平方差公式的八个变化
人教版数学八年级上册知识训练学案：第十四章：05乘法公式
乘法公式（★★★★）平方差公式及其变形公式直接使用：22))((b a b a b a -=-+ 位置变化：22))((b a a b a b -=+-+符号变化：2222)())((a b a b b a b a -=--=--- 系数变化：22)3()2()32)(32(b a b a b a -=-+曾因式变化：))(())()()((2222b a b a b a b a b a b a --=+---+- 曾项变化：2)())((c b a c b a c b a --=+--- 公式连用变化：222222)()())()((b a b a b a b a -=++-公式逆用变化：))(()()(22d c b a d c b a d c b a --++++=+-+完全平方公式及其变形：2222)(b ab a b a +±=± ab b a b a 2)(222-+=+ )(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)(-)(22=-+bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【经典例题】题型一：平方差公式（★★★）1、(23)(23)x x +-2、()1(12)(12)a a -+--3、()2(41)(41)a a ---+4、()()n n n n a b a b +-5、()()()2422y y y ++- 6、2(21)(21)(41)a a a -++7、()()x y z x y z +-++ 8、(2)(2)a b a b ++-+9、(23)(32)(32)(32)y x x y x y x y ---++-+题型二：完全平方公式（★★★）首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
简单递进训练：（1）=+2)(y x （2） =2)-(y x（3）=+2)2(y x （4）=2)-2(y x（5）=+2)32(y x （6）=2)3-2(y x（7）=+-2)21(y x （8）=2)32-21(y x计算题型：中等偏难：（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；（3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；（5）若k x x ++22是完全平方式，则k =（6）若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（8）如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =（9）公式逆用：49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2（10）配方：0136422=+-++y x y x ，求y x =_____________.（11）已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.2.1 平方差公式
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.(2)平方差公式的几何意义.【教学难点】从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.五、课前准备教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程（一）导入新课某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？（出示课件2）这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.（二）探索新知1.创设情境，探究平方差公式教师问1：对于下面的算式，你想怎样计算呢？(1)2001 ×1999；(2)998×1002；(3)403×397.学生回答：直接计算或者利用乘法分配律进行计算.教师问2：有没有其他巧妙地方法呢？观察这三个式子有什么共同特征？学生讨论后回答：都在某个整百整千的附近.教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.教师问3：哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的？学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）教师问4：二项式乘以二项式结果一定是四项吗？学生回答：结果不一定是四项.教师问5：想一想(a＋b)(m＋n)该怎么计算？学生回答：(a＋b)(m＋n)=am+an+bm+bn教师问6：如何计算(x ＋3)( x＋5)？学生回答：(x＋3)( x＋5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.教师问7：观察图形，思考两个正方形的面积差变了吗？（出示课件5）学生讨论后回答：变化之前面积表示为：a2-52=a2-25；变化之后面积表示为（a+5）×（a-5）= a2 -5a+5a-52= a2-25.变化前后图形面积相等。
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
整式乘法公式
整式乘法公式第五课时：完全平方公式和平方差公式一、公式及其变形1.完全平方公式：a+b)² = a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b²2.平方差公式：a+b)(a-b) = a² - b²3.立方和公式和立方差公式：a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)a-b)³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)4.归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化：(x+y)(-y+x) = x-y②符号变化：(-x+y)(-x-y) = x-y③指数变化：(x+y)(x-y) = x² - y²④系数变化：(2a+b)(2a-b) = 4a² - b²⑤换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)] = xy - (z+m)² = xy - z²- 2zm - m²⑥增项变化：(x-y+z)(x-y-z) = (x-y)² - z² = x² - 2xy + y² - z⑦连用公式变化：(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)² = x² - y²⑧逆用公式变化：(x-y+z)-(x+y-z) = [(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] = 2x(-2y+2z) = -4xy+4xz二、公式的灵活运用的经典例题1.已知ab=1，a+b=2，求a²+b²的值。
解：根据完全平方公式，(a+b)² = a² + 2ab + b²，代入已知条件得到a²+b²=2²-2×1=2.2.已知ab=2，a+b=3，求a-b的值。
1232 两数和(差)的平方-2021-2022学年八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.3.2两数和（差）的平方基础知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：（1）左边是一个二项式的完全平方；（2）右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项积的两倍；（3）公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++3223333)(b ab b a a b a +++=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭． 【答案】224439y x xy -+． 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=． 【点睛】本题主要考查有理数及整式的运算，属于基础题型.例2．阅读材料：若2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．（2）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．