小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
压杆稳定
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
F 令k 得 EI
2
(a)
F
M(x)=-Fw m x y w m B
w k w 0 (b)
'' 2
(b)式的通解为
w A sin kx B cos kx
(c )
（A、B为积分常数） ，边界条件确定
Fcr nst n F
nst一般可在设计手册或规范中查到。
31/54
压杆稳定
2.解题步骤 (Calculation procedure)
(1) 计算最大的柔度系数max
(2) 根据max 选择公式计算临界应力
(3) 根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷
压杆稳定 例题4 活塞杆由45号钢制成，S = 350MPa ， P = 280MPa
或
2E P
P
E 令1 即 ≥ 1,柔度不在这个范围之内的压杆 P 不能使用欧拉公式。
≥ 1,大柔度压杆
19/54
压杆稳定
欧拉公式使用范围确定：
1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，P=200MPa，得
206 109 1 100 6 P 200 10 E
Fcr
EI
2
l2
Fcr
2 EI
( 2l )2
Fcr
l
2l
13/54
压杆稳定
3、一端固定,另一端铰支 C 为拐点 4、两端固定 C，D 为拐点
Fcr
2 EI
(0.7 l )2
欧拉公式及其应用
欧拉公式及其应用
欧拉公式是数学中的一条重要定理，被誉为数学中的“五角星
公式”。
它由瑞士数学家欧拉于1736年发现，形式为V-E+F=2。
其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面
体的面数。
欧拉公式一般只用于欧几里得空间中的凸多面体，然而，它的
应用却不仅限于此。
在计算机图形学中，欧拉公式已经成为了一
个广泛使用的工具，可以用于计算各种复杂的图形的拓扑结构信息。
此外，在数学、力学、物理学中，欧拉公式也有着广泛的应用。
在数学中，它被广泛应用于代数拓扑、流形拓扑等领域，是许多
数学问题的重要手段。
在力学中，欧拉公式被用来证明固体力学
基本方程组的平衡条件；在物理学中，则被用于推导色散关系、
介质常数等常见物理量。
在计算机科学领域，欧拉公式也是一个非常有用的工具。
例如，在计算机图形学中，我们常常需要将一幅图像转换成由多边形拼
接而成的图形，而欧拉公式就是用来计算这些多边形的顶点、边
和面的个数的。
此外，在计算机网络领域中，欧拉公式也被广泛运用于网络拓扑的计算和分析。
总之，欧拉公式作为数学中的一条重要定理，不仅仅在几何学中有着广泛的应用，还在代数拓扑、流形拓扑、计算机图形学、力学、物理学等领域中发挥着不可替代的作用。
研究欧拉公式及其应用，不仅对求解实际问题有着重要的帮助作用，还对我们深入理解数学的本质和发展历程有着重要的启示作用。
经验公式和临界应力总图
欧拉公式的适用范围经验公式一、临界应力A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。
i lμλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ=二、 欧拉公式的适用范围或 =≤2cr p 2πE σσλ=1pπE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。
当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式。
Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得916p 20610ππ10020010E σλ⨯==≈⨯三. 常用的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。
直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式计算。
12λλλ<≤或 ba s σλ-≥ba s σλ-=2令1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类2cr 2πE σλ=λb a σ-=cr scr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 22cr πλE σ=crσλλ1 λ2 p σsσ例题压杆截面如图所示。
两端为柱形铰链约束，若绕y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。
杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
