2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试卷及解析
重庆市2020届高三下学期第一次月段考试数学理科试题版含答案
2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷(理科)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求.1. 若复数乙满足2z + Z = 3-2i ，其中i 为虚数单位，贝收=A. 1 + 2/B. 1-2/C. -1 + 2/D. -1-2/2. 已知U = R,M={xl_l<x<2},N = {xlx<3},贝i](QM)A^ =A. {xlx<-1或2vx<3}B. {xl2vx5 3}C. {xlx<-l^c2<x<3}D. {x12<x<3} 3. 下列说法正确的是A. a e 心丄v 1”是”d > 1”的必要不充分条件B. “ p W 为真命题是“ pyq 为真命题”的必要不充分条件C. 命题”3xeR,使得X 2+2X + 3<0"的否定是"VxwR,x2 + 2x + 3>0"D. 命题 p: e R 、sin x + cos x < ，则-y?是真命题个单位后得到函数g (x) = cos 的图象，则函数于(x)的图象5•如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表而三角形中为直角三角形的个数为 :A. 2B. 3C.4D.5； 6. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3,则输入的x 取值范囤是t I A. (2,4] B. (2,g) C.(4JO] D. (4,g) ； ■7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是 ； 我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其'周，令相承也•又以高乘之，三十六成一•该术相当于给出了有圆锥的底而周长L 与高，计算4•已知函数/(x) = sin (Q¥ + 0)co>0.\(p\的最小正周期为兀，且其图象向左平移扌 A.关于直线2醫对称B.关于直线“菩对称c.关珂討对称D.关于点 对称其体积V的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取为4,48那么近似公式Eh相当于将圆锥体积公式中兀的近似取为■ 25 厂25 厂25 小25A. —B. —C. —D.—6 8 3 48.等比数列｛%｝中,坷=1,畋=4,函数/(x)=x(x-tz1)(x-a2)(x-o3)---(x-6!n),若y = f(x)的导函数为y =广(兀)・则广(0)=A. IB. 2°C. 212D.2159•甲、乙.丙、丁.戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为1211A.—B. —C. 一D.-1033410.已知椭圆^- + p- = l(«>Z?>0)的左、右焦点分别为片迅，焦距为2近,若直线y = —J5(x +J㊁)与椭圆交于点M,满足丄ZMF｝F2 = ，则离心率是2A.返B.苗—1C.耳D.迺2 2 211 •点M为棱长是2血的正方体ABCD-A X B X C X D｛的内切球O球而上的动点，点N为的中点.若满足QM丄BN,则动点M的轨迹的长度为A.R),若关于X的方程f2(A-)-丄mf(x) +丄m — 1 = 0恰好有2 24个不相等的实根，则加的取值范国是二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分・13.("X + J7)'的展开式中疋项的系数为20,则实数14.已知awR ,则函数/(x) = l-sin2(x+a)+cos(x+a)sin(x+a)的最大值为____________ :15.一般吧数字岀现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1 出现在第1行，数字2,3出现在第2行：数字6.5,4 (从左到右)出现在第3行：数字7,8.930出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是___B.12•已知函数/(%) =16•如图，正三棱柱ABC-A^Q的各棱长均相等，D为人人的中点，M,N分别是线段和线段CC；上的动点（含端点），且满足BM = C{N ,当M,N运动时，下列结论中正确的序号为____________①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A、一 DMN的体积为左值：③平而QMN丄平而BCCb ；④平而DA/N与平而ABC所成的锐二而角范用为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在AABC中，a,b,c分别是A.B.C的对边，且汇£ = ?匸^a+c = 2.cosB b（1）求角B;（2）求边长b的最小值.18.（本题满分12分）某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并讣算频率分布直方图中［80,90］间的矩形的髙：（2）若要从分数在［80,100］之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中"表示分数在［80,90］之间被选上的人数，u表示分数在之［90,100］间被选上的人数，记变量4= H-V.求§的分布列和期望.19.（本题满分12分）如图，正方形AMDE的边长为2, 分别为AM.MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE■的中点，平而4BF与棱PD、PC分别交于G,H两点.（1）求证：ABHFG；' G（2）若P4丄平而ABCDE,且= 求平面PCD与平面 E "ABF所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH的长.20.（本题满分12分）A B M2 2已知椭圆C:* +计=1（°＞方＞0）的左焦点F（-l,0）,过点F作与x轴垂直的宜线与椭圆交于M,N两点，且\MN\ = 3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（-l,0）的直线交椭圆于A.B两点，线段AB的中为GAB的中垂线与x轴和y轴分别交于ZXE两点，记的而积为5, 取值范围.21.（本题满分12 分）已知f（x） = 2c\nx-x2（ceR）.（1）讨论函数.f（x）的单调区间；⑵若c = l,设函数g（x） = f（x）-mx的图象与x轴交于A（^,0）,B（E，0）两点，且0 ＜册v勺，又y = g\x）是y = g（X）的导函数，若正常数匕〃满足a + b = ^b＞a，证明：g'@[ +bx2）＜0请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C]的极坐标方程为Q（J?COS&-sin8）= “ ,曲线C2的参数方程为x = sin& + cos&门（0为参数），且G与c,有两个不同的交点.y = l+sin2&（1）写岀曲线q的直角坐标方程和曲线C?的普通方程：（2）求实数。
重庆市七校2020届高三数学下学期联考试题理含解析
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
6.函数 是 上的偶函数，且 ，若 在 上单调递减，则函数 在 上是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图，可知该几何体是边长为2 的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解.
