第二章多元正态分布

A

y n1

i1
2 i
~
2 (n 1)
可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。
定理2 设Xi (i 1,2,3,4,n) 独立同正态分布，则统计量
T02

(x


0
)
1 n


1
(x

0 )
n(x 0 )1(x 0 )
服从自由度为 p的卡方分布。
x x11 x1p x22 x2 p xp1, p1 xp, p1 xp, p
在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 2 分布，在多元
正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当
于一元统计中的 2 分布。
维希特（ Wishart）分布的密度函数
X2，……，Xn相互独立，且同正态分布 设x ~ N p (,).
x1 x11 x12 x1p
X


x2



x21
x22

x2
p




xn


xn1
xn2

xn
2

称为样本数据矩阵。
f (X) f (X1) f (X 2 ) f (X n )
设随机矩阵 X


x21
x22

x2
p



xn1
xn2

xnp

矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量
x x11 x1p x21 x2 p xn1 xnp 的分布。
定义 维希特（Wishart）分布的统计量 设 n 个随机向量 Xi ( X i1, X i2 ,, X ip )(i 1,2,3,, n)

x12
x22

xn 2


x21
x22

x2
p





x1
p
x2 p

xnp


xn1
xn 2

xnp



n

X il X lj
l 1
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为 ~ Wp (n,,。μ)
特别当 X是 p 阶对称阵，则X 的分布为的下三角部分组 成的长向量
定理1：若 ~ Wp (n,) ，且 0 ，n p ，则 的分布密度
为
|
a
1(n p1)
|2
exp( 1 tr1A)
F (a)

np
22
p ( p1 ) 2
n
| |2
2
,a
p

(
n

i

1)

0
i1
2
特别，当 p 1和 1 时， 服从 2 分布。
证：
由于样本均值
x
~
Np
(
,
1 n
)
令
1
n 2 (X )
1
E() E[ n 2 (X )]
1
D() D[ n 2 (X )] p
1
n 2 (X ) ~ N p (o,I)
所以
2



Z12

Z
2 2

p
(
,
1 n
)
n
பைடு நூலகம்
S

(X
i1
j

X)(X
j

X)
S

n
X
i1
j Xj

nXX
S

n

i1
X
j
Xj

n n
S nn
S

n1

j 1
j
j
与S相互独立
S

n1

j 1
j
j
~ Wp (n 1,)
当 1，p 1时，由卡方分布的定义可知
X11 X12 X1p
X


X 21
X 22

X
2
p




X (1) X (2)



X
n1
X n2

X
np

n
p

X
(n)

独立同分布于
Np
(μ, )
，则随机矩阵


n

i
i
i1
A X X
x11 x21 xn1 x11 x12 x1p
那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答
时肯定的。
定义： 设 ~ Wp (n,)和u ~ N p (μ,)相互独立,则
2 nu1u ~ T 2 ( p, n,μ)
称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。
当 μ 0时，2 nu1u 服从自由度为n的中心霍特林分布， 记为 2 nu1u ~ T 2 ( p, n) 。
第2章 抽样分布
Sampling Distributions
§1 样本的联合概率密度函数
设x ~ N p (,), 0, 则总体的密度函数为
f
( x1 ,
x2 ,,
xp
)

(2
)
p
2

1
2
exp[
1 2
(x

) 1 ( x

)]
X1，X2，……，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，
n

i 1
(2 ) p
2

1
2
exp[
1 2
(
xi
)1(xi )]

(2 ) p
n
2
exp[
1
n

2 i1
(Xi )1(Xi )]
为样本联合密度函数。
§2 样本分布
一、维希特（Wishart）
1、定义随机矩阵的分布
x11 x12 x1p
x2 (x21, x22,, x2 p ) x1 (x11, x12,, x1p )
… xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令


1 n
n
i
i 1
样本均值
S

(X n

i 1
i

X)(Xi

X)样本叉积矩阵
则 2 (n 1)n(x )S 1(x ) ~ T 2 ( p, n 1)

