排列与排列数PPT教学课件

CCCCCCCCCCC
BBBBBB
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’ A’ 3 C’
2 B’ B’
1
A
C三棱锥1、2的底 △ABA’、△B’A’B
CC
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’ A’A’A’A’ A’ A’ A’ 3 C’
＋
S1 h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的
∵设根把放αSS那1 hh截据平这在122用么，SS2 面祖行两同平hh122 和搄的个一行SS1 顶原S同锥个S于2，S点理1一体平平S2 的，个面面距这平αα离两上截的是个，面任锥h这分一1，体是别平截的它与面面体们底去
3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。
小结： 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 1 V三棱锥＝ 3 Sh
求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
1 13
A 问题2、解答过程中的
3×
2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
Bθ EC
∵AEcosθ＝ED
1
D又∴BSE△与AECDE＝都垂2 E直D平·A面D AED，故BE、CE
分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
3、柱体体积公式的推导：
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
北京 上海
广州 北京
上海 广州
广州 北京
广州 上海
我们把上面问题中被取的对象 叫做元素。于是，所提出的问题就 是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列， 求一共有多少种不同的排列方法。
所有不同排列是
ab ac ba bc ca cb
问题2：从a，b，c，d这4个字母中， 每次取出3个按顺序排成一列，共有 多少种不同的排法？
2、三棱锥体积的证明分两步进行： ⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） ⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
Bθ EC
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
D
＝13
1
×2
BC
·ED
·AD
＝
1 3
×1
2
BC
·AEcosθ·AD
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那1么它的体积是
V锥体＝ 3 Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
A’
C’ 3
三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
2
A BB’C １
高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
△BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等
（顶点都是A1）1
∵V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥。
∵V三棱柱＝ 3 Sh。
第1位 第2位
n
n-1
A2 n (n 1) n
第1位 第2位 第3位
第m
······ 位
n n-1 n-2
n-m+1
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
排列数公式
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n An n (n 1) (n 2) • ···•3 •2 •1 n An n！ n
B’
的面积相等。
A
CC
C
BB
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
V三棱锥＝
1Sh
3
A’A’A’A’A’A’A’AA’ ’
高
3
C’
2 2B2’B2’B2B’ ’2B’2B’2B2’BB’ ’
1
A
C CC CCC C C CC
三棱B锥2、3B的底B△BBCBB’、B△BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
2 2B’B’ 2 B2 ’ B’ B’
高
1 11 1
A AA A C CC CC C C C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’ A’ 它的体积是
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
3
C’
1
2 B’
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C
A
问问题题1、2、你解如法能果？有改几为种求 棱长为a的正四面
体A-BCD的体积。
B
解一二你、能补利有形用几，体种将积解三公法棱式？
D解锥三三V补棱四、面成锥将体一C＝四-个A面13BS正体E△和方B分C三体D割·h棱。为
锥D-ABE
C
E
小结：
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”；二是“按照 定顺序排列”，“一定顺序”就是 位置有关，这也是判断一个问题 是不是排列问题的重要标志。
例1 计算：
(1) A3
; 161514 3360
16
8
A (2)
12 7
;
A12
12111098765 5 121110 9 8 7 6
A (3) 6 . 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
练习：
求解下列各式的值或解方程。
(1)
A4 2 n 1
140
An3
(2)
4
A84 A88
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
根据排列的定义，两个排列相同， 且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任 选两个做加法，其结果有多少种不同 的可能？ 不是
（2）从1，2，3，4四个数字中，任 选两个做除法，其结果有多少种不同 的可能？ 是
（3）从1到10十个自然数中任取两个 组成点的坐标，可得多少个不同的点 的坐标？ 是
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
C’ A’
C
D’问题1、你能有几种 问题2、解如法果？这是一
B’
个平行六面 体呢？或者
四棱柱呢？
D
A
B
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到 一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’ A’
3