初中数学概念教学与APOS理论运用论文

合集下载

“APOS”理论在数学概念教学中的应用——以“一元二次方程”概念教学为例

“APOS”理论在数学概念教学中的应用——以“一元二次方程”概念教学为例江苏扬州中学教育集团树人学校（225000）卞家海［摘要］在初中数学知识体系中，数学概念是基础与重点.把“APOS”理论运用于数学概念教学中，能够引导学生经历数学概念的形成过程，提高教学效率.文章结合“一元二次方程”的教学，对“APOS”理论在数学概念教学中的应用进行了探索.［关键词］APOS理论；概念教学；一元二次方程［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）29-0014-02著名教育学家杜宾斯在进行数学概念教学的过程中，架构了一种全新的理论模型——AOPS模型.这一模型的基本流程是“活动阶段—过程阶段—对象阶段—图式阶段”.在这四个阶段中，其核心目标就是创设良好的情境，使学生可以在这一过程中实现自觉发现、自主建构，准确把握概念的特点.这是一个循序渐进的过程.APOS理论认为，针对数学概念的学习过程，实际上是学生的自我心理建构.在这一过程中，需要学生积极调整现有的认知结构，或者将其与外部认知结构相融合，形成新的认知结构，所以在数学概念教学中，需要教师及时恰当地引导，使学生可以亲历思维过程，这样才能够在不断建构不断反思的基础上，对概念组成图示，或者同化，或者顺应.一方面是为了解决现实问题，而另一方面也是对当前认知结构的进一步完善.APOS理论在教学数学概念的过程中具有科学性和实用性.下面结合“一元二次方程”概念的教学来论述APOS理论在数学概念教学中的具体应用.一、基于APOS理论的“一元二次方程”四阶段教学设计（一）第一阶段第一阶段：：活动阶段活动1：一块长方形铁皮面积为5000平方厘米，其中长为100厘米，列式求出其宽.（学生列出算式①）活动2：在这块铁皮上的四角，各自切掉一个正方形，然后将凸出部分折起，由此形成一个无盖方形铁皮盒，假如所形成的铁皮盒的底面积为3600平方厘米，求所截去的正方形的边长.针对这一环节可以借助视频演示的方式带领学生体会整体和打开的过程，引导列式.（学生列出算式②）活动3：一座高2米的人体雕像，如果上下部分的高度比等于下部和全部之间的高度比，下部应该设计为多少米？借助多媒体将题目转化为图形，引导学生列出算式③.（二）第二阶段第二阶段：：过程阶段针对上述三个算式展开仔细观察，发现其中的异同.此时教师引导：判断算式①是否属于之前所学过的方程，由此唤醒学生的已知概念以及已有经验.在探寻异同点时，类比一元一次方程的概念，就此探讨其中包含几个未知数，未知数的最高次数是多少.组织学生讨论，引导发现在算式①中包含1个未知数，最高次数为1，有等号，由此可做出准确判定.在算式②和③中，虽然都包含有一个未知数，但是最高次数为2，有等号，是方程.通过类比概念的方式，可以初步感知这是两个一元二次方程，能够就此掌握其所具有的三个基本属性.（三）第三阶段第三阶段：：对象阶段如何使用数学语言对其进行描述？显然对于学生而言，这一问题相对抽象，也是教学实践中的难点.可以结合小组探讨的方式，再将其与一元一次方程的描述进行类比，完成对一元二次方程的概念界定.1.分组讨论，理解概念小组1：根据算式②与③，将其中的数字替换成字母，由此得到(a-bx)(c-dx)=m或者a-bx=cx².很显然，通过学生的这一回答，可以发现他们并没有真正掌握一元二次方程的本质，因此不能借助本质属性完成对概念的数学描述.小组2：类比一元一次方程ax+b=0，得出ax2+bx=0，在这一过程中.有学生提出算式②与③与这一形式并不吻合，除了包含ax2+bx后面还增加了一个常数，因此很多学生认为不能不算是正确的一般式.小组3：在经历了之前两组学生的展示之后，一部分思维能力较高的学生认为，一元二次方程的一般形式应当为ax2+bx+c=0.此时可以要求学生将算式②与③转化为这一形式，然后说一说在这个一般式中包含了几个未知数，未知数的最高次数又是多少，是不是方程.在充分考虑这些问题之后，很多学生都认为这一表达是正确的，但是并未涉及其中是否存在限定条件.数学·教学研究2.深入反思，深化概念问题1：a 是否可以为0？如果a 为0，这个方程就没有了二次的项.要牢记a ≠0这一限制条件.问题2：b 、c 是否可以为0？再次强调一元二次方程的三个本质属性，此时学生发现，b 或者c 可以为0，由此得到ax 2+bx =0，ax 2+c =0，这是其特殊式.问题3：等号可以换成大于号、小于号或者不等于号吗？学生根据方程的定义能够了解，只有等式才能称为方程，所以“=”不能替代为其他符号.此时，教师可以对知识进行拓展，如果转换为其他符号，所得到的式子称为一元二次不等式.3.归纳总结，内化概念基于上述探究活动，促使学生进行自主归纳.（1）只包含1个未知数，其中未知数最高次数为2，二次项系数不为0，（2）一般情况下，对于任何一个关于x 的一元二次方程，在经过整理之后，能够将其转化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，因此称为一元二次方程的一般式.（四）第四阶段“图式阶段图式阶段””基于一元二次方程的概念组织学生进行练习.（1）将方程5x (x -1)=4(x +2)转化为一般式.（2）方程(2a -4)x 2-2x +a =0，在怎样的条件下为一元二次方程？在怎样的条件下为一元一次方程？（3）一扇长方形的门，高比宽长六尺八寸.对角线为一丈，求高和宽各是多少？（4）根据方程(16-2x )(10-2x )=112，联系实际自主编写一道应用题.二、基于APOS 理论的“一元二次方程”四阶段教学反思在APOS 理论的指导下，在教学“一元二次方程”这一概念的过程中，严格遵循四个阶段组织概念教学，既实现了循序渐进，也带领学生亲历具体的概念形成过程，体验生动多维的思维活动，深化对概念的认知和了解，顺利实现对概念的建构.在数学这门学科中，抽象是其中一个最为关键的特点，形象化的表述方式更突显了这一特质，所以对于师生而言都需要经受抽象的考验，如果不能有效解决这一问题，很显然不能完全理解数学知识，但是如果以此为由，抹去原本的现实背景，实际上这也是片面认知.因此，不仅要为学生搭建良好的平台，使学生体验数学的发生以及发展过程，也应当创设合理真实的情境，这样的数学教学才不会仅停留于活动层面，才不会放弃对抽象数学的追求，体会其独有的美感.1.基于问题情境，设计数学活动针对学生活动的设计，需要配以相应的问题情境，而这一情境，既要能够揭示数学知识的现实背景，也要能够展现具体的形成过程，更要能够与学生现阶段的学习水平以及心理建构能力相吻合，只有学生在活动过程中拥有充足的体验，才能够激发其主动学习的兴趣.2.关注概念形成，培养数学思维在数学这门学科中，数学思维方法是揭示知识产生的关键所在，同时也是促进思维架构概念的关键主线，需要教师基于学生的学习过程给予相应的提示和建议，引导学生在总结中完成归纳，通过巧妙灵活的设计能够就此激发学生的反思，使学生可以顺利完成，由活动、过程向对象这一阶段的过渡.3.坚持循序渐进，提升创新能力对于任何一个数学概念而言，从过程发展到对象，其间需要经过多次反复，需要经历一个漫长的循序渐进的过程.在建立对象时，必须要保障简练的语言形式以及符号表达，这样才有助于学生架构直观的结构形象.当然对于这一理论而言，也不需要在一堂概念教学中展现所有的阶段，也并非需要经历所有阶段.APOS 理论是依托于数学概念而建构的教学理论，基于教学实践，让我深刻地体会到自身角色以及任务的转变.在这一过程中，教师不是独奏者，也不是知识的传授者，而是为学生搭建平台，引领学生主动发现，主动学习，师生共建伙伴关系，能够营造轻松愉悦的学习氛围，能够表达个性、放飞自我，从而促进创新能力的进一步提升.总之，基于教学本课的实践经验，我深刻地体会到了教师这一身份的转变，同时转变的还有教学任务，我们教师是学生学习平台的搭建者，是学生思维的引领者，是学生学习的最佳伙伴.希望在教师的引领下，能够营造愉悦的氛围，能够促使学生展现自我、发展个性，促进学生创新能力进一步提升.［参考文献］［1］佟亮亮.APOS 理论视角下数学概念教学模式的探究［D ］.长春：东北师范大学，2013.［2］乔连全.APOS ：一种建构主义的数学学习理论［J ］.全球教育展望，2001（3）：16-18.［3］王学沛，李尚莹.数学教育实践中实施素质教育的问题及其解决［J ］.数学教育学报，2003（4）：59-62.［4］刘兼，黄翔，张丹.数学课程设计［M ］.北京：高等教育出版社，2003.（责任编辑黄桂坚）数学·教学研究。

基于APOS理论的初中数学概念微课的设计

结合传统教学方式：在微课教学中结合传统教学方式，如讲解、板书等，以提高学生对数学概念的理解和掌握能力。
CHAPTER 05
基于APOS理论的初中数学概念微课的优势与局限
优势分析
有助于学生理解概念本质
APOS理论强调对概念本质的理解，而非简单的记忆和应用。通过微课，教师可以清晰地呈现概念的形成过程，帮助学生理解数学概念的实质。
制作和应用微课需要教师具备一定的信息技术能力，因此未来可以对教师进行相关的培训和指导。
对未来研究的建议
扩大样本范围
01
未来研究可以进一步扩大样本范围，包括不同地区、不同学校
和不同年级的学生，以更全面地评估微课的效果。
进行长期跟踪
02
为了了解微课的长期效果，未来研究可以对学生的表现进行长
期的跟踪和分析。
组织学生观看教学视频，并完成相应的练习。
实施过程与策略
实施策略
促进学生的理解：通过讲解、演示、实例等方式，促进学生对数学概念的理解。
激活学生的前知：通过提问、引导等方式，激活学生对相关数学概念的前知。
组织学生的反思：通过问题、讨论等方式，组织学生对所学概念进行反思和总结。
实施效果与评价
实施效果
未来可以加强对教师的专业培训和技术支持，提高教师的微课制作技能和理论水平，推动基于APOS理论的初中数学概念微课的广泛应用和发展。
CHAPTER 06
结论与展望
研究结论
有效促进概念理解
基于apos理论设计的初中数学概念微课，能够有效地促进学生对数学概念的理解和掌握。
提高学生成绩
通过使用这种微课，学生的数学成绩得到了显著提高。
01
02
03
理解概念

基于apos和知识迁移理论的初中数学概念教学

来自30XUEKE JIAOXUE
……………………………………………………………
际生活及已有经验相联系，学生不仅要在接触实例的情
师：当时人们观察发现了 102+112+122+132+142=365，
学
境中，获得对数学概念的直观感受，还要在观察与思考
迁移是“ 一种学习对另一种学习的影响 ”，依赖于学习者已有的知识经验和认知结构，这就要求教师在新旧概念的过渡上进行巧妙设计，为认识新概念建立桥梁，以此帮助学生明确概念之间的联系，辨别概念之间的本质区别，使学生形成对概念的清晰认知。
中学课程资源
………………………… ZHONGXUE KECHENG ZIYUAN
基于 APOS 和知识迁移理论的初中数学概念教学
济南大学数学科学学院山东省济南育英中学
张丽娟褚爱华
王洪凯
摘要：在中学数学教学过程中，合理运用迁移规律可以优化概念教学设计，而基于 APOS 理论的概念教学模式也注重概念的形成过程，将知识迁移理论作用于 APOS 理论的四个阶段，有利于帮助教师和学生加强数学概念知识的构建，形成较完善的认知结构，以加深学生对数学概念的理解，发展学生的思维。以“ 认识一元二次方程 ”为例，探讨将知识迁移和 APOS 理论相结合的教学流程，可以为初中数学概念教学提供借鉴。

初中数学概念教学与APOS理论运用

初中数学概念教学与APOS理论运用作者：蔡华来源：《科学大众·教师版》2011年第02期摘要：APOS理论是近年来美国数学教育家杜宾斯基提出的一种建构主义学说。

他将数学概念的建立分为：活动，过程，对象，图式四个阶段，并用于指导教学实践。

本文主要对该理论的认识和在数学概念教学实践中的应用作了一点尝试。

关键词：APOS；活动；过程；对象；图式阶段中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1006-3315(2011)2-025-002一、传统教学观念与APOS理论世界著名教育家夸美纽斯在提出班级授课制的教学组织形式时，曾有这样一种教育理想：“找出一种教育方法，使教师因此可以少教，但是学生可以多学。

