因数和倍数讲义(最新整理)
五年级因数和倍数知识点
五年级因数和倍数知识点一、因数和倍数的基本概念。
1. 因数。
- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。
例如3×4 = 12，3和4就是12的因数。
- 找一个数因数的方法：- 列乘法算式找，从1开始，一对一对地找。
如找18的因数，1×18 = 18，2×9=18，3×6 = 18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。
- 列除法算式找，想这个数除以哪些数能整除，这些除数和商就是这个数的因数。
2. 倍数。
- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。
例如3×4 = 12，12就是3和4的倍数。
- 找一个数倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。
如3的倍数有3、6、9、12……3. 因数和倍数的关系。
- 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
例如，不能说3是因数，应该说3是6的因数；不能说12是倍数，应该说12是3的倍数。
二、2、5、3的倍数的特征。
1. 2的倍数的特征。
- 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
例如10、12、14等都是2的倍数。
2的倍数也叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。
2. 5的倍数的特征。
- 个位上是0或5的数都是5的倍数。
如5、10、15等都是5的倍数。
3. 3的倍数的特征。
- 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
例如123，各位数字之和1 + 2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。
三、质数与合数。
1. 质数。
- 定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
例如2、3、5、7等都是质数，2只有1和2两个因数，3只有1和3两个因数。
2. 合数。
- 定义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
(完整版)五年级下册数学因数与倍数讲义
因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容奇数与偶数、因数与倍数、2,3,5的倍数特征、质数与合数课型一对一/一对N教学目标1、理解因数与倍数概念，能举例说明；2、了解奇数与偶数，能准确判断奇数与偶数，通过探索奇数、偶数相加的结果是奇数还是偶数（奇偶性）；3、了解质数与合数，在1～100的自然数中，能找出质数与合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。
重、难点2,3,5的倍数特征、质数与合数知识导图导学一：因数与倍数知识点讲解 1：因数与倍数1、自然数的个数是（）的，最小的自然数是（），（）最大的自然数。
2、在自然数中，是（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。
3、因数和倍数的意义：如果整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）得到整数c，那么a和b都是（）的因数，c是（）的倍数， c也是（）的倍数。
因数和倍数是相互（）的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。
例 1. 判断（对的打“√”，错的打“×”）（1）18是倍数，2是因数。
（）（2）因为1.4÷0.2＝7，所以1.4是0.2的倍数，0.2是1.4的因数。
（）（3）一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。
（）例 2. [单选题] 属于因数和倍数关系的等式是（）。
A、2×0.25=0.5B、2×25=50C、2×0=0例 3. 在12、6、3、4中，（）是（）的倍数，（）是（）的因数。
例 4. [单选题] 15的最大因数是（），最小倍数是（）。
A、1B、3C、5D、15 我爱展示1. 10×3＝30，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。
60÷5＝12，60是（）的倍数，（）是（）的因数。
1.一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是（）。
2.[单选题] 一个数既是4的因数，又是2的倍数，这个数是（）。
A、2B、4C、2或43.[单选题] a是b的倍数，c是b的因数，则a是c的（）。
因数与倍数(讲义)
初中资源班数学教材---因子与倍数年班号姓名：单元：因子与倍数因子与倍数一、整除：a、b两个整数，b 0，若a除以b所得的且则称b可以整除a，或a可以被b整除。
32÷4＝8（….0）余数0，我们就说4可以整除32，或32可被4整除。
写写看：1.72÷8＝9余数0，）可以整除72，或72可被（）整除。
2.72÷9＝8余数0，）可以整除72，或72可被（）整除。
3.72÷4＝18余数0，），或（）可被 4 整除。
4.72÷18＝4余数0，），或（）可被 18整除。
初中资源班数学教材---因子与倍数年班号姓名：单元：因子与倍数二、因子与倍数：任意两整数a和b，b 0，若b可以整除a，则称b是a的因子，a是b的倍数。
32÷4＝8余数0，我们就说4是32的因子，或32是4的倍数。
写写看：1.72÷8＝9余数0，我们就说（）是72的因子，或72是（）的倍数。
2.72÷9＝8余数0，我们就说（）是72的因子，或72是（）的倍数。
3.72÷4＝18余数0，我们就说 4是（）的因子，或（）是4的倍数。
4.72÷18＝4余数0，我们就说 18是（）的因子，或（）是4的倍数。
三、因子的个数：若a、b、c都是整数，且a、b、c皆不等于0，我们可以说a是b、c的倍数，b、c是a的因子，换句话说，若a可以被b或c整除，则b和c是a的因子。