【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体 ，
则 ， ，所以 ，正四面体的边长为2，
所以 ，
取 的中点 ，连接 ，过 作 底面 ，交 于点 ，
8.已知 为 上的可导函数，且有 ，则对于任意的 ，当 时，有( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数h（x）=xf（x），根据函数的单调性判断即可．
【详解】不妨设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x＞0，有 ，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
4.若函数 （其中 ，且 ）可化为 ，则 应满足条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到 ，进而求得 .
【详解】
，
其中 ，
函数 （其中 ，且 ）可化为 ，
，即 ，
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学试题及答案
2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参照公式：假如事件A、B互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件A、B互相独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次独立重复试验中恰巧发生k次的概率P n(k)C n k P k(1P)nk一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1 .函数y log1(3x2)的定义域是（）2A．[1,)B．(2,)C．[2,1]D．(2,1]3332.设复数Z12i,则Z22Z()A–3B3C-3i D3i3.圆x2y22x4y30的圆心到直线x y1的距离为：（）A2B2C1D2 224．不等式x2的解集是：（）x1A B(1,0)(1,(,1)(0,1) C(1,0)(0,1)D(,1)(1,) 5．sin163sin223sin253sin313()A 1B1C3D3 22226．若向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,则向量a的模为：（）A2B4C6D127．一元二次方程ax22x10,(a0)有一个正根和一个负根的充足不用要条件是：（）Aa0Ba0Ca1D a18．设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,A,B为垂足，PA4,PB2,则AB的长为：（）A 23 B25C27D 429．若数列{a n }是等差数列，首项a 10,a2003a20040,a 2003.a 20040，则使前n项和S n 0建立的最大自然数n 是：（）A4005B 4006 C4007D 400810．已知双曲线x 2y 2 1,(a0,b0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲a 2b 24|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：()线的右支上，且|PF 1| A4 B5 C2D733311．某校高三年级举行一次演讲赛共有 10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序， 则一班 有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的 2位同学没有被 排在一同的概率为：（ ）A1 B1 C1D110201204012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 究竟面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 构成图形可能是：（ ）AAPPB CBCAAPPBCB C第Ⅱ部分（非选择题共90分）三题号 二总分17 18 19 20 21 22 分数二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在(1ax)5的睁开式中x 3的系数为80，则a_______14．曲线y21 x 2与y 1 x 3 2在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）2 4 1的 15 ．如图1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为P2半圆后获得图形 P 2，而后挨次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、..P n ,记纸板P n 的面积为S n，则limS n ______xP 1P 2P 4P 316．对随意实数K ，直线：ykxb 与椭圆：x 32cos(02)恰有y 1 4sin一个公共点，则 b 取值范围是_______________三、解答题：此题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12分）求函数y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x 的取小正周期和取小值； 并写出该函数在[0,]上的单一递加区间18．（本小题满分12分）设一汽车在行进途中要经过4个路口，汽车在每个路口碰到绿灯的概率为3，碰到红灯（严禁通行）的概率为1假设汽车只在碰到红灯或抵达目的44地才停止行进，表示泊车时已经经过的路口数，求：（1）的概率的散布列及希望E;(2)泊车时最多已经过3个路口的概率19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA 底面ABCD,AE PD,EF//CD,AM EF证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA 3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值PEA FDM B C20．（本小题满分12分）设函数f(x) x(x 1)(x a),(a1)求导数f/(x);并证明f(x)有两个不一样的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)f(x2) 0建立，求a的取值范围21．（本小题满分12分）设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线 y 22px交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）试证抛物线极点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程YB yH OQ(2p,0)xA22．（本小题满分14分）设数列a n知足a 12,a n1a n 1,(n1,2,3.......)a n(1) 证明a n 2n1对全部正整数n 建立；(2) 令b na n ,(n1,2,3......),判断b n 与b n1的大小，并说明原因n2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题参照答案一、选择题：每题5分，共60分.1．D2．A3．D4．A5．B6．C7．C8．C9．B10．B11．B12．D11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序，则一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：（）A 1B111 1020C D40120解：10位同学参赛演讲的次序共有：A1010;要获得“一班有3位同学恰巧被排在一同而二班的2位同学没有被排在一同的演讲的次序”可经过以下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一同，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其余班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个空隙（包含两头的地点）中选2个地点，将二班的2位同学插入，有A72种方法依据分步计数原理（乘法原理），共有A33A66A72种方法所以，一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：A33A66A721P20A1010应选B二、填空题：每题4分，共16分.13．－214．15．16．[－1，3]43三、解答题：共74分.17．（本小题12分）解：y sin4x 23sinxcosx cos4x222(sinx cosx)(sinx3sin2xcos2x23sin2xcosx)2sin2(x)6故该函数的最小正周期是 ；最小值是－ 2；单增区间是[0,1]，[5, ]3618．