小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
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l/4
2l
Fcr
l
0.7l
l/2 l l
l/4 0.3l
l
2 EI Fcr 2 l
2 EI Fcr ( 2l ) 2
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
4
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 但大于某一数值 2时，压杆不能应用欧拉公式， 此时需用经验公式.
l
所以连杆的临界压力为134.6kN.
z
F
10
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
11
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
一、临界应力
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算. 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
6
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
ห้องสมุดไป่ตู้
π2 E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr 2 A ( l ) A
12
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
令 i
Fcr π2 EI π2 E 2 π2 E I 则 σcr i 2 2 2 A A ( l ) A ( l ) ( l / i )
令
l
i
则
σcr
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
3
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 后取小的一个作为压杆的临界压力.
7
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状 为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模 量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
欧拉公式 的统一形式
π 2 EI Fcr ( l )2
（ 为压杆的长度因数）
5
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
π EI Fcr ( l )2
5.讨论 （1）相当长度 l 的物理意义
2
为长度因数 l 为相当长度
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由 临界力的欧拉公式 长度因数
π 2 EI Fcr (0.7 l )2
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
力 cr
。
13
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
二、 欧拉公式的应用范围
只有在
cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
或
π2 E
2
σp
π E σp
E 1 π σp
2
令
14
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
2.临界应力总图
σcr σs σ a b cr σs
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
8
y
y z F
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
π EI 3.14 2.1 10 3.8 10 Fcr 2 ( l ) (0.5 0.88)2 406.4kN
2 2 11
880
880 1000
xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m 解：
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
2l
Fcr
l
0.7l
l/2 l l
l/4 0.3l
l
2 EI Fcr 2 l
2 EI Fcr ( 2l ) 2
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
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§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 但大于某一数值 2时，压杆不能应用欧拉公式， 此时需用经验公式.
l
所以连杆的临界压力为134.6kN.
z
F
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
一、临界应力
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算. 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
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§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
ห้องสมุดไป่ตู้
π2 E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr 2 A ( l ) A
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
令 i
Fcr π2 EI π2 E 2 π2 E I 则 σcr i 2 2 2 A A ( l ) A ( l ) ( l / i )
令
l
i
则
σcr
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
3
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 后取小的一个作为压杆的临界压力.
7
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状 为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模 量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
欧拉公式 的统一形式
π 2 EI Fcr ( l )2
（ 为压杆的长度因数）
5
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
π EI Fcr ( l )2
5.讨论 （1）相当长度 l 的物理意义
2
为长度因数 l 为相当长度
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由 临界力的欧拉公式 长度因数
π 2 EI Fcr (0.7 l )2
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
力 cr
。
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
二、 欧拉公式的应用范围
只有在
cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
或
π2 E
2
σp
π E σp
E 1 π σp
2
令
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
2.临界应力总图
σcr σs σ a b cr σs
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
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§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
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（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
8
y
y z F
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
π EI 3.14 2.1 10 3.8 10 Fcr 2 ( l ) (0.5 0.88)2 406.4kN
2 2 11
880
880 1000
xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m 解：
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.