10÷2＝5 10÷5＝2 10＝5×210是5和2的倍数 5和2是10的因子，这里要注意，10的因子并不是只有5和2两个，5和2只是10的因子中其中的两个。
如果要全部找出10的因子，我们可以这么想：10÷1＝10…….0 (余数为0，所以1是10的因子)，也就是10=1 ×10 10÷2＝5……...0 (余数为0，所以2是10的因子)，也就是10=2 ×510÷3＝3…..….1 (余数为1，所以3不是10的因子)10÷4＝2…..….2 (余数为2，所以4不是10的因子)10÷5＝2…..….0 (余数为0，所以5是10的因子)，也就是10=5 ×210÷6＝1…..….4 (余数为4，所以6不是10的因子)10÷7＝1…..….3 (余数为3，所以7不是10的因子)10÷8＝1…..….2 (余数为2，所以8不是10的因子)10÷9＝1…..….1 (余数为1，所以3不是10的因子)10÷10＝1…….0 (余数为0，所以10是10的因子)，也就是10=10×1所以我们可以找出10的因子有1、2、5、10共4个。
因数和倍数知识整理课件
目录
• 因数和倍数的定义 • 因数的分类和性质 • 倍数的分类和性质 • 因数和倍数的应用 • 因数和倍数的练习题及解析
01 因数和倍数的定义
因数的定义
总结词
因数是能够整除给定数的数。
详细描述
因数是指能够整除给定数的数。在整数除法中，如果整数a能被整数b整除，那 么b就是a的一个因数。例如，12可以被2和3整除，因此2和3是12的因数。
数据压缩
在数据压缩中，因数和倍数的概念可 以帮助我们理解和实现数据压缩算法 。
加密算法
计算机图形学
在计算机图形学中，因数和倍数的概 念可以帮助我们理解和实现图形变换 、缩放等操作。
在加密算法中，因数和倍数的概念可 以帮助我们理解和实现加密算法。
05 因数和倍数的练习题及解 析
基础练习题
题目1
找出12的所有因数
04 因数和倍数的应用
在数学中的应用
01
02
03
整除和除法
因数和倍数是整除和除法 的基础，它们在解决数学 问题时起到关键作用。
代数方程
在解代数方程时，因数和 倍数的概念可以帮助我们 理解和简化方程。
几何图形
在几何图形中，因数和倍 数的概念可以帮助我们理 解图形的边长、面积和体 积等属性。
在日常生活中的应用
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详细描述
单位因数是能够将一个数约简到最简 形式的因数。例如，在数字12中，单 位因数是2和3，因为它们能够将12约 简为6和4。
奇数因数和偶数因数
总结词
奇数因数是能够被奇数整除的因数，偶数因数是能够被偶数 整除的因数。
详细描述
奇数因数是能够被奇数整除的因数，例如在数字15中，奇数 因数是3和5，因为它们能够被15整除。偶数因数是能够被偶 数整除的因数，例如在数字20中，偶数因数是2、4、8和10 ，因为它们能够被20整除。
(完整版)小学数学因数与倍数讲义
因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容因数和倍数课型一对一教学目标1、会利用短除法、分解质因数法求解两个数的最大公因数和最小公倍数。
2、学会根据最大公因数和最小公倍数求解两个数。
3、学会从题意出发判断是最大公因数的应用还是最小公倍数的应用。
重、难点重点：教学目标1、2 难点：教学目标2、3导学一知识点讲解 1一运用短除法、分解质因数法求解最大公因数和最小公倍数例 1. 求42、168、252的最大公因数（）和最小公倍数（）。
例 2. （1）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是（）？（2）一个数用9、15、20除都能整除，这个数最小是（）？例 3. A=2×3×M，B=3×5×M（M是自然数且M≠0），如果A和B的最大公约数是21，则M是（），A和B的最小公倍数是（）。
【学有所获】(1)做此类题我们要想先学会，再观察最后将；最后.(2)当题目中出现字母，切忌不要迷惑，将字母看成是一个数字。
(3)练习X=2×2×3×m×n，Y=2×3×5×m×n，求X和Y的最大公因数和最小公倍数？我爱展示1. （1）求48和64的最大公约数（），（2）求8和12的最小公倍数（）。
2. 如果A=2×3×m×n，B=2×5×m×n，那么A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
导学二通过最大公因数和最小公倍数求解两个数知识点讲解 1例 1. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，这两个数各是多少？有几组这样的数？例 2. 两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54.求这两个数各是（）例 3. 两个数的最大公因数是8，最小公倍数是160，其中的一个数是32，另一个数是（）我爱展示1. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数（）。
总结倍数与因数知识点
总结倍数与因数知识点一、倍数的定义和性质1.1倍数的定义正整数a是正整数b的倍数，是指存在一个整数k，使得a=k*b。
例如，6是3的倍数，因为存在一个整数k=2，使得6=2*3。
1.2倍数的性质（1）零是一切整数的倍数，因为对于任意整数a，都有0=a*0。
（2）整数a是自己的倍数，因为对任意整数a，都有a=1*a。
（3）整数a的所有倍数可以用集合的形式表示为{a, 2a, 3a, ...}。
1.3倍数的运算（1）两个正整数a和b的最小公倍数（最小公倍数定义为能同时被a和b整除的最小正整数）可以表示为a*b/gcd(a,b)，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。
（2）在实际问题中，需要计算出某个数的倍数，可以通过不断地累加这个数得到。
二、因数的定义和性质2.1因数的定义正整数a是正整数b的因数，是指存在一个整数k，使得a=k*b。
例如，3是6的因数，因为存在一个整数k=2，使得6=3*2。
2.2因数的性质（1）每个整数都有两个特殊的因数1和自身。
（2）如果一个正整数有除了1和它自己之外的其他因数，那么这个数就是合数，否则就是质数。