（1）18；（2）3 【分析】（1）将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；（2）由a -b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：（1）∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=（2m -n ）2+（n +4）2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴（m -n ）-3=18； （2）∵a -b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2-6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2-6c +9）=（b +2）2+（c -3）2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，则a +b +c =2-2+3=3．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+- 2．下列各式中，与2(1)x -相等的是( )A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x3．已知9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．下列各式中，是完全平方式的是（ ）A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，（m +n ）2＝2，则mn 的值是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，则k 的值是________ ．8．已知22,()1xy x y =-=，则22x y +=_________．9．已知x ，y 244y y -=-，若3axy x y -=，则实数a 的值为_____________．10．若()292116x k x --+是完全平方式，则k 的值为______．11．计算：（1）()225a b -+；（2）(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．已知()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值．14．化简：22()()a b a b -+15．（1）先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-． （2）己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]若x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值．解：设80x a -=，60x b -=，则(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]若x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影部分的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．故选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，故选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12， 解得：k =±12， 故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2分析各个式子． 【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式， 故选A ．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将（m +n ）2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴（m +n ）2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】本题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=（x+6y ）2或者2236x kxy y ++=（x-6y ）2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12． 【点睛】本题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=， 解得：76a =， 故答案为：76． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】本题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．（1）2242025a ab b -+；（2）41x【分析】（1）根据完全平方公式直接计算即可；（2）根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．【详解】（1）解：()225a b -+()()()2222255a a b b =-+-⨯+ 2242025a ab b =-+（2）原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规则．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 222221x x x x x =-+--+-3x =-， 当12x =-时，原式=17322--=-． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将已知条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()222222224444xy xy xy xy x x y y xy xy ----+-+-=== ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====． 【点睛】本题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+； 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．（1）95x -，8-；（2）-2【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．（2）将已知等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：（1）2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入， 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-；（2）∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，则22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案． 【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，则=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，(30)(20)x x ab ∴--=2221()2a b a b ⎡⎤=+-+⎣⎦ 1(120100)2=⨯- 10=【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。
学习平方差公式应注意的八个变化
学习平方差公式应注意的八个变化
1.喜：平方差是指两个数的平方之差，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、这是
平方差公式的基本形式，我们需要理解这一概念。
2. 子：平方差公式还可以写成(a+b)^2-a^2=2ab+b^2、这是平方差公
式的展开形式，我们可以通过对(a+b)^2进行展开和简化，得到平方差的
另一种形式。
3. 商：平方差公式还可以写成(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、这是平方差公
式的另一种展开形式，和上述形式相比，这里的b替换为了-b。