”为了让教学过程简明，学生可以比较直接地学习概念、节省时间，教师常常采用“属＋种差”的概念同化方式进行教学。

其步骤大致为：(1)揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；(2)对概念进行特殊分类，提示概念的外延；(3)巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；(4)概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

这种教学模式往往是由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，并且仅仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念。

然而，这在概念教学中，过快的抽象过程使得只有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念只靠死记硬背，即使能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。

近年来，美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种APOS理论，对数学概念的学习过程进行解释。

杜宾斯基认为，学生学习数学概念要经历操作(Action)、过程(Prooess)、对象(Object)、图式(scheme)四个阶段，取这四个阶段英文单词的第一个字母，定名为APOS理论模型。

APOS理论集中于对特定的数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析，它揭示了数学概念学习的本质，它是解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架。

数学与应用数学-基于APOS理论的数学概念教学设计案例研究论文

基于APOS理论的数学概念教学设计案例研究摘要概念明确是确定数学教学效果的首要因素.数学概念高度的抽象性给学生理解数学概念的本质带来困难.初中数学教学中，许多教师对学生数学概念的认知教学投入较少，更多地关注学生解题技能.近年来，APOS理论被越来越多地运用于数学概念教学，本文试图以该理论为指导，对初中数学概念的教学进行教学设计研究.本文通过运用访谈法、案例研究法和文献研究法.首先，梳理APOS理论及其对数学概念教学的启示，综述其在数学概念教学中应用的已有研究.接着，通过访谈研究提出了初中数学概念教学中运用APOS理论的策略，并给出两个教学设计案例.最后，回顾研究过程，展望了后继研究.关键词APOS理论数学概念教学设计Mathematical Concepts Instructional Design Case StudyBased on APOS TheoryAbstract Clear concept is the primary factor to determine the effect of mathematics teaching.The abstract nature of mathematical concepts makes it difficult for students to understand t he essence of mathematical concepts.In junior high school mathematics teaching,many teachers pa y little attention to the early understanding of mathematics concepts and concept teaching,and the t eaching focus is often on the training of students’problem-solving skills. In recent years, APOS theory is more used in mathematics concept teaching. This paper attempts to study the teaching design of junior high school mathematics concepts under the guidance of this theory.This paper uses the methods of interview, case study and literature study. First, it sorts out the APOS theory and its enlightenment to the teaching of mathematical concepts, and summarizes the existing research on its application in the teaching of mathematical concepts. Then, it puts forward the strategy of applying the APOS theory in the teaching of mathematical concepts in junior high school through interview research, and gives two teaching design cases. Finally, the article is summarized, and the future development is considered and prospected.Key words APOS theory mathematical concepts teaching design目录引言 (1)1概述 (1)1.1研究的背景 (1)1.2 研究的问题 (2)1.3 研究的意义 (2)2.研究方法 (3)2.1 文献研究法 (3)2.2 访谈法 (3)2.3案例研究法 (3)3.文献综述 (4)3.1 APOS理论简介 (4)3.2 已有相关研究 (4)3.2.1 数学概念教学的相关研究 (4)3.1.2 APOS理论运用于教学的相关研究 (5)4.APOS理论下数学概念课教学设计 (7)4.1 关于数学概念教学的访谈分析 (7)4.2 概念课教学设计策略分析 (7)4.3 概念课教学设计案例 (9)4.3.1 案例1：“圆”教学设计 (9)4.3.2 案例2：“无理数”教学设计 (12)5.结束语 (15)5.1 研究不足 (15)5.2 研究展望 (15)参考文献 (16)附录访谈提纲 (17)致谢 ............................................................................................................... 错误!未定义书签。

APOS_理论在初中数学概念教学中的运用策略研究

ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中的运用策略研究吴为丹(吉林师范大学ꎬ吉林四平１３６０９９)摘㊀要:随着教育改革的不断深入ꎬ现代数学教学越来越强调对数学核心素养的培养.而ＡＰＯＳ(ＡｃｔｉｏｎꎬＰｒｏｃｅｓｓꎬＯｂｊｅｃｔꎬＳｃｈｅｍａ)理论作为一种新的数学教学理论ꎬ提出了一种全新的数学概念教学模式.文章从ＡＰＯＳ理论出发ꎬ探讨其在初中数学概念教学中的应用策略ꎬ旨在为全面提升初中数学教学水平提供建设性意见.关键词:ＡＰＯＳ理论ꎻ初中数学ꎻ概念教学ꎻ策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００５５－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:吴为丹(１９９４.４ )ꎬ女ꎬ江苏省常州人ꎬ研究生ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀数学是一门抽象的学科ꎬ其中的概念涉及丰富且复杂的思维过程.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ如何有效培养学生的数学思想能力和概念理解能力是教师需要面对的难题.近年来ꎬＡＰＯＳ理论被广泛应用于数学教育领域ꎬ为数学教学提供了新的思路和方法.ＡＰＯＳ理论认为ꎬ人类对于某个概念的理解过程是一个由动作㊁过程㊁对象和模式组成的动态系统.本文将从ＡＰＯＳ理论的角度出发ꎬ探讨其在初中数学概念教学中的应用策略.１ＡＰＯＳ理论简介ＡＰＯＳ理论是由李博士(ＤａｖｉｄＴａｌｌ)提出的一种新的数学教育理论ꎬ其核心思想是ＡｃｔｉｏｎꎬＰｒｏｃｅｓｓꎬＯｂｊｅｃｔꎬＳｃｈｅｍａ四个阶段.其中Ａｃｔｉｏｎꎬ即动作阶段ꎬ指学生通过操作物体或图像等形式进行感性认识ꎬ建立起对于某个概念的基本印象ꎻＰｒｏｃｅｓｓꎬ即过程阶段ꎬ指学生逐步抽象和推广这些基本印象ꎬ建立起对于概念的初步理解ꎻＯｂｊｅｃｔꎬ即对象阶段ꎬ指学生进一步将概念与周围环境联系起来ꎬ建立起对于概念的深刻认识ꎻＳｃｈｅｍａꎬ即模式阶段ꎬ指学生通过反思㊁总结㊁归纳等方式ꎬ建立起对于概念的完整理解和运用.ＡＰＯＳ理论通过分析人类对于某个概念的理解过程ꎬ提出了一种全新的数学概念教学模式ꎬ为数学教学的改革提供了重要的思路和方法[１].２ＡＰＯＳ理论在概念教学中运用的重要性ＡＰＯＳ理论是一种新的数学教育理论ꎬ提出了一种全新的数学概念教学模式ꎬ对于初中数学概念教学的改革和创新具有非常重要的意义.首先ꎬＡＰＯＳ理论强调了学生对于某个概念的理解是由动作㊁过程㊁对象和模式组成的动态系统.通过ＡＰＯＳ理论的指导ꎬ教师可以让学生在感性认识和抽象推广两方面不断建立起对于概念的认识ꎬ并通过反思㊁总结㊁归纳等方式建立起完整的概念体系.这样ꎬ能够促进学生对于概念的深刻认识ꎬ从而提高学生的概念理解能力.其次ꎬＡＰＯＳ理论注重对于概念的实际应用ꎬ通过举例㊁实践等方式ꎬ让学生深入理解概念ꎬ并加强对于概念的实际应用能力.这样ꎬ学生不仅能够在数学课堂上掌握相关知识ꎬ还能够将所学知识应用于实际生活和工作中.再者ꎬＡＰＯＳ理论强调学生在概念教学中的主体地位和自主思考能力.因此ꎬ在初中数学概念教学中ꎬ教师可以采用启发式５５教学㊁探究性学习等方式ꎬ让学生在实践中不断发现问题㊁思考问题ꎬ从而提高他们的自主思考和探究能力.最后ꎬＡＰＯＳ理论提倡学生在构建概念时进行创造性思维ꎬ通过对于概念的抽象推广和模式的归纳总结ꎬ培养学生的创新意识.３ＡＰＯＳ理论在概念教学中的应用策略３.１基于学生的认知水平ꎬ合理设置教学内容初中阶段的学生具有特定的思维方式和认知水平ꎬ在进行数学概念教学时ꎬ教师需要根据学生的认知特点进行合理设置.首先ꎬ教师应以学生为中心ꎬ了解学生的兴趣和需求ꎬ从而更好地设计和安排教学内容.例如ꎬ在几何概念教学中ꎬ教师可以让学生自己绘制几何图形ꎬ从而提高他们的兴趣和参与度.其次ꎬ在进行数学概念教学时ꎬ教师应该明确教学目标ꎬ确定教学重点和难点ꎬ避免教学过程中偏离主题或出现教学盲区.例如ꎬ在分式的概念教学中ꎬ教师可以突出分式的定义㊁分式的化简及分式的运算等重要内容.再者ꎬ教师在进行数学概念教学时ꎬ可以采用多种形式的教学手段ꎬ如幻灯片㊁游戏㊁小组讨论等ꎬ激发学生的学习兴趣和参与度.例如ꎬ在几何概念教学中ꎬ教师可以通过展示有趣的几何图形ꎬ开展小组合作交流ꎬ吸引学生的注意力.最后ꎬ在进行数学概念教学时ꎬ教师应该为学生提供多样化的练习题目ꎬ从而让学生更好地掌握相关知识和技能.例如ꎬ在方程概念教学中ꎬ教师可设计不同难度的方程练习题目ꎬ以满足不同层次学生的需求.此外ꎬ在进行数学概念教学时ꎬ教师应该注重对于学生的巩固和反馈ꎬ及时发现学生存在的问题并加以改进.例如ꎬ在函数概念教学中ꎬ教师可设置相应的测试和测验ꎬ对学生的学习情况进行跟踪和反馈ꎬ及时纠正错误和弥补不足.基于学生的认知水平ꎬ合理设置教学内容是ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中的重要策略[２].３.２通过实物模型实现从感性认识到抽象推广ＡＰＯＳ理论认为ꎬ学习某个概念的过程是一个由感性认识到抽象推广的过程.因此ꎬ在初中数学概念教学中ꎬ教师可以使用实物模型㊁虚拟模型等形式ꎬ让学生在感性层面上对于数学概念有所认识.例如ꎬ在平行线概念教学中ꎬ教师可以通过使用平面上的两条铅直线和一条斜线ꎬ让学生对于平行线的定义有所了解ꎬ然后逐步引导学生进行抽象推广.在初中数学概念教学中ꎬ教师可以通过引入具体实例和生活场景ꎬ让学生更容易理解相关概念和知识点.例如ꎬ在平行线概念教学中ꎬ教师可以使用桌子㊁墙壁等物品来展示平行线ꎬ让学生通过观察和比较ꎬ理解平行线的概念.教师还可以制作实物模型和教具ꎬ让学生亲自操作ꎬ从而加深对于概念的理解和记忆.例如ꎬ在三角形概念教学中ꎬ教师可以制作三角板㊁三角尺等教具ꎬ让学生亲自测量和绘制ꎬ从而巩固相关知识和技能.在现代化教学中ꎬ教师可以运用信息技术手段ꎬ如动画㊁虚拟仿真等ꎬ让学生更好地理解和掌握相关概念.例如ꎬ在体积概念教学中ꎬ教师可以使用三维建模软件等工具ꎬ让学生通过实际操作来感受不同体积的物体.在初中数学概念教学中ꎬ教师可以加强思维导图和表格的应用ꎬ让学生更好地理解和分类相关知识点.例如ꎬ在函数概念教学中ꎬ教师可以通过制作函数值表和函数图像等方式ꎬ让学生更好地了解函数的特征和规律.在进行实物模型等形式的教学过程中ꎬ教师需要引导学生进行抽象推广ꎬ帮助他们将感性认识转化为抽象的数学概念.例如ꎬ在比例概念教学中ꎬ教师可以通过让学生观察和比较不同的图形ꎬ引导他们推广出比例的定义和计算方法.通过实物模型等形式进行感性认识与抽象推广相结合是ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中的重要应用策略之一.只有教师在教学过程中注重感性认识和抽象推广的相结合ꎬ并利用实物模型等形式加强学生的实践操作和思维导向ꎬ才能更好地提高学生的概念理解能力和数学思维水平[３].３.３强调学生的自主思考和探究ＡＰＯＳ理论强调学生在概念教学中的主体地位和自主思考能力.因此ꎬ在初中数学概念教学中ꎬ教师可以采用启发式教学㊁探究性学习等方式ꎬ让学生在实践中不断发现问题㊁思考问题ꎬ从而提高他们的自主思考和探究能力.首先ꎬ启发式教学方法是一种以引导和鼓励学生自主思考和探究为特点的教学方法.在初中数学概念教学中ꎬ采用启发式教学方法可以让学生更好地进行自主思考和探究ꎬ从而提高他６５们的创新意识和解决问题的能力.在此基础上ꎬ教师可以在数学概念教学中引导学生建立知识框架和思维导图ꎬ帮助学生更好地理清概念之间的关系ꎻ还可以促进学生自主思考和探究ꎬ从而帮助他们更好地理解和记忆概念.其次ꎬ小组讨论和合作学习可以让学生相互交流㊁分享经验和观点ꎬ在合作学习的过程中进行自主思考和探究.在初中数学概念教学中ꎬ开展小组讨论和合作学习可以帮助学生更好地理解和掌握相关知识点.最后ꎬ设计探究性问题可以激发学生的兴趣和参与度ꎬ并且可以促进学生进行自主思考和探究.在初中数学概念教学中ꎬ设计探究性问题可以让学生通过实践操作来发现问题并加以解决ꎬ从而提高他们的创新意识和解决问题的能力.另外ꎬ在初中数学概念教学中ꎬ注重反思和总结可以帮助学生对所学知识进行回顾和深化ꎬ从而巩固相关知识点并提高学生的自主思考和探究能力.ＡＰＯＳ理论强调学生的自主思考和探究在初中数学概念教学中的重要性ꎬ教师应该采用启发式教学方法㊁建立知识框架和思维导图㊁开展小组讨论和合作学习㊁设计探究性问题㊁注重反思和总结等策略ꎬ引导学生进行自主思考和探究ꎬ从而提高他们的创新意识和解决问题的能力[４].３.４加强模式的归纳总结与实际应用在ＡＰＯＳ理论的框架下ꎬ学生通过反思㊁总结㊁归纳等方式建立起对于概念的完整认识ꎬ这种过程需要教师的引导和指导.因此ꎬ在初中数学概念教学中ꎬ可以通过举例㊁实践等方式ꎬ让学生深入理解概念ꎬ并注重对于概念的归纳总结和实际应用ꎬ以加强学生对于概念的运用能力和实际应用能力.在初中数学概念教学中ꎬ教师应该引导学生进行模型归纳和总结ꎬ让学生从具体案例中发现规律ꎬ并形成抽象的数学模型.教师还应该注重数学知识的实际应用ꎬ让学生了解数学知识在实际生活中的运用和意义.例如ꎬ在平面图形概念教学中ꎬ可以引导学生通过测量房间的面积和周长ꎬ进行平面图形的实际运用.此外ꎬ教师应该加强思维模式和方法的培养ꎬ让学生掌握不同的思考方法和解题技巧.例如ꎬ在方程概念教学中ꎬ教师可以引导学生熟练掌握化简㊁转移等基本技巧ꎬ从而提高解决方程问题的能力.教师应该引导学生进行实际问题的建模与求解ꎬ让学生将所学知识应用到实际问题中去.３.５加强教学过程中学生的感性体验在教学过程中ꎬ教师可以通过使用实物或模型帮助学生更直观地理解数学概念.例如ꎬ在圆的面积教学中ꎬ教师可以准备不同大小的圆板ꎬ并让学生比较不同大小圆板的面积大小.在体积概念教学中ꎬ教师可以使用实物立方体或其他形状的图形帮助学生更好地理解体积的概念.此外ꎬ利用图形和动画等多媒体教学手段来帮助学生更清晰地理解数学概念.例如ꎬ在三角形的内角和公式教学中ꎬ教师可以使用动画演示三角形内角和的计算过程ꎬ或者使用图形展示不同类型的三角形.通过开展数学游戏ꎬ可以让学生在游戏中感受到数学的乐趣ꎬ从而提高他们对于数学概念的兴趣和理解.４结束语ＡＰＯＳ理论提出了一种新的数学教学模式ꎬ为初中数学概念教学提供了新的思路和方法.在教学实践中ꎬ可以根据该理论提出的策略进行合理设置ꎬ加强学生的自主思考和探究ꎬ让学生在感性认识和抽象推广两方面不断建立对概念的认识ꎬ并通过反思㊁总结㊁归纳等方式建立完整的概念体系ꎬ提高学生的概念理解能力和实际应用能力.参考文献:[１]高健ꎬ陈文清ꎬ李昕玲.基于ＡＰＯＳ理论的实数概念教学设计[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２３(２):９－１２.[２]蔡璐ꎬ韩祥临.ＡＰＯＳ理论视角下数学史融入数学概念教学的探析:以平方差公式为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(３２):３－５ꎬ９.[３]李金梦.基于ＡＰＯＳ理论小学数学概念教学的实践应用与提升策略研究[Ｄ].杭州:杭州师范大学ꎬ２０２２.[４]仲昭琳.基于ＡＰＯＳ理论的高中数学概念变式教学研究[Ｄ].哈尔滨:哈尔滨师范大学ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]７５。