（3）整数a的所有因数可以用集合的形式表示为{1, a, f1, f2, ...}，其中f1、f2等为a的其他因数。
2.3因数的运算（1）任意整数可以分解成它的质因数的乘积，例如，60=2*2*3*5=2^2*3*5。
（2）两个正整数a和b的最大公约数可以表示为a*b/lcm(a,b)，其中lcm(a,b)表示a和b 的最小公倍数。
三、倍数和因数的实际应用3.1最大公约数和最小公倍数（1）最大公约数和最小公倍数在实际问题中有着广泛的应用，例如在分数的化简、比例的计算、物品的包装等方面都会用到这两个概念。
（2）在分数的运算中，首先需要求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以这个最大公约数，得到最简分数。
3.2倍数和因数在几何中的应用（1）倍数和因数在计算几何图形的周长和面积时有着重要的作用。
因数与倍数讲义
因数与倍数复习知识点：一、因数、倍数1、如果自然数a乘自然数b等于c，即a×b=c，我们就说a和b是c的( )，c是a和b的( )。
2、有关因数、倍数的说明：（1）如果a和b是c的因数，c是a和b的倍数，我们有时也说a和b能整除c，或者说c能被a和b 整除。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是( )，最大的因数是它( )。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它( )，没有最大的倍数。
（4）倍数和因数是相互依存的。
0是任何整数的倍数。
（5）( )是任一自然数（0除外）的因数。
也是任一自然数（0除外）的最小因数。
（6）一个数的因数最少有( )个，这个数是1。
除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。
（7）一个数的因数都( )他本身，一个数的倍数都( )他本身。
（8）一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数3、找一个数的因数、倍数的方法：（1）找一个数的因数：①根据定义找；②根据除法算式找。
（2）找一个数的倍数：用这个数本身分别与自然数1、2、3、4···相乘，所得的结果就是这个数的倍数。
4．２、３、５倍数的特征。
（1）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是( )的倍数。
①自然数中，是２的倍数的数（即能被2整除的数）叫做偶数（或双数）。
②自然数中，不是２的倍数的数（即不能被2整除的数）叫做奇数（或单数）。
③奇数与偶数的性质：偶数＋偶数=( ) 偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=( ) 偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=( )奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数（2）３的倍数的特征：一个数各个数位上的数相加的和是３的倍数，这个数是 ( )的倍数。
（3）５的倍数的特征：个位上是０、５的数都是( )的倍数。
第二单元因数倍数(讲义)
第二单元因数倍数（讲义）一、教材分析本单元主要包括因数和倍数的概念、性质及应用。
因数和倍数是数学中的基础知识，对于小学生而言，理解因数和倍数的概念十分重要。
因数和倍数的应用不仅存在于数学中，也广泛应用于生活中。
因此，加强学生对于因数和倍数的理解，可以培养学生的数学思维能力和实际运用能力。
二、教学目标1.通过学习因数和倍数的概念及性质，使学生能正确理解、使用因数和倍数的概念。
2.通过实际问题引导学生练习应用因数和倍数的方法，使学生对数学知识的运用有所提高。
3.能够正确使用因数和倍数求得数的各种性质和应用，如：素数、分解质因数等。
4.通过数学学习，培养学生的数学思维能力及实际运用能力。
三、教学内容及教学步骤【知识点一因数】一. 概念引入：请学生拿一根铅笔，经过一次折叠后，折痕处形成的线段的长度与原先的线段的长度相等。
请问这根铅笔是由多少个相等的线段组成的呢？(把学生的回答记录在黑板上)概念引入：以上的问题中，其实就是在问铅笔的长度是否能被分成若干个相等的长度。
那么，这个过程就是因子的运用。
1.定义：如果一个数可以由另外一个数整除，并且商是整数，那么这个数就是另一个数的因数。
2.举例说明：24可以被2整除，商为12，因此2是24的因数，同理4，6，8也是24的因数。
二. 性质1.一个数的因数一定不大于这个数本身。
2.一个数的所有因数之和等于这个数的两倍减自身。
3.其中2和3是在学生学习的举例中就可以理解，第一个性质我们可以通过一个游戏来加深学生的记忆。
游戏引入：老师拿出一叠卡片，上面写着不同的数字，每次向学生发放一张卡片，学生要根据这张卡片写出这个数所有的因数，并口述出来。
如果有人口误或漏掉了因子，则标志着他/她的游戏结束。
经过这个游戏后，同学们更加熟悉因数。
【知识点二倍数】一. 概念1.定义：如果一个数可以被另外一个数整除，并且商是整数，那么这个数就是另一个数的倍数。
2.举例说明：6是3的倍数，因为6除以3等于2。
因数与倍数讲义
学生：科目：数学第阶段第次课教师：第二讲、因数和倍数考点一、因数和倍数一、知识要点1、如果a×b=c〔a，b，c都是不为0的整数〕，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
2、找一个数的因数的方法：〔1〕列乘法算式找〔2〕列除法算式找3、表示一个数的因数的方法：〔1〕列举法〔2〕用集合圈表示4、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
5、找一个数的倍数的方法：〔1〕列乘法算式找〔2〕列除法算式找6、一个数的倍数的表示方法：〔1〕列举法〔2〕用集合圈表示7、一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
8、倍数、因数的关系倍数与因数是相互依存的关系。
没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