（本小题12分）解：（I ） 的全部可能值为 0，1，2，3，4用A K 表示“汽车经过第 k 个路口时不断（遇绿灯）”， 则P （A K ）= 3(k1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.41,故P(0) P(A 1)4P(1)P(A 1 A 2)3 1 34416P(2)P(A 1A 2 A 3)(3)219,4464P(3)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)3127,4 4 256 P(4)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)4814256进而 有散布列：0 1 2 3 4P1 3 9 27 81 416642562561 3 9 2781525E0 1234256 41664256256 （II ）P(3)1 P(4)81 1751256256答：泊车时最多已经过3个路口的概率为175.25619．（本小题 12分）I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，所以MF是AB与PC的公垂线.II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，所以OH⊥面MAE.连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，AO 1AC2a. 22因Rt△ADE~Rt△PDA，故EDAD2a2aPD a2(3a)2,10OH 1a. ED210进而在RtAHO中sinHAO OH a215.AO2102a2010 20．（本小题12分）解：（I）f(x)3x22(1 a)x a.令f(x)0得方程3x22(1 a)x a0.因4(a2a1)4a0,故方程有两个不一样实根x1,x2不如设x1由可判断的符号以下: x2,f(x)3(xx1)(xx2)f(x)当xx1时,f(x)0;当x1x x2时,f(x)0;当xx2时,f(x)0所以x1是极大值点，x2是极小值点.（II）因f(x1)f(x2)0,故得不等式x13x23(1a)(x12x22)a(x1x2)0.即(x1x2)[(x1x2)23x1x2](1a)[(x1x2)22x1x2]a(x1x2)0.又由（I）知x1x22(1a), 3x1x2a.3代入前方不等式，两边除以（1+a），并化简得2a25a20.解不等式得a 2或a1(舍去)2所以,当a2时,不等式f(x1)f(x2)0建立. 21．（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不可以是水平线，故可设直线方程为：ky x2p.又设A(x A,y A),B(x B,y B)，则其坐标知足ky x2p, y22px.消去x得y22pky4p20由此得y A y B2pk, y A y B4p2.x A x B4pk(y A y B)(42k2)p,x A x B(y A y B)24p2(2p)2所以OAOB x A x B y A y B0,即OA OB.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（x H,y H）是AB的中点，故x H x A x B(2k2)p,2y B y A y Bkp.2由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|x H2y H2k45k24p.进而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线 AB 不可以是水平线，故可设直线方程为： ky=x －2p又设A(x A ,y A ),B(x B ,y B )，则其坐标知足ky x2p, y22px.y 2 2pky4p 20,分别消去x ，y 得2p(k 22)x4p 2x 20.故得A 、B 所在圆的方程x 2y 2 2p(k 2 2)x2pky0.显然地，O （0，0）知足上边方程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为(x Ax B ,y A y B)((2k 2)p,kp),22故|OH|(2k 2)2p 2k 2p 2而前方圆的方程可表示为 [x(2k 2)p]2(ypk)2 (2k 2)2p 2k 2p 2故|OH|为上边圆的半径 R ，进而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）.又R 2|OH|2 (k 4 5k 2 4)p 2，故当k=0时，R 2最小，进而圆的面积最小，此时直线 AB 的方程为：x=2p.解法三：同解法一得 O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=(x A x B )2(y Ay B )2x A 2 x B 2 y A 2 y B 2x A 2 x B 2 2px A2px B2x A x B4px A x B4p.上式当x Ax B 时，等号建立，直径|AB|最小，进而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.。
重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|y＝lg（x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1]D．[﹣3，1）2．在复平面内，复数z对应点Z（x，y），若|z﹣i|＝|z+i|，则（）A．y＝0B．y＝0，x∈[0，1]C．x＝0D．x＝0，y∈[0，1] 3．命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜34．已知a=log232，b=(12)2.1，c=(25)−2，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．137．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．58．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c，d，e，f，g，a，b，则多出来的5个音符为c#（读做“升c”），d#，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：110．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π311．已知点Q （﹣2，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若AB →=3BP →，且直线QA 的斜率为1，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．2+2√2D ．4√212．已知A(2，1)，B(23，0)，C ，D 四点均在函数f （x ）＝log 2ax x+b的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ ．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝BC ＝2，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点． （1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）若直线BE 与平面AA 1B 1B 所成角为30°，求二面角C ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．参考答案一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣x 2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1]B ．（0，1）C ．[0，1]D ．[﹣3，1）【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z 对应点Z （x ，y ），若|z ﹣i |＝|z +i |，则（ ） A ．y ＝0B ．y ＝0，x ∈[0，1]C ．x ＝0D ．x ＝0，y ∈[0，1]【分析】由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，写出复数的模，整理后得答案． 解：由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，得|x +（y ﹣1）i |＝|x +（y +1）i |， 即√x 2+(y −1)2=√x 2+(y +1)2， 整理得：y ＝0． 故选：A ．3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3． 故选：D ．4．已知a =log 232，b =(12)2.1，c =(25)−2，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】可以得出14＜log 232＜1，(12)2.1＜14，(25)−2＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵14=log2214＜log232＜log22=1，(12)2.1＜(12)2=14，(25)−2＞(25)0=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和的定义，即可求出公差d的值．