高数 平面曲线的曲率 知识点与例题精讲课件

6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6

3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、 填空题：
1、 曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等的
曲线为__________.
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 , s R
K lim 1 s0 s R
M

s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
y
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2
sin
2
t

b2
cos 2
t
3
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ;
y b cos t ; 故曲率为
x a cos t y b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
K

(
x y xy x 2 y 2 )32
K

(1
y y2 )32
当 y 1 时, 有曲率近似计算公式 K y
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说明:
(1)
若曲线由参数方程

x y

x(t) y(t )
给出,
则
x y xy K ( x 2 y 2 )32
(2) 若曲线方程为 x ( y),则
六、曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指 数曲线 y e x 的顶点，并求在该点处的曲率半径 .
练习题答案
一、1、直线. 圆； 2 、2, 1 ； 2
二、k cos x , sec x .
三、k 2 . 3a sin 2t0
五、( ,1)处曲率半径有最小值 1. 2
六. ( 1 ln 2, 1 ), 3 3 .
曲率半径
R
1 K
(1 y2 )32 y
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y


1 x2
,
y

2 x3
,
则
y
1
R

(1
2、抛 物 线 y x 2 4x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________.
3、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________.
二、 求曲线 y ln(sec x) 在点( x, y) 处的曲率及曲率半
若曲线由参数方程表示:

x y

x(t) y(t )
则弧长微分公式为 ds x 2 y 2 d t y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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二、曲率及其计算公式
径.
三、
求曲线 x y

a cos3 a sin3
t t
在t

t0 处的曲率
.
四、 证 明 曲 线 y a cosh x 在 任 何 一 点 处 曲 率 半 径 为 a
y2 . a
五、曲线弧 y sin x (0 x ) 上哪一点处的曲率半 径最小？求出该点处的曲率半径 .
x

MM MM

(x)2 (y)2 x
oa
x
x

xb
x
M M 1 (y )2
MM
x
s( x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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ds 1 ( y)2dx 或 ds (dx)2 (d y)2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N

转角相同弧段越 短弯曲程度越大
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率 K lim d s0 s ds
令 f (t) 0, 得 t 0, , , 3 , 2
2
2
计算驻点处的函数值:
t

02
3 2
2
f (t) b2 a2 b2 a2 b2
设0 b a , 则 t 0 , , 2时
y
f (t)取最小值 , 从而 K 取最大值 .
b
这说明椭圆在点( a , 0 ) 处曲率 a
)2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
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内容小结
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (d y)2
2. 曲率公式 3. 曲率圆
K

d ds
y (1 y2 )3.
ax
最大.
b
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D( , )
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 R 1,k 1 . kR
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
第4.7 节 平面曲线的曲率
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s( x)
s x

MM MM
MM x
y
y

f (x) M
B
A M y
y2 )32 (1
1 x4
3
)
2
y
2 x3

1 2
(
x2

3
1 x2
)
2
2
o
1
x
显然 R x1 2 为最小值. 利用 a2 b2 2ab
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思考题
椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪些点处
曲率最大？
思考题解答
k | y | 3
K

(1
x
x
2
3
)
2
y
K

(1
y
2
3
)
2
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例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a

ab
(a2
sin
2
t

b2
cos
2
t
3
)
2
K 最大
f (t ) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
求驻点: f (t ) 2a2 sin t cos t 2bcos t sin t (a2 b2 )sin 2 t
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f (t ) (a2 b2 )sin 2 t
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d ds
又 故曲率计算公式为