二、例题〔基础〕例1 24的因数有哪几个？例2 你能找出多少个3的倍数？三、例题〔提高〕例3 一个数是36的因数，但不是36的最大因数，还是9的倍数，但不是9的最小倍数，这个数是几呢？例4 一个数的最大因数和最小倍数都是45，这个数是几？例5 一个数只有两个因数，且这个数的2倍在25和30之间，这个数是几？例6 幼儿园阿姨买来一些糖果，平均分给5个小朋友，正好分完。
如果阿姨买的糖果总数比5多，比100少，那么阿姨可能买来多少块糖？一、填空题。
1、一个数的因数的个数是〔〕的，其中最小的因数是〔〕，最大的因数是〔〕。
2、一个数的倍数的个数是〔〕的，其中最小的倍数是〔〕，〔〕最大的倍数。
3、一个非零自然数，既是它本身的〔〕，又是它本身的〔〕。
4、〔〕和〔〕是相互依存的。
5、12的因数有〔〕，其中最小的因数是〔〕，最大的因数是〔〕。
6、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是〔〕。
7、一个数是18的倍数，它又是18的因数，这个数是〔〕。
8、36的全部因数有〔〕个。
二、判断题1、5是5的倍数，但不是5的因数。
(完整版)小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义
因数和倍数奥数辅导讲义
能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？
拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？
拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？
拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？
例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。
能够经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？。
因数与倍数讲义
第二讲因数和倍数一、基础知识1.因数和倍数：如果整数a能被b整除（b≠0），整数b就是a的因数。
整数a就是整数b的倍数。
2.公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，a与b的最大公因数记作（a，b）.例如：8的公因数有（），12的公因数有（）8和12公有的因数有（），8和12的最大公因数是（）练习：⑴24的因数有（），18的因数有（）24和18的公因数是（），24和18的最大公因数是（）⑵写出15废话18的因数、公因数，再找出它们的最大公因数3.求几个数最大公因数的方法：①分解质因数法把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数例如：把24,36分解质因数练习：求156和192的最大公因数②短除法短除法求最大公因数，先用各数中的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数举例： 24和36的最大公因数练习：求252和150的最大公因数4.公倍数与最小公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，a与b的最小公倍数记作【a,b】例如： 4的倍数有4、8、12、16...。
6的倍数有6、12、18、24...，4和6的公倍数有12，24，...，其中最小的是12，记为【4,6】=12例如：（1）求24和60的最小公倍数；（2）求12,15,18的最小公倍数5.常用结论（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
例如：8而后14分别除以它们的最大公因数2，所得商分别为4和7，那么4和7互质（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数（3）两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积即：（a,b）×【a,b】=a×b例如：12和16，（12,16）=4，【12,16】=48，有4×48=12×16 即：（12,16）×【12,16】=12×16（4）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积例如：8和9，它们是互质数，所以（8,9）=1，,【8,9】=72二、例题讲解例1：（1）105的因数有个，它们是：（2）90与315的最大公因数是，最小公倍数是（3）35,98,112的最大公因数是，最小公倍数（4）一个数除158余8，这个数可能是（5）56,28,42的公因数有，最大的公因数例2：（1）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，最多有个小朋友。
《倍数与因数》讲义
因数在密码学中的应用
密码学中的因数应用
因数在密码学中也有着广泛的应用，例如在RSA算法中，公钥和私钥就是两个大数的因数。此外，一些分组密码 也利用了因数的性质进行加密和解密，例如AES算法。
因数分解的算法
对于大整数的因数分解，通常采用试除法、质因数分解法和辗转相除法等算法。这些算法能够有效地找到大整数 的因数，从而为密码学中的加密和解密提供支持。
CHAPTER 05
倍数与因数的练习题及解答
倍数练习题及解答
01
02
总结词：理解倍数的概 念、掌握求一个数的倍 数的方法
详细描述
03
04
05
1. 什么是倍数？一个数 A是另一个数B的几倍， 则称A是B的倍数。
2. 如何求一个数的倍数 ？例如，求6的倍数：6 的1倍是6，6的2倍是12 ，6的3倍是18，以此类 推。
3. 倍数的应用：在日常 生活中，倍数可以用来 描述增长、减少、速度 等问题。例如，一个农 场今年的收成是去年的2 倍。
因数练习题及解答
• 总结词：理解因数的概念、掌握求一个数的因数 的方法
因数练习题及解答
• 详细描述 • 什么是因数？一个数A能被另一个数B整除，则称A
是B的因数。 • 如何求一个数的因数？例如，求24的因数：
CHAPTER 04
倍数与因数的应用
倍数在密码学中的应用
密码学中的倍数应用
在密码学中，倍数被广泛应用于加密和解密算法中，例如 RSA算法和ECC算法。这些算法利用了模运算的性质，通过 使用两个大数的乘积来生成加密密钥和解密密钥，从而保证 通信的安全性。