4.铺：在应用平方差公式时，我们需要注意平方差公式的适用范围。
平方差公式适用于任意实数a和b，但是要注意避免除数为零的情况。
5.喜子：在实际问题中，平方差公式常常用于解决两个数的乘积的问题，比如计算面积或者长度。
我们需要将问题转化为平方差公式的形式，
再进行计算。
6.子喜：平方差公式还可以用于因式分解的过程中。
当我们需要将一
个多项式进行因式分解时，可以考虑是否可以利用平方差公式的特性。
7.商铺：平方差公式还可以扩展到三个数的平方差的情况。
比如，对
于(a+b+c)(a+b-c)，我们可以利用平方差公式进行展开和计算。
8.喜子的商铺：除了上述变化外，还有很多其他的应用变化可以利用
平方差公式解决。
当我们遇到问题时，可以将其转化为平方差公式的形式，并进行相应的计算。
以上是学习平方差公式应注意的八个变化。
掌握了这些变化，我们就
可以更灵活地应用平方差公式解决问题，提高数学求解能力。
平方差公式与完全平方公式的应用技巧
（D）1 xn ．
分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果
的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问
题就顺利破解．
解：(1+x)(1-x)=1- x 2 ， (1 x)(1 x x2 ) =1- x3 ，…，规律为结果的第一项是数字 1，
（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并验证其正确性． 分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从 3 开始连续奇数的平方，减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可． 解：
（1）因为 32 - 4? 12 =5 ①， 52 - 4? 22 =9 ②， 72 - 4? 32 =13 ③…
解：设大正方形的边长为 x1 ，小正方形的边长为 x2 ，由图①和②列出方程组得，
ìïïíïïî
x1 x1
+ -
2x2 2x2
= =
a b
，解得，x1
=
a
+ 2
b
，x2
=
a
4
b
，所以大正方形中未被小正方形覆盖部分
的面积=( a + b )2 - ( a - b )2 ×4=ab．所以应该填 ab．
2
所以 92 ﹣4×- 2 = = 92 ﹣4× 42 =17；
（2）第 n 个等式为：(2n + 1)2 - 4n2 =2（2n+1）﹣1；
证明：因为左边
=(2n + 1)2 - 4n2 =(2n + 1)2 - (2n)2 = (2n + 1+ 2n)(2n + 1- 2n) = 4n + 1
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
六年级数学灵活运用平方差公式和完全平方公式、整式的
六年级数学灵活运用平方差公式和完全平方公式、整式的除法人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容灵活运用平方差公式和完全平方公式二. 教学目的和要求1. 会用语言叙述每一个公式，掌握各个公式的结构特征。
2. 理解公式中字母的广泛含义，能灵活运用公式进行计算。
三. 教学重难点1. 重点：掌握公式的结构特征2. 难点：公式的灵活运用四. 知识要点1. 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-2. 了解公式的结构特征：（1）在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方。
（2）在完全平方公式中，左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅一个“符号”不同。
3. 注意公式的应用条件，弄清公式的变化形式：（1）字母a 、b 既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，在应用平方差公式时，要紧扣“相同项”与“互为相反项”这两点。
（2）A. 平方差公式有八种变化形式：① 位置变化 ② 符号变化 ③ 系数变化 ④ 指数变化⑤ 增项变化 ⑥ 增因式变化 ⑦ 连用公式变化 ⑧ 逆用公式变化B. 完全平方公式的推广：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++完全平方公式的变式：)(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)()(22=--+ ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+4. 灵活运用公式解题：（1）巧妙结合：)221)(221(c b a c b a +--+（2）巧妙分组：)12)(121)(12)(121(+--+x x x x （3）巧妙逆用：22)())((2)(y x y x y x y x -+-+-+（4）巧妙拆项：)532)(132(+----y x y x（5）巧添因式：1)12)(12)(12)(12)(12(16842++++++ （6）巧妙变用：已知9=+y x ，14=xy ，求22y x +（答题时间：45分钟）一. 填空1. （ ）2294)23(x y y x -=-2. )(n m y x +（ ）n m y x22-= 3. ++=++22)1(52x x x4. +-2)(b a 2)(b a += 5. )(b a --（ ）22b a -=二. 选择1. 乘积等于22n m -的式子是（ ）A. 2)(n m -B. ))((n m n m ---C. ))((m n n m ---D. ))((n m n m +-+ 2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A. )2)(2(x y y x +-B. )2)(2(y x x y +--C. )2)(2(y x y x ---D. )2)(2(y x x y --- 3. 代数式2222)()()()(a b b a b a b a ----++--的值是（ ）A. 2244b a +B. 0C. ab 8D. 22342b ab a +-4. 如果42++ax x 是一个完全平方式，则=a （ ）A. 4B. 2C. 4或4-D. 2或2-三. 计算1. ))((d c b a d c b a ----++2. )32)(12(+----y x y x3. )812)(212)(41(2++-a a a4. ))()()()((884422n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a +-+++四. 解答题1. 解方程：2229)31)(13()12()3(4x x x x x +-+=+--2. 已知：40)(2=+b a ，60)(2=-b a ，求22b a +和ab 的值。
初中数学论文2.
二、 教学目标
《标准》中的相应要求
①了解整数指数幂的意义和基本性质. ②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算； 会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅 指一次式相乘）. ③会推导乘法公式：了解公式的几何背景，并能进 行简单计算. ④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二 次）进行因式分解（指数是正数）.
整式的乘法
单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式 乘以多项式.但学习单项式乘以单项式是核心，注意 让学生体会单项式乘以多项式，只有通过乘法对于加 法的分配律转化为单项式乘以单项式，多项式乘以多 项式是先把其中的一个多项式看成一个整体（单项式） 然后再按着单项式乘以多项式进行，最终转化为单项 式乘以单项式.这种由复杂变简单，不熟悉变为熟悉 的想法就是数学中最常用的——转化与化归思想.要 注意让学生在做中体会.
本章教学中应注意的问题
（1）本章内容丰富，方法多、技巧性强. 《数学课程标准》对因式分解的要求有严格的界 定，因此本章的教学教师不要随意增加内容，切 实掌握本章内容的深度和广度.教师可以根据实 际情况，对学有余力的学生作适当补充，不要求 全体学生掌握.
（2）分组分解，十字相乘，进行因式分解， 在教材中设有单独作为方法给出，但在我区形成 性测试B卷及部分练习册中有这方面的应用，在不 同的人学习不同的数学上作可以一些尝试.
（2）以“观察——归纳——类比——概括”为主 要线索呈现运算法则的探索过程，注重推理能力和表 达能力的培养.