解：等差数列{a n}中，a2+a7+a9＝（a1+d）+（a1+6d）+（a1+8d）＝3（a1+5d）＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0；所以a9﹣a6＝3d＝﹣9，解得d＝﹣3．故选：A．6．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．13【分析】由题意，μ＝110，σ＝10，结合2σ原则可得P（X＞130），乘以1000得答案．解：由题意，μ＝110，σ＝10，故P（X＞130）＝P（X＞μ+2σ）=1−0.95442=0.0228．∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23．故选：C．7．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．5【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量c→，再求模长．解：向量a→=（﹣1，2），向量c→与a→共线，设c→=（﹣λ，2λ），由b→=（3，4），所以c→在b→方向上的投影为|c→|cosθ=c→⋅b→|b→|=−3λ+8λ5=√5，解得λ=√5，所以c→=（−√5，2√5），所以|c→|=√(−√5)2+(2√5)2=5．故选：D．8．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析四个选项中能够推出α∥β的条件即可得答案．解：对于A，由l⊂α，m⊂β，l∥m，不一定得到α∥β，α与β也可能相交；对于B，由l⊥m，l∥α，m⊥β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图，对于C，l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，不一定得到α∥β，只有添加条件l与m相交时，才有α∥β；对于D，由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m⊥β，可得α∥β．∴使得α∥β成立的一个充分条件是D．故选：D．9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c 1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为c #（读做“升c ”），d #，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：1【分析】根据所给定义，由图推得f 2是b 1后的第6个音阶即可得到答案解：根据题意，因为相邻音阶的频率之比为1：√212，而键盘f 2是b 1后的第6个音阶， 故频率之比为1：(√212)6=1：√2， 故选：B ．10．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π3【分析】先根据三角函数公式化简解析式，再由条件得到函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；进而求得结论．解：因为函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ＝sin2x cos φ+（2cos 2x ﹣1）sin φ＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， ∵对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)， ∴函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称； 故2×5π12+φ＝k π+π2（k ∈Z ），即φ＝kπ−π3，k∈Z，故选：A．11．已知点Q（﹣2，0）与抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若AB→=3BP→，且直线QA的斜率为1，则p＝（）A．2B．4C．2+2√2D．4√2【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可．解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由AB→=3BP→，可知：x A＝4x B，则y A＝﹣2y B，又A、F、B三点共线，可得y A−y Bx A−x B=y Bx B−p2，即2py A+y B=y By B22p−p2，可得y A y B＝﹣P2，∴−12y A2＝﹣p2，即y A=√2p，x A＝p，由QA斜率为1可得：y Ax A+2=1，即√2pp+2=1，则p＝2（√2+1）．故选：C．12．已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A．265B．263C．525D．523【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用BA→=CD→得到x2=x1+43，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x1+43代入即可得到点C的坐标，从而求出BA→，BC→，得到平行四边形ABCD的面积．解：∵函数f（x）＝log2axx+b，由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴a＝b+2，由f（23）＝0可得23a23+b=1，∴a＝1+32b，解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=log24xx+2，设点C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，由题意可知BA →=CD →，则x 2−x 1=43，∴x 2=x 1+43，由f （x 2）﹣f （x 1）＝1得：log 2x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=1，∴x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=2，∴x 1x 2＝2x 2﹣4x 1，把x 2=x 1+43代入解得x 1=23或﹣4，又∵点C 不与B 重合，∴x 1＝﹣4，∴C （﹣4，3）， ∴BA →=(43，1)，BC →=(−143，3)，故平行四边形ABCD 的面积S ＝|43×3−1×(−143)|=263，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 2 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0即（x +2）2+y 2＝9，其圆心为（﹣2，0），半径r ＝3， 圆心到直线y ＝2﹣x 的距离d =|−2−2|1+1=2√2， 则弦长|AB |＝2×√r 2−d 2=2×√9−8=2； 故答案为：2．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ 4 ．【分析】先对f （x ）求导，然后求出f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率，再根据在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b 和切线过切点（0，a ），得到关于a ，b 的方程，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2，得f ′（x ）＝cos x +2a （x ﹣1）， ∴f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率k ＝f '（0）＝1﹣2a ， ∵f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ， ∴1﹣2a ＝﹣3，∴a ＝2，又y ＝﹣3x +b 过（0，a ），∴b ＝a ＝2， ∴a +b ＝4． 故答案为：4．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ﹣9 ．【分析】先求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x 的系数． 解：∵令x ＝1，可得（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5展开式的各项系数之和为a •15＝﹣1， ∴a ＝﹣1，∴（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5＝（x 2﹣x ﹣1）（2x ﹣1）5＝x 2•（2x ﹣1）5﹣x •（2x ﹣1）5﹣（2x ﹣1）5；显然这三项展开后，只有后面两项有x ；即（﹣x ）•（﹣1）5−∁54•2x •（﹣1）4＝﹣9x ；故展开式中x 的系数为﹣9； 故答案为：﹣9．