模运算的性质
在密码学中，模运算的性质非常重要，尤其是对于大整数的 模运算。模运算的性质包括同余定理、扩展同余定理和费马 小定理等，这些定理为密码学中的倍数应用提供了理论基础 。
专题03因数与倍数(讲义)-2024年小升初数学复习
专题3：因数与倍数（小升初复习讲义）2024年小升初数学复习专题：第一章数的认识（高频考点梳理+重难点讲解+同步练习+答案）【知识梳理】1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。
例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。
2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。
2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。
倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个非0自然数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
5、表示一个数的因数和倍数的方法：列举法；集合表示法。
【例1】如果一个数的最大因数和它的最小倍数的积是49，那么这个数是（）。
【解题分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知这个数的最大因数和最小倍数的积是49，而7×7＝49，则这个数是7。
【答案】7；【例2】把24个玻璃杯分别装在盒子里，要使每个盒子中玻璃杯的数量同样多，且刚好可以全部装完，一共有（）种不同的装法。
【解题分析】24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18，36；装法有：（1）24＝1×24，①每盒24个，装1盒，因为这个装法不能体现每个盒子装得同样多，所以不可以这样装；②每盒装1个，装24盒；（2）24＝2×12，③每盒装12个，装2盒；④每盒装2个，装12盒；（3）24＝3×8，⑤每盒装8个，装3盒；⑥每盒装3个，装8盒；（4）24＝4×6，⑦每盒装6个，装4盒；⑧每盒装4个，装6盒；所以一共有7种装法。
【答案】7；【例3】古希腊的毕达哥拉斯学派在研究自然数时发现了一些珍贵的数字。
因数与倍数(讲义)-数学五年级下册
讲义2 因数与倍数一、自学自补（一）因数和倍数。
1、在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数. 又如整数a能被b整除(a÷b＝c),那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
2、因数：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找,或用除法找。
3、倍数：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
4、一个数的倍数的求法：依次乘自然数。
（二）自然数按能不能被2整除分为：奇数、偶数奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。
偶数：是2的倍数的数叫做偶数。
1、最小的奇数是1，最小的偶数是0。
2、2、3、5倍数的特征：①个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
④如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
⑤同时是2、3、5的倍数：个位上是0并且各位上的数的和是3的倍数⑥同时是2、3、5的倍数中，最大的两位数是90，最小的两位数是30，最小的三位数是120。
（三）自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
如2,3,5,7，11，13,17,19……都是质数。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
如4,6,8,9，10,12,14，15,16,18,20,22,26，49……都是合数。
1、合数至少有三个因数，包括1、它本身和别的因数2、数1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
3、最小的质数是2，最小的合数是4。
4、20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）（1）所有的奇数都是质数。
不对，因为9是奇数，但不是质数，而是合数。
（2）所有的偶数都是合数。
不对，因为2是偶数，但不是合数，是质数。
数学讲义-因数与倍数
因数与倍数一、本章知识要点1、a×b＝c（a、b、c是不为0的整数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
2、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.质数：有且只有两个因数，1和它本身合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、973、分解质因数：用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）4、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；5、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。
其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数；较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数它们的积就是它们的最小公倍数。
二、经典例题知识点1、公因数的实际问题例1.张师傅买回一根50dm长的铁丝和一根43dm长的铜丝，将它截成同样长的小段，结果铁丝剩余2dm，铜丝剩余3dm。
