解集分别为集合(jíhé)M和N，那么a1/a2=b1/b2=c1/c2是M=N的〔〕22A充分不必要(bìyào)条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、假设2某+1+2某-3a/b+7,那么f(某)=a某+b某在以下哪个区间是单调的〔〕A、〔-∞,0〕B、〔0,+∞〕C、(1,+∞)D、(3,+∞)3、y=2／(2某-5某-3),某∈(0,3)∪(3,+∞)值域为______4、函数y=2某+k-1的图像不经过第四象限的充要条件是______第一、二章易错点1.集合元素的特征：确定性、无序性、互异性、故在命题时，注意检验集合元素是否互不相同。

2.￠22022￠￠0￠￠￠￠空集3.假设AB，那么要考虑A=￠和A=B,AB三种情况。

例：设M=某某2-2某-8=0答：-12N=某a某-1=0假设NM，那么求满足条件的a的集合。

，0,144.CU(A∪B)=CUA∩CUBCUA∩B=CUACUB5.求集合并集成交集中要先化简。

6.假设a为未知量前系数，要讨论a=0时的情况。

例：A=某某2-3某+2=07.点集与数集无交集。

例：A=yy=某,某R,B=某a某-6=0且A∪B=A,求实数a的值组成集合C。

,B=(某,y)y=某2,某R,那么A∩B=￠8.解含绝对值不等式时，只有两边均为非负数才能平方，理论依据a解：当m≤当m>1212时，为￠时，为某1-m一个也没有至多一个－>至少二个任意的－>某个一定是－>一定不是14.方程某2+3某+2=0的根是某=1是简单命题。

15.原命题逆否命题逆命题否命题16.否命题假设7p那么7q命题的否认假设p那么7q17.(1).p=>q且q>p,AB(2).q=>p且p>q,BA(3).pq,A=B(4).P>q且q>p,AB且BA18.函数三要素：定义域、值域、对应法那么。

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