30mm yz解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A=⨯==⨯30mm y z m 0087.0==AI i z z15.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i lμλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。
欧拉公式的适用范围1临界应力和柔度项目七压杆稳定2
P A
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
折减系数
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
压杆因在强度破坏之前便丧失稳定，故由降低强度许用应力来保证 杆件的安全 。 应用折减系数法作稳定计算时，首先要算出压杆的柔度λ，再按其 材料，由表12—2 查出折减系数值，然后按式进行计算。 当计算出的柔度值不是表中的整数值时，可用直线插方法得出相 应的折减系数值。
项目七
压杆稳定
三、提高压杆的稳定性的措施
2、改善杆端支承情况 因压杆两端支承越牢固，长度系数μ就越小，则柔度λ也小， 从而临界应力就越大。故采用μ值小的支承形式就可提高压杆的 稳定性。
3、减小杆件的相当长度 压杆的稳定性随杆长的增加而降低。因此，应尽可能减小杆的 相当长度。例如，可以在压杆的中间设置中间支承。
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之， 正常工作的压杆，其横截面上的应力必须小于临界应力。为了保 证压杆具有足够的稳定性，还必须一定的安全储备，所以要有足 够的稳定安全系数。于是压杆的稳定条件为
Pcr Pcr nst
或
cr
p
z
y
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围 2、欧拉公式的适用范围
解（1）计算最大刚度平面内的临界应力和临界力
项目七
压杆稳定
（3）讨论 计算结果表明，木柱的最大刚度平面内临界力比最小刚度平面内临界力小， 将先失稳。此例说明当压杆在两个方向平面内支承情况不同时，不能光从 刚度来判断，而应分别计算后才能确定在哪个方向失稳。
第九章压杆稳定(3)
u 进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削弱，仍用原来 截面的面积和惯性矩计算临界应力；
u 进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。
11
《材料力学》国家精品课
§9. 5 压杆的稳定校核
工作安全系数 稳定安全系数
n Fcr F
nst
稳定计算 满足稳定性要求时，应有:
n
Fcr F
nst
稳定安全系数与强度安全系数的取值
《材料力学》国家精品课
1
《材料力学》国家精品课
§9. 4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1 临界应力 临界压力
临界应力
Fcr
2EI ( l)2
cr
Fcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
求： 活塞杆直径d 。 F
解： 这是截面设计问题。
活塞杆所受压力
F 1 D2 p 3980 N
4
临界压力的最大值为 Fcr nst F 23900 N
先假设为大柔度杆 用欧拉公式计算临界压力
23
《材料力学》国家精品课
F
活塞杆所受压力 临界压力的最大值为 先假设为大柔度杆
直线经验公式 cr a b
5
《材料力学》国家精品课
3 直线经验公式
当 cr p 时，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式。
直线经验公式
cr a b
式中, a, b是与材料有关的常数(表9.2)。
材料
a(MPa) b(MPa)
Q235钢 s=235MPa 优质碳钢s=306MPa
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
材料力学 第九章 压杆稳定
点名
二、 欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。
cr
2E 2
P
或
2E
P
令1
E
P
点名
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。 1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，P=200MPa，得
构件的承载能力
①强度 ②刚度 ③稳定性
点名
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
点名
二、工程实例（Example problem）
点名
点名
内燃机、空气压缩机的连杆
点名
点名
点名
点名
三、失稳破坏案例 (bucking examples)
案例1、上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏,85位工人死亡,成为上世纪 十大工程惨剧之一.