（3）注重整式运算每一步的算理，重视幂的意 义、乘法分配律等的作用，渗透转化、类比等思想.
八年级数学上预习班暑假专用学案北师版
第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：nm n m a a a +=·（m .n 都是正整数）；逆运算=+nm a6.幂的乘方法则：()=nma （m .n 都是正整数）；逆运算=mna 7.积的乘方法则：()=nab （n 为正整数）；逆运算=nnb a8.同底数幂除法法则：nm n m aa a -=÷（a ≠0，m .n 都是正整数）；逆运算=-nm a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aap p,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式B .35abπ-的系数是35-C .单项式－1的次数是0D .3222+-ab b a 是二次三项式 例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy ykxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算是解决这类题型的核心方法。
例4.已知5,3==n ma a求（1）n m a 32+的值 （2）n m a 23+的值例5.计算 （1）20102011324143⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛- （2）()1012201021---+⎪⎭⎫ ⎝⎛π知识点4.整式的混合运算归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。
华东师大版八年级上册12.3.平方差公式和完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
4.3第1课时平方差公式(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、推导、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用组讨论和实验操作环节，学生们非常积极参与，能够将平方差公式应用到解决实际问题中。这让我感到欣慰，因为他们能够将理论知识与实际情境联系起来。然而，我也注意到有些小组在展示成果时表达不够清晰，可能需要我在未来教学中加强对学生表达能力的培养。
此外，我在教学中也尝试了引导学生通过自己的思考来发现问题、解决问题。这种开放式的讨论方式让学生们能够更主动地学习，但我发现部分学生在面对开放性问题时显得有些无所适从。这提示我，在未来的教学中，我应该更多地提供思维框架和策略，帮助他们逐步培养解决问题的能力。
-学生在运用平方差公式时，可能会出现符号混淆、计算错误等问题。
举例解释：
-为了帮助学生理解“两数之和与两数之差”，可以通过图形化表示，如边长为a和b的两个正方形拼接成一个长方形，通过计算长方形的面积差异来直观展示平方差公式。
-在应用方面，可以设计一些与生活相关的题目，如计算田地的面积变化，让学生通过解决实际问题来加深对平方差公式的理解。
本节课旨在让学生掌握平方差公式，并能够熟练运用公式进行相关计算，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
平方差公式(说课稿)
平方差公式(说课稿)平方差公式（说课稿）尊敬的各位评委，大家上午好！今天我说课的题目是《平方差公式》，选自人教版八年级上册。
下面我将围绕：教材、教学目标、重难点、教法学法和教学过程五个方面来阐述我对本节课的设计。
首先是教材分析：平方差公式是在学生研究了整式乘法的基础上继续研究的。
这节课不仅是对前面所学知识的进一步的运用，也是后面因式分解、分式等内容研究的基础，起到了承上启下的作用，它也是用推理的形式进行恒等变形的第一次训练，因而它是本章的一个重点内容。
根据本节课的教学内容，我确定了以下三维目标：知识与技能（1）理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；（2）达到正用公式的水平，形成正向产生式：“﹙□+△﹚﹙□–△﹚”→“□² –△²”.过程与方法（1）使学生经历公式的独立建构过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；（2）培养学生抽象概括的能力；（3）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究实际问题的探究空间。
情感态度价值观改正认为“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有甚么实际意义！学了数学没有效！”的片面观点。
体味数学源于实际，高于实际，应用于实际的科学价值与文化价值。
教学重点与难点：【教学重点】平方差公式的概括和运用。
【教学难点】平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。
教法、学法关于公式的研究来说，重要的是对公式的了解和应用，以是本节课采用讲练联合、交换讨论的教学办法。
下面是我的教学过程首先，我以在智力抢答赛中的速算王的故事创设情境，从而引发学生研究的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。
在探究新知部分，分为两个环节，一个是动手操作，另一个是抽象概括。
在动手操作环节中让学生拿出纸和笔，按教师的指令操作：先随意用两个字母表示两个不知大小的数，接着表示出它们的和与差，并判断这两个式子是多项式还是单项式，然后将所得的和与差相乘并化简，最后让学生思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？在这一环节中让学生运用前面已掌握的三个乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备。
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
14.2.1 平方差公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
= 1.Βιβλιοθήκη (2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1.
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝__a_2_－__b_2；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3_－__b_3_；
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只 有两个二项式的积才有可能应用平 方差公式；不能直接应用公式的， 要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了． 理由如下：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了．
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63 (a+b)2=64 a+b=±8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余 纸片的面积为多少？
a
剩余纸片的面积为
a2−b2 a
b b
还有别的计算方法吗？