基于APOS理论视域下初中数学概念课的有效教学

基于APOS理论视域下初中数学概念课的有效教学作者：王卫东来源：《数学教学通讯·初中版》2020年第01期[摘要] 文章以建构主义APOS数学学习理论为依据，以“合并同类项”数学概念课教学为例，深入探究了促进学生概念深层次理解的策略，提出了“创设思维刺激模式，引入概念”“生活化类比归纳，认识概念”“辨析关键属性，建构概念”“深化关键属性，应用并形成新概念”“迁移概念图式，整合概念”等策略，以引领学生全方位感知概念、活用概念，不断同化概念，有效发展学生的数学思维.[关键词] APOS理论;初中数学;概念数学概念是学生理解数学定理、数学公式、法则，进行数学判断、推理、归纳等活动的基础和前提，而初中学生思维主要以感性思维、形象思维为主，加之数学概念本身具有的抽象性，致使部分学生对数学概念的理解含糊不清，难以自我建构其数学意义. 在探索解题方式时往往也不能从基本概念入手进行分析，从而影响了学生对概念知识的整体学习效果. 因此，笔者以建构主义APOS数学学习理论为依据，深入探究促进学生概念深层次理解的策略，以引导学生全方位感知概念、活用概念，不断同化概念，有效地发展学生的数学思维.基于APOS理论视域下的初中数学概念教学根据APOS理论，如果让学生经过操作、过程、对象等思维阶段，一般情况下学生就能厘清问题情境，就能在反思、建构的基础上形成图示，而初中阶段各种概念的获得都是从相应的感知入手的，都需要学生经过大量的实例，并通过总结、归纳、证明等过程形成概念. 而基于APOS理论视域下的初中数学概念教学，实质上，APOS理论为初中数学概念提供了理论视角，其最大的特征就是阶段性，结合APOS理论并研读新课标，初中数学概念新授课教学可分为概念引入、认识、建构、应用、小结等主要阶段[1].APOS理论视域下“合并同类项”概念教学策略1. 创设思维刺激模式，引入概念引导学生主动参与课堂教学是揭示概念形成过程、深刻理解概念的基础，鉴于初中学生感性思维占主导地位，因此，教师应合理安排课堂情境，采用生活实例、联系类比、数学活动、情境问题等多种引入方式，并呈现丰富的、通俗化的概念背景材料，介绍数学概念的起源，帮助学生由感性认识逐渐向理性认识过渡.例如，引入“合并同类项”概念时，为了刺激学生从“潜在”认识向“直观”思维感受转变[2]，笔者加入了必要的生活元素，创设了如下的思维刺激模式：如图1所示，试求该新校区总面积是多少.实质上，学生充分思考后，从不同层面上提出了对该问题的解决方案：一是从图形的格局上分析，计算得出新校区的总面积为（100+200）a+（240+60）b;二是从个体上分析，计算得出新校区的总面积为100a+200a+240b+60b;三是从整体上分析，计算得出新校区的总面积为（100+200）（a+b）. 然后，笔者要求学生思考这些代数式之前有什么联系和区别，并从面积相等的视角引导学生得出如下等式，即（100+200）a+（240+60）b=100a+200a+240b+60b=（100+200）（a+b），进而帮助学生引入本节课的主题，感受100a+200a对应（100+200）a 等“分类”“合并”的思维模式.2. 生活化类比归纳，认识概念结合数学思维对概念有初步的认识是远远不能满足教学目标的，在学生充分感受、体验概念的基础上，教师应引导学生深入解读概念的内涵和外延，鼓励学生反思上述操作对象特征，并通过比较、归纳、总结等方式整合上述思维操作，最终形成独立完整的概念. 在具体教学实践中，教师应通过“是什么”“为什么”“怎么做”等提问形式，类比分化刺激模式的特征，将生活化问题类比分化到具体数学问题上来.例如，在组织学生学习“合并同类项”概念时，为了体会分类的简化问题功能，笔者通过“图书超市里面的书籍是如何分类的”“药店里面的药品是如何分类的”“教师是如何区别不同年级的学生”等具体生活问题，要求学生反思日常生活中为什么要进行分类，怎样才能做到科学分类，如果将图书超市里面放置的书籍抽象成为以下单项式，是否还可以进行分类：-2019，240b，7x2，0.5x2y，-9mn，2020，2ab，17mn3. 然后引导学生以小组为单位，组织学生思考、归纳上述刺激模式的共同特征，鼓励学生大胆猜想，应用数学语言表示上述分类标准. 例如，综合学生猜想，上述分类可以从系数、字母、字母次数等方面进行分类. 最后，总结得出概念中的关键属性，归纳出同类项的概念. 值得一提的是，对于一些未发现规律的学生，教师应适当地通过提示的方式组织学生探索，并为了有效验证学生是否真正理解同类项的概念可以设置一些例题. 例如，笔者根据学生实际，让学生利用所学知识判断-8，0，4是否是同类项，并说明判断的理由.3. 辨析关键属性，建构概念为了明晰概念，进一步在理解的基础上建构概念，教师应引导学生不断反思上述概念精细化的特征，并对设计到的关键词句，或者是图形符号等进行检验、辨析概念. 例如，在辨析同类项关键属性时，笔者设计了如下题目，要求学生辨析以下单项式哪些是同类项：①x，y;②a2b，ab2;③-3pq，3pq;④abc，ac;⑤a2，a3;⑥3x3y2，-y2x3;⑦23，32.值得一提的是，当学生在辨析同类项概念出现偏差时，教师应通过正面和反面例子加强师生互动，帮助学生厘清在判断同类项时，同类项与单项式的字母顺序、字母系数无关，从而将同类项从过程阶段转化为后续的对象阶段.4. 深化关键属性，应用并形成新概念为了进一步巩固、深化所学概念，教师应鼓励学生将上述思维过程视作为一个整体，将所获得概念的特征应用于各种特定的数学运算之中，并设置相关变式题目使学生能够从真正意义上理解概念的内涵和外延. 例如，笔者以课前所描述的100a+200a+240b+60b=（100+200）a+（240+60）b为例，通过如图2所示的图示引导学生理解合并同类项就是将两个以上的同类项合并为一项，从而引出“合并同类项”这一新概念.同时，为了认识合并同类项这个新概念，教师还应创设一些新问题进一步组织学生思考合并同类项这个新概念. 例如，笔者要求学生进一步说明合并同类项的依据是什么，在具体合并过程中应注意哪些注意事项，并引导学生总结出“一变二不变”的合并同类项法则. 最后，创设了如下问题要求学生独自解决. 在此期间，笔者及时对有困难的学生给予个别化指导.（1）请合并以下同类项：①-9x2y3+5x2y3;②5ab2+ab2-17ab2;③-7n3m5-23n3m5.（2）判断以下合并同类项是否正确，并说明理由：①3a+2b=5ab;②5y2-2y2=3;③4x3y2-2x2y=2xy.5. 迁移概念图式，整合概念為了进一步深度应用所学概念，帮助学生更高层次的加工、整合、提炼、建立思维图式，达到举一反三的目的，教师应将鼓励学生带着问题思考，有效地将已有知识与问题解决时思维突破过程进行关联和衔接. 同时，要求学生以本节课程的收获为主题，要求学生绘制概念学习过程图，激励学生发散创造性思维.如在小结“合并同类项”概念时，笔者要求学生将有关加法的运算律、合并同类项本身视作为认知整体，归纳概括提出合并同类项的策略及注意事项，并以本节课程的收获为主题，引导学生最终绘制如图3所示的合并同类项概念学习过程图.总之，初中阶段各种概念的获得都是从相应的感知入手的，都需要学生经过大量的实例，并通过总结、归纳、证明等过程形成概念. 数学概念的教学实践中，教师应抛弃死板灌输概念的理念，从教学内容和学生实际出发，引导学生联系生活实际，有效为学生的概念学习搭建平台，引领学生全方位感知概念，活用概念，不断同化概念，有效发展学生的数学思维.参考文献：[1]丁晓军. 关注学生认知过程，促进数学概念建构——基于APOS学习理论的教学思考[J]. 数学教学通讯，2019（05）.[2]卜以楼. 意识唤醒：揭示数学本质的有效策略——以苏科版课标教材“合并同类项”教学为例[J]. 中学数学，2013（06）.。