所截成的小段最长是多少分米？分别能截成多少段这样最长的小段？学生自测：1、有甲、乙、丙三种溶液，分别重416 千克、334 千克、229千克。
因数和倍数的知识点整理
因数和倍数的知识点整理因数和倍数是数学中常见的概念，它们在我们的日常生活中起着重要的作用。
本文将从因数和倍数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、因数的定义和性质1.1 因数的定义一个数如果能被另一个数整除，我们就称这个数为另一个数的因数。
例如，6能被2整除，因此2是6的因数。
1.2 因数的性质（1）一个数的因数一定不能大于这个数本身。
（2）一个数的因数一定不能小于1。
（3）一个数的因数都是整数。
1.3 最大公因数和最小公倍数最大公因数是指两个或多个数公有的最大的因数，最小公倍数是指两个或多个数公有的最小的倍数。
最大公因数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用。
二、倍数的定义和性质2.1 倍数的定义一个数如果能被另一个数整除，我们就称这个数为另一个数的倍数。
例如，12是6的倍数，因为12能被6整除。
2.2 倍数的性质（1）一个数的倍数一定能被这个数整除。
（2）一个数的倍数都是整数。
三、因数和倍数的应用3.1 因数的应用（1）判断一个数是否为质数：如果一个数只有1和它本身两个因数，那么这个数就是质数。
（2）简化分数：将分子和分母的最大公因数约去，可以得到最简分数。
（3）求一个数的所有因数：通过列举所有小于这个数的正整数，并判断能否整除这个数来求得。
3.2 倍数的应用（1）求最小公倍数：通过列举两个数的倍数，找到它们的公共倍数中最小的一个数，就是最小公倍数。
（2）求最大公因数：通过列举两个数的因数，找到它们的公共因数中最大的一个数，就是最大公因数。
（3）计算简单分数的通分：将两个分数的分母的最小公倍数作为它们的公分母，然后将分子按比例扩大。
四、因数和倍数的联系与区别4.1 联系一个数的因数也是它的倍数，一个数的倍数也是它的因数。
4.2 区别因数是指能够整除一个数的数，而倍数是指能够被一个数整除的数。
因数是从小到大逐个增加的，而倍数是从大到小逐个增加的。
因数和倍数是数学中常见的概念，它们在数学中有着重要的地位和应用。
(完整版)因数和倍数讲义
第一讲因数和倍数【课堂讲解】【考点】一：因数和倍数【知识点】1：因数和倍数的理解（1）数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（2）因数和倍数：定义1：被除数÷除数=商，要求被除数、除数、商都是整数，所以除数和商是被除数的因数，被除数则是除数和商的倍数。
定义2：4×5＝20,20是4和5的倍数，4和5是20的因数。
注意：在研究因数与倍数时，我们所说的数指的是非0整数。
要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（3）因数和倍数的关系：倍数和因数是相互依存的。
【例题】1：根据算式1000÷10＝100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】2：根据算式24×15=360，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】3：判断题：因为78÷3＝26，所以说3是因数，78是倍数。
（）【知识点】2：求一个数的因数和倍数【例题】1：求下列数的因数1的因数（）17的因数（）78的因数（）91的因数（）39的因数（）44的因数（）51的因数（）87的因数（）95的因数（）【例题】2：求下列数的倍数(写出最小的5个）2的倍数（）4的倍数（）5的倍数（）10的倍数（）50的倍数（）【挑战自己】（一）填空（1）因为78÷2＝39，所以2是78的（），78是39的（）。
（2）因为16×3=48，所以（）是（）的因数，48是16的（）。
（3）根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
（4）写出下列数的所有因数59（） 87（）23（）45（）91（） 62（）（5）24的因数有（）．说明：一个数因数的个数是（），最小的因数是（），最大的因数是（）．（6）3的倍数有（）．说明：一个数的倍数的个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数．（7）一个数的最大因数是34 ，这个数是（），它的所有因数有（），这个数的最小倍数是（）。
第一讲 复习因数和倍数(讲义)
第一讲复习因数和倍数（讲义）小学数学，第一讲复习因数和倍数（讲义）一、课程目标了解因数和倍数的概念，并掌握因数和倍数的计算方法。
二、教学重点1. 因数的概念和计算方法；2. 倍数的概念和计算方法。
三、教学难点1. 掌握因数和倍数的应用方法；2. 提高学生的计算能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）老师可以从生活中的例子入手，如何用因数和倍数解决问题。
2. 知识讲解（15分钟）（1）因数的概念：能够整除某一个数的数叫做这个数的因数。
如10的因数是1、2、5、10。
（2）因数的计算方法：找到能够整除这个数的所有数，作为这个数的因数。
（3）倍数的概念：一个数是另一个数的倍数，当且仅当这个数能够被另一个数整除。
如12是6的倍数。
（4）倍数的计算方法：将某一个数乘以一个整数得到的结果，就是这个数的倍数。
3. 课堂练习（25分钟）（1）因数练习：给出一些数字，让学生找出它们的所有因数。
如20、36、56等。
（2）倍数练习：给出一些数字，让学生找出它们的所有倍数。
如3、6、9等。
4. 拓展应用（10分钟）（1）生活中的应用：例如通过求两个数的公共因数和最小公倍数来解决问题。
（2）练习题：通过运用所学知识，完成一些生活中的问题求解。
五、作业布置（5分钟）1. 完成练习纸上的习题；2. 在生活中找到因数和倍数的应用。
六、教学反思本节课通过生动的例子和丰富的练习，使学生掌握了因数和倍数的概念和应用方法。
通过应用知识解决实际问题，提高学生的计算能力和应用能力。
七、教学资源及媒体1. 教材及课件；2. 黑板、白板及标配教学板书；3. 练习纸、录音机等。
八、教学方法1. 案例教学法：通过生动的例子来引出因数和倍数的概念。
2. 讨论式教学法：引导学生通过互相讨论、思考来探究因数和倍数的相关知识。