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 （√30，√35] ．【分析】设等差数列的公差为d ，用b 和d 表示a 和c ，结合题意列出不等式求出b 的取值范围．解：设等差数列的公差为d ，则a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ； 所以a 2+b 2+c 2＝（b ﹣d ）2+b 2+（b +d ）2＝3b 2+2d 2＝105； 不妨设d ≥0，由a +b ＞c ，得b ﹣d +b ＞b +d ，解得d ＜b2； 所以3b 2≤105＜3b 2+b 22，解得30＜b 2≤√35， 即√30＜b ≤√35；所以b 的取值范围是（√30，√35]． 故答案为：（√30，√35]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求； （2）由等差数列的定义和通项公式，可得b n ，求得c n ={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 解：（1）由4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列， 可得6S n +1＝4S n +2S n +2，即3S n +1＝2S n +S n +2， 即2（S n +1﹣S n ）＝S n +2﹣S n +1，即2a n +1＝a n +2，所以等比数列{a n }的公比为2， 又a 1＝1，可得a n ＝2n ﹣1，n ∈N*；（2）由b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，可得{b n }是首项为0，公差为1的等差数列， 则b n ＝n ﹣1，n ∈N*，c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，所以{c n }的前2n 项和为c 1+c 2+…+c 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+1+2n−12•n =4n 3−13+n 2． 18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【分析】（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，由此能预测学生甲考试得160分的概率．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，从而X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．解：（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P（X＝100）＝0.3×C32×0.3×0.7=0.126，P（X＝140）=0.7×C21×0.3×0.7=0.294，P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063．∴X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.063 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E 分别为AA1，B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若直线BE与平面AA1B1B所成角为30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【分析】（1）取BC的中点F，连结AF，EF，推导出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，从而B1B⊥面ABC，进而B1B⊥AF，由此能证明AF ⊥平面BCC1B1，从而DE⊥面BCC1B．（2）过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，推导出FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B 的距离为1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距离d＝1，求出BE＝2，EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．解：（1）证明：取BC的中点F，连结AF，EF，则EF∥B1B∥DA，且EF=12B1B=DA，∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥面BCC1B．（2）解：过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，∴FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B的距离为1，又EF∥B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，∴点E与点F到平面AA1B1B的距离相等，∴E到平面AA1B1B的距离d＝1，∴sin30°=dBE=1BE，解得BE＝2，∴EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，√2，0），C（0，−√2，0），D（√2，0，√2），E（0，0，√2），∴CB→=（0，2√2，0），BD→=（√2，−√2，√2），BE→=（0，−√2，√2），设平面CBD和平面BDE的法向量分别为m→=(x1，y1，z1)，n→=（x2，y2，z2），则{m →⋅CB →=2√2y 1=0m →⋅BD →=√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，取x 1＝1，得m →=（1，0，﹣1）， {n →⋅BD →=√2x −√2y +√2z =0n →⋅BE →=−√3y +√3z =0，取y 2＝1，得n →=（0，1，1）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，由图知二面角C ﹣BD ﹣E 是锐二面角， ∴二面角C ﹣BD ﹣E 的大小为π3．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【分析】（1）根据正方形面积为4可得b ＝c =√2，椭圆方程可求；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意直线l 的方程为：l ：y ＝kx +m ，（k ＞0，m ≠0，±1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k ，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m 的值，则直线PQ 的方程即可求出．解：（1）由题知b ＝c =√2，a ＝2， 故C 的方程为：x 24+y 22=1；（2）联立{x 24+y 22=1y =kx +m，整理得（1+2k 2）x 2+4km +2m 2﹣4＝0，则△＝8（2﹣m 2+4k 2）＞0得4k 2+2＞m 2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−42k 2+1，由直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，则k 2=y 1+m 2x 1•y 2+m2x 2=kx 1+32m x 1•kx 2+32m x 2， 即k 2x 1x 2＝k 2x 1x 2+32mk （x 1+x 2）+94m 2，又m ＞0，所以k （x 1+x 2）=−32m ， 即−4k 2m 2k 2+1=−32m ，则k 2=32，又S △OPQ =12•|m |•|x 1﹣x 2|，所以√62=|m|2•√8(2−m 2+4k 2)2k 2+1=|m|2•√8(8−m 2)4，即m 4﹣8m 2+12＝0，解得m 2＝2或6，均满足△＞0． 又k ＞0，m ＞0，且P 、Q 均不在y 轴上，所以k =√62，m =√6，故直线l 的方程为y =√62x +√6．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出验证即可； （2）问题转化为只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，根据函数的单调性怎么即可．