高中数学抛物线解题方法总结归纳
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程学和其他领域。
在高中数学课程中，学生需要学习抛物线的基本性质、方程形式以及与实际问题的应用。
本文将对高中抛物线的知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、方程形式和常见问题解析等内容。
一、抛物线的定义抛物线是平面上一类特殊曲线，其定义可以从几何和代数两个角度来解释。
从几何角度看，抛物线是所有与一个定点（焦点）到平面上一条直线（准线）的距离之比等于到该直线距离平方的曲线。
从代数角度看，抛物线可以用二次函数的形式来表示，即f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点也是准线的对称中心。
2. 定义域和值域：抛物线的定义域为全体实数，值域取决于抛物线开口的方向。
3. 零点和判别式：抛物线的零点为方程f(x) = ax² + bx + c = 0的实根，判别式Δ=b²-4ac 可用于判断抛物线的零点情况。
a）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实根；b）当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有一个实根；c）当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实根。
4. 单调性：抛物线的开口方向决定了其单调性，开口向上时，抛物线是向上开口并且在焦点处取得最小值；开口向下时，抛物线是向下开口并且在焦点处取得最大值。
5. 导数和凸凹性：抛物线的导数为二次函数f'(x) = 2ax + b，凹凸性取决于a的正负：当a>0时，抛物线朝上凹；当a<0时，抛物线朝下凸。
三、抛物线的方程形式1. 标准形式：对于抛物线f(x) = ax² + bx + c，当a≠0时，可以通过平移坐标轴的方法使其化简为标准形式y = x²，此时焦点为原点(0,0)。
2. 顶点形式：通过平移坐标轴的方法，将抛物线的顶点移动至坐标原点，得到顶点形式y = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
高中抛物线知识点
高中抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个非常重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、工程等领域发挥着重要作用。
接下来，让我们一起深入了解一下高中抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
若动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等，则点 M 的轨迹就是抛物线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2 。
2、焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2 。
3、焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，p/2），准线方程为 y ＝ p/2 。
4、焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，p/2），准线方程为 y ＝ p/2 。
其中，p 表示焦点到准线的距离，称为抛物线的焦参数。
三、抛物线的性质1、抛物线的对称轴对于形如 y²＝ 2px（p ＞ 0）和 y²＝－2px（p ＞ 0）的抛物线，对称轴为 x 轴；对于形如 x²＝ 2py（p ＞ 0）和 x²＝－2py（p ＞ 0）的抛物线，对称轴为 y 轴。
2、抛物线的顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
对于 y²＝ 2px（p ＞0），顶点为（0，0）；对于x²＝2py（p ＞0），顶点也为（0，0）。
3、抛物线的离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
4、抛物线的焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点抛物线是高中数学的一个重要考点。
抛物线是指平面内到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹。
1抛物线的概念1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同。
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。
说明：（1）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
（2）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
（3）解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何*质。
5.抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有p(x0，y0)在抛物线内部p(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点p(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点p(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点m(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点p作两条切线，切点为a,b，若焦点为f,又若切线pa ⊥pb，则ab必过抛物线焦点f.2抛物线的解题技巧1.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关*.2.抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何*质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合。
高中数学抛物线的公式及复习技巧
高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。
高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。
高考抛物线知识点总结
高考抛物线知识点总结高中数学中的抛物线是一个重要的知识点，也是高考数学中经常会出现的考点。
在解题过程中，对于抛物线的性质、方程及应用需要有深入的理解。
