人教版八年级数学上册-同步练习：全等三角形

同步练习:三角形全等
学好数学的秘密
1、学完多思考
2、多做练习题
3、善于总结规律
学好数学的秘密
1、学完多思考
要想学好数学一定要多思考。

主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。

独立思考是学习数学必须具备的能力。

同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。

2、多做练习题
要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。

只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。

3、善于总结规律
我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。

(60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．[2015·宜昌]如图22－1，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C) A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点
C到AB 的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．
图22－1 图22－2
2．如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是(D) A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC
【解析】当BD＝DC，AB＝AC时，因为AD＝AD，由SSS可得△ABD≌△ACD，故A正确；当∠ADB＝∠ADC，BD＝CD时，因为AD＝AD，由SAS可得△ABD≌△ACD，故B正确；当∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD时，因为AD＝AD，由AAS可得△ABD≌△ACD，故C正确；D不能判定△ABD≌△ACD，因为不能利用SSA判定两三角形全等．
3．[2015·湖州]如图22－3，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(C) A．10 B．7
C．5 D．4
图22－3
【解析】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S
△BCE
＝
1
2BC·EF＝
1
2×5×2＝5.
4.[2015·宁波]如图22－4，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加
一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(C) A．BE＝DF B．BF＝DE
C．AE＝CF D．∠1＝∠2
第3题答图
图22－4
【解析】A．当BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加；
B．当BF＝ED，可得BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加；
C．当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
D．当∠1＝∠2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项可添加．
二、填空题(每题5分，共20分)
5．[2014·长沙]如图22－5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝__6__.
图22－5 图22－6 6．[2015·江西]如图22－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA ＝OB，则图中有__3__对全等三角形．
【解析】∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，
由OA＝OB，∠1＝∠2，OP＝OP，可证得△AOP≌△BOP(SAS)，
∴AP＝BP，
又∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE＝PF，∴△PEA≌△PFB(HL)，
又∵PE＝PF，OP＝OP，∴△POE≌△POF(HL)，
∴图中共有3对全等三角形．
7．[2015·娄底]如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__(只需写一个，不添加辅助线)．
【解析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.
图22－7
8．[2015·黔东南]如图22－8，在四边形ABCD中，AB∥CD，连结BD.请添加一个适当的条件__AB＝CD__，使△ABD≌△CDB.(只需写一个)
图22－8
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，
∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判定△ABD≌△CDB.
三、解答题(共20分)
9．(10分)[2015·福州]如图22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：
AC＝AD.
证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，
⎩
⎨
⎧∠1＝∠2，
AB＝AB，
∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(ASA)
∴AC＝AD.
10．(10分)[2015·武汉]如图22－10，点B，C，E，
F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，
DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：
图22－9
(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AB ∥DE .
证明：(1)∵AC ⊥BC 于点C ，DF
⊥EF 于点F ， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°， 在△ABC 和△DEF 中，
⎩⎨⎧BC ＝EF ，
∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF (SAS )； (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠B ＝∠DEF ， ∴AB ∥DE .
(24分)
11．(12分)[2014·杭州]如图22－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P ，求证：PB ＝PC ，并请直接写出图中其他相等的线段．
图22－11
证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， 在△ABF 与△ACE 中，
⎩⎨⎧AB ＝AC ，
∠CAE ＝∠BAF ，AE ＝AF ，
∴△ABF ≌△ACE (SAS )， ∴∠ABF ＝∠ACE ，
∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ， ∴∠FBC ＝∠ECB ， ∴PB ＝PC .
相等的线段还有：PE ＝PF ，BE ＝CF ，EC ＝FB ，AE ＝AF . 12．(12分)[2015·温州]如图22－12，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D .
(1)求证：AB ＝CD ；
(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ，
在△ABE 和△DCF 中，
⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ，AE ＝DF ，
∴△ABE ≌△DCF (AAS )， ∴AB ＝CD ；
(2)∵△ABE ≌△DCF ， ∴AB ＝CD ，BE ＝CF ， ∵AB ＝CF ，∠B ＝30°， ∴CD ＝CF ， ∠C ＝∠B ＝30°， ∴△CDF 是等腰三角形， ∴∠D ＝1
2
×(180°－30°)＝75°.
(16分)
13．(16分)[2015·株洲]如图22－13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点O ，E ，F
分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形． (1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上；
图22－12
(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．
图22－13
解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴OE ＝OM ，
∵四边形OECF 是正方形， ∴OE ＝OF ， ∴OF ＝OM ，
∵OM ⊥AB ，OF ⊥AD ， ∴AO 是∠BAC 的角平分线， 即点O 在∠BAC 的平分线上；
(2)∵在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝52＋122＝13， 设CE ＝CF ＝x ，BE ＝BM ＝y ，AM ＝AF ＝z ，
∴⎩⎨⎧x ＋y ＝12，y ＋z ＝13，x ＋z ＝5， 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝10，z ＝3，
∴OE ＝CE ＝CF ＝2.
第13题答图。