1.4 向量的线性关系与向量的分解
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A P1
e3
F
e2
C
E
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e1
B 解析几何
取不共面的三矢量 AB e1 , AC e2 , AD e3 , 先求AP e2， e3线性表示的关系式 . 1用e1，
联接AF，因为AP 1是△AEF的中线，所以有 1 AP1 （AE AF ） . 2 又因为AF是△ACD的中线，所以又有 1 1 AF （AC AD） （e 2 e3） . 2 2
' 最后证明x的唯一性.若r xe x ' e，则（x x ） e 0，
而r 0，所以x x ' .
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解析几何
三、共面向量的基底
定理 1.4.2 如果向量 e1 , e2 不共线，那么向量 r 与 e1 , e2 共面的 充要条件是 r 可以用向量 e1 , e2 线性表示，或者说向量 r 可以分解 成 e1 , e2 的线性组合，即
2， ，s，使得1 a1 2 a 2 s a s 0.则有1 a1 2 a 2
s a s 0a s+1 0a r 0.因为1，2， ，s， 0， 0中至 少有一个不是零，所以a1，， a 2 ，线性相关 ar .
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
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五、向量的线性关系
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2 ,
, an ，如果存在不全为零的 n 个数
1 , 2 , , n 使得
1 a1 2 a2
n an＝0 ，
（1）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.
r xe
并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
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证 ：若r xe，则由数乘的定义知r与e共线. r ，当r与e同向时 e 反过来，若r与e共线，取x ， r ，当r与e反向时 e 则有r xe.
换句话说，向量 a1, a2 ,
, an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
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六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2 , 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
§1.4 向量的 线性关系与向量的分解
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解析几何
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底 三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件 八、共面向量的条件
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反过来，设a1， a 2 ,a n中有一个向量，不妨设是a n可由其余向量线性表出，
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定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线 性相关，那么这一组向量就线性相关.
证：设有一组向量a1，， a 2 ，， a s ， a （ r s r）其中一部分， 不妨设a1，， a 2 ，线性相关，即有不全为零的数 as 1，
, an 的线性组合时，我们也说：向量 a
, an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量
a1, a2 ,
, an 的线性组合.
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二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
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1 1 而AE AB e1， 2 2 1 从而有AP1 （e1 e 2 e3） . 4 1 同理可得AP2 AP3 （e1 e 2 e3） . 4 所以AP1 AP2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
同理y=y '，因此x，y被唯一确定.
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四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1, e2 , e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
e1, e2 , e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1, e2 , e3 的线性 组合，即 C r xe1 ye2 ze3 ， 并且其中系数 x, y, z 被 P
r xe1 ye2
并且系数 x, y 被 e1 , e2 惟一确定.
这时 e1 , e2 叫做平面上向量的基底.
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证：因为e1，不共线，所以有 e2 e1 0， e2 0.设r与e1， e2共面， 若r与e （或 e2）共线，由定理1.4.1，有r xe1 ye2，其中 1 y （或 0 x 0），若r与e1，都不共线，把它们归结到共 e2 同的起点O，并设OEi e （ 2 OP r，过P分别作OE 2， i i=1，）， OE1的平行线并交OE1，OE 2于A，B.因为OA // e1 , OB // e 2 , 由定理1.4.1，可设OA xe1， OB ye 2， B 所以， OP OA OB， 即r xe1 ye 2 .
O
e2
P
r
E2
e1
E1
A
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反过来，设r xe1 ye 2，若x，y有一个是0， 例如x 0，则r ye 2与e 2共线，从而与e1， e2 共面.若xy 0，则xe1 // e1 , ye 2 // e 2 ,由向量加 法的平行四边形法则可知r与xe1，ye 2共 面，从而有r与e1， e2共面.
证 ：设P1，P2，P3三点共线，那么 P1P3， P2 P3共线从而 线性相关，所以存在不 全为0的实数m，n，使得 m P1P3 n P2 P3 0，即m（r3 r1） n（r3 r2） 0， 整理可得m r1 n r2 （m n ） r3 0， 令1 m，2 n，3 （m n），则有1，2，3 不全为0，使1 r1 2 r2 3 r3 0且1 2 3 0.
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七、共线向量的条件
定理 1.4.6
两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量a， b，若它们线性相关，则有 a b 0，
且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a， b共线. 反过来，由a， b共线，若b 0，则存在x，使得
一、向量的线性组合 向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.
定义 1.4.1 由向量 a1, a2 ,
, an 与实数 1 , 2 , n an ，
, n 所组成的向量
a 1 a1 2 a2
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2 , 可以用向量 a1, a2 ,
解：
设 所以
p OM MP, p ON NP
MP mMB m(b a), NP n NA n(a b)
B
p a m(b a) (1 m)a mb,
b
O
b
N P
p b n(a b) na (1 n)b
e1, e2 , e3 , r 惟一确定.
