高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21(1)
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高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修
置关系．
• 3．熟记判定直线平行或垂直的条件．
• 4．建立立体几何与空间向量的相互联系，把立体几何问题 转化为向量问题．
重点难点点拨
本节重点：利用向量来表示空间中的平行关系和垂直关系． 本节难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
知能自主梳理
• 1．垂直问题
• (1)直线与直线垂直：只要两直线的__________垂直，两直
• 4．利用向量知识判断直线、平面垂直
• 垂直问题包括：直线与直线垂直，常用两直线的方向向量的 数量积为0来判断；直线与平面垂直，常用直线的方向向量 与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量 垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题 类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算 进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为 简单．
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量， 故平面 EFG∥平面 A1DB.
线面垂直
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1， D1B1 的中点．
∴AC1∥平面 CDB1.
面面平行 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G， H，M，N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面 EFG∥平 面 HMN.
[分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判 定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一 个平面；证明两个平面的法向量平行．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 空间向量与立体几何
第二章
• 3．熟记判定直线平行或垂直的条件．
• 4．建立立体几何与空间向量的相互联系，把立体几何问题 转化为向量问题．
重点难点点拨
本节重点：利用向量来表示空间中的平行关系和垂直关系． 本节难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
知能自主梳理
• 1．垂直问题
• (1)直线与直线垂直：只要两直线的__________垂直，两直
• 4．利用向量知识判断直线、平面垂直
• 垂直问题包括：直线与直线垂直，常用两直线的方向向量的 数量积为0来判断；直线与平面垂直，常用直线的方向向量 与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量 垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题 类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算 进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为 简单．
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量， 故平面 EFG∥平面 A1DB.
线面垂直
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1， D1B1 的中点．
∴AC1∥平面 CDB1.
面面平行 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G， H，M，N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面 EFG∥平 面 HMN.
[分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判 定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一 个平面；证明两个平面的法向量平行．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 空间向量与立体几何
第二章
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行二课件北师大版选修2_130
题型探究
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中 点，N是侧棱CC1上的点，且C14N＝ CC1.求证：AB1⊥M证N.明
反思与感悟
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→ 求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝ 3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、 BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知 ②③④正确.
12345
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
√B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
答案 解析
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
c2)，则l⊥α⇔a∥aμ＝⇔kμ(k∈R)
.
知识点三 向量法判断面面垂直
思考
平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)， 用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案
x1x1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔ . a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
反思与感悟
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
2021年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件3北师大版选修2_1
例1:如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN//平面EBC
N
证 明 :在 正 方 形 ABCD与 ABEF中 , A
D
BEAB,FMAN,FBAC,
存 在 实 数 , 使 F M F B ,A N A C .
M NM FFAANBFEBAC
A1B(
2,1,1)，DM(0,1,1), 22
作业：1.
如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB 900, AC 1,CB 2,侧棱AA1 1,侧面AA1BZ1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M A . 求证CD 平面BDM
则CD• A1B 0, CD•DM 0.
D C
CD A1B,CDDM.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA,DC,DD'分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A'(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B'C ' D'中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
(BEBAABAD)EB(BEAD)EB
(BEBC)BE(1)BEBC.
例1:如图已知四边形ABCD、
ABEF为两个正方形,
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MN分别在其对角线BF上,
且FM AN.求证：MN//平面EBFC M
B
C
M N 、 BE、 BC 共 面 .
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修
(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直
接写出法向量.
(2)待定系数法:当平面的垂线不易确定时,可以利用待定系数法
求解,具体步骤如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平 面α的一个法向量.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ∴������������=(1,-2,-4),������������=(2,-4,-3).设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z),依题
������1 = 0, ������1 = -2������1,
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
(1)∵n1·������������1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥������������1 .
又FC1⊈平面ADE,∴FC1∥平面ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是 正方体六个面的中心.求证:平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法一以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.不妨设正方体的棱长为2, 则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,2,1),M(1,1,2),N(0,1,1).
1 2
,0,0
,
∴平面 SAB 的一个法向量为������������ =
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课后演练提升 北师大版选修2-1(
与平行课后演练提升北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1的全部内容。
垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题（每小题5分，共20分)1．若直线l的方向向量为a＝（1，0,2），平面α的法向量为u＝（－2,0，－4），则（）A．l∥α B．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：∵u＝－2a,∴a∥u.∴a⊥α，∴l⊥a，故选B.答案: B2．已知平面α内的三点A（0,0，1）、B（0,1，0）、C（1,0,0）,平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1），且β与α不重合，则（）A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：错误!＝(0，1,－1),错误!＝（1,0，－1）,n·A错误!＝（－1，－1，－1）·（0,1,－1)＝－1×0＋（－1)×1＋(－1）×（－1)＝0，n·A错误!＝(－1,－1，－1）·(1,0,－1）＝－1×1＋0＋(－1)·（－1)＝0，∴n⊥错误!，n⊥错误!.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合,∴α∥β。
答案：A3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝（3,1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )A．（1,－1,1）B。
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题 再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1， 平行 c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_∥__b__
线面 平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的 法 向 量 为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则 l∥α⇔_a_⊥__u__.
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．空间垂直关系的向量表示
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向 向量为a＝(a1， a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2， b则3)l，⊥m⇔_a_⊥__b_
设直线l的方向 向量是a＝(a1， b1，c1)，平面α 的法向量是u＝ (a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔_a_∥__u_
若平面α的法向 量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法 向量v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔_u_⊥__v__
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[强化拓展]
(1)用向量法证明线线垂直：证明两条直线的方向 向量垂直． (2)用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方 向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它 们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (3)用向量法证明面面垂直： ①转化证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直．
②符号语言：
aα
bα a⊥b
⇒a⊥c
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
12345
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
12345
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.