本文将对高考抛物线知识点进行总结，帮助考生加深对这一部分内容的理解和应用能力。
一、抛物线的基本形状和性质抛物线是一种二次曲线，其基本形状为开口朝上或朝下的弧线。
抛物线由一个定点（焦点）和一条定线（准线）确定，焦点和准线之间的距离称为焦距。
抛物线的顶点为曲线上的最低点或最高点，称为顶点。
在图像上，抛物线呈现出对称性，即以顶点为对称中心将曲线分成两个对称的部分。
抛物线的开口方向取决于二次曲线的二次项的系数正负。
若为开口朝上，则二次项系数为正，反之为负。
二、抛物线的常见方程1. 顶点坐标形式：设抛物线的顶点为(h, k)，焦点坐标为(F, k)，则抛物线的顶点坐标形式方程为：(x-h)² = 4a(y - k)，其中a为焦距的一半。
2. 标准形式：设抛物线的焦点坐标为(F, 0)，焦距为2a，则抛物线的标准形式方程为：y² = 4ax。
3. 配方形式：将标准形式方程简化得到的抛物线的配方形式方程为：x = ay² + by + c。
三、抛物线的性质及相关公式1. 抛物线的对称轴是与准线垂直并通过抛物线的顶点的直线。
对称轴的方程为x = h。
2. 离心率和焦距之间的关系：抛物线的离心率e等于焦距与准线之间的比值：e = F/a。
3. 焦点和准线之间的关系：焦点关于对称轴对称，焦点到准线的距离等于焦距。
4. 定点和定线之间的关系：抛物线上任意一点到定点的距离等于该点到准线的距离。
5. 直角坐标系中的曲线长度公式：设函数y = f(x)在闭区间[a,b]上连续，则抛物线上的曲线长度：L = ∫[a,b]√(1+(f'(x))²)dx。
四、抛物线的应用抛物线的应用范围广泛，在数学、物理、经济等多个学科中都有应用。
以下是抛物线在几个常见领域中的应用案例：1. 圆锥曲线：抛物线是圆锥曲线的一种，它在天文学、建筑学等领域中有着广泛的应用。
高中数学复习-抛物线知识点归纳总结
△ =0,高中数学复习-抛物线1.直线与抛物线的位置关系直线一—，抛物线;--，\y內，消y 得.上Q + 2(垃一切天+沪三0(1)当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行， 直线I 与抛物线相切，有一个切点;直线I 与抛物线相离，无公共点。
△ > 0, 直线l 与抛物线相交，有两不同交点;有一个交点； (2) 当 k 丰 0△ V 0,(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线| : y kx b抛物线'厂—I, (P 0)①联立方程法：y kx b 2 2 22k2x22(kb p)x b20y 2px设交点坐标为A(x1, y1), B(x2, y2)，则有0,以及x-i x2, x)x2，还可进一步求出y-i y2 kx1 b kx2 b k(x1 x2) 2b，y-i y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长AB k2x1X2 .1 k\ (x1 x2)24x1 x2a.b.2Y1 2px12y2 2 px2将两式相减，可得(y1 y2)(y1 y?) 2p(*y y2 2pX1 X2 y1 y2在涉及斜率问题时，k AB在涉及中点轨迹问题时为M (x o, y o)，即k ABy o同理，对于抛物线X2)2py y2，设线段AB的中点1 k2aAB y1 y21 古J® 丫2)24y』21 k2b.中点坐标X i X2 y- y2，y02 2②点差法:设交点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入抛物线方程，得力y2X1 X22p 2p p y1 y2 2y o y ox2 2py(p 0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(X。
, y o)是弦AB的中点，则有k AB捲X2 2X o X o2p 2p p(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零)。
高二抛物线的知识点总结
高二抛物线的知识点总结在数学的学习中，抛物线是一个非常重要的曲线，尤其在高中的数学中，抛物线的知识点更是需要深入了解。
本文将从抛物线的定义及性质、方程、基本公式、应用等方面对高二抛物线的知识点进行总结和讲解。
希望读者在阅读过后可以掌握抛物线的基本概念、重要性质和应用。
一、抛物线的定义及性质抛物线是指平面内一点到定点的距离等于该点到直线的距离的曲线。
这个定点称为焦点，直线称为准线。
我们可以通过焦点和准线的位置关系来确定抛物线的形状。
若焦点在准线上方，则抛物线开口向上，反之则开口向下。
以下是抛物线的几个重要性质：1. 抛物线的对称轴：抛物线对称于它的对称轴。
对称轴是与准线垂直且通过焦点的直线。
2. 抛物线的最高点（最低点）：抛物线的最高点（最低点）称为顶点，是对称轴上的一个点。
3. 抛物线的直线渐近线：当x趋向正无穷或负无穷时，抛物线逐渐趋近于准线，于是准线成为抛物线的直线渐近线。
二、抛物线的方程抛物线的一般式方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
a的正负值决定了抛物线的开口方向，a>0表示开口向上，a<0表示开口向下。
而b和c则分别决定了抛物线在x轴和y轴上的截距。
另一种表示抛物线的方程形式是定点法。
设抛物线的焦点为F(x0,y0)，准线方程为y=k，则抛物线的方程为(y-y0)²=4a(x-x0)，其中a=1/4k。
三、抛物线的基本公式除了方程外，高二学生还需要掌握抛物线的基本公式：1. 抛物线的顶点坐标：抛物线的顶点（h,k）的坐标可以通过公式h=-b/2a和k=c-b²/4a来得到。
2. 抛物线的焦距：a和焦点的距离称为焦距，f=1/4a。
3. 抛物线上点的坐标：抛物线上的任意一点（x,y）的坐标可以通过公式y=a(x-h)²+k来得到。
四、抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学和工程学，尤其在抛体运动、光学、电磁学等领域中。
1. 抛体运动：当物体从一定高度以上沿着一个倾斜的平面或发射器以某一速度发射时，物体的运动轨迹是一个抛物线。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
超详细抛物线知识点归纳总结
引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。
本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。
正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。
2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。
3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。
4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。
