2010年高考真题分类汇编(新课标)考点10 解三角形应用举例

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2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2010全国Ⅱ卷文)若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是10x y -+=则()（A ）a=1，b=1（B ）a=-1，b=1（C ）a=1，b =－1（D ）a=-1，b=-1【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =2.(2010全国Ⅱ卷理)若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（）（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.3.(2010全国新课标卷文)曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）（A）1y x =-（B）1y x =-+（C）22y x =-（D）22y x =-+解析：'2y 32,1,1x k y x =-∴==-切线方程为，选A命题意图：本题考查导数的几何意义4.(2010全国新课标卷理)曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A 【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义5.(2010江西理)等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（）A．62 B.92 C.122 D.152【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题10 立体几何

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题10立体几何1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π【答案】D【解析】设PA=PB=PC=2x. ∵E,F 分别为PA,AB 的中点, ∴EF ∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC 为边长为2的等边三角形, ∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x 2,AE=12PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)2×2·x .作PD ⊥AC 于点D,∵PA=PC,∴D 为AC 的中点,cos ∠EAC=AD PA =12x . ∴x 2+4-3+x 24x=12x. ∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2. 又AB=BC=AC=2, ∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62. ∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D.3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN 是相交直线B.BM ≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN 是异面直线D.BM ≠EN,且直线BM,EN 是异面直线【答案】B【解析】如图,连接BD,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点, ∴BM,EN 是相交直线,排除选项C 、D. 作EO ⊥CD 于点O,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD,平面CDE ∩平面ABCD=CD,EO ⊥ CD,EO ⊂平面CDE,∴EO ⊥平面ABCD. 同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形. 设正方形ABCD 的边长为2,易知 EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52, 则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM ≠EN.故选B.5.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β 【答案】B【解析】如图G 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE,易得PE ∥VG,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F,过点D 作DH ∥AC,交BG 于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cos α=PFPB=EG PB=DH PB<BDPB=cos β,所以α>β,因为tan γ=PDED>PDBD=tan β,所以γ>β.故选B.6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3C.24√3D.54√3【答案】B【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为9√3,设△ABC 边长为a,则S=12a ·√32a=9√3.∴a=6,则△ABC 的外接圆半径r=√32×23a=2√3<4. 设球的半径为R,如图,OO 1=√R 2-r 2=√42-(2√3)2=2.当D 在O 的正上方时,V D-ABC =1S △ABC ·(R+|OO 1|)=1×9√3×6=18√3,最大.故选B.7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.2【答案】B【解析】如图所示,易知N 为CD⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=√MC2+NC2=2√5.8.(2018·全国3·理T3文T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应为A中图形.9.(2018·北京·理T5文T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC⊥平面PAD.又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以侧面PAB也是直角三角形.易知PC=2√2,BC=√5,PB=3,从而△PBC不是直角三角形.故选C.10.(2018·上海·T15)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA 1B 1B,E 1-AA 1B 1B,D-AA 1B 1B,D 1-AA 1B 1B,C-AA 1F 1F,C 1-AA 1F 1F,D-AA 1F 1F,D 1-AA 1F 1F,共8个,以对角面AA 1C 1C,AA 1E 1E 为底面矩形的阳马有F-AA 1C 1C,F 1-AA 1C 1C,D-AA 1C 1C,D 1-AA 1C 1C,B-AA 1E 1E,B 1-AA 1E 1E,D-AA 1E 1E,D 1-AA 1E 1E,共8个,所以共有8+8=16(个),故选D.11.(2018·全国1·文T10)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3【答案】C【解析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,连接BC 1,则∠AC 1B 为AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,∠AC 1B=30°,所以在Rt △ABC 1中,BC 1=AB tan∠AC 1B =2√3,又BC=2,所以在Rt △BCC 1中,CC 1=√(2√3)2-22=2√2, 所以该长方体体积V=BC ×CC 1×AB=8√2.12.(2018·全国2·理T9)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.√56C.√55D.√22【答案】C【解析】以DA,DC,DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图, 则D 1(0,0,√3),A(1,0,0),D(0,0,0),B 1(1,1,√3).∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3).设异面直线AD 1与DB 1所成的角为θ. ∴cos θ=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|2×√5|=√55.∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为√55.13.(2018·全国2·文T9)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.√22 B.√32C.√52D.√72【答案】C【解析】如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB. 在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=√5,则tan∠EAB=BEAB =√52,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为√52.14.(2018·全国1·文T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π【答案】B【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2√2,r=√2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.15.(2018·浙江·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.16.(2017·全国2·理T4文T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×12=63π.17.(2017·全国1·理T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S 梯=(2+4)×2÷2=6,所以这些梯形的面积之和为12.18.(2017·全国2·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.√32 B.√155C.√105D.√33【答案】C【解析】方法一:把三棱柱ABC-A 1B 1C 1补成四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,如图, 连接C 1D,BD,则AB 1与BC 1所成的角为∠BC 1D. 由题意可知BC 1=√2,BD=√22+12-2×2×1×cos60°=√3,C 1D=AB 1=√5.可知B C 12+BD 2=C 1D 2,所以cos ∠BC 1D=√2√5=√105,故选C.