E3
向量 e1, e2 , e3 叫做空间向量的基底.
e3
r
E1
e1 O e2 E2
B
A
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例1 已知三角形OAB ，其中OA = a,OB = b ,而M 、N 分别是三角形OA，OB 两边上的点，且有 OM = λ a 0 < < 1 ， ON = μb 0 < < 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量OP = p 分解成a 、 b 的线性组合.
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最后证明x，y由 e1，， e 2 r 唯一确定. 如果r xe1 ye 2 x ' e1 y ' e 2 , 则 （x x ' )e1 ( y y ' )e 2 0.
' y y ' 若x x ，则e1 e ，即e1与e 2共线， ' 2 xx 与定理的假设矛盾，所以x=x '，
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思考题
设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1 a b1b ，
a1 v a2 a b2 b 共线的充要条件是 b1
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a2 0. b2
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解析几何
例2
证明四面体对边中点的连线交于一点，且互
D
相平分.
证 设四面体ABCD一组 对边AB, CD的中点E , F的连 线为EF , 它的中点为P 1 , 其余 两组对边中点连线的中点分 别为P2 , P 3 , 下只需证P 1, P 2, P 3 三点重合就可以了.
a xb， 即a xb 0， a， b线性相关；若b 0， a， b显然 线性相关.
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八、共面向量的条件
定理 1.4.7
三向量共面的充要条件是它们线性相关.
定理 1.4.8
推论
空间任何四个向量总是线性相关.
空间四个以上向量总是线性相关.
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p
M
a
a
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A
因为
a,b 不共线，
所以
(1 m) n, m (1 n).
m
解得
(1 ) (1 ) ,n . 1 1
所以
p
(1 ) (1 ) a b. 1 1
, an 线性相关的充要条件是
证：设a1， a 2 ,a n 线性相关，则（1）成立，且1，2 ,n中至少有一
1 2 n-1 个不是0，不妨设n 0，则有a n a1 a 2 a n-1； n n n
即a n 1 a1 2 a 2 n-1 a n-1，则有1 a1 2 a 2 n-1 a n-1 （ 1） a n 0. 因为1，2 n-1， 1不全为零，所以a1， a 2 ,a n 线性相关.
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例 3 设 OP 1, P 2, P 3 三点共线的充要条件 i r i (i 1,2,3) ，试证 P 是存在不全为零的实数 1 , 2 , 3 使得 1 r1 2 r2 3 r3 0 ，且
1 2 3 0 .
e3
F
e2
C
E
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e1
B 解析几何
取不共面的三矢量 AB e1 , AC e2 , AD e3 , 先求AP e2， e3线性表示的关系式 . 1用e1，
联接AF，因为AP 1是△AEF的中线，所以有 1 AP1 （AE AF ） . 2 又因为AF是△ACD的中线，所以又有 1 1 AF （AC AD） （e 2 e3） . 2 2
' 最后证明x的唯一性.若r xe x ' e，则（x x ） e 0，
而r 0，所以x x ' .
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三、共面向量的基底
定理 1.4.2 如果向量 e1 , e2 不共线，那么向量 r 与 e1 , e2 共面的 充要条件是 r 可以用向量 e1 , e2 线性表示，或者说向量 r 可以分解 成 e1 , e2 的线性组合，即
2， ，s，使得1 a1 2 a 2 s a s 0.则有1 a1 2 a 2
s a s 0a s+1 0a r 0.因为1，2， ，s， 0， 0中至 少有一个不是零，所以a1，， a 2 ，线性相关 ar .
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
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五、向量的线性关系
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2 ,
, an ，如果存在不全为零的 n 个数
1 , 2 , , n 使得
1 a1 2 a2
n an＝0 ，
（1）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关.
r xe
并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
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解析几何
证 ：若r xe，则由数乘的定义知r与e共线. r ，当r与e同向时 e 反过来，若r与e共线，取x ， r ，当r与e反向时 e 则有r xe.
换句话说，向量 a1, a2 ,
, an 叫做线性无关就是指：只有当
1＝2＝ ＝n＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
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六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n 2 时，向量 a1, a2 , 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
§1.4 向量的 线性关系与向量的分解
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一、向量的线性组合 二、共线向量的基底 三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件 八、共面向量的条件
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反过来，设a1， a 2 ,a n中有一个向量，不妨设是a n可由其余向量线性表出，
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定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线 性相关，那么这一组向量就线性相关.
证：设有一组向量a1，， a 2 ，， a s ， a （ r s r）其中一部分， 不妨设a1，， a 2 ，线性相关，即有不全为零的数 as 1，
, an 的线性组合时，我们也说：向量 a
, an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量
a1, a2 ,
, an 的线性组合.
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二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
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1 1 而AE AB e1， 2 2 1 从而有AP1 （e1 e 2 e3） . 4 1 同理可得AP2 AP3 （e1 e 2 e3） . 4 所以AP1 AP2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
同理y=y '，因此x，y被唯一确定.