3. 实践性教学法：通过生活中实际的问题让学生应用因数和倍数的知识进行实践操作。
九、教学评价1. 教师在教学中应该加强对学生的评价，以及根据评价的结果及时调整教学方法和教学内容。
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第一讲因数和倍数学生姓名年级小五学科数学授课教师日期2月26日时段核心内容因数和倍数课型一对一教学目标1、理解因数和倍数的含义；2、会求一个数的因数和倍数；3、掌握一个数的因数和倍数的特点及规律；4、利用倍数和因数解决简单的问题。
5、2，3，5的倍数特点重、难点倍数和因数的理解；熟练求一个数的倍数和因数。
【课堂讲解】【考点】一：因数和倍数【知识点】1：因数和倍数的理解（1）数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（2）因数和倍数：定义1：被除数÷除数=商，要求被除数、除数、商都是整数，所以除数和商是被除数的因数，被除数则是除数和商的倍数。
定义2：4×5＝20,20是4和5的倍数，4和5是20的因数。
注意：在研究因数与倍数时，我们所说的数指的是非0整数。
要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（3）因数和倍数的关系：倍数和因数是相互依存的。
【例题】1：根据算式1000÷10＝100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】2： 根据算式24×15=360，（ ）是（ ）的因数，（ ）也是（ ）的因数；（ ）是（ ）的倍数，（ ）也是（ ）的倍数。
【例题】3：判断题：因为78÷3＝26，所以说3是因数，78是倍数。
（ ）【知识点】2：求一个数的因数和倍数【例题】1：求下列数的因数1的因数（ ） 17的因数（ ） 78的因数（ ） 91的因数（ ） 39的因数（ ） 44的因数（ ） 51的因数（ ）87的因数（ ） 95的因数（）【例题】2： 求下列数的倍数(写出最小的5个）2的倍数（ ） 4的倍数（） 5的倍数（）10的倍数（）50的倍数（）【挑战自己】（一）填空（1）因为78÷2＝39，所以2是78的（ ），78是39的（ ）。
（2）因为16×3=48，所以（）是（）的因数，48是16的（）。
（3）根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
（4）写出下列数的所有因数59（） 87（）23（）45（）91（） 62（）（5）24的因数有（ ）．说明：一个数因数的个数是（ ），最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）．（6）3的倍数有（ ）．说明：一个数的倍数的个数是（ ），最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数．（7）一个数的最大因数是34 ，这个数是（ ），它的所有因数有（ ），这个数的最小倍数是（ ）。
（8） 48的最小倍数是（），最大因数是（）。
最小因数是（）。
（9）16既是（）的倍数，又是（）的倍数，还是（）的倍数。
（10）150的最大的因数是（），最小的倍数是（）。
（11）一个数最大的因数是178，最小的倍数是（）。
一个数的最小倍数是2，这个数有（）个因数（12）一个数既是56的因数，又是56的倍数，这个数是（）。
一个数既是69的因数，又是69的倍数，这个数是（）。
既是19的因数、又是19的倍数，这个数可能是（）（13）100000的最小的因数是（）。
（14）一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。
一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）（15）如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（）个；a-b的差的所有因数有（）个；a×b的积的所有因数有（）个。
（二）易错判断题( )在10、15、20中，10是20的因数，15是10的倍数。
( )10是倍数，5是因数。
( )自然数a的最大因数是a，最小倍数也是a。
( )一个数的倍数一定大于这个数的因数。
( )一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
( )36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。
( )因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。
( )一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。
( )15的倍数有15、30、45。
( )一个自然数越大，它的因数个数就越多。
( )因为3.9÷1.3=30，那么，3.9是1.3和30的倍数．( )两数相除商是20，那么其中一个数就是另一个数的因数．( )15的因数只有3和5。
( )任何数都没有最大的倍数。
( )1是所有非零自然数的因数。
( )一个数的因数总是比这个数小【例题】3：我是小侦探（1）我是54的因数，又是9的倍数，同时我的因数有2和3。
那我是（）、（）、（）、（）。
（2）一个数是42的因数，又是7的倍数，这些数有（）、（）、（）、（）。
（3）一个自然数比30小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）、（）。
（4）我是100以内7的倍数，我的其中一个因数是4，还能被3整除，这样的数有（）个。
（5）我是30的因数，又是2和5的倍数。
这样的数有（）。
（6）我是60的因数，也是5和2的倍数，而且比45小。
那我是（）。
【考点】二：特殊数的倍数特征【知识点】1：2、3、5的倍数特征（1）2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
（2）自然数按能不能被2整除来分：奇数偶数奇数：不能被2整除的数偶数：能被2整除的数。
0也是偶数最小的奇数是1，最小的偶数是0.如果用n表示自然数，则2n表示偶数，2n+1或2n-1 表示奇数。
