第4章 向量代数与空间解析几何练习题

第4章 向量代数与空间解析几何练习题

习题4.1

一、选择题

1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )

（A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球．

2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )

（A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零；

（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例．

3．设向量a 的坐标为31

3, 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ；

（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．

4．行列式2

131323

21的值为( )

（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-．

5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )

（A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； （D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．

二、填空题

1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则BC =_______________，CD =__________________．

2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________．

3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是

_______________________________________．

4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为

____________________________．

5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=⋅_____________________;

=⨯____________________;ABC ∆的面积为_________________．

三、计算题与证明题

1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．

2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．

3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a

, 求向量x 的坐标．

5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．

7．向量a ,

b ,

c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的

坐标．

8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ，

(1)

求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2)

求三棱锥BCD A -的体积． (3)

求BCD ∆的面积． (4)

求点A 到平面BCD 的距离．

习题4.2

一、选择题

1．下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是（ ）

（A ）

1532=++z y x ； （B ） 05

32=++z y x ； （C ） 30532=++z y x ； （D ） 1532=++z y x ． 2．下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是（ ）

（A ）)4,5,0(-C ； （B ）)5,4,3(-C ； （C ）)4,5,0(C ； （D ）)5,4,3(--C ．

3．下列叙述中错误的是（ ）

（A ）若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程；

（B ）若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程；

（C ） 若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程；

（D ） 若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程．

4．下列两平面垂直的是( )

（A ）632=-+z y x 与1642=-+z y x ； （B ） 632=-+z y x 与12642=-+z y x ；

（C ）632=-+z y x 与13

21=+-+-z y x ； （D ） 632=-+z y x 与12=++-z y x ． 5．原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )

（A ） 52； （B ） 7

143； （C ） 6； （D ） 1． 二、填空题

1．垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________．

2．经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________．

3．平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点（A ）、（B ）、（C ），则Δ（A ）（B ）（C ）的面积为_________________．

4．一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离，则该点的轨迹方程为________________．

5．通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________．

三、计算题与证明题

1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．

2．求到两平面0623:=-+-z y x α和11

52:

=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．