小学奥数精讲 循环小数计算

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.17的“秘密” 10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427

••= 2.推导以下算式

⑴10.19=

；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999

=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000

-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110

-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950

-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；

再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，

两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论

纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与

不循环部分数字所组成的数的差

分母

n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分

母，其中9在0的左侧 ·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990

ab ab ab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……

模块一、循环小数的认识 例题精讲

知识点拨

教学目标

循环小数的计算

【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年

10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火

箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)

【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，1试

【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、

02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007••

【答案】l.80524102007••

【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因

此一定是0.1998••，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998•．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998••，而次大数为0.1998••

，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998•••••••>>>

【答案】0.19980.19980.19980.1998•••••••>>>

【例 2】 真分数7

a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?

【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67=0.857142．因此，真分数7

a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a ，即6a =． 【答案】6a =

【巩固】 真分数7

a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 我们知道形如7

a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。 ()903912457833421÷+++++=，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下

完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67

，所以6a =。 【答案】6a =

【巩固】 真分数7

a 化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 我们知道形如7

a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。

【答案】3a =

【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是 ．

【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算

【解析】6

0.857142857142

7

=……6个数一循环，20096334

÷=……5，是4

【答案】4

【例 3】写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】小希望杯，4年级

【解析】0.6+0.06+0.006+……=0.6=62

93

==2002÷3003

【答案】3003

【例 4】下面有四个算式：

①0.6+0.

.... 1330.733;

=

②0.625=5

8

；

③

5

14

+

3

2

=

35

142

+

+

=

8

16

=

1

2

；

④33

7

×4

1

5

=14

2

5

；

其中正确的算式是（）.

（A）①和②(B) ②和④(C) ②和③(D) ①和④【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛

【解析】对题中的四个算式依次进行检验：

①0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；

②0.625=5

8

是正确的；

③两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过3

2

﹥

1

2

即可判断出其不正确；

④

3

3

7

×

1

4

5

=

24

7

×

21

5

=

72

5

=

2

14

5

，所以④不正确。

那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。

【答案】B

【例 5】在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。

【答案】2.718281

【例 6】将1

2

化成小数等于0.5，是个有限小数；将

1

11

化成小数等于0.090…，简记为0.09，是纯循环小

数；将1

6

化成小数等于0.1666……，简记为0.16，是混循环小数。现在将2004个分数

1

2

，

1

3

，

1 4，…，

1

2005

化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

【关键词】华杯赛，总决赛，二试

【解析】凡是分母的质因数仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有