（3）5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。
（4）3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【知识点】2：（1）既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位是0的数。
（2）既是2的倍数又是3的倍数的特征：①个位是0、2、4、6、8的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数（3）既是3的倍数又是5的倍数的特征：①个位是0或5的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数（4）既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数的特征：①个位是0的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数.能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
【知识点】3：倍数的规律：①一个数的几个倍数的和或者差也是这个数的倍数；因数不具有此性质。
②一个数的倍数的几倍也是这个数的倍数。
③n=a×b×c（都是非0自然数），则n是a、b、c的倍数，n也是a，b，c因数的倍数；a、b、c是n的因数，a，b，c自己的因数也是n的因数。
【例题】1：写出符合要求的数能同时被2、3整除的最小三位数是（），最大三位数是（）。
能同时被2、3整除的最小二位数是（），最大二位数是（）。
能同时被3、5整除的最小二位数是（），最大二位数是（）。
能同时被3、5整除的最小三位数是（），最大三位数是（）。
能同时被2、3、5整除的最小二位数是（），最大二位数是（）。
能同时被2、3、5整除的最小三位数是（），最大三位数是（）。
【例题】2：从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。
（1）组成的数是2的倍数有：（2）组成的数是5的倍数有：（3）组成的数是3的倍数有：【例题】3：填数在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数。
□5，□里可以填（）; 3□7，□里可以填（）;□78，□里可以填（）；14□3，□里可以填（）;练习：117□既是3的倍数，又是5的倍数，□里可以填（）；249□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以填（）。
【例题】5：奇数和偶数（1）自然数中，（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。
（2）两位数中，最小的奇数是（），最大的偶数是（）。
（3）如果a表示自然数，那么偶数的是（），奇数是（）（4）三个连续偶数的和是186，这三个偶数是( )、（）、 ( )。
（5）三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是（ ）、（ ）和（ ）。
（6）2013年白云区五年级数学《因数和倍数》单元测试）两个相邻奇数的和乘它们的差，积是184。
这两个奇数分别是多少？【例题】6：实际应用1.（2013年白云区五年级数学《因数和倍数》单元测试）五（1）班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？2. 3辆卡车运送748袋化肥，至少再加几袋化肥就能使每辆卡车装的同样多？3、体育室买了不到50个乒乓球，如果每3个装一盒，正好装完，每5个装一盒也正好装完，请问买了至少多少个乒乓球？最多几个乒乓球？4、李丽在文具店买了几本笔记本和几支钢笔，每本笔记本5元，每支港币10元，付款50元，找回13元。
请你迅速判断找回的钱数对不对？【课堂小测】（1）一个正方形的边长是奇数，那么这个正方形的周长就一定是（）。
A、奇数B、偶数 C 、不能确定（2）（2013年越秀区五年级数学《因数和倍数》单元测试）1到100的自然数中，7的倍数一共有（）个。
A、12B、34 C 、14（3）（白云区单元测）a是b的倍数，c是b的因数，则a是c的（ ）。
A、因数B、倍数 C 、一半（4）一个数的因数只有两个，这个数最小是（ ）。
A、1 B、2 C 、3（一）猜猜我是谁。
（1）我比10小，是3的倍数，我可能是（）。
（2）我在10和20之间，是3和5的倍数，我是（）。
（3）我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是18，我是（）。
（二）（越秀单元测）按要求在□里填上合适的数字。
（有多种填法的，只填其中一种） （1）四位数“237□”是2的倍数； （2）三位数“92□”是5的倍数； （3）四位数“7□23”是3的倍数； （4）三位数“4□□”既是3的倍数，也是5的倍数。
（三）判断（对的打“√”，错的打“×”）（1）如果a是自然数，那么2a、a＋2都是偶数。
（ ）（2）个位上是3、6、9的数都是3的倍数。
（ ）（3）个位上是5的数，一定是5的倍数。
（ ）（4）一个自然数不是奇数就是偶数。
（ ）（5）一个数是4的倍数，那么这个数一定也是2的倍数。
（ ）（6）一个三位数的各位上的数字都相同，这个数一定是3的倍数。
（ ） （7）5的倍数一定比3的倍数大。
（ ）（8）3的倍数一定是9的倍数，9的倍数也一定是3的倍数。
（ ） （9）12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。
（ ） 【能力提升】【强化拓展训练】1、一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？2、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？3、在方格纸上画长方形，使它的面积是18cm2,边长要是整厘米数。
（每个小方格的边长是1cm）4、从1-100的自然数中，所有不是8的倍数的数的和是多少？5、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。