解：（1）f ′（x ）＝x +ae x −1x，由题意知f ′（12）＝0，即12+a √e −2＝0，解得：a =2e，又f ″（x ）＝1+ae x +1x 2＞0， ∴f ′（x ）在（0，+∞）上递增， 故当a =32√e 时，有x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0， x ∈（12，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x =12是f （x ）的极小值点；（2）当a ≥1时，对于∀x ＞0有ae x ≥e x ， 即f （x ）≥12x 2+e x ﹣lnx ， 故要证明f （x ）＞138+ln 2，只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2， 令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝x +e x −1x，g ″（x ）＝1+e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）在（0，+∞）递增，又g ′（12）=√e −32＞0，g ′（13）=√e 3−83＜0， 故存在x 0∈（13，12），使得g ′（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴g （x ）≥g （x 0）=12x 02+e x 0−lnx 0，又x 0+e x 0−1x 0=0，∴g （x 0）=12x 02−x 0+1x 0−lnx 0，令h （x ）=12x 2﹣x +1x −lnx （13＜x ＜12），则h ′（x ）＝x ﹣1−1x 2−1x＜0， ∴h （x ）在（13，12）递减，∴h （x ）＞h （12）=138+ln 2， 故g （x 0）＞138+ln 2，故g （x ）＞138+ln 2， 原不等式得证． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（2）由题意知直线l 1的极坐标方程为θ=α+π2，则：{ρ=2sinθθ=α+π2，所以ρB =2sin(α+π2)=2cosα．故：|OP |＝2sin α，|AP |＝2cos α，所以|BP |＝2cos α+2sin α． 所以S △ABP =12×2(cosα+sinα)2cosα=√2sin(2α+π4)+1． 当2α+π4=π2，即α=π8时，面积的最大值为√2+1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值； （2）由（1）可得1a 3+1b 3=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b 3）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证．解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3， 当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3； （2）证明：正数a ，b 满足1a +1b =3ab ，故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b3）（a 3+b 3）=13（1+1+a 3b3+b3a3） ≥13（2+2√a 3b3⋅b 3a3）=43，当且仅当a ＝b =√235时等号成立，故a 4b +ab 4≥43．。
重庆市七校联考2019-2020学年度第二学期复学高三年级数学试卷(理科)试题(word版含答案)
重庆市七校联考2019-2020学年度第二学期复学高三年级数学试卷（理科）试题一、选择题(本大题共12道小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合22{|2},{|0},1x A x xB x x -=<=≤+则A∩B=().(,[1,)A -∞⋃-+∞)2]D2.已知,,,a b c R ∈则“实数a,b,c 均不为零”是“实数a,b,c 成等比数列”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如果向量a r =(k,1)与(6,1)b k =+r共线且方向相反,那么实数k 的值为()A.-3B.2C.17-1.7D4.若函数y=asinx+bcosx(其中a,b ∈R,且a,b>0)可化为(),y x ϕ=-则φ应满足条件().bAtana ϕ=B.cos ϕ=.a C tanbϕ=.sin D ϕ=5.已知a=ln0.5，b=C 满足1c lnc e =,则实数a,b,c 满足()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<CD.c<a<b6.函数f(x)是R 上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是() A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<φ<π)的图像与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为12,,x x 若12||x x -的最小值为π,且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位后得到的函数g(x)为奇函数,则函数f(x)的一个递减区间为() .(,0)2A π-.(,)44B ππ-.(0,)2C π3.(,)44D ππ8.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有()()0f x f x x'+>,则对于任意的a,b ∈(0,+∞),当a>b 时,有() A.af(a)<bf(b)B.af(a)>bf(b)C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)9.如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,点P,Q 分别为边111,AA C D 的中点,过点B,P,Q 作一平面与线段1CC 所在直线有一交点E,若正方体边长为4,则多面体EABCD 的体积为()A.1632.3B64.3C D.3210.设点P 是以12,F F 为左､右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,且满足120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为()3.2A32.4B10.4C10.2D 11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()2.3A4.3B2.3C2.3D 12.已知函数||(),xx f x e=方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有四个不相等实根,则m 的取值范围是() 22.(,1)e e A e e-+221.(,)e e B e e-++∞+221.(,1)e e C e e-++22.(,)e e D e e-+∞+二､填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分) 13.已知复数z 满足(3+4i)·z=1-2i,则z=_____.14.二项式71(2)x x+的展开式中含x 的项为____.15.在△OAB 中,已知||2,||1,45OB BA AOB ==∠=︒u u u r u u u r ，点P 满足OP =u u u r ,OA OB λμ+u u u r u u u r其中2λ+μ=3,则||OP uuu r的最小值为___.16.已知数列{}n a 满足:对任意*,(0,)2n n Na π∈∈,且11,()3n a f a π+==()n f a '其中f(x)=tanx,则使得12sin sin 11k sina a a ⨯⨯⨯<L 成立的最小正整数k 为____.三､解答题(本大题共6道小题,第17题10分,其余每题12分,共70分) 17.已知函数()2sin()cos ,3f x x x x π=+∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当[,]44x ππ∈-时,求函数f(x)的最大值与最小值｡18.如图所示,AE ⊥平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD ⊥AB,BC=2AB=2AD=2,AE=2CF=2,(1)求证:BF//平面ADE;(2)求二面角E-BD-F 的平面角的余弦值19.新型冠状病毒属于β属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现,现阶段也出现无症状感染者｡基于目前的流行病学调查和研究结果,病毒潜伏期一般为1-14天,大多数为3-7天｡为及时有效遏制病毒扩散和蔓延,减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查｡某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查,检查结果统计如下:(1)能否在犯错率不超过0.001的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关. 临界值表:(2)在全国人民的共同努力下,尤其是全体医护人员的辛勤付出下,我国的疫情得到较好控制,现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者(即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M 抗体检测阳性者)｡