5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。
二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。
2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。
4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。
三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。
4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。
四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。
2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。
3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。
4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。
5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。
五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结一、什么是抛物线？抛物线是一种拥有高度对称性、边缘平滑、具有开口方向的平面二次曲线。
其名称源于把一侧较高的水平面像把物体抛掷出去一样，掉落到另一侧更低的水平面上，掉落的过程恰好遵循该曲线的路径。
二、抛物线的基本形态在直角坐标系中，标准形式的抛物线方程为：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 为常数，且 a 不为零。
该方程的图形为开口朝上的抛物线，其顶点坐标为 (-b/2a, c - b²/4a)。
如果 a > 0，则该曲线开口朝上；如果 a < 0，则该曲线开口朝下。
除此之外，还有两种常见的抛物线形态：1. 齐肯多夫抛物线齐肯多夫抛物线是由一个旋转的抛物面所形成的曲线，其方程为：y² = 2px其中 p 为焦距（负数表示开口朝左，正数表示开口朝右），(0,0) 为对称中心。
该曲线的端点无限靠近于（但不包括）焦点，因此被广泛地应用于卫星发射及其他长距离往返问题的设计与计算中。
2. 椭圆弧椭圆曲线是一种非均匀的抛物线，其形状与椭圆相似，其方程为：y = sqrt(2px - x²)或 y = -sqrt(2px - x²)其中 p 为焦距，(-p, 0)、(0, ±sqrt(2p)) 分别为焦点。
该曲线的性质与抛物线类似，但应用范围更为广泛，包括范畴涉及无线电、计算机密码学、以及量子密码学等领域。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线具有以其对称中心为轴的对称性，在图形上表现为抛物线两侧约为相等，且各点关于对称轴对称。
2. 焦点特性抛物线的一大特征是控制其形态与对称性的焦点，图形上表现为焦点与对称轴距离等于焦距（将焦点与对称轴按比例缩放便不会改变其形态，但不改变高度与焦距的比值）。
3. 弧长计算与其他曲线一样，抛物线的弧长可通过分段累加（逼近）或积分求解。
下面介绍积分方法：设 y = f(x) 为开口朝上的抛物线，x ∈ [a, b]，其弧长公式为：L = ∫[a,b] sqrt(1 + [f'(x)]²) dx其中 sqrt 表示平方根。
高三抛物线函数知识点总结
高三抛物线函数知识点总结高三抛物线函数知识点总结抛物线函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。
在高三阶段，学生需要掌握并熟练运用抛物线函数的各种知识点，因为它在高考中占据了较大的比重。
本文将对高三抛物线函数的关键知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用。
一、抛物线函数的定义和形式抛物线函数是一个二次函数，其定义域为一切实数，其一般形式为：y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c是实数且a≠0，它们分别决定了抛物线的开口方向、对称轴位置和顶点坐标。
二、抛物线的图像特征1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：对称轴是与抛物线垂直且能将抛物线分为两个对称的部分的一条直线。
它的方程可以通过求解抛物线函数的一阶导数来求得：x=-b/2a。
3. 顶点坐标：顶点是抛物线的最高点（开口向下时为最低点），它的坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
其中f(x)为抛物线函数。
4. 焦点和准线：当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方且在对称轴上，准线在抛物线的下方且与对称轴平行。
当抛物线开口向下时，则焦点在抛物线的下方且在对称轴上，准线在抛物线的上方且与对称轴平行。
三、抛物线函数的性质1. 定义域和值域：抛物线函数的定义域是一切实数，值域则取决于开口方向和顶点坐标。
2. 单调性：对于开口向上的抛物线，当a>0时，抛物线是上升的；对于开口向下的抛物线，当a<0时，抛物线是下降的。
3. 最大值与最小值：对于开口向上的抛物线，最小值为顶点的纵坐标，不存在最大值；对于开口向下的抛物线，最大值为顶点的纵坐标，不存在最小值。
4. 对称性：抛物线函数关于其对称轴是对称的。
5. 零点：零点是指抛物线函数与x轴相交的点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来求得。
零点的个数和位置取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
四、抛物线函数的应用1. 物理问题中的应用：抛物线函数在物理学中具有广泛的应用，比如抛体运动、弹道轨迹等。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是一种具有特殊性质的曲线。
在本文中，我们将对抛物线的定义、性质、方程及应用进行归纳总结。
一、定义抛物线是指平面上的一条曲线，它的几何定义是到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。
具体来说，抛物线是以定点为焦点、定直线为准线的所有点的轨迹。
二、性质1. 对称性：抛物线关于准线对称。
2. 焦点和准线：焦点是抛物线上的凹点（开口向上的抛物线）或凸点（开口向下的抛物线），准线与抛物线相切于焦点。
3. 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，焦半径相等的点构成的线段称为焦径。