A杆先失稳
点名
例题2 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长
l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
z
解： 1
E 99
P
y
30mm
iy
Iy A
1 (0.03 0.023 )
Mechanics of Materials
中小柔度杆临界应力计算欧拉公式
§14-1 基本概念 §14-2 细长压杆的临界力 §14-3 压杆的临界应力 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 压杆的稳定较核 §14-6 提高压杆稳定性的措施
材料力学
§14-1 基本概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F A
[ cr
]
即 F [ ]
A
或
F [ ] A
材料力学
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响
不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
b
s
(小柔度杆)
cr s
材料力学
•压杆柔度 l
i
μ的四种取值情况
i
I A
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限
s
a s
b
s 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
Fc r
π 2 EI (μ l)2
π2
206109 0.77108 (2 0.5) 2
15.7103 N
15.7kN源自材料力学其他约束条件下细长压杆的临界力
材料力学
两端铰支 一端固定一端自由
Fcr
2EI
(l ) 2
材料力学在工程中的实际应用
材料力学在工程中的实际应用目录一、关于拉伸或压缩的强度设计 (2)二、圆轴扭转时轴截面尺寸的设计 (5)1、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩——扭矩 (6)2、圆轴扭转的时候，横截面上的应力、强度条件 (7)3、圆轴扭转时的变形，刚度条件 (8)三、矩形横截面弯曲梁的bxh设计 (9)1、梁的正应力、正应力强度条件 (9)2、梁的切应力、切应力强度条件 (11)四、扭转和弯曲的组合变形轴的设计 (12)五、压杆稳定性校核方面问题 (13)1、弹性平衡稳定性的概念 (13)2、细长压杆临界载荷的欧拉公式 (14)3、三类压杆的临界载荷 (14)4、压杆稳定校核. (15)5、如何提高压杆的稳定性 (16)材料力学在工程中的实际应用材料力学是一门研究构件承载能力的学科。
作为土木建筑类的三大基础学科之一，材料力学是设计工业设施必须掌握的知识。
而在本学期的课程中，我不仅在老师的带领下学到了本学科的内容，更深刻了解到了本学科的严谨和重要性。
材料力学在生活中的应用非常广泛，大到机械中的各种机器建筑中的各个结构，小到生活中的日用产品。
各种物件都要符合它的强度和刚度以及稳定性要求才能够正常工作、保证使用者的安全。
而生活中机械常用的连接件如铆钉、键、销钉、螺栓等的变形均属于剪切变形，在设计时应主要考虑其剪切应力；汽车的传动轴、转向轴的变形则属于扭转变形；火车轴和起重机大梁的变形属于弯曲变形。
但是，往往在我们设计的时候需要同时考虑几个方面的变形，比如说在车床工作的时候，同时发生了扭转、弯曲和压缩三种基本变形。
材料力学在工程中常常会遇到的问题有：一、关于拉伸或压缩的强度设计拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理和方法也都相对简单，但是在材料力学中有一定的普遍意义。
举例：（1）一些机器和结构中所用到的各种紧固螺栓，在紧固的时候，要对螺栓市价预紧力，螺栓承受轴向拉力就会发生伸长变形（2）斜拉桥承受拉力的钢缆以上这些举例均为轴向拉伸和压缩的日常实例，而我们在解决问题时，通常会将实物简化为如下形式：这样不仅让问题看起来更简单、更直观，也便于将应力的计算最简化，免于误算漏算多算等情况。
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图欧拉公式的适用范围欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。
综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。
压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。
其中式中，λ称为柔度（长细比），i为截面的惯性半径。
柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限可得这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。
经验公式、临界应力总图当杆件的柔度小于λp时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。
对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。
1. 直线公式这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小式中，a、b为与材料性能有关的常数。
当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为可得直线公式适用的柔度下限值即直线公式适用的柔度范围这类杆件称为中柔度杆件。
当杆件的柔度小于λs时，称为小柔度杆或短粗杆。
这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。
临界应力总图（直线公式）2. 抛物线公式对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。
临界应力总图（抛物线公式）折减弹性模量理论工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。
材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。
工程力学第3节 欧拉公式及经验公式
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
《材料力学 第2版》_顾晓勤第08章第3节 欧拉公式及经验公式
cr a1 b12
cr
2E 2
P
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
例8-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr2 cr2 A 214106 0.00785N 1680 kN
（c）第三根压杆的临界载荷
3
l3
i
2 0.5 0.025
40
P 60
该杆为小柔度压杆，临界应力应选取屈服极限：
cr3 S 235 MPa Fcr3 =cr3 A 235106 0.00785N 1845 kN
的临界载荷。
解：3 根杆相同的参数
P
E
P
100
2m 1m 0.5m
S
a S
b
61.6
A d 2
4
=0.00785 m2
(a)
(b)
(c)