2
为一正交矩阵



n

令 (1 2 n ) X1 X2 Xn
由于Xi (i 1,2,3,4,n)独立同正态分布,且为正交矩阵，所以
(1 2 n )独立同正态分布
n
1 n
n

i 1
i
E(n)
1 n

n k

a 1
a
(x(i a)

x)(x
(a) i

x)
W=E+B
当K个总体的均值相等时 ,
W ~ Wp (n 1,) E ~ Wp (n k,) B ~ Wp (k 1,) E E
EB W
服从Wilks Λ分布。
设 Y1,Y2,,Yn2 是来自多元正态总体N p (2 ,) 的简单随机样
本，
Y1 (Y11,Y12,,Y1p ) Y2 (Y21,Y22,,Y2 p )

Yn2 (Yn21,Yn2 2 ,,Yn2 p )
若1 2
则
2

( x1

x2
)S
1 p
(
x1

且 T 2 ( p, n) np F ( p, n p 1) n p1
定理：设 x1,x2,,xn1 是来自多元正态总体 N p (,) 的简单
随机样本，
x2 (x21, x22,, x2 p )
x1 (x11, x12,, x1p )
…
xn1 (xn11, xn1 2 ,, xn1p )
分布近似。
2、Λ统计量和Λ分布
设k个总体G1,,Gk ，它们服从 N p ( (i) ,) 。分别抽出
如下的样本：
x(1) 1
,
x(1) 2
,,
x(1) n1
x1(
2
)
,
x(2 2
)
,,
x(2 n2
)

x1(
k
)
,
x(k 2
)
,,
x(k nk
)
n

n k

a1
a
xa
x1(
为Wm (n,CC) 分布。
三、 抽样分布
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,) 的简单随机样本，有
x1 (x11, x12 ,, x1p )
x2 (x21, x22 ,, x2 p )
xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令


1 n
n
定理： 设 ~ Wp (n,)和x ~ N p (,)相互独立,则
2 n(x )1(x ) ~ T 2 ( p, n)
n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1) np
定理：设 x1, x2,, xn 是来自多元正态总体 N p (,)的简单随 机样本，有
x2 )
~
n1 n2 n1n2
T
2(
p, n
1)
Sp

(n1 1)S1 (n2 1)S2 n1 n2 2
四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量
在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 2 分布随机变量比值
的F统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量和 分布。
a
)
,
x(a 2
)
,,
x(a na
)

1 k na x x
n a1 i1
(a) i
x 1 x a
na

i 1
(a) i
na
W

(x k na

a1 i1
(a) i

x)(x(ia)

x)
E

(x k na

a1 i1
(a) i

xa
)(x(ia)

xa )
B

i1

i
S

n
(
i1
Xi

X)(Xi

X)
则有
S

n

X
j Xj

nXX
i1
1、
~
N
p
(,
1 n
)
2、和S相互独立
3、S ~ Wp (n 1,)
证明：
*

设


*
1
n
*
* 1 n

*
*



ij
nn


1



二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：
（1）若A1和A2独立，其分布分别Wp (n1, ) 和 Wp (n2 ,，) 则 1 2 的分布为Wp (n1 n2 ,) ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。
（2） ~ Wp (n,) ，C为m×p阶的矩阵，则CC的分布
（1）Wilks分布
定义：设 ~ Wp (n1,)和 ~ Wp (n2 ,) ，且 , 相互独立， 和 n1 p ，n2 p，则称
|| ||
0
服从Wilks分布，记 ~ ( p, n1, n2 )。 可以证明，当n2 2 和 p 2 时，Wilks分布可以用 2
n

i1
E
(
i
)

n
n
E(a
)

E(
r
j 1
aj

j
)
(a 1,2,3,, n 1)

n

raj

j 1
n
n raj j 1
1
n

n
n
r r
i1
aj
nj

0
Cov(i
,

j
)

0
i j i j
Var
(Zn
)

1 n
Σ
X
1 n
n
~
N
Z
2 p
~
（2 p)
相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 p 的卡方分布。
在一元正态的情形下，我们有样本的统计量
Z x ~ N (0,1) n
当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差
S *2

n
1
1
n
(
i 1
xi

x)2
来代替总体的方差，则
t

x S*

n
~
t(n
1)