4. 直径：垂直于准线且通过焦点的线段称为直径。
5. 焦弦：与抛物线相交于两点且经过焦点的弦称为焦弦，焦弦的中点恰好是抛物线上的高点。
6. 切线：抛物线上任意一点处的切线与焦半径垂直。
7. 弦长公式：焦弦的弦长等于焦点到抛物线顶点的距离的两倍。
三、方程在平面直角坐标系中，一般式的抛物线方程形式为y=ax²+bx+c。
其中，参数a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
根据抛物线的特殊性质，我们可以得出以下常用的抛物线方程：1. 焦点在y轴上的抛物线方程：y²=4ax。
2. 焦点在x轴上的抛物线方程：x²=4ay。
3. 顶点在原点的抛物线方程：y²=4ax。
4. 顶点在坐标轴上的抛物线方程：x²=4ay。
四、应用抛物线在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 抛物线轨迹：在自然界中，很多物体的运动轨迹都可以用抛物线来描述，例如自由落体运动、抛射运动等。
2. 抛物天线：抛物面具有聚焦的特点，因此在通信工程中常用抛物天线来进行信号的发射和接收。
3. 抛物线反射：当光线或声波垂直照射到抛物面上时，会被反射到焦点上，因此抛物面常被用于反射镜和声学聚焦器的设计。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。
抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。
抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。
2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。
焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。
8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。
- 抛物线没有最大值或最小值。
- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。
9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。
10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。
抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。
11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。
高中数学抛物线题型归纳
高中数学抛物线题型归纳类型一抛物线的定义【例1】(1)若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是( )A.抛物线B.线段C.直线D.射线【例1】(2)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 .1-1已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点(5，1)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .1-2 已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为 .类型二几何性质【例2】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ .2-1已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．2-2抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_________.类型三 直线与抛物线的位置关系【例3】(1)过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |等于 .()222210,0x y a b a b -=>>(2y =2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=22y px =0p >Q 1p =【例3】(2)如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.3-1已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于 .3-2过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝ .3-3已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有FA→·FB→<0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．。
高二数学知识点总结抛物线
高二数学知识点总结抛物线抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习中，我们需要掌握抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。
下面将对这些知识点进行总结和概括。
1. 抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其定义是所有到一个定点（焦点F）和到一条直线（准线L）的距离相等的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，准线叫做准线。
焦点到准线的距离叫做焦距，用字母p表示。
所有的抛物线都具有这个性质。
2. 抛物线的性质(1) 抛物线是对称的。
对于一个抛物线，以焦点为对称中心，准线为对称轴，抛物线上的每一个点关于对称轴对称。
(2) 抛物线的焦点和准线的位置关系。
焦点在平行于准线的直线上方时，抛物线开口向上；焦点在平行于准线的直线下方时，抛物线开口向下。
(3) 抛物线的顶点位置。
抛物线的顶点是其准线与对称轴的交点，也是其最高或最低点。
3. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为实数常数。
(1) 若a>0，则抛物线开口向上。
(2) 若a<0，则抛物线开口向下。
(3) 当抛物线的标准方程为y=ax^2 (a≠0)时，抛物线焦点在原点，准线为y=0轴。
4. 抛物线的平移与图像变换(1) 横向平移：抛物线沿x轴平移h个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
(2) 纵向平移：抛物线沿y轴平移k个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x^2-2hx+h^2)+b(x-h)+c+k。