方法二:以B 1为坐标原点,B 1C 1所在的直线为x 轴,垂直于B 1C 1的直线为y 轴,BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 由已知条件知B 1(0,0,0),B(0,0,1),C 1(1,0,0),A(-1,√3,1),则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,-1).所以cos<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×√2=√105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105.19.(2017·北京·理T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3√2B.2√3C.2√2D.2【答案】B【解析】由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=√22+22+22=2√3.故选B.20.(2017·全国3·理T8文T9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A .π B.3π4C.π2D.π4【答案】B【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=12,底面圆的半径r=BC=√32,所以圆柱的体积是V=πr 2h=π×(√32)2×1=3π4,故选B.21.(2017·全国1·文T6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )【答案】A【解析】易知选项B 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项C 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项D 中,AB ∥NQ,且NQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ,故排除选项B,C,D;故选A.4.(2016·浙江·理T2文T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( ) A.m ∥l B.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 【答案】C【解析】对于选项A,∵α∩β=l ,∴l ⊂α,∵m ∥α,∴m 与l 可能平行,也可能异面,故选项A 不正确; 对于选项B,D,∵α⊥β,m ∥α,n ⊥β,∴m 与n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D 不正确. 对于选项C,∵α∩β=l ,∴l ⊂β. ∵n ⊥β,∴n ⊥l.故选C.22.(2016·天津·文T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )【答案】B【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示.易知其左视图为B 项中图.故选B.23.(2016·全国3·理T10文T11)在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,半径较小的球即为所求.设球的半径为R,∵AB ⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有12(6+8+10)×R=12×6×8,此时R=2;当球与直三棱柱两底面相切时,有2R=3,此时R=32.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为32,故最大体积V=4π(3)3=9π.24.(2016·全国1·文T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB. πC.8πD.4π【答案】A【解析】设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=2则r=√3.所以该球的表面积为4π×(√3)2=12π,故选A.25.(2016·全国1·理T11文T11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.√32B.√22C.√33D.13【答案】A【解析】∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为√32.26.(2016·全国1·理T6文T7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78×4π3×R 3=28π3,解得R=2,故其表面积为78×4πR 2+34×πR 2=14π+3π=17π. 27.(2016·全国2·理T6文T7)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为S=π×(42)2+4π×4+12×4π×√(2√3)2+22=28π,故选C.28.(2016·全国3·理T9文T10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36√5 B.54+18√5 C.90D.81【答案】B【解析】由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3√5,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5,故选B.29.(2016·山东·理T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) A.1+2πB.1+√2πC.1+√2πD.1+√2π【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为√22的半球,体积为V 1=12×43π×(√22)3=√2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V 2=13×1×1=13,故选C.30.(2016·北京·理T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】由三视图可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积V=13×12×1×1×1=16,故选A.31.(2015·全国1·理T6文T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【答案】B【解析】设底面圆弧半径为R,∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π. ∴体积V=14×13π×(16π)2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛). 32.(2015·全国2·理T6文T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D【解析】由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.33.(2015·重庆·理T5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+π B.23+π C.13+2πD.23+2π【答案】A【解析】由题中三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.34.(2015·浙江·理T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A.8 cm 3 B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3【答案】C【解析】由题中三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积V=2×2×2+13×2×2×2=323(cm 3),故选C.35.(2015·山东·理T7)在梯形ABCD 中,∠ABC=π2,AD ∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π【答案】C【解析】由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥,如图所示. V 圆柱=π×12×2=2π,V 圆锥=13×π×12×1=π3. ∴V 几何体=V 圆柱-V 圆锥=2π-π3=5π3.36.(2015·湖南·文T10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=√l 2-r 2=2√2.故该圆锥的体积V=π3×12×2√2=2√2π3.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH 的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN 中,由O 1G ∥ON可得,O 1GON=SO 1SO ,即√22x 1=√2-2√2,解得x=2√23.所以正方体的体积为V 1=(2√23)3=16√227.所以该工件的利用率为V1V =16√22722π3=89π.故选A.37.(2015·全国1·理T11文T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4D.8【答案】B【解析】由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r ×2r+2×12πr 2+πr ×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π, 解得r=2.38.(2015·北京·理T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5【答案】C【解析】作出三棱锥的直观图如图,在△ABC 中,作AB 边上的高CD,连接SD.在三棱锥S-ABC 中,SC ⊥底面ABC,SC=1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC=BC=√5,AB 边上的高CD=2,AD=BD=1,斜高SD=√5.所以S 表=S △ABC +S △SAC +S △SBC +S △SAB =12×2×2+12×1×√5+12×1×√5+12×2×√5=2+2√5. 39.(2015·陕西·理T5文T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S 1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S 2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S 1+2S 2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.40.(2015·浙江·理T8)如图,已知△ABC,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B 的平面角为α,则( ) A.∠A'DB ≤α B.∠A'DB ≥α C.∠A'CB ≤α D.∠