推理技术习题以及答案

习题三

求下列谓词公式的子句集。

(1)∃x∃y(P(x,y) ∧Q(x,y))

解：去掉存在量词变为：P(a,b)∧Q(a,b)

变成子句集{ P(a,b),Q(a,b)}

(2)∀x ∀y(P(x,y) →Q(x,y))

解：去掉蕴涵符号变为：∀x ∀y(¬ P(x,y) ∨ Q(x,y))

去掉全称量词变为：¬ P(x,y) ∨ Q(x,y)

变成子句集{ ¬ P(x,y) ∨ Q(x,y)}

(3)∀x∃y((P(x,y) ∨Q(x,y)) →R(x,y))

解：去掉蕴涵符号变为：∀x ∃y(¬ (P(x,y) ∨ Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 否定符号作用于单个谓词变为：

∀x ∃y((¬ P(x,y) ∧¬ Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 去掉存在量词变为：∀x ((¬ P(x,f(x)) ∧¬ Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x))) 去掉全称量词变为：(¬ P(x,f(x)) ∧¬ Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x)

化合取范式为：

(¬ P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x))∧(¬ Q(x,f(x)) ∨ R(x,f(x))

变元：(¬ P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)))∧(¬ Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y)))

变成子句集{ ¬ P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)), ¬ Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y))} (4)∀x (P(x) →∃y (P(y) ∧R(x,y)))

解：去掉蕴涵符号变为：∀x (¬ (P(x) ∨∃y (P(y) ∧R(x,y))) 去掉存在量词变为：∀x (¬ (P(x) ∨ (P(f(x)) ∧R(x,f(x)))

去掉全称量词变为：(¬ (P(x) ∨ (P(f(x)) ∧R(x,f(x)))

化合取范式为：(¬ (P(x) ∨ P(f(x))) ∧(¬ (P(x) ∨R(x,f(x)))

变元：(¬ (P(x) ∨ P(f(x))) ∧(¬ (P(y) ∨R(y,f(y)))

变为子句集：{¬ (P(x) ∨ P(f(x)),¬ (P(y) ∨R(y,f(y))}

(5)∃x(P(x) ∧∀x(P(y) →R(x,y)))

解：去掉蕴涵符号变为：∃x(P(x) ∧∀x(¬P(y) ∨R(x,y)))

去掉存在量词变为：P(a) ∧∀x(¬P(y) ∨R(a,y))

去掉全称量词变为：P(a) ∧ (¬P(y) ∨R(a,y))

变成子句集：{ P(a) ，¬P(y) ∨R(a,y) }

(6)∃x∃y∀z ∃u∀v ∃w(p(x,y,z,u,v,w) ∧(Q(x,y,z,u,v,w) ∨¬R(x,z,w))) 解：去掉存在量词变为：

∀z ∀v (p(a,b,z,f(z),v,g(z,v)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨¬R(a,z, g(z,v))) 去掉全称量词变为：

p(a,b,z,f(z),v,g(z,v)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨¬R(a,z, g(z,v))

变元：

p(a,b,x,f(x),y,g(x,y)) ∧(Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨¬R(a,z, g(z,v))

化成子句集：

{p(a,b,x,f(x),y,g(x,y)) , Q(a,b,z,f(z),v, g(z,v) ∨¬R(a,z, g(z,v)) } 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的。

(1)S={P(y) ∨¬Q(y), ¬P(f(x)) ∨Q(y)}

解：

（1）P(y) ∨¬Q(y)

（2）¬P(f(x)) ∨Q(z) (适当改名使子句之间不含相同变元利用归结原理：

（3）P(y) ∨¬P(f(x)) (1)(2) {y/z}

（4）T {f(x)/y}

归结不出空子句，所以原子句集是可以满足的。

(2)S={¬ P(x) ∨Q(x), ¬ Q(y) ∨R(y),P(a),R(a) }

解：（1）¬ P(x) ∨Q(x)

（2）¬ Q(y) ∨R(y)

（3）P(a)

（4）R(a)

利用归结原理判断

（5）Q(a) (1)(3) {a/x}

（6）R(a) (2)(5) {a/x}

归结不出空子句，所以是可满足的子句集。

(3)S={¬ P(x) ∨¬Q(y) ∨¬L(x,y),P(a), ¬ R(z) ∨L(a,z) ,R(b),Q(b)} 解：（1）¬ P(x) ∨¬Q(y) ∨¬L(x,y)

（2）P(a)

（3）¬ R(z) ∨L(a,z)

（4）R(b)

（5）Q(b)

利用归结原理来进行判断

（6）¬Q(y) ∨¬L(a,y) (1)(2){a/x}

（7）L(a,b) (3)(4) {b/z}

（8）¬L(a,b) （6）（5）{b/y}

（9）Nil （8）（7）

得到NIL所以原子句集不可满足。

(4)S={P(x) ∨Q(x) ∨R(x),¬ P(y) ∨R(y), ¬ Q(a), ¬R(b) } 解：（1）P(x) ∨Q(x) ∨R(x)

（2）¬ P(y) ∨R(y)

（3）¬ Q(a)）

（4）¬R(b)

利用归结原理来判断

（5）

（6）

（7）

(5)S={P(x) ∨Q(x),¬ Q(y) ∨R(y), ¬ P(z) ∨Q(z), ¬R(u) } 解：（1）P(x) ∨Q(x)

（2）¬ Q(y) ∨R(y)

（3）¬ P(z) ∨Q(z)

（4）¬R(u)

利用归结原理来判断

（5）¬Q(u) （2）（4）{u/y}

（6）¬P(u) （3）（5）{u/z}

（7）Q(u) （1）（6）{u/x}