5. 抛物线的相关解题方法(1) 求抛物线的焦点坐标：根据焦点的定义，使用平移和对称的思想，通过已知的抛物线方程可以求得焦点坐标。
(2) 求抛物线的顶点坐标：根据抛物线的对称性和平移性质，将抛物线方程转化为顶点形式，即可得到顶点坐标。
(3) 求抛物线与直线的交点坐标：将抛物线方程与直线方程联立，解方程组得到交点坐标。
(4) 求抛物线与抛物线的交点坐标：将两个抛物线方程联立，解方程组得到交点坐标。
抛物线知识点总结(通用3篇)
高三数学知识点之导数公式(c为常数) y'=0y'=nx^(n-1)y'=a^xlnay=e^x y'=e^xy'=logae/xy=lnx y'=1/xy'=cosxy'=-sinxy'=1/cos^2xy'=-1/sin^2xy'=1/√1-x^2y'=-1/√1-x^2y'=1/1+x^2y'=-1/1+x^2三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosA一、教材分析（一）教学内容的特点本节课是“抛物线及其标准方程”的第一节课，主要学习内容为抛物线的定义和标准方程。
它是学生学习解析几何部分的重要基础知识。
这一节课是在学完“椭圆”和“双曲线”的基础上，将研究求曲线方程的方法拓展到抛物线，又是继续学习抛物线的几何性质的基础，同时还为后面学习抛物线的性质做好准备。
（二）教学重点、难点、关键点分析教学重点：抛物线定义及其标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导。
（三）教学目标分析1.知识与技能目标（1）掌握抛物线的定义和标准方程，明确p的几何意义；（2）能用抛物线的定义解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标（1）通过抛物线与椭圆、双曲线的类比，培养学生类比归纳能力。
（2）在抛物线定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。
3.情感、态度与价值观目标（1）通过对抛物线定义的诠释，培养学生探索数学的兴趣。
（2）增强学生团队协作能力以及主动与他人合作交流的意识。
（3）感受四种形式的抛物线的美。
二、学生分析（一）学生的知识储备分析学生已学习了求曲线方程的一般方法和步骤以及椭圆和双曲线的方程，但学生仍对坐标法解决几何问题还存在障碍。
最全抛物线曲线知识点总结
最全抛物线曲线知识点总结抛物线是高中数学中经常讨论的曲线之一，具有很多重要的性质和应用。
本文将总结抛物线曲线的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用抛物线。
1. 抛物线的定义抛物线是由平面上到定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。
它的数学表达式通常为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 抛物线的性质- 抛物线的对称轴：对称轴是准线的垂直平分线，方程为：x = -b/(2a)。
- 抛物线的焦点：焦点是到定点最短距离的点，焦点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
- 抛物线的顶点：顶点是抛物线的最高（或最低）点，顶点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
- 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的单调性：当a > 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递增，在对称轴的右侧单调递减；当a < 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递减，在对称轴的右侧单调递增。
3. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有很多应用，例如：- 物体的自由落体运动：自由落体的运动轨迹是一个抛物线。
- 抛射运动：抛掷物体的运动轨迹也是一个抛物线。
- 抛物面反射：光线在抛物面上反射的规律。
4. 抛物线的变形抛物线有一些常见的变形形式，例如：- 平移：在原抛物线的基础上沿 x 轴或 y 轴方向进行平移。
- 缩放：改变抛物线的 a、b、c 的值，实现抛物线的扁平化或拉长。
以上是抛物线曲线的一些基本知识点总结，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用抛物线。
如需深入研究，建议参考相关的数学教材和参考资料。
参考文献：。
高中数学抛物线解题技巧
高中数学抛物线解题技巧抛物线是高中数学中一个重要的概念，也是解题中经常出现的题型。
掌握抛物线的解题技巧，对于高中数学的学习非常重要。
本文将介绍一些常见的抛物线解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。
一、求抛物线的顶点坐标抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的最重要的特征之一。
求抛物线的顶点坐标可以通过平移变换的方法来实现。
具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。
2. 利用平移变换的性质，将方程中的x项系数消去，即将方程化为形如y = a(x - h)^2 + k的形式。
3. 通过比较系数，求出顶点坐标为(h, k)。
例如，给定抛物线y = 2x^2 + 4x + 1，我们可以按照上述步骤求出其顶点坐标：1. 将方程表示为标准形式：y = 2x^2 + 4x + 1。
2. 利用平移变换的性质，将方程化为形如y = 2(x - h)^2 + k的形式。
3. 比较系数，得到2(x - h)^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。
展开并整理得到2x^2 + 4hx -2h^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。
4. 比较常数项和一次项的系数，得到4h = 4和-2h^2 + k = 1。
5. 解方程组，得到h = 1和k = -1。
6. 因此，抛物线的顶点坐标为(1, -1)。
通过这个例子，我们可以看到，通过平移变换的方法可以快速求出抛物线的顶点坐标，这是解题中常用的一种技巧。
二、求抛物线与坐标轴的交点抛物线与坐标轴的交点也是解题中常见的问题。
我们可以通过方程的根来求解。
具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。
2. 将方程中的y置为0，得到一个二次方程ax^2 + bx + c = 0。
3. 利用求根公式或配方法，解出方程的根。
例如，给定抛物线y = x^2 - 4x + 3，我们可以按照上述步骤求出抛物线与坐标轴的交点：1. 将方程表示为标准形式：y = x^2 - 4x + 3。