根据防控要求,无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎,但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天,已知某人曾与无症状感染者密切接触,而且在家已经居家隔离10天未有临床症状,若该人员居家隔离第k 天出现临床症状的概率为101()2k -，(k=11,12,13,14),两天之间是否出现临床症状互不影响,而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗,若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离,求该人员在家隔离的天数(含有临床症状表现的当天)ξ的分布列以及数学期望值｡(保留小数点后两位)20.已知函数2()1()f x axlnx x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点. (1)求a 的取值范围;(2)设两个极值点分别为:12,,x x 证:221212()()2f x f x x x +<-+.21.已知A(1,2)为抛物线22(0)y px p =>上的一点,E,F 为抛物线上异于点A 的两点,且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数.(1)求直线EF 的斜率;(2)设直线l 过点M(m,0)并交抛物线于P,Q 两点,且,(0),PM MQ λλ=>u u u u r u u u u r直线x=-m 与x 轴交于点N,试探究NM u u u u r 与NP NQ λ-u u u r u u u r的夹角是否为定值,若是则求出定值.22.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为:12(2sin x cos y ααα=+⎧⎨=⎩为参数),直线l:y=kx(k>0),以坐标原点O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求|OA|+|OB|的取值范围.23.已知已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-a| (1)若不等式f(x)≥3恒成立,求a 的范围;(2)若2()1,g x x ax =-+且对1,x R ∀∈总存在2,x R ∈使得1()f x =2(),g x 求实数a 的取值范围.。
重庆土门中学2020年高三数学理联考试卷含解析
重庆土门中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 已知是实数，则“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 设函数，则它的图象关于 ( ）A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称参考答案：C4. 在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）参考答案：D考点：复合命题．专题：简易逻辑．分析：命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”．解答：解：设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D点评：本题考查用简单命题表示复合命题的非命题，属于基础题5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. B．C．D．参考答案：B对于，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，选项错误；对于，的定义域为而的定义域为，故不是同一函数，选项错误；对于，与的解析式相同，但定义域不同，不是同一函数；故答案选6. 设向量且,则锐角为（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A． 3﹣2 B．3﹣3 C．38 D．39参考答案：考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得27q3=27?q2×27?q4，从而q=3﹣1，由此能求出a6．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，∴27q3=27?q2×27?q4，解得q=3﹣1，∴a6=27q5=27?3﹣5=3﹣2．故选：A．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．8. 已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N+，其中{b n}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】由已知得a n=2，计算可判断{a n}为等比数列，于是a1a2017=a9a2009=4，从而得出b1+b2017=2，代入等差数列的求和公式即可．【解答】解：设{b n}的公差为d，∵b n=log2a n，∴a n=2，∴==2=2d．∴{a n}是等比数列，∴a1a2017=a9a2009=4，即2?2=2=4，∴b1+b2017=2，∴b1+b2+b3+…+b2017==2017．故选B．9. 袋中有60个小球，其中红色球24个、蓝色球18个、白色球12个、黄色球6个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）A． B．C． D．参考答案：答案：A10. 已知函数的两个零点为并且则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B由函数有两个零点且,则有在坐标系中作出平面区域,图中的内（不包括边界）的平面区域为所求，又,设,令点则是平面区域内的点到定点的距离，而点线段的中点直线的斜率直线的斜率所以那么点到直线的距离为且因为二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1+ a2+ a3=2, a3+ a4+ a5=8,则a4+ a5+ a6= .参考答案：16略12. （坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为 __________________．参考答案：13. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是______．参考答案：[0,2]【分析】利用椭圆的定义，化简，再利用函数的单调性，即可求出的取值范围．【详解】解：，因为且函数在上单调递增，所以，故． 故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 14. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B12 【答案解析】y=ex 解析：解：y′=e x设切点的坐标为（x 0，e x0），切线的斜率为k ， 则k=e x0，故切线方程为y ﹣e x0=e x0（x ﹣x 0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x 0），∴x0=1，y0=e ，k=e ． 则切线方程为y=ex 故答案为y=ex ．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x 0，e x0），再求出在点切点（ x 0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x 0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题 15. 在△ABC 中，已知，则AB ＝________.参考答案：216. 设，，若，则实数________．参考答案：-317. 袋中有若干个小球,分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，则得到白球的概率 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)
所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9
重庆土桥中学2020年高三数学理联考试题含解析