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
i
I A
d 4
0.025 m
2
（a）第一根压杆的临界载荷
1
l1
i
22 0.025
160
P 100
cr1
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
中小柔度杆的临界应力·经验公式
1.平衡的稳定性
不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡位
微小扰动就使小球远离原来
的平衡位置
置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置
2.中心受压直杆的稳定性 压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的的能力； 压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。 压杆失稳原因： ① ② ③ ④ 杆轴线本身不直(初曲率)； 加载偏心； 压杆材质不均匀； 外界干扰力。
o
z
zl
iy
0.5 1000 86.7 5.77
压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。 2 E 2 200 103 cr 2 148 MPa 2 y 115.5 压杆临界力为
6 6 3 P A 148 10 20 60 10 10 178 kN cr cr
【例4】图示圆截面压杆，d=100 mm，E=200 GPa，
P=200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】
P
l
E
P
200 10 3 99.3 200
A d 2 / 4 4l l l 4 i I d / 64 d
d
l
Fcr
Fcr
EI
2
( 0 .7 l )
2
Fcr
0.7l
Fcr
2、两端固定
拐点
拐点
EI Fcr ( 0 .5 l ) 2
2
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
l 2
Fcr
3、一端固定 一端自由
l
F F
F
F
l
l
柔度计算
第二节压杆件的临界应力
一、临界应力
设压杆的横截面面积为A，则压杆的临界应力为
将压杆截面的惯性半径
代入上式得
令
有
上式称为压杆临界应力欧拉公式，其中λ称为压杆的柔度。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式只有压杆的临界应力不超过材料的比例极限时才成立，即材料处于弹性变形范围
或
上式表明，欧拉公式的适用范围是压杆的柔度必需大于最小柔度λp即，满足这一条件的压杆称为大柔度杆（或细长压杆）。
三、超过比例极限时的临界应力
工程中中有许多压杆，其柔度λ往往小于λp，这类压杆称为中、小柔度杆。
其常用抛物线公式，即对于钢材
对于铸铁
四、临界应力总图
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象称为临界应力总图。
如下Q235钢的临界应力总图
其中临界应力公式分界点为
——应用欧拉公式
工程上以λc作为分界点，这是由于在实际工程中，压杆所受的压力
存在偏心等缘故。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
3
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由 临界力的欧拉公式 长度因数
π 2 EI Fcr (0.7 l )2
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr 2 A ( l ) A
12
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
令 i
Fcr π2 EI π2 E 2 π2 E I 则 σcr i 2 2 2 A A ( l ) A ( l ) ( l / i )
பைடு நூலகம்
令
l
i
则
σcr
8
y
y z F
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
π EI 3.14 2.1 10 3.8 10 Fcr 2 ( l ) (0.5 0.88)2 406.4kN
2 2 11
880
880 1000
xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m 解：
π2 E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 后取小的一个作为压杆的临界压力.
7
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状 为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模 量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
2.临界应力总图
σcr σs σ a b cr σs
欧拉公式 的统一形式
π 2 EI Fcr ( l )2
（ 为压杆的长度因数）
5
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
π EI Fcr ( l )2
5.讨论 （1）相当长度 l 的物理意义
2
为长度因数 l 为相当长度
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
l/4
2l
Fcr
l
0.7l
l/2 l l
l/4 0.3l
l
2 EI Fcr 2 l
2 EI Fcr ( 2l ) 2
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
4
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
l
所以连杆的临界压力为134.6kN.
z
F
10
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
11
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
一、临界应力
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算. 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
力 cr
。
13
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
二、 欧拉公式的应用范围
只有在
cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
或
π2 E
2
σp
π E σp
E 1 π σp
2
令
14
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
6
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 但大于某一数值 2时，压杆不能应用欧拉公式， 此时需用经验公式.