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高中数学抛物线切线方程1、已知切点Q(x0，y0)，若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x);若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)等。
2、已知切点Q(x0，y0)若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x)。
若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)。
3、已知切线斜率k若y?=2px，则切线y=kx+p/(2k)。
若x?=2py，则切线x=y/k+pk/2(y=kx-pk?/2)。
抛物线相关性质1、过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上。
2、过抛物线焦弦两端的切线互相垂直。
3、以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
4、过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直。
5、过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分。
高三学习数学的窍门有哪些1、做题后加强反思高三学生一定要明确一点，就是现在正在做的题，一定不是考试的题。
所以高三学生做题不是目的，学会运用数学题目的解题思路和方法才是正道。
因此，高三学生对于每道题都要加以反思。
2、主动复习总结高三学生想要学好数学，进行章节总结是非常重要的。
在初中的时候，都是教师替学生做总结;但是到了高中之后，就需要学生自己来做了。
所以高三学生需要自己常总结，主动复习。
怎样学好高中数学的方法技巧1.先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。
因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。
能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。
尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。
如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
2.做题之后加强反思学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。
而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。
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圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-==特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式： （称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－34x 或x 2=29y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线 的焦点坐标为 ；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2pF ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0)例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是M1MA1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ） 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到N O CBD EF A y xA 、F 的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A 和焦点F 在抛物线的异侧时，由三角形性质得∴∴ ，解得p=2或p=6。
注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A 所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。
（2）当点A 和焦点F 在抛物线的同侧时（如图），作MN ⊥准线l 于点N ，，得∴∴ ，解得 易验证抛物线 符合此时情形。
于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A 所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。
事实上，在这里不论是A 在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.例9已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 ,①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。
证明: ①设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N NO BA yx),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴,又21y y ≠ 121-=∴y yOB OA y y y y y y y y OB OA ⊥∴=+=+=•∴0)1(2121222121解② 12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB 解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出学生练习1 抛物线2x y =的焦点坐标为( )A )41,0( B )41,0(- C )0,41( D )0,41(- 答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是A )0,0(B )62,3(C )4,2(D )62,3(-答案: C解析: 把MF 转化为M 到准线的距离MK ,然后求MK MA +的最小值 3 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ,若621=+x x ,那么AB 等于 ( )A 10B 8C 6D 4答案: B 解析: p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121224 