APOS理论视角下的初中数学概念教学——以三角形概念教学为例

ＡＰＯＳ理论视角下的初中数学概念教学以三角形概念教学为例崔园园１ꎬ２(１.扬州大学数学科学学院ꎬ江苏扬州２２５００２ꎻ２.江苏省太仓市良辅中学ꎬ江苏苏州２１５４００)摘㊀要:概念教学旨在通过引导学生经历概念探究的完整过程ꎬ提高学生的数学核心素养.文章通过ＡＰＯＳ理论研究ꎬ对认识三角形的教学再设计ꎬ改进了原有的教学模式.关键词:认识三角形ꎻ概念教学ꎻ初中数学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－０００２－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:崔园园(１９９９.７－)ꎬ女ꎬ江苏省盐城人ꎬ硕士ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»在对会用数学的思维思考现实世界的解释中指出:通过经历独立的数学思维过程ꎬ学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展ꎬ数学基本概念之间㊁数学与现实世界之间的联系[１].基于此ꎬ如何有效进行概念教学是数学教师值得研究的问题.１问题提出从教育者的角度来看ꎬ教师虽然意识到概念教学的重要性ꎬ但要形成一节完整的概念教学课耗时较多ꎬ若留给学生大量的探究时间ꎬ则会减缓教学进度.反之ꎬ大部分教师更愿意将时间花费在解题上ꎬ通过题海战术来实现学生对概念的巩固与理解.从学习者的角度来看ꎬ初中学生的数学抽象水平仍处于一个较低的层次ꎬ教师如果不能引导学生经历一个完整的概念形成过程ꎬ很难培养学生发现问题与提出问题的能力.因此ꎬ在进行概念教学时ꎬ教育者需要参考已有的相关研究ꎬ改进教学模式ꎬ充分调动学生的主动性.２ＡＰＯＳ理论概述ＡＰＯＳ是美国学者杜宾斯基提出的建构主义学习理论ꎬ该理论的前身是皮亚杰的自反抽象 ꎬ自反即反自 ꎬ意为抽身而出ꎬ对于自己结束的活动进行观察与反思ꎬ从而最终经过抽象得出一个比较严谨的结论[２].之后ꎬ杜宾斯基对于这一理论进行了再认识ꎬ最终形成ＡＰＯＳ理论.该理论主要分为四个阶段:Ａｃｔｉｏｎ(活动阶段)㊁Ｐｒｏｃｅｓｓ(程序阶段)㊁Ｏｂｊｅｃｔ(对象阶段)以及Ｓｃｈｅｍａ(图式阶段).３教学案例本文以认识三角形为例ꎬ将ＡＰＯＳ理论融入初中数学概念教学过程中.３.１操作阶段操作阶段又为活动阶段 ꎬ学生通过一系列的活动ꎬ初步建立对于所学概念的直观感知.此处的活动不局限于观察㊁操作㊁探索及归纳等外显活动ꎬ还包括内隐活动ꎬ即学生对于头脑中已有的经验性知识进行回忆与反思.①外显观察问题１:请同学们观察课件上两张图片ꎬ你能从中看出哪些熟悉的图形?问题２:除了上述图片ꎬ你能从日常生活中再找出一些熟悉的三角形的实物吗?②内隐回忆２问题１:请你们尝试着回忆小学阶段中已经学习过的三角形的相关知识.问题２:有学生会问ꎬ为什么我们之前已经学习过三角形ꎬ现在还要学习?那么我们回顾之前获得这些知识的过程ꎬ发现大部分知识都是通过观察得出的ꎬ数学是一门严谨的学科ꎬ那么这些知识是否正确?你该如何验证?设计说明:首先ꎬ引导学生从生活实例中抽象出几何图形ꎬ引出本节课的课题ꎬ并依据几何图形想象出所描述的实际物体ꎬ初步建立学生的空间观念ꎻ其次ꎬ提问学生已经学习的三角形的相关概念ꎬ学生回忆在小学阶段已经学习过三角形的概念ꎬ师生共同归纳出结构框图ꎬ也建立起几何概念的学习体系.３.２程序阶段程序阶段是指对于活动阶段进行反思ꎬ对活动中所得的经验进一步抽象ꎬ从而得出概念本质特征.活动１:规范定义①内隐回忆问:我们刚刚回忆时谈到三角形的概念ꎬ请你说说什么叫三角形?学生回答各不相同ꎬ但基本上不能完全准确地说出三角形的概念.②外显操作归纳师:请同学们拿出木棒搭建三角形ꎬ并从搭建好的三角形中挑选出特殊的图形.学生按照教师提示拿出木棒搭建三角形ꎬ并将自己搭建好的三角形与课件上两张图片对比ꎬ从而完善三角形概念.活动２:符号表示①外显观察问:观察课件上的屋顶框架ꎬ指出其由几个三角形构成ꎬ分别是哪些?②内隐思考问题１:回忆三角形构成要素.问题２:类比角的符号表示ꎬ用符号表示三角形并完善表格ꎬ最终解决①中的问题.问题３:屋顶框架是由哪些三角形构成的?活动３:明确分类①内隐回忆问题１:结合所学知识ꎬ你能给三角形分类吗?问题２:有学生提到按角可以分为钝角ꎬ锐角和直角三角形ꎬ也有同学提到按边可以分为等腰三角形和等边三角形ꎬ请思考:这两位同学各自的分类是否能够包括所有的三角形?如果不能ꎬ请你指出哪一种分类存在瑕疵?师生共同归纳三角形的准确分类.②外显操作课件出示一些三角形的图片并进行分类.活动４:探究性质①外显操作问题１:拿出５根长度分别为３ｃｍꎬ４ｃｍꎬ５ｃｍꎬ６ｃｍꎬ９ｃｍ的吸管ꎬ任意取出３根首尾相接搭三角形ꎬ你可以搭出几种不同的三角形?问题２:哪些情况下小木棒经过组合能构成三角形?哪些情况下小木棒经过组合不能构成三角形?师:在经过上述问题的初步探究之后ꎬ我们有同学已经提出:三角形两边之和大于第三边.但在这个过程中数据量还是比较少的ꎬ接下来请看老师用几何画板进行的操作展示.②内隐思考问题１:将三角形三边关系的文字语言转化为符号语言.问题２:你能否用我们已经学习的知识来证明该结论?请同桌二人相互讨论.问题３:在探索三角形任意两边之和大于第三边的过程中ꎬ你是否有其他结论?问题:关于三角形任意两边之差小于第三边的证明ꎬ留给你们课后思考.设计说明:在三角形概念引入的过程中ꎬ小学是直接通过观察ꎬ教师总结概念得出ꎬ因此在活动１中ꎬ对小学学习中三角形概念进行了进一步的完善ꎬ增加了不在同一条直线上 ꎻ活动２通过三角形框架这一模型认知冲突ꎬ学生体会到符号表示的必要性ꎬ进一步认识三角形的基本元素ꎬ学生在这个过程中会用数学的思维思考现实世界 .３.３对象阶段对象阶段是对操作阶段和过程阶段的延续与拓展ꎬ这一阶段是对前面两个阶段得出的概念进行符号化ꎬ实现压缩和解压缩的过程.３例１㊀下列数据中ꎬ能组成三角形的有(㊀)组.①３ꎬ８ꎬ１０ꎻ②５ꎬ２ꎬ７ꎻ③５ꎬ５ꎬ１１ꎻ④１３ꎬ１２ꎬ２０.Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀Ｄ.４问题:在解决上述问题的过程中ꎬ有没有能够快速判断构成三角形的方法?变式１:在三角形中ꎬ已知一边长是４ｃｍꎬ另一边长是８ｃｍꎬ求第三边ａ的取值范围ꎻ变式２:在上述三角形中ꎬ若第三边是偶数ꎬ求第三边ꎻ若第三边是奇数ꎬ求第三边.例２㊀已知等腰三角形的一边是５ｃｍꎬ另一边是７ｃｍꎬ求这个三角形的周长.变式:若等腰әＡＢＣ周长为３０ꎬＡＢ＝６ꎬ求其余边的长.设计说明:通过上述例题ꎬ引导学生在解决问题的过程中学会总结方法.在变式训练中ꎬ学生需要进行分类讨论ꎬ呈现知识的层次性.在这个过程中ꎬ学生逐步会用数学的语言表达现实世界 .３.４图式阶段图式阶段是对前三个阶段进行整合ꎬ学生在此阶段已经具备相应的知识与经验基础ꎬ该阶段主要是将新知纳入已有认知ꎬ对认知结构进行整合.任务１:绘制出本节课学习内容的框架.任务２:讨论本节课和之前学习三角形相关概念的区别.设计说明:图式环节既巩固了前三个阶段ꎬ也引导学生发现前后学习内容的区别ꎬ学生的图式结构得到进一步完善.４思考与启示在ＡＰＯＳ理论的指导下ꎬ学生在活动中获取知识ꎬ在反思中理解概念ꎬ最终完成概念学习.在教学中ꎬ四个阶段运用ＡＰＯＳ理论时需注意以下几点.４.１创设情境活动阶段需要创设合适的情境ꎬ该阶段是学生学习新知识的起点ꎬ若以纯粹的数学性知识引入ꎬ学生会觉得枯燥乏味.首先ꎬ情境的创设要能够体现教学目标ꎬ有利于教学活动的展开ꎻ其次ꎬ情境的选择需要具有真实性ꎬ需联系学生的已有经验ꎬ否则会影响学生对概念探究的兴趣ꎻ最后ꎬ选择情境时还需注意情境的多样性.４.２巧设问题串程序阶段要巧妙设计问题串.首先ꎬ问题串的设计需要体现出教学过程中的重难点ꎬ在整个过程中教师须发挥引导作用ꎬ通过问题串引发学生的认知冲突ꎻ其次ꎬ问题串的设计要具有层次性ꎬ后一个问题的提问是对前一个问题的补充和拓展ꎬ学生能够在问题串的回答过程中不断接近知识全貌ꎬ对学生自主探究概念的过程有一定的启发性.４.３变式教学对象阶段是集压缩与解压缩于一体的过程ꎬ其主要功能是对活动阶段和程序阶段进行内化.该阶段主要是通过例题和习题呈现ꎬ但是题目的呈现不能是简单机械地重复ꎬ需要教师挑选出典型例题ꎬ对题目中的条件与结论进行变式ꎬ不断变换题目中的非本质特征.学生能不断抽象出概念本质特征ꎬ教师还应给予学生一定的自主性ꎬ引导学生自主对题目进行变式ꎬ也可以呈现出一些开放式的题目ꎬ多给学生一些反思和归纳的时间与空间.４.４灵活运用ＡＰＯＳＡＰＯＳ理论具有一定指导意义ꎬ没有固定的模式ꎬ教师在进行教学设计时ꎬ应充分考虑知识结构及学生的学情ꎬ进行合理的分阶段设计ꎬ适当对四个阶段进行重组和补充.５结束语通过应用ＡＰＯＳ的四阶段理论来指导概念教学ꎬ学习者可以更好地理解概念的生成过程ꎬ主体性地位在进一步增强ꎬ从而提升了他们的思维水平.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[２]张丽娟.基于ＡＰＯＳ和知识迁移理论的初中数学概念教学研究[Ｄ].济南:济南大学ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]４。