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四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1, e2 , e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
e1, e2 , e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1, e2 , e3 的线性 组合，即 C r xe1 ye2 ze3 ， 并且其中系数 x, y, z 被 P
r xe1 ye2
并且系数 x, y 被 e1 , e2 惟一确定.
这时 e1 , e2 叫做平面上向量的基底.
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证：因为e1，不共线，所以有 e2 e1 0， e2 0.设r与e1， e2共面， 若r与e （或 e2）共线，由定理1.4.1，有r xe1 ye2，其中 1 y （或 0 x 0），若r与e1，都不共线，把它们归结到共 e2 同的起点O，并设OEi e （ 2 OP r，过P分别作OE 2， i i=1，）， OE1的平行线并交OE1，OE 2于A，B.因为OA // e1 , OB // e 2 , 由定理1.4.1，可设OA xe1， OB ye 2， B 所以， OP OA OB， 即r xe1 ye 2 .
O
e2
P
r
E2
e1
E1
A
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反过来，设r xe1 ye 2，若x，y有一个是0， 例如x 0，则r ye 2与e 2共线，从而与e1， e2 共面.若xy 0，则xe1 // e1 , ye 2 // e 2 ,由向量加 法的平行四边形法则可知r与xe1，ye 2共 面，从而有r与e1， e2共面.
证 ：设P1，P2，P3三点共线，那么 P1P3， P2 P3共线从而 线性相关，所以存在不 全为0的实数m，n，使得 m P1P3 n P2 P3 0，即m（r3 r1） n（r3 r2） 0， 整理可得m r1 n r2 （m n ） r3 0， 令1 m，2 n，3 （m n），则有1，2，3 不全为0，使1 r1 2 r2 3 r3 0且1 2 3 0.
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七、共线向量的条件
定理 1.4.6
两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量a， b，若它们线性相关，则有 a b 0，
且，不全为零，不妨设 0，则有a b，即a， b共线. 反过来，由a， b共线，若b 0，则存在x，使得
一、向量的线性组合 向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.
定义 1.4.1 由向量 a1, a2 ,
, an 与实数 1 , 2 , n an ，
, n 所组成的向量
a 1 a1 2 a2
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2 , 可以用向量 a1, a2 ,
解：
设 所以
p OM MP, p ON NP
MP mMB m(b a), NP n NA n(a b)
B
p a m(b a) (1 m)a mb,
b
O
b
N P
p b n(a b) na (1 n)b
e1, e2 , e3 , r 惟一确定.
E3
向量 e1, e2 , e3 叫做空间向量的基底.
e3
r
E1
e1 O e2 E2
B
A
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例1 已知三角形OAB ，其中OA = a,OB = b ,而M 、N 分别是三角形OA，OB 两边上的点，且有 OM = λ a 0 < < 1 ， ON = μb 0 < < 1，设AN 与BM 相交于P ，试把向量OP = p 分解成a 、 b 的线性组合.
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最后证明x，y由 e1，， e 2 r 唯一确定. 如果r xe1 ye 2 x ' e1 y ' e 2 , 则 （x x ' )e1 ( y y ' )e 2 0.
' y y ' 若x x ，则e1 e ，即e1与e 2共线， ' 2 xx 与定理的假设矛盾，所以x=x '，
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思考题
设 a, b 为两不共线向量，证明向量 u a1 a b1b ，
a1 v a2 a b2 b 共线的充要条件是 b1
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a2 0. b2
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例2
证明四面体对边中点的连线交于一点，且互
D
相平分.
证 设四面体ABCD一组 对边AB, CD的中点E , F的连 线为EF , 它的中点为P 1 , 其余 两组对边中点连线的中点分 别为P2 , P 3 , 下只需证P 1, P 2, P 3 三点重合就可以了.
a xb， 即a xb 0， a， b线性相关；若b 0， a， b显然 线性相关.
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八、共面向量的条件
定理 1.4.7
三向量共面的充要条件是它们线性相关.
定理 1.4.8
推论
空间任何四个向量总是线性相关.
空间四个以上向量总是线性相关.
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p
M
a
a
解析几何
A
因为
a,b 不共线，
所以
(1 m) n, m (1 n).
m
解得
(1 ) (1 ) ,n . 1 1
所以
p
(1 ) (1 ) a b. 1 1
, an 线性相关的充要条件是
证：设a1， a 2 ,a n 线性相关，则（1）成立，且1，2 ,n中至少有一
1 2 n-1 个不是0，不妨设n 0，则有a n a1 a 2 a n-1； n n n
即a n 1 a1 2 a 2 n-1 a n-1，则有1 a1 2 a 2 n-1 a n-1 （ 1） a n 0. 因为1，2 n-1， 1不全为零，所以a1， a 2 ,a n 线性相关.
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例 3 设 OP 1, P 2, P 3 三点共线的充要条件 i r i (i 1,2,3) ，试证 P 是存在不全为零的实数 1 , 2 , 3 使得 1 r1 2 r2 3 r3 0 ，且
1 2 3 0 .