重庆土桥中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，且，则向量的夹角为（）A.45°B.60°C.120°D.135°参考答案：A略2. 给定k∈N+，设函数f：N+→N+满足：对于任意大于k的正整数n，f（n）=n﹣k．设k=3，且当n≤3时，1≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数是（）A．27 B．16 C．9 D．1参考答案：A【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】当k=3时，f（n）=n﹣3，然后根据2≤f（n）≤3，确定函数的个数．【解答】解：∵n≤3，k=3，1≤f（n）≤3，∴f（1）=1或2或3，且 f（2）=1或2或3 且 f（3）=1或2或3．根据分步计数原理，可得共3×3×3=27个不同的函数．故选：A．【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础．3. （5分）已知x，y满足（x﹣1）2+y2=16，则x2+y2的最小值为（）A． 3 B． 5 C． 9 D． 25参考答案：C考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程可得其参数方程，从而可表示x2+y2，即可求得最小值．解答：解：∵（x﹣1）2+y2=16，∴可令x=1+4cosα，y=4sinα，∴x2+y2=（1+4cosα）2+（4sinα）2=17+8cosα，∴cosα=﹣1时，x2+y2的最小值为9．故选C．点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于基础题．4. 下列说法正确的是( )A.命题:"",则是真命题B." "是""的必要不充分条件C.命题",使得"的否定是:" "D." "是"在(0,+∞)上为增函数"的充要条件参考答案：D5. 已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝，则＝()A． B． C． D．∪参考答案：A6. 计算的值为A．l B． C．D．参考答案：D7. 设A，B为直线与圆的两个交点，则（A）1 （B）（C）（D）2参考答案：D直线过圆的圆心，则为圆的直径，所以2，选D.8. 若函数，则函数是(A) 周期为的偶函数(B) 周期为2的偶函数(C) 周期为2的奇函数(D) 周期为的奇函数参考答案：D略9. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为（）参考答案：C略10. 已知,则（）A． B．C． D．参考答案：A考点：同角三角函数的关系及运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x,y满足约束条件，则的最大值为▲▲．参考答案：712. 若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为．参考答案：13. 在中，分别是的对边，已知，若，则的面积等于。
2020年重庆土桥中学高三数学理联考试题含解析
2020年重庆土桥中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且满足，则的值为（）A． B． C．D．参考答案：试题分析：由椭圆标准方程知当为左右顶点时，，则故不为左右顶点设和的夹角为因为所以在中，由余弦定理得即故答案选考点：椭圆标准方程；余弦定理.2. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题:①②③④其中正确的两个命题是: ( )A．①与②B．③与④ C．②与④ D．①与③参考答案：答案：D3. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是，首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出.【详解】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况，当时，可能的情况如下表：，故本题选C.【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4. 已知，设函数的最大值为M，最小值为N，那么（）A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039参考答案：D【分析】通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果．【详解】解：，又是上的增函数，，故选D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．5. 点P是双曲线与圆的一个交点，且，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：略6. 若等比数列满足，，则公比A. B. C.D.参考答案：B【知识点】等比数列的通项公式．B4解析：等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，可得==q==2．故选：B．【思路点拨】直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．7. 已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（）A. B. C. D.参考答案：C8. 已知集合M={}，集合N={}，则M N=(A){} (B) {} (C) {} (D)参考答案：C略9. 在边长为2的正三角形ABC中，A．1 B．-1 C．3 D．-3参考答案：10. 已知椭圆：（），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．参考答案：D试题分析：由椭圆定义，得，所以当线段长度达最小值时，有最大值．当垂直于轴时，，所以的最大值为，所以，即，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足的最大值为.参考答案：8略12. 正三棱锥P-ABC底面边长为1，高PH=2，在这个三棱锥的内切球上面堆放一个与它外切，且与棱锥各侧面都相切的球，按照这种方法，依次堆放小球，则这些球的体积之和为参考答案：解析：如图，过侧棱ＰＡ及高ＰＨ的截面为ＰＡＤ，则点Ｄ为ＢＣ的中点，设内切球。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届重庆市七校高三下学期七校联考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（本大题共12道小题,每小题5分,共60分）
1.已知集合2{|2}A x x =<,2
01x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭,则A B =（ ）
A. ([)1,-∞-+∞
B. (-
C. ⎡-⎣
D. 2⎤⎦
【答案】B
【解析】
先分别求出集合A 与B,再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】{2{|2}A x x x x =<=<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫
-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭,
∴(A B ⋂=-.
故选：B.
2.已知,,a b c ∈R ,则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（
）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.
【详解】由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”,
比如1a =,2b =,3c =,
反之成立,
所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,涉及的知识点包括等比数列的性质,举反例是解决本题的关键,属于基础题.判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .
3.如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6,k ＋1)共线且方向相反,那么k 的值为( )
A. －3
B. 2
C. －17
D. 17
【答案】A
【解析】
由题意可得 （k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0,即 k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k 值． 【详解】∵向量()1a k =，
与()61b k =+，共线且方向相反,∴（k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0, ∴k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k=﹣3,
故答案为：A
4.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >
）可化为)y x ϕ=-,则ϕ应满足条件（ ） A. tan b a ϕ=
B. cos ϕ=
C. tan a b ϕ=
D. sin ϕ=【答案】C
【解析】
先逆用两角和的正弦公式进行化简,再结合诱导公式,得到
22k πϕθπ-=+,进而求得
tan a b ϕ=. 【详解】sin cos y a x b x =+
x x ⎫=+⎪⎭
)x θ+, 其中tan b a
θ=, 函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >
）可化为)y x ϕ=-,。