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线02=+-y x 上,则其方程为( )A x y 42= 或y x 42-=B y x 42= 或x y 42-=C y x 82= 或x y 82-=D 不确定答案: C 解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求p5 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( )A 1条B 2条C 3条D 无数条 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22=)200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 () A 10≤<r B 10<≤r C 10≤<r D 20<<r 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(t y t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题7 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是 ( )A 2aB 2pC 2p a +D 2p a -答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短8 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A 4B 2 C41 D 21 答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a9过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( ) A a 2 Ba 21 C a 4 D a4答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,10 设抛物线22,(0)y px p =>的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( )A QEF FEP ∠>∠B QEF FEP ∠<∠C QEF FEP ∠=∠D 不确定答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得212y y p =-(重要结论),进而得出QE PE k k =11 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A ]3,(--∞B ),1[∞+C [-3, -1]D ),1[]3,(∞+--∞答案: D12 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( )A 45B 60C 90D 120答案: C 解析: ),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线所以22112212221,221221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA13在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A21B 1C 2D 4 答案：C 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p=5，解得P =214设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为A （a ，0）B （0，a ）C （0，a161） D 随a 符号而定 答案：C 解析：化为标准方程15以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为 A 相交 B 相离 C 相切 D 不确定 答案：C 解析：利用抛物线的定义16以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________解：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100 x 又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）∴|AB 3100答案：310017对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件 答案：②⑤18 抛物线22y x =的焦点弦AB,求OB OA •的值解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA 19设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PC BP =,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PC BP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴ 由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k kk k k y ①又k x y =-200代入①式得4400+=x y ② 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y , 36443644+<<-y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x (36443644+<<-y 且4≠y ) 16 已知抛物线22,(0)y px p =>,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)①求抛物线方程; ②求ABS ∆面积的最大值解: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++ 又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 11 所以 ),24(k ppM - 依题意1624-=⋅--k p kp, 4=∴p抛物线方程为 x y 82=②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB令0=y 得20412y x K -=又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 016222002=-+-y y y y )162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS。