3.1-3.1.1-空间向量及其加减运算

合集下载

2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。

错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。

如图，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

3.1.1空间向量及其加减运算(说课稿)

3.1.1空间向量及其加减运算（说课稿）一．教材分析1.本节内容在高中教材中的地位和作用向量可以表示物体的位置，本身也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象；向量可以进行加减，数乘，数量积等运算，又成为了代数学的研究对象。

可以说向量是重要的数学模型，是沟通代数，几何的桥梁。

在学习了立体几何初步和平面向量的基础上进行的空间向量的学习为空间向量解决立体几何问题提供了新的视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

而本节内容又是整个空间向量的基础，是后续学习的前提，因此学好这节内容就显得尤为重要。

2.教学重难点（1）教学重点：类比平面向量知识理解掌握空间向量的有关概念及其加减运算。

（2）教学难点：空间向量的加减运算。

二．学情分析由于学生已学过平面向量知识有一定的向量基础，学习过立体几何知识有一定的空间观念，因此在教学中可运用类比和归纳让学生体验数学结构上的和谐性。

由于空间向量是在平面向量的基础上推广的，涉及内容和平面向量类似，学生应该容易接受。

但要在教学过程中注意维数增加给学生带来的不利影响。

三．教学目标1.知识目标理解空间向量的相关概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律。

2.能力目标（1）体会类比和归纳的数学思想。

（2）进一步培养学生的空间观念。

（3）体会数形结合的思想。

3．情感态度、价值观目标：（1）培养学生认真参与，积极交流的主体意识。

（2）培养学生探索精神和创新意识。

（3）使学生懂得数学源于生活，服务于生活。

四．教法学法教法：采取类比引导、计算机辅助教学、反馈评价等方式；学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。

五．教学过程根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作如下安排：1.创设情境——引入新课我将以三名学生从空间三个不同的方向提拉一物体这样一个生活实例出发，让学生感受向量在生活中的存在，以及学习空间向量的必要性。

3.1.1 空间向量及其加减运算

＝A→B＋(B→B′＋D′ →D)＋(A′→D′－B→C)＝A→B. (2) AC→′－ A→C ＋ A→D － A→A′＝C→C′＋ A′→D ＝ D→D′ ＋ A′→D＝A′→D′.
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
3.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
空间向
量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝ a＋b ；
C→A＝O→A－O→C＝ a－b
.
加法运 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ；算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ (a＋c)＋b .
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
说明1：熟练应用三角形法则和平行四边形法则
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
3.1.1 空间向量及其加减运算
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念；
2.掌握空间向量的加法、减法运算.
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
重点与难点 1.空间向量的基本概念和性质。 2.空间向量的加减法运算．
工具
第三章空间向量与立体几何
栏目导引
[题后感悟] 如何化简向量表达式？ (1)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简． (2)在化简过程中遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可以相互转化．
(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝

§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算

第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。

4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。

5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。

3.1.1与3.1.2空间向量及其加减与数乘运算

思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.

练习1
用AB 、AD 、AA 、 BD 、 DB1 1来表示A 1C 1
D1 C1
A1
B1
D
A
C B
空间向量的数乘
a( 0) a( 0)
数乘分配律：数乘结合律：
(a b) a＋b
( a) ( )a

类比平面向量的加法运算,你能推出空间加法的运算律吗?
加法交换律
ab ba
加法结合律 (a b) c a (b c)
加法结合律：
O
(a b) c a (b c)
O
a
A
a
C
b
A
+
c c
C
b
B
c
b
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
复习回顾：平面向量
既有大小又有方向的量。 1、定义：
几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
b
a
向量加法的三角形法则
练习2
在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD 边的中点,化简 A (1) AB BC CD
D G M C
1 (2) AB ( BC BD) 2 1 (3) AG ( AB AC) 2
B

例2. 已知空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点。化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。

2021秋高中数学人教A版选修2-1学案3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：____，其模记为__|a|__或__||__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__任意____0____0__单位向量任意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__ 的相反向量：____相等向量相同__相等__a＝b(1)加法：＝__＋__＝a＋b.(2)减法：＝__－__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是任意的λ<0方向__相反__①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__ 平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝x a＋y b__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋t a__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)－＋；(3)＋＋－.结果为零向量的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于(1)，＋＋＝＋＝0；对于(2)，－＋＝＋＝0；对于(3)，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是(A) A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋(－)＝c－a＋b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P 与A、B、C三点共面，则λ＝____.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①②B．②③C．①③D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.『规律总结』处理向量概念问题需注意两点①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解析](1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)||＝|＋＋|∴||2＝2＋2＋2＝9∴||＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.[思路分析](1)分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.[规范解答](1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路分析]由题目可以获取以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)＝a＋b＋c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？[思路分析]要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2，∴∥，即与共线．『规律总结』 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使＝λ成立．(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，∴a＝4(e1－e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令＝a，＝b，＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴＝b－a，＝＋＝a＋c，＝＋＋＝－a＋b＋c.令＝λ＋μ，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，∴，∴.∴＝2＋，因此向量、、共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』 1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝x a＋y b，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．[解析]如图，连接BG、EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝BD，∴＝＝＋.同理，＝＋.∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.由于与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得＝(＋＋＋＋＋)＝(＋)＝(a＋b)．所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.易混易错警示典例7如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.[错解]因为M为OA的中点，所以＝，因为＝2，所以＝，所以＝OM＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋(＋)＝＋＋所以x，y，z的值分别为，，.[辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝(＋)．[正解]∵M为OA中点，∴＝，∵＝，∴＝∴＝＋＝＋M＝＋＝·＋·(＋)＝＋＋∴x，y，z的值为，，.。

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修2_1

(3)空间向量加法的平行四边形法则.先把已知的两个空间向量的起点平移到同一点,再以这两个向量为邻边作平行四边形,则这两条邻边所夹的平行四边形的对角线所在的向量(起点与平移后的两个向量的起点相同)就是这两个已知向量的和.如图,若 �� =a, �� =b,则�� = �� + �� =a+b.
(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点 O,作 �� =a, �� =b,则�� =a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
题型一
题型二
空间向量的概念【例1】给出以下命题: ①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有�� = ��1 ��1 ; ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确的命题序号为 .
如图①, �� = �� + �� =a+b. 如图②, �� = �� + �� =a+b; �� = �� − �� =a-b. (2)空间向量的加法运算满足: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a&零向量,记作0,零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B 重合时, �� =0. (4)单位向量:模为1的向量. (5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a. (6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 归纳总结(1)零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

3.1.1空间向量及其加减运算课件

（1）BA（BC BD） BA BG
D G
GB BA
B C
（2）AG (AB BC) AG AC CG
小结
平面向量
空间向量
概念定义表示法零向量相等向量相反向量
加法:平行四边形法则加、或三角形法则
加法:平行四边形法则或三角形法则
减法
减法:三角形法则
运算减法:三角形法则
不共面的三个向量的和：
内容
定义
画法及其表示
平面向量在平面上，具有大小和方向的量几何表示法
字母表示法 a AB
空间向量在空间，具有大小和方向的量几何表示法
字母表示法 a AB
模
有向线段的长度表示向量有向线段的长度表示向量
的模，记为 a或 AB
的模，记为 a或 AB
零向量
长度为零的向量叫做零向量长度为零的向量叫做零向量零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的
3.1.1空间向量及其加减运算
提出问题
小米老师下班回家,先从学校
大门口骑自行车向东行驶600m,
再向北行驶800m,最后乘电梯上
升15m到5楼的住处.在这个过程
中，小米老师从学校大门口回到
住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)。
O
问题1:以上三个位移是同一个平面内的向量吗?
问题2:如何刻画小米老师行驶的位移?
单位向量相反向量相等向量
平面中模为1的向量
平面中长度相等，方向相反的两个向量平面中方向相同且模相等的向量
空间中模为1的向量
空间中长度相等，方向相反的两个向量空间中方向相同且模相等的向量
练一练
判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由：

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算-数学选修2-1

复习回顾
首尾连，指终点b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减 a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复习回顾
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
4、平面向量的推广:
复习回顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
r
r
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
r
⑶当 0 时, a 是零向量.
r
例如:
3a
r a
r 3a
平面向量
空间向量
概具有大小和方向的量念
具有大小和方向的量
加法加法:三角形法则或平行四边形法则加法:三角形法则或
减法减法:三角形法则数乘
平行四边形法则减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
uuur uuur uuur
(2) AG ( AB BC)
uuur uuur uuur
(1)BC BD BG
D
uuur uuur uuur
AB BG GA
G
uuur uuur uuur
(2) AG AB BG
uuur uuur uuur
B
BG BC CG
C
平面向量
概念
具有大小和方向的量
3.1.2 空间向量的数乘运算
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则

3.1.1空间向量及其加减运算

r ③空间向量的模表示成 | AB | 或| a |
二、空间向量及其加减运算 ⒈ 空间向量
（3）特殊的空间向量：）特殊的空间向量：零向量：大小（为零的向量； ①零向量：大小（模）为零的向量；
r 记作 0
零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的单位向量：大小（向量； ②单位向量：大小（模）为1向量；向量 r r 是单位向量，若 a 是单位向量，则 | a |= 1 r r 若 | a |= 1 ，则 a 是单位向量
二、空间向量及其加减运算 ⒈ 空间向量
（4）空间向量的关系：）空间向量的关系相等向量：大小相等和方向相同的向 ①相等向量：大小相等和方向相同的向量；二者缺一不可 ②相反向量：大小相等方向相反的向量相反向量： ③共线向量（或平行向量）：方向相同共线向量（或平行向量）：方向相同）：或相反的向量空间向量是自由向量；空间向量是自由向量；空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．段表示．
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L+ An−1 An = A1 An
A1
An −1
A2
A3
An
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，个封闭图形，则它们的和为零向量．向量．即：
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L+ An−1 An + An A1 = 0
A1
的共有（的共有（）个
uuu uuu uuuur uuur uuuur uuuur r r (1)( AB + BC) + CC1;(2)( AA + AD1) + DC1; 1 1 1 uuu uuur uuuu r r uuur uuuu uuuu r r (3)( AB + BB1) + BC1;(4)( AA + AB1) + BC1. 1 1 1 1

3.1.1 空间向量及其加减运算

课前篇自主预习
【做一做1】下列命题正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有 |a|=1,即C项正确. 答案C
方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.
④错误,空间四边形 ABCD 中,��与��的模不一定相等,方向也不
相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与��1的模一定相等的向量是
��1��, ��1, ��1��, ��1, ��1��,一共有 5 个. 答案②③
及其运算律,理解空间向量加法、减法的几何意义.
几何意义
课前篇自主预习
【思考1】类比平面向量的概念,能否给出空间向量的概念? 答案能.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 1.空间向量及其表示 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模. (2)表示:①几何表示法,用有向线段表示; ②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示. 如图,相应的向量可表示为:a 或��. (3)模的表示方法:向量��的模记为|��|,向量 a 的模记为|a|.

3.1.1空间向量及其加减运算和数乘运算

=
r b
；
uuur uuuuur ③在正方体中ABCD A' B'C ' D' ，必有 AC = A'C ' ；
④若空间向量mr , nr , pr 满足，mr = nr ,nr = pr ，则 mr = pr ；
其中正确的命题是＿＿＿＿③＿④＿＿
A．若2：下ar 列=说b法r ，中则正确ar的，是br (
（3）什么叫相等向量、相反向量、共线向量（平行向量）
（4）两个向量的加法和减法是怎么规定的？（5）什么是向量的数乘运算？（6）加法满足什么运算律？数乘运算呢？
三、自学检测与后教
1.知识点检测
（1）空间向量：在空间中，把具有大小和方向的向量叫做空间向量。
r a （2）向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模。如 | |
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
数数乘乘分结配合律律：：k(a(+arb))=Βιβλιοθήκη =k(a＋k)abr
O
O
a
a
A
b B
C
c
b+c
C
A
b
c
B
三、自学检测与后教
2.运用知识点检测
(1)把一个平面内的所有单位向量的起点移到该平面内一定点O，则终点的轨迹是以__点__o__为__圆__心__以__1＿为＿半＿径＿的＿圆＿；
三、自学检测与后教
（5）空间向量的加法减法是怎么定义的
首尾相接首到尾
相同起点对角线
bb
a
a
向量加法的三角形法则
向量加法的平行四边形法则
指共

19-20版第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|．2．几类常见的空间向量(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a ＝λb ．③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →． (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x _a ＋y _b ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ) 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →．思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →) 即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 D [共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －cC [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c .]3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB →－CD →＋BC →－DA →的结果为________．2AC → [AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.]空间向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．1．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] (1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个； (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个； (3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3.1111果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→.思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解． (2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→，对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→，对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ，②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ，③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c .1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．2.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.[解] OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC → ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12（OC →－OB →）＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c .共线问题12AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M .求证：C 1，O ，M 三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量AB →，AD →，AA 1→分别表示MO →和MC 1→.(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2.设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋13(CA →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ，MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→，＝12a ＋12b ＋c ，∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ，∴C 1，O ，M 三点共线．1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0)，则a ∥b .(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立.(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →（t ∈R ）.(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →（x ＋y ＝1）.3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，DA [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b所以AD →＝3AB →.又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．](2)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a－415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？[提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →.2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．思路探究：可通过证明MN →＝xCD →＋yDE →求证．[证明] 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN→＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．4．已知A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外的任意一点，若点P 分别满足下列关系：(1)OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →；(2)OP →＋OC →＝4OA →－OB →.试判断点P 是否与点A ，B ，C 共面．[解] 法一：(1)∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)，∴3CP →＝P A →＋2PB →，即P A →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．(2)设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →，∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎨⎧1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．法二：(1)由题意，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A ，B ，C 共面．(2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1，∴点P 与点A ，B ，C 不共面．1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1.3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA ＋MB ＋MC ＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 四点共面．] 2．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1C 1的中点，若AE→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，x ＋y ＋z ＝________．2 [∵AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12AC →＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD →＋AA 1→，∴x ＝12，y ＝12，z ＝1，∴x ＋y ＋z ＝2.]3．已知O 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________．－1 [由OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →得OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →，所以－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.] 4.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线， ∴GE →＝13BE →. 又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．课时分层作业(十四) 空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B.]2．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量A [由共面向量定理易得答案A.]3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A.DB →B.AC →C.AB →D.BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断B [∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．]5．已知在长方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A.AA 1→＋12AB →＋12AD →B.12AA 1→＋12AB →＋12AD →C.12AA 1→＋16AB →＋16AD →D.13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13(AA 1→＋12A 1C 1→)＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________．(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD → ＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c .] 7．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________． 215[根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →；(2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. [解]如图所示， (1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →) ＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12. (2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →.从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[能力提升练]1．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC →C [因为A ，B ，C ，P 四点共面，所以可设AP →＝xAB →＋yAC →，即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图可知x ＝3，y ＝－2，故选C.]2．如图是一平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →＝( )A.AB →＋AD →＋AA 1→B.AB →＋12AD →－AA 1→C.AB →＋AD →－AA 1→D.AB →＋13AD →－AA 1→B [取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1FD 1E ，所以A 1F →＝D 1E →.又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB →＋12AD →－AA 1→，故选B.]3．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．0 [由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC → 由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]4．如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG →＝λAM →与OG →＝12OA →＋14OB →＋14OC →同时成立，则实数λ的值为________．12 [OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋λAM →＝OA →＋λ2(AB →＋AC →)＝OA →＋λ2(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝12.]5．如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．[解] (1)因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BE →＋⎝⎛⎭⎫AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.。

3.1-3.1.1-空间向量及其加减运算

2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析

3.1.1空间向量及其加减运算(说课稿)

3.1.1 空间向量及其加减运算

§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算

3.1.1与3.1.2空间向量及其加减与数乘运算

2021秋高中数学人教A版选修2-1学案3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修2_1

3.1.1空间向量及其加减运算 课件

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算-数学选修2-1

3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.1空间向量及其加减运算和数乘运算

19-20版 第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算

3.1.1空间向量及其加减运算课件

19-20版第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算