基于APOS理论的初中数学概念课教学设计——以“函数概念”为例

教学研究
２０２２年４月下半月
基于 APOS 理论的初中数学概念课教学设计
∗
———以“函数概念”为例◉ 珠市斗门区城南学校林菊芳摘要:作为数学思维基本形式的数学概念,是数学学习的起点,而培养学生数学思维是以有效的概念为依
托．
基于 APOS 理论进行初中函数概念的教学设计与教学,并在此基础上探讨并提出数学概念教学的四个过程:
x 是y 的函数吗?)
x－２
(
;
１)变量 y 与x 满足y＝
x－１
１(
x 是有理数),
(
２)变量 y 与x 满足y＝
０(
x 是无理数);
２
(
)
变量
与
满足关系式
３
y x
y ＝x．
{
设计意图:根据 APOS 理论,要想学生对概念的
理解更为深刻全面,需要在学生经历前两个阶段后创
问题１１:现有汽车汽油５０L．
不考虑加油问题,油
而减少,已知耗油量为０．
问 y 与x 满足的关
１L/km．
是多少?
设计意图:根据 APOS 理论,我们能得出学生对
概念的理解达到图式阶段后,其对概念的表征会上升
为综合的心理图式,其中包括特例、抽象过程、符号以
看到函数,心里出现的是“对于给定一个 x,有唯一的
第三阶段,“对象”是指学生
y 与之对应”这样一句话．
阶段,函数有了一些发展,与解析式联系在一起;“对

初中数学概念教学中APOS_理论的应用探究

㊀㊀㊀㊀㊀初中数学概念教学中ＡＰＯＳ理论的应用探究初中数学概念教学中ＡＰＯＳ理论的应用探究Һ余玥刚㊀（贵州省毕节市金沙县第四中学，贵州㊀毕节㊀５５１８００）㊀㊀ʌ摘要ɔＡＰＯＳ理论是关于数学概念学习的理论模型，一般包括实践与活动阶段（ＡＣＴＩＯＮ）㊁过程与经过阶段（ＰＲＯＣＥＳＳ）㊁对象阶段（ＯＢＪＥＣＴ）㊁图式阶段（ＳＣＨＥＭＥ）．融合ＡＰＯＳ理论的初中数学概念教学，需要注意过程灵活性㊁学生主体性㊁内容探究性等应用原则，同时在活动㊁过程㊁对象㊁图式等不同阶段灵活采用相应的策略．鉴于此，文章以ＡＰＯＳ理论为切入点，简述了ＡＰＯＳ理论应用的原则，重点探讨了ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中的应用策略，以期帮助学生更好地理解数学概念．ʌ关键词ɔ数学概念教学；ＡＰＯＳ理论；应用原则；策略引㊀言数学概念是学生建造数学大厦的基础．尤其对于初中阶段的学生来说，数学概念更是数学学习的重要内容．初中数学有数与代数㊁图形与几何㊁统计与概率㊁综合与实践四个板块，其中数与代数㊁图形与几何㊁统计与概率三个板块会涉及数学概念的学习．但是数学概念是人类对现实客观世界在空间形式和数量关系等方面的概括与反映，具有很强的理论性与抽象性，这就造成了数学概念相对来说比较晦涩难学．ＡＰＯＳ理论使学生经过思维的实践㊁过程㊁对象㊁图式等几个阶段的学习锻炼后，更能理清问题情境，从而解决问题．在建构主义的理论基础之上，学生更能够主动地感知概念形成的动态过程，投入更多的专注力，感知概念和背景之间的相关性，顺畅地总结数学概念，从而有效地进行数学概念的学习．一㊁ＡＰＯＳ理论简述ＡＰＯＳ理论是以美国人杜宾塞斯为代表的研究团体提出的关于数学概念学习的理论模型．大约在２０世纪８０年代末，杜宾塞斯团队就开始了ＡＰＯＳ理论的相关研究，并于１９９１年在‘高等数学思维“上面发表了第一篇关于ＡＰＯＳ理论的文章，这正式拉开了关于ＡＰＯＳ理论的研究．目前为止，国内外都对ＡＰＯＳ理论进行了研究．其中，国外学者的研究主要针对理论本身．自１９９１年杜宾塞斯正式开始ＡＰＯＳ理论的研究后，杜宾塞斯和诸多学者先后对其进行了理论补充．１９９６年，杜宾塞斯等人又发表了‘在大学教育中一种研究和课程发展框架“，并在本科生群体中进行了实验研究和数据统计分析，使得ＡＰＯＳ理论在数学领域的使用更加广泛，并且在现实中进行了实践验证．国内和国外的学者不同，国内的学者更倾向于ＡＰＯＳ理论的理解阐释和教学应用，并不注重理论本身的研究．马晓丹的‘ＡＰＯＳ理论探索的反思与超越“就曾阐释过其对ＡＰＯＳ理论的见解，并指出不能把ＡＰＯＳ理论的四个阶段理解为线性结构，不能把ＡＰＯＳ理论简单地理解为一种代数学习理论．此外，郑云秀等人在‘基于初中数学核心素养的高效课堂教学策略研究“中就尝试将ＡＰＯＳ理论和具体的教学实践结合起来进行研究．此后，刘稳华等人在２００５年尝试将ＡＰＯＳ理论延伸到物理学科的教学上．综上所述，国内外学者对ＡＰＯＳ的研究都比较重视，都进行了诸多研究，但有关ＡＰＯＳ在数学概念的实际教学中的应用原则和应用策略的研究较少，因此还有较大的研究空间．二㊁初中数学概念教学中ＡＰＯＳ理论的应用原则（一）教学过程中的灵活性原则初中数学概念教学过程融合ＡＰＯＳ理论需要注意，活动阶段㊁过程阶段㊁对象阶段和图式阶段这四个过程是ＡＰＯＳ理论必要的组成部分，但它们并不是简单的线性结构，需要坚持灵活性原则．上文已提到，马晓丹在‘ＡＰＯＳ理论探索的反思与超越“中就曾论证了将ＡＰＯＳ理论理解为一种简单的线性结构是极大的错误，ＡＰＯＳ理论的四个阶段并不是线性结构，而是可以根据情况进行适当调整和融合的．换言之，因为学生的学情是不一样的，所以存在对知识的接受能力和自学能力等方面的差异．比如，初中阶段数学概念的板块就存在很大的区别，数与代数板块侧重学生对数理的感知和理解，而图形与几何板块明显侧重学生对空间能力的锻炼．这些差异都说明，死板地把ＡＰＯＳ理论的四个阶段进行线性理解是无法应对这些千变万化的教学实践㊀㊀㊀㊀㊀的，会严重影响ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中的应用效果，甚至可能会产生适得其反的结果，而灵活的教学过程使得融入了ＡＰＯＳ理论的数学概念教学更加符合实践需要，因此教师在教学过程中可以对四个阶段进行适当取舍和重复，保证教学能够根据不一样的学情和教学内容更具有针对性，从而最大限度地发挥ＡＰＯＳ理论的作用．（二）教学实施时的学生主体性原则ＡＰＯＳ理论的实质就是充分发挥学生的主动性，让学生动起来，主动地融入课堂，积极参与教学活动，这体现了学生主体性的教学原则．所谓学生主体性原则，简单来说就是课堂应以学生为主体，教师只是引导者，这样的教学理念也被称为学生本位思想．受到建构主义思想的影响，ＡＰＯＳ理论认为学生是学习活动的主要建构者，能够通过外界的各种活动形式，尤其是经过专门设计的教学活动形成自己独特的思维结构，也就是学生自己形成对知识的独特理解，搭建自己的知识架构．因此，学生主体性原则要求教师积极改变传统的教师一言堂教学模式，改变灌输单一的讲述等教学形式，采取体现学生主体性且生动有趣的教学活动和教学环节，激发学生的探索欲望，把知识的被动接受改为学生的主动学习，使学生真正成为课堂的主人．教师应根据学生的学情，精心进行教学设计，在教学设计中体现学生的主体性，巧妙安排教学环节．首先，课堂开端的教学环节要稍微简单且有趣，让学生感受到成就感和趣味感，勾起学生学习的动力和欲望，为后续的教学环节做铺垫．然后，教师在后面的教学环节中要有由浅入深的难度安排，为学生留下思考和交流的空间，争取让每一名学生都能够亲身体验到参与课堂活动的乐趣．当然，教师要把握好引导的程度，把握好引导的力度和时机，这样才能带动整个课堂的节奏与氛围．（三）教学内容的探究性原则不管是教学活动，还是教学过程，对学生来说都应有一定的探究性．探究性原则应体现在教学内容的探究性和教学过程的探究性．就教学内容来说，课堂教学所涉及的数学概念知识应深入其本质，不能只停留在教材表面，也不能一味地为了融合ＡＰＯＳ理论而丢弃数学概念原有的深度．就教学过程来说，探究性体现在教学活动由浅入深的过程．一般在课堂教学的开始阶段，教师应注重趣味性，以便学生能够获得学习的成就感．但是，教学过程决不能只停留在这样的简易阶段，而是应该向难度更高㊁内涵更深的层次靠近．教师应在循序渐进的教学过程中，引导学生进行知识探索，由被动学习向主动学习转变．三、初中数学概念教学中ＡＰＯＳ理论的应用策略ＡＰＯＳ理论的应用策略可以围绕活动㊁过程㊁对象㊁图式四个阶段来思考．各个阶段因为侧重的角度不一样，所以采取的策略也会有很大的区别．（一）活动阶段活动阶段是数学概念教学融合ＡＰＯＳ理论的基础阶段，主要任务是为后面几个阶段做铺垫．在该阶段，教师应该基于学情分析，创设活动情境以引入新的概念，并结合班级的整体情况，选择恰当的活动形式，逐步培养学生的学习兴趣．１．创设活动情境创设活动情境是活动阶段的重要策略．贴合生活和符合学生学习认知的情境有益于激发学生的生活经验，拉近学生与课堂的关系，初步激发学生的学习兴趣．在这一阶段，教师需要创设好情境，既不宜脱离学生的生活经验，又不宜超出学生的认知水平．同时，教师要运用视频和图片等多种形式，多角度地创设活动情境．比如，在进行平面直角坐标系的数学概念教学时，教师可以通过播放关于建党一百周年的视频创设情境．视频中有排列整齐的㊁人山人海的景象，而这个动态的景象和平面直角坐标系有着很强的联系，即景象中关于人群方阵的行列㊁位置的确定等都是和平面直角坐标系的位置相通的．同时，此次情境导入的对象是学生易于理解的简单视频．在播放视频后，学生已经在头脑中形成了有关位置确定行与列等方面的意识．在此基础上，教师引导学生把注意力转移到课堂上，抛出如何在教室中确定课桌的位置这一问题，从而引出有序数对的相关概念．２．构建活动形式活动形式是建立在情境创设的基础上的．活动形式的选择直接影响着情境创设的效果．活动形式有很多，关键是教师要根据学生的接受能力㊁班级的整体状况等具体条件来进行选择．比如，在上面提到的平面直角坐标系的概念教学中，学生对视频的导入有着极大的好感，同时视频具有直观㊁有趣等特点，因此教师选择了视频导入的活动形式．再如，学生对教室是比较熟悉的，因此教师选择利用教室中课桌的位置确定来创设有序数对的概念情境．（二）过程阶段过程阶段是为了帮助学生在经历亲身体验和探索后，对所要学习的数学概念形成初步的印象．教师需㊀㊀㊀㊀㊀要在这个阶段引导学生进行自主概括，抽象出相关数学概念的定义，并形成初步理解．１．深化活动内容活动阶段之后，学生已经初步接触了将要学习的概念，此时就要承接过程阶段，为学生形成初步的数学概念进行过渡．教师引导学生交流合作㊁归纳总结，深化活动内容，加强学生对情境导入对象的特征认识和概念感知．我们同样以平面直角坐标系的教学实践说明深化活动内容的应用策略．在观看视频和讨论教室课桌位置的问题后，教学内容逐步从具体到抽象，教师可向学生抛出曾经学习过的数轴的抽象知识．学生已经学习过如何在数轴上确立一个点Ａ的坐标，因此教师可在此基础上抛出问题：如何确定不在数轴上的点Ｄ的坐标．学生分组合作，交流讨论，小组轮流发言．在讨论过后，教学过程承接情境导入，教师联系数轴和关于点Ｄ的位置确定，引导学生实现位置确定从一维到二维的认知发展，深化对位置确定的讨论．２．初步形成概念深化活动内容后，学生对相关数学概念的初步认识已基本形成．虽然学生形成了数学概念，但是整个教学行为并没有结束．比如，在实现从一维到二维的概念认识之后，教师还要继续引导学生感受数学的逻辑之美和抽象之美，组织学生进行必要的概念表述活动．（三）对象阶段对象阶段的重点在于所要学习的概念，这一阶段是在初步理解数学概念后，进行完整消化的过程．１．细化概念理解大多数的数学概念都是抽象的，因此学生对概念的理解存在偏差．在这种情况下，教师应该借助分析辨别㊁变化探讨㊁逐步探究等环节，引导学生将其理解的数学概念进行深化，从而充分掌握数学概念．２．巩固概念生成细化概念理解本身就是为了巩固学生生成的数学概念，因此教师应积极组织各种探究活动．比如，在学生形成关于平面直角坐标系的初步概念后，教师可以安排其他点的坐标探究．在平面直角坐标系ＸＯＹ中，存在Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ四个点，分别处于坐标系的第一㊁二㊁三㊁四象限中，存在Ｇ，Ｈ两个点，分别处于Ｘ轴㊁Ｙ轴上．Ａ．原点Ｏ的坐标是什么？Ｂ．Ｘ轴上的Ｇ点和Ｙ轴上的Ｈ点各有什么特点？Ｃ．各个象限内的点的横㊁纵坐标有什么特征？教师将学生分成几个小组，讨论学习后，各小组选出代表发言，发表小组探究学习的结果．学生在经历了本次探究后，对平面直角坐标系的特征㊁构成㊁作用等认识都能得到强化，对平面直角坐标系的概念认识也得到了极大的巩固．（四）图式阶段一般来说，图式阶段是数学概念教学融合ＡＰＯＳ理论的最后阶段，其主要作用是帮助学生完成对相关数学概念的综合理解，令其在知其然的基础上知其所以然．教师在这一过程中要积极发挥学生的主动性，帮助其自主构建知识结构网．１．分组合作归纳分组合作归纳承接小组合作探究活动，但是其侧重点不同，其所涉及的范围也更加广，主要任务是帮助学生回顾整个概念学习的过程，疏通各个阶段之间的联系，增强学生对所学概念的整体感知和综合把握．２．完善知识结构最后，教师应该帮助学生进行知识结构的把握，完成思维导图．比如，教师引导学生在平面直角坐标系的学习中完成以下知识结构图解（如图１）．图１㊀平面直角坐标系知识结构结㊀语总体来说，ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中有着很大的优势，但是教师在教学过程中要注意四个阶段的灵活安排，坚持学生本位思想．同时，教学内容和教学过程需要具备探究性．在应用策略方面，活动阶段注重情境创设，应灵活选择活动形式；过程阶段侧重活动内容，帮助学生初步形成概念；对象阶段重点巩固所学概念；图式阶段梳理教学过程，完成知识结构的搭建．ʌ参考文献ɔ［１］马晓丹．ＡＰＯＳ理论探索的反思与超越［Ｊ］．数学与管理，２０２０（３３）：７４－７７．［２］郑秀云．ＡＰＯＳ理论指导下的高中数学概念教学［Ｄ］．福州：福建师范大学，２００３．［３］蒋大清．科学课程教学中学生科学思维能力培养探索［Ｊ］．成才之路，２０２２（２）：７３－７５．。

APOS理论下初中数学核心概念及其教学策略探究word资料6页

APOS理论下初中数学核心概念及其教学策略探究作为数学思维的基本形式和理解数学科学知识体系的基础，数学概念的教学已经成为培养学生数学素养的必然要求. APOS理论是在数学概念学习过程中产生的一个结论，更能揭示数学概念的本质过程，体现学生理解数学概念的心理特点. 因此，在APOS理论下研究初中数学核心概念及其教学策略具有重要的意义.核心概念的内涵及特征数学核心概念是在一定数学概念体系中起着关键性作用、与其他概念是以一定的数学思想或方法联系的、包含着丰富下位概念的一类概念. 从数学学科的角度分析，数学核心概念具有联系性、奠基性以及丰富性等特征. 这些特征要求我们在识别、筛选核心概念时，首先要确定在一定的概念体系中；其次，厘清数学概念的发展脉络；最后，选取那些起着核心作用、能够生成其他下位概念的概念，这些概念或是标志数学方法重大变革，或是反映重要数学思想，或是反映本源的概念. 从数学学习的角度分析，数学核心概念的学习具有基础性和可生长性特征. 这些特征要求教师在初中数学核心概念教学中遵循系统性和整体性特征，需要在一个更长教学阶段中通过其他数学内容或与其生成的概念加深学生对数学核心概念的理解.初中数学核心概念教学的意义一是加深对数学学科特点的理解. 新课标中指出教师要关注数学概念中的“核心概念”，关注抽象数学概念的形成过程与实际背景，在教学中要将核心概念贯穿于初中数学的始终，这些新课程实施的要求体现了核心概念教学的重要意义.二是提高数学整体的认识. 教师应通过联想、类比、知识的迁移和应用等方式，找到某些重要数学内容，并以此为载体将数学知识串联起来，让学生充分感受数学知识的整体性，体会各个知识点之间的联系，提高具体问题的解决能力. 而处于一定概念体系中的核心概念具有上述教育价值，能够为新课程教学提供一个重要思路.以函数这一核心概念为例，北师大版初中数学教材中涉及的函数概念的下位概念分别为一次函数、反比例函数、二次函数以及锐角三角函数. 同时，许多立体几何、求最值等问题都可以转化为函数问题. 此外，初中函数概念教学是高中阶段学习映射条件下函数概念的基础. 所以，在整个初中数学教学中研究函数这个核心概念具有重要的意义.APOS理论下初中数学核心概念教学策略杜宾斯基提出的APOS理论是以学生建构数学概念的思维过程为起点，通过活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段，引导学生再次经历数学史上的概念创造与发展过程，帮助学生构建数学概念，从而培养学生的思维能力. 笔者结合多年实践，在APOS理论本土化教学中提出了如图1所示的初中数学概念教学循环结构模式.1. 透过“数学现实”，导入概念背景作为产生数学知识前后的逻辑连接，数学现实更能体现现实问题和数学背景知识之间的内部联系，教师应在课堂教学中让学生主动地感受和体验前人研究和创造的过程，并在学生已有认知的前提下将教师讲解的知识作为新知结构的原始材料，通过内化做出合理解释，并将所学知识不断完善到自己原有的认知框架中.2. 透过“现实情境”，初建概念形式在“概念的形式初建”阶段，教师应结合学生已有的认知结构和认知水平，有计划地在已设置的“问题情境”中，透过实际生活中耳熟能详的概念素材和“问题情境”中产生的冲突与矛盾，激起学生学习的欲望和学习的动机，积极主动地初步建构数学概念.3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号在“概念的符号细化”阶段，教师必须对数学概念内部进行再加工与再提炼，通过精心设计习题和例题帮助学生进一步认识、巩固和应用数学概念，提炼出数学概念的本质属性. 值得一提的是，在概念巩固时，为了使学生达到以不变应万变的效果，教师应不断变换数学符号的多种形式. 在概念应用时，为了充分理解数学概念的本质属性，应通过针对性强的变式训练活动，使概念的标准符号和非标准符号之间达到灵活变换，进而多角度地充实学生对数学概念的理解和应用.4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质在“概念的本质明确”阶段，为了使学生形成一个稳定的概念，将巩固和应用后的数学概念上升为数学概念的形式化与抽象化. 要深刻理解数学概念的实质，教师应采用数学化的语言给数学概念进行定义，反思和提炼学生已有的“数学现实”和教师设计的数学情境，从而实现数学概念内部的理想化加工和再提炼的“数学化”过程.5. 透过“概念的联系”，联结概念系统在该阶段中，教师应及时帮助学生回顾和总结课堂知识，设法搭建新、旧知识的内在关联，挖掘其课程中所蕴含的数学思想方法，让学生理性思考数学思维和数学观念，不断完善学生的认知结构.初中数学核心概念教学案例为了研究的方便，本文选择北师大版初中数学教材“函数”部分知识为例进行深刻阐述.1. 透过“数学现实”，导入概念背景在上课前，要求学生通过上网查阅、聆听家长讲述等方式了解函数概念的背景资料，广泛收集函数概念产生与发展历程的图片以及国内关于函数概念的产生的相关内容. 在课堂上组织学生相互交流和探讨，体会函数概念产生的背景.2. 透过“现实情境”，初建概念形式通过粮店购买大米、乘车去学校等实际案例创设活动情境，引发学生积极思考哪些是常量、哪些是变量，感悟常量和变量的关系，让学生在感性素材中构建函数概念. 同时，深刻理解引入“函数”概念的必要性. 例如，笔者在教学中设计了以下现实情境：教师每天开车上班，小车的耗油量平均为0.1升/公里，并且通过小车自身携带的行程仪可知，学校到自己家中的距离为30公里.（1）随着油费的上涨和下跌，教师每天需要支付的油费是如何变化的？请学生思考哪些量是变化的，哪些量是不变的.（2）若93号汽油的价格为x元，教师每天需支付的油费为y元，则它们之间的关系是什么，怎样应用解析式进行表示？3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号为了突破教学的重难点知识，理解函数概念的实质，应用y=x进一步理解函数的两个变量，理解y是随着x的变化而变化，只要x的值确定了，则y的值也就随着确定了. 并理解解析式中x，y的形式符号定义，要求学生应用其他符号写出函数的解析式，进一步拓展用概念的认识.4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质除了文字表述外，函数还可以通过解析表达式进行表示. 当教师提及某个具体函数时，学生能够联想到函数的概念、解析表达式等具体内容. 例如，在概念的形式化与抽象化阶段，笔者设置了以下题目组织学生抽象函数概念：（1）填表格.（2）y是x的函数吗，为什么？那么x是y的函数吗？（3）若输入一个实数a，会输出一个实数b，则b是a的函数吗？5. 透过“概念的联系”，联结概念系统通过回顾学生学到了哪些数学知识、学到了哪些数学思想方法等方式，强化函数概念的内涵和外延，真正理解函数是学生进行分析、综合、比较、抽象、概括等一系列过程，并强化常量和变量之间的内在关联，领悟函数概念形成过程中归纳和抽象概括的思维. 同时，布置课后练习题目，进一步理解和深化函数概念.综上所述，初中数学核心概念教学不可能一劳永逸，而是按照“导入概念背景、初建概念形式、细化概念符号、明确概念本质、联结概念系统”五个阶段组织学生学习. 只有这样，才能不断提高初中学生对于核心概念的理解和认识，才能不断提高初中数学教学的质量.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

浅谈APOS理论在数学概念教学中的应用(论文)

晋升中学一级教师的代表性（参考性）论文论文题目：作者：工作单位：年月运用APOS理论构建初中数学概念教学“自学-讨论”模式【摘要】：数学概念的建立和形成过程是培养抽象概括能力的重要载体。

本文以人教版九年级上册第24章第2节《点、直线、圆和圆的位置关系》的教学为例，在反思传统数学概念教学方式的基础上，探讨如何有效运用APOS理论指导，构建初中数学概念教学的“自学-讨论”模式。

【关键词】：APOS理论数学概念教学数学概念是建构数学大厦和学习数学的基础和前提，学生对数学概念理解掌握的程度就成为学生学好数学的关键。

所以数学概念教学不仅是数学教学的重要内容，也是提高数学教学质量的核心。

美国数学教育家杜宾斯基在数学教育研究的实践中提出了新的关于概念学习过程的理论—APOS理论。

该理论以皮亚杰关于个体思维的反省抽象理论为基础，阐述了个体认知数学概念的过程。

这是关于数学概念学习的新理论[1]。

在这一理论的指导下，构建以对数学概念的理解为核心，学生自学讨论为主体，培养学生学会学习、学会生存、学会应用为目的的“自学-讨论”模式。

教师必须为学生提供必要的学习材料或者设置合理的教学问题，教师的作用主要体现在引导和启发上，即强调以学生为主体，以教师为主导的教学理念。

学生通过自学，交流、合作、讨论、探究、发现、尝试、提问、反馈、练习等一系列学习环节，经历数学概念的建立过程，掌握概念，获得新知，增强理解能力，体会数学的思想方法，为后继学习奠定基础。

1.APOS理论概述APOS理论是近年来美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)提出的一种建构主义学说，他将数学概念的建立分为四个阶段：操作（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object）阶段、模型（Scheme）阶段，取这4个阶段英文单词的首字母，命名为APOS 理论。

2.传统的概念同化教学方式传统的概念同化教学步骤为：第一步：揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；第二步：对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；第三步：巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；第四步：概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

APOS理论的内涵及其对中学数学概念教学的启示

《教学与管理》2010年8月20日概念教学举足重轻。

数学概念的基础性工具性，使数学教师倾向于让学生在运用概念中深化对概念的理解，教学过程往往被简约，似乎大容量就带来了学习的高效率。

事实上，数学学习往往具有很大的隐蔽性，会求解运算并不一定意味着真正的理解，教学环节的缺失给学生概念建构的丰富与全面带来了影响。

美国教育家杜宾斯基针对数学学科提出了APOS 学习理论，其概念建构的层次性观点为数学概念教学应逐层渐进提供了理论基础，并且具有现实的可操作性。

研究如何将APOS理论与传统教学中成功的变式教学和双基教学有机结合，完善数学概念的教学方法，提高教学的有效性，具有积极的现实意义。

一、APOS理论概述杜宾斯基等人在20世纪80年代针对数学学习的特点，在建构主义背景下提出了APOS理论。

APOS分别是由英文“操作（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”、“概型（Scheme）”的第一个字母组合而成，该理论认为数学概念的学习需要经历这四个阶段。

“活动阶段”学生理解了概念的直观背景和概念间的关系；“过程阶段”学生对“活动操作阶段”进行思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，对其赋予形式化的定义和符号，这时成为“对象”，认识进入“对象阶段＂；随着学习深入，以此为对象进行新的活动，进入到“概型阶段”。

包括反映概念的特例、抽象过程、定义和符号，最终形成综合的心理图式。

二、APOS理论的内涵分析APOS理论运用于中学概念教学，需要结合中学的数学概念对其内涵作进一步的分析。

1．数学概念学习中学生的“操作A”是广义上的活动“操作A”阶段应是学生建构数学概念的起点，它为“过程P”阶段提供了感性的素材，学生在“过程P”中观察、联想、归纳、概括，需要以其作为对象，建构的概念才会有所依托。

我们认为，这里学生的“操作”应该指广义上的活动。

既有具体的动作操作，如学习二面角概念时学生观看门的开合与墙位置的变化的活动。

试论利用APOS理论进行初中数学教学

探索篇誗教学研究随着素质教育的深入开展，初中教学在观念和方法上也发生了重大的改变。

对此，初中数学教学也需要突破传统教育观念，通过新的方法论和教学概念进行教学方法和观念上的转变。

一、APOS理论概述APOS理论是由美国现代教育学家杜宾斯基等人针对学生的数学学习提出的教学方法。

这种建构主义下的教学理念，重点关注的是学生作为个体在学习数学时所形成的个体数学学习理论，并认为学生在接受数学教育时会经历如下四个阶段：1.操作阶段这个阶段是通过与数学教学内容相关问题的提出而实施的阶段，因此问题的设置是此阶段的重点。

在这个过程中，问题需要达到激发学生学习兴趣，提高学生探索能力的目的。

所以问题的设计和提出必须紧扣教学内容，并在逻辑上具有传承的性质。

通过这个阶段，教师可以让学生了解教学的本质，并为正确发挥主观能动性打下基础。

2.过程阶段这个阶段的主要目的是教师将具体的数学问题让学生通过自己的能力，总结并整理为抽象的思维或概念，通过这种思维接受新的知识。

这是学生在数学的学习阶段实现飞跃的必经阶段，有着重要的承接作用。

3.对象阶段这个阶段使学生对于自己学习的内容实现了“整体认知”过程的形成，并且也实现了通过循序渐进而达到认知问题本质的效果。

让学生个体感知由“知识表面”的形式向掌握“知识实质”的理论进行过渡，变被动为主动，从无意识到有意识。

4.图式阶段这是实现知识消化的“知识重构”过程。

在教育领域，图式结构被认为是可变化的动态表现，同时也是个体受到外界刺激后的“自然反应”。

尽管有的时候这种反映是有意识的，但是这种变化却是“不知不觉”的，这也是学习“是一个长期性、曲折性认知过程”的最好注解。

不难发现，在运用APOS理论进行教学的过程中，操作阶段是起点，过程阶段是过渡，对象阶段是重点，图式阶段是归宿。

认知的层次自下而上，由简至繁，这样的教学结构和方法对于喜欢追求刺激，充满探索精神的初中学生而言是充满诱惑力的。

二、APOS理论在初中数学教学中的应用方法1.操作阶段和问题引导法的结合在APOS理论中，问题引导法的本质在于学生对需要学习的知识和问题的解决方法提出质疑，并给出相应的问题解决思路。

APOS理论指导下的初中数学概念教学

APOS理论指导下的初中数学概念教学作者：王静段有强来源：《数学教学通讯·初中版》2016年第05期[摘要] APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基提出的一种关于概念教学的理论模型，它包括Action（活动阶段），Process（过程阶段），Object（对象阶段）和Scheme（图式阶段）四个阶段. 笔者以“二次函数”为例来研究APOS理论在初中数学概念教学中的应用，这个理论模型实现了旧知识到新知识的自然衔接，在活动中生成、在过程中体验、在操作中建构数学概念.[关键词] APOS理论；初中数学；二次函数什么是APOS理论APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基在数学教学研究的实践中提出的一种关于概念教学的理论模型，它包括Action（活动阶段），Process（过程阶段），Object（对象阶段）和Scheme（图式阶段）四个阶段. 这四个步骤努力营造学生自觉发现、自主建构与形成概念的特点，它是循序渐进、层层递进的.APOS理论认为，学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程，在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或者外部的认知结构，使得主客观彼此一致，才能建构新的认知结构. 因此，在数学概念的教学中，教师应努力引导学生经过思维的操作、过程和对象等几个阶段，使学生在自主建构和不断反思的基础上，把概念组成图式，通过同化或顺应的方式，完善自己的知识结构，从而顺利解决问题.鉴于APOS理论对于数学概念教学的科学性和实用性，笔者就如何进行概念教学作了一些探索. 本文以人教版“二次函数”为载体，谈谈对APOS理论应用于概念教学的一些思考.教学设计1. 教材分析“二次函数”是人教版九年级上册第22章第1节的内容，本节课是在学生学习了变量与函数、一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，引出二次函数的概念. 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是初中阶段整个函数知识体系中最重要的部分. 它在历年的中考题中占有较大比例，它的学习也为高中阶段的函数学习打下了基础，所以本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维有着重要的作用. 而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，为后面学习二次函数的图像、性质及二次函数与一元二次方程的关系等做铺垫，所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用. 另外，通过让学生经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程，体会到它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力.2. 教学目标（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.3. 教学重点及难点教学重点：对二次函数概念的理解.教学难点：由实际问题确定二次函数解析式和自变量的取值范围.4. APOS视角下的教学过程（1）活动阶段（Action）——创设情境，引入概念.活动1：（多媒体展示图片）学生观察图片，教师创设问题情境.篮球运动员投篮、运动场上飞舞的跳绳、花园喷水池喷出的水都会形成一条曲线，这些曲线是什么形状？它们能否用函数关系式来表示？这些曲线有什么性质？这些知识将在本章学习.活动2：我们学习了一次函数和反比例函数，请同学们思考下面问题的函数关系及表达式.①正方体的棱长为x，它的表面积为S，那么S与x的关系是什么？②多边形的对角线d与边数n有什么关系？③某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系该怎样表示？设计意图：APOS理论中的“活动阶段”相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，让学生对概念的形成过程有一个充分体验. 情境的引入是概念建构的起点和生长点，是认识概念的必要条件. 活动1的目的是从生活中的实例出发，引起学生对二次函数的好奇和兴趣. 活动2设置的几个实例，让学生体会引入二次函数概念的实际背景，感受其实际意义，自己动手在实际问题中建立函数模型，列出解析式. 这一环节是对函数概念从抽象到具体，再从具体到抽象的再认识过程，也为后面从解析式中观察、抽象出二次函数的概念做好铺垫.（2）过程阶段（Process）——抽象概括，表述概念.问题：观察思考上面列出的三个式子有什么共同点.归纳总结：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中a，b分别是二次项系数和一次项系数，c是常数项.对于a≠0这个条件准备采用下面的方式进行处理：问题1：请指出一般式y=ax2+bx+c中的常数、变量、自变量、函数.问题2：a能否为0？问题3：b，c能否为0？练习：下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=x；（2）m=2n2-3n；（3）y=2x（x-1）；（4）y=-x；（5）y=（x+3）2-x2；（6）y=3x3+2x2；（7）y=x-2+1.设计意图：APOS理论中的“过程阶段”是学生对具体实体进行思维概括并描述得出数学概念的阶段. 学生通过之前的“活动”对二次函数的概念形成了初步的认识，通过类比一次函数和反比例函数的概念形成过程，引导他们学习观察、归纳二次函数的一般形式，理解解析式的特点，并学会用严谨的数学语言来表述. 而对于概念中的关键词a≠0，通过3个小问题解决，并让学生深刻理解：一个函数是不是二次函数的关键是看二次项系数是否为0，而一次项系数和常数项是否为0无所谓. 为了更好地理解二次函数的概念，及时进行辨析是非常必要的. 在练习中⑤是非常容易判断出错的，这里让学生注意“先化简后判断”.（3）对象阶段（Object）——深入理解，剖析概念.例1：说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.①y=-x2+58x-112；②y=πx2；③y=x（1+x）.例2：已知函数y=ax2+bx+c.①当a，b，c是怎样的数时，它是正比例函数？②当a，b，c是怎样的数时，它是一次函数？③当a，b，c是怎样的数时，它是二次函数？例3：m取何值时，下列函数是二次函数？y=（m+1）xm2-2m-1+（m-3）x+m.设计意图：APOS理论中的“对象阶段”是将过程看作是一个整体，并将其上升为一种意识，作为独立的对象，不断地理解概念的本质. 例1引导学生从中理解二次函数的不同在于a，b，c的不同，为接下来学习二次函数的不同表达形式铺路，打下基础. 例2引导学生注意这里是“函数”而不是“二次函数”，让学生体会系数对函数的影响，认识到研究函数其实就是研究相应系数的变化，这样更能深刻理解二次函数的概念. 例3考查学生是否理解二次函数的概念，看学生是否考虑到自变量的最高次数为2，是否考虑到二次函数有意义的前提条件是二次项系数不为0. 这三道例题由浅入深，循序渐进，不断引导学生理解二次函数的概念.（4）图式阶段（Scheme）——实际应用，形成图式.例4：张大爷用20 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 当x=3 m 时，计算菜园的面积.例5：（拓展与提升）若函数y=x2m+n-2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m，n的值.设计意图：活动、程序、对象可以看作数学知识的三种形态，而图式就是这三种知识形态构成的一种认知结构. 例4体现了二次函数在日常生活中的基本应用，通过练习，学生对概念的理解上升到抽象层面. 同时，体会数学中通过函数建模来解决实际问题的思维方法. 例5考查的是学生对概念的理解运用能力，学生往往能够写出其中的几种答案，但是写全的不多，这里引导学生变换角度思考问题，培养学生分类讨论问题的能力.（5）课堂小结.①二次函数的定义.②二次函数的特殊形式有哪些？一个函数是不是二次函数关键看什么？课后作业：略.教学思考在APOS理论的指导下，“二次函数”的教学案例围绕“活动”“过程”“对象”和“图式”四个阶段实施概念教学，循序渐进，让学生在概念发展的过程中体验、经历生动的思维活动，加深对概念的认识和理解，从而实现概念的建构. 但在运用APOS理论指导数学概念教学时需要注意以下几点.1. A-P-O-S四阶段是一个相对连续的过程这四个阶段代表着概念在学生脑海中建立起来的四个阶段，而且是相对连续的过程，不能跳过中间的某个阶段，任何一个阶段都是不可或缺的. 数学概念的建构是从感性到理性、从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的过程，必须遵循循序渐进的原则.2. 选取合适的问题情境活动阶段的目的是为了引起学生的兴趣，启动学生的思考. 在这一阶段需要以感性材料为基础，设计的问题情境要注意能提示数学知识的现实背景和形成过程，要适合学生的学习水平和心理建构能力. 因此，在选择问题情境时要关注下列方面：①可以揭示数学概念的背景和形成过程；②能层层挖掘概念；（3）有些趣味性，能引起学生积极参与.3. 内容的安排要符合学生的“最近发展区”在安排教学内容时要由易到难，层层递进，符合学生的“最近发展区”. 数学知识有很强的逻辑性，前后知识联系紧密，新知识由旧知识引申、扩展而来，旧知识又能为解决问题服务. 在教学中，教师可以根据学生的差异，帮助学生建立多个递增的“最近发展区”，使教学过程始终有一定的坡度，使学生“跳一跳就能摘到果子”.。

基于APOS理论的初中函数教学研究

基于APOS理论的初中函数教学研究一、内容概要随着教育改革的不断深入，教师在教学过程中逐渐认识到学生主体地位的重要性。

为了更好地激发学生的学习兴趣，提高学生的综合素质，许多教育工作者开始尝试将新的教育理念和教学方法引入到初中数学教学中。

本文基于APOS理论(认知情感动机策略),对初中函数教学进行了深入研究，旨在为初中数学教师提供一种有效的教学策略，以促进学生的全面发展。

创设情境，激发学生的认知兴趣。

通过设计生动有趣的问题和实际生活中的例子，引导学生主动参与课堂讨论，培养学生的问题意识和探究精神。

关注情感因素，营造良好的学习氛围。

教师应关注学生的情感需求，尊重学生的个性差异，鼓励学生表达自己的观点和想法，营造一个积极向上、和谐融洽的学习氛围。

激发学生的动机，提高学生的学习积极性。

教师应关注学生的动机因素，设置合理的目标和任务，激发学生的求知欲和成就感，提高学生的学习积极性。

指导学生的学习策略，提高学生的自主学习能力。

教师应引导学生运用合适的学习策略，如归纳总结、类比推理、模型构建等，提高学生的自主学习能力和解决问题的能力。

加强课堂评价，促进学生的全面发展。

教师应建立科学合理的课堂评价体系，关注学生的认知、情感、动机和策略等方面的表现，及时给予反馈和指导，促进学生的全面发展。

1. 研究背景和意义随着社会的发展和科技的进步，教育改革也在不断地进行。

在初中阶段，函数作为数学的一个重要分支，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

然而在当前的教学过程中，函数教学普遍存在一些问题，如教学内容过于抽象、难以理解，学生对函数的实际应用认识不足等。

因此如何提高初中生的函数学习兴趣和能力，使他们能够更好地掌握函数知识，成为了教育工作者亟待解决的问题。

APOS理论作为一种有效的教学方法，已经在国内外得到了广泛的应用和认可。

APOS(AttentionProcessOutcomeSuccess)理论认为，教师在教学过程中应该关注学生的注意力、过程、结果和成功四个方面，以提高学生的学习效果。

基于APOS理论的初中数学概念教学实践初探

基于APOS理论的初中数学概念教学实践初探作者：***来源：《数学教学通讯·初中版》2022年第01期[摘要] APOS理论是一种关于数学概念教学的建构主义理论. 通过对APOS理论的理解和研究，笔者基于APOS理论设计了一次“直线和圆的位置关系”的概念教学实践，分析和探讨了初中学生在APOS理论四个阶段体现的对数学概念的理解情况，期待APOS理论在数学概念教学实践中能有效地提升教学效率.[关键词] APOS理论;教学模式;数学概念;理解情况前言APOS理论是在20世纪80年代末至90年代初由美国数学家杜宾塞斯（Dubinsky）等人在数学教育研究实践中发展起来的一种数学教学理论. APOS理论是一种关于数学概念教学的建构主义理论，该理论强调教学过程中应将数学概念与现实社会中的实例相结合，学生通过自身的经验，将两者联系起来，让学生经历数学概念的形成过程. APOS理论将数学概念形成过程分为以下循序渐进的四个阶段：操作或活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）、模型阶段（Schema）. 其中，“操作或活动阶段”指学生通过一系列外显的数学探究活动去获得概念的内隐本质的过程;“过程阶段”是“操作或活动阶段”的内化和提升，即学生通过对外显的数学探究活动的进一步思考，抽象出概念的本质特征，将新概念纳入自己的认知结构;“对象阶段”是给抽象出的概念的本质特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的对象;“模型阶段”是学生知识积累的发挥阶段，将新概念与其他概念建立联系，形成知识的综合模型，将这个模型纳入自身的认知结构，与已有知识建立新的实质性联系. 在这四个阶段完成过程中，学生的认知结构在不断地进行调整，使自己不断加深对数学概念的理解，学生的认知水平也会由此上升到更高层次.通过对APOS理论的理解和研究，笔者基于APOS理论设计了一次“直线和圆的位置关系”的概念教学实践，分析和探讨了初中学生在APOS理论四个阶段体现的对数学概念的理解情况，让笔者深有感触，由此以本文章展现出来，期望对初中数学教师设计概念教学模式有所帮助.基于APOS理论的初中数学概念教学模式的实践过程1. 操作或活动阶段“操作或活动阶段”是学生通过一系列外显的数学探究活动去获得概念的内隐本质的过程，虽说“外显的数学探究活动”是该阶段学生获得概念的内隐本质的关键所在，但是其中的“外显”容易让人誤会“探究活动”只是具体实体的动手表象活动，使得不少教师对课程使用的工具和时间的安排容易产生困惑和烦恼，这在一定程度上会让教师本身对课程失去兴趣和控制. 其实，“外显的数学探究活动”还包括一些“抽象的经验或知识”对学习对象内隐本质的显现.环节1 温故知新.回顾1：点和圆的位置关系有_____种. 如图1所示，如果⊙O的半径为r：①点P在圆_____，OP_____r;②点P在圆______，OP______r;③点P在圆______，OP______r.回顾2：如图2所示，已知AB=4 cm：①以A为圆心，5 cm为半径画圆，点B在圆_____;②以A为圆心，4 cm为半径画圆，点B在圆____;③以A为圆心，3 cm为半径画圆，点B在圆____.设计说明对“点和圆的位置关系”的温故知新，是对上位概念的回味，由回味对知识进行迁移，点和圆的三种位置关系对后面类比教学“直线和圆的位置关系”埋下了伏笔. 在回顾1和回顾2中，让学生明白除了用“形”之外，还可以用“数”来判断位置关系，这不仅渗透了转化与化归思想，而且让学生深刻体会了数形结合思想的应用.2. 过程阶段“过程阶段”是“操作或活动阶段”的内化和提升，在课程中让学生明白仅以“形”来判断位置关系是模糊的，应加以数量关系进行判断更具严谨性和科学性，将这样新的研究意识纳入学生的认知系统中. 不仅如此，在过程中通过观察、实验、讨论、合作等数学活动的开展，可使学生更加熟悉探究和创造，逐步了解探索、解决问题的一般方法——类比、转化等.环节2 类比、转化.探究1：如果把“点”换成“直线”，直线和圆的位置关系有哪些？你能够借此在纸上画出来吗？（学生绘画后可以利用动画演示图片）探究2：你画的图有公共点吗？有几个？探究3：如果⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，类比两者的大小：①直线和圆相交？圳d____r，直线与圆有____个公共点;②直线和圆相切？圳d____r，直线与圆有____个公共点;③直线和圆相离？圳d____r，直线与圆有____个公共点.探究4：判断下列直线和圆的位置关系（如图3所示）.设计说明由于学生对“点和圆的位置关系”的理解和掌握，知识的正迁移可以让学生以点在圆内、圆上、圆外类比到直线和圆的三种位置关系——相交、相切、相离，并与相应的公共点的个数相接连;但是当直线和圆相交太近时，学生无法从“形”的角度对直线和圆相交的公共点的个数进行判断（如图3所示），让学生开始明白除去用“形”之外，更加严谨和科学的是用“数”来判断直线和圆的位置关系，这对后面用数量关系来判断位置关系做下了铺垫.3. 对象阶段“对象阶段”是给抽象出的概念的本质特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的对象. 在“直线和圆的位置关系”的教学中，“对象阶段”主要进行的就是，学生在了解了直线和圆的三种位置关系的定义后，从数量关系的角度去研究直线和圆的三种位置关系. 在这个阶段，学生会将动态的直线和圆的位置关系转变成静态的、整体的结构关系——圆的半径r（或直径）与圆心到直线的距离d的数量关系？圳直线和圆的公共点的个数？圳直线和圆的位置关系.环节3 用数量关系判断位置关系.问题1：如果现在已知图3中圆的直径是15 mm，圆心到直线的距离分别是7.49 mm，7.50 mm，7.51 mm，那么图3中直线和圆分别是什么位置关系？它们各有几个公共点？问题2：已知圆的半径为4，设圆心到直线的距离为d，如果直线和圆相交，那么d的取值范围是_______;如果直线和圆相切，那么d的取值范围是________;如果直线和圆相离，那么d的取值范围是______.问题3：如图4所示，点A是一个半径为300 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000 m的笔直公路将两村连通.经测量，得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问：此公路是否会穿过该森林公园？请经过计算说明.设计说明利用圆心和直线的数量关系（距离和半径）来判断直线和圆的位置关系，是学生学习直线和圆的位置关系的性质与判定的阶梯，加强了学生“数”“形”相互转化的意识和应用，让学生理解判断直线和圆的位置关系为什么要转化成圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来实现.4. 模型阶段“模型阶段”是学生知识积累的发挥阶段，将新概念与其他概念建立联系，形成知识的综合模型. 可以说，模型阶段是学生知识总结和拓展阶段，通过持续联系、加工和深化，会使学生对新学的数学概念的理解不断加深，学生的思维和认知水平也会上升到更高水平和更高层次.环节4 总结和拓展.总结：使用数据来判断直线和圆的三种位置关系：拓展1：直线l与⊙O相切于点A，直径AB与直线l有怎样的位置关系？拓展2：圆心到直线的距离如何计算？有哪些方法？拓展3：直线和圆的公共点的个数与二次函数有什么联系？设计说明通过填表的方式引导学生进行总结，回顾本节课所学的主要知识，帮助学生养成总结的好习惯;拓展的内容比较适合学生课后自主探索，通过探索让学生体会知识之间的联系，更容易加深和完善学生对认知结构的建立，这对后期的学习打下了基础.思考从APOS理论可以看出，数学概念教学模式的实践是循序渐进的概念建构过程，在整个过程中，每个阶段都缺一不可. 相应的教学活动在整个过程中或许有些不同，但每个阶段都自有成立的关键之处. 在“操作或活动阶段”，外显的数学探究活动需是学生能够亲身感知、有兴趣去思考的教学活动，在活动中能体验出概念的内隐本质，这是活动设计的关键. 在“过程阶段”，要让学生从直观转化到抽象，再从抽象转化到对象，这既是過程阶段的教学步骤，也是教学指向. 在“对象阶段”，是师生忙碌一阵后看到结果显示的重要时间，无论结果是大或者小，是多或者少，对每位学生来说，都应该熟悉和体验到自己的收获. 在“模型阶段”，知识的综合模型并不是此段学习内容的终点，它是某个层次和更高层次的枢纽，这样的意识是师生都应该具有的.APOS理论是一种教学理论，更加适合数学概念教学，期望有更多教师能够了解它、研究它，得出更多的使用它的策略.。

运用APOS理论进行概念教学的实践研究

运用APOS理论进行概念教学的实践研究运用APOS理论进行概念教学的实践研究—《平面直角坐标系》的教学上海市徐汇区教师进修学院徐晓燕一、关于APOS理论的概述数学概念的获得有两种主要方式：概念形成和概念同化．概念形成要求学生由具体事实概括出新概念，利用学生在实际经验中大量的生动具体事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。

而概念同化则直接向学生展示定义，利用原有认知结构中有关知识理解新概念，比较强调数学知识间的逻辑结构。

而从课堂教学来看，有时存在重结论轻、重灌输轻引导，学生在概念过程的体验不够充分的情况下，就进行大量的概念巩固练习；有时又存在“情境过度”使得概念停留在具体、直观、视觉化的阶段，没有进行逐级升华和抽象，学生无法建立和构造关于新概念的认识结构，无法直达概念本质。

近年来，美国数学家杜宾斯基等人提出一种建构主义学说——APOS理论。

它将数学概念的获得分为“活动—过程一对象一图式”四个阶段：(1) 活动阶段(Action)：亲身体验感受概念的直观背景和概念间的关系，通过操作活动理解概念的意义；(2) 过程阶段（Process）：对“操作”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；(3) 对象阶段（Object）：认识概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象；(4) 图式阶段（Scheme）：不仅反映概念的定义及符号，还要建立与其它概念、规则、图形的联系，形成综合的心理图式。

它强调在数学概念学习中，首先处理的数学问题要有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，在活动中学生在已有的知识和经验基础上，通过思维运算和反省抽象，对概念具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。

APOS理论真实地反映了学习数学概念的思维过程，它不仅指出学生的概念学习是建构的过程，还指明了建构的层次；既强调了概念形成对过程的体验，还强调了概念建构的最终结果—-在脑海里建立综合的心理图式；既重视学生的概念学习的特点，又关注了概念之间的逻辑体系。