一次函数经典例题大全

一.定义型

例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知

，

，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型

例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：一次函数的图像过点(2, -1)，

，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。

三. 两点型

例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得

，故这个一次函数的解析式为y=2x+4

四. 图像型

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)

有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2

五. 斜截型

例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时，

直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。

又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2

六. 平移型

例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为 y=kx+b，

直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行

直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为

七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20

故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

八. 面积型

例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即

故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4

九. 对称型

若直线与直线y=kx+b关于

（1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b

（2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b

（3）直线y=x对称，则直线的解析式为

（4）直线y=-x对称，则直线的解析式为

（5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b

例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1

十. 开放型

例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6

（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以

是双曲线，解析式为

（3）其它（略）

十一. 几何型

例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。

（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；

（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。

解：（1）由直角三角形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0)，由待定系数法可求得二次函数解析式为

，对称轴是x=-√3

（2）连结OE、OF，则，。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系数法可求得一次函数解析式为

十二. 方程型

例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为，求经过点P

和Q 的一次函数图像的解析式

解：由根与系数的关系得

点P(11, 3)、Q(-11, 11)

设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b则有

解得故这个一次函数的解析式为

十三. 综合型

例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线上，直线y=kx+c经过

点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组，求这条直线的解析式。

解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D

在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：y1=-7x2+14x-12，顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18 顶点D2

解方程组得，即C1(-1, -4)，C2(2, -1)

由题意知C点就是C1(-1, -4)，所以过C1、D1的直线是；过C1、D2的直线是

函数问题1

已知正比例函数，则当k≠0时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。

函数问题2

已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）

A. x1>x2

B. x1

C. x1=x2

D.无法确定

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

函数问题3

一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A .

函数问题4

一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

解：由题意设所求函数为y=kx+12，则13.5=3k+12 解之，k=0.5

∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12

由题意，得：23=0.5x+12x=22 解之，x=22

∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

函数问题5

某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

此题要考虑X的范围

解:设总费用为Y元，刻录X张，则电脑公司：Y1=8X 学校：Y2=4X+120

当X=30时，Y1=Y2 ，当X>30时，Y1>Y2 ，当X<30时，Y1

函数问题6

（1）y与x成正比例函数，当 y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.

（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式.

解：（1）设所求正比例函数的解析式为 y=kX ，把 y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k，解之，得k=2 ∴所求正比例函数的解析式为 y=2X

（2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b

∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式，得 2=-k+b,-5=3k+b 解得 k=-7/4,b=1/4 ∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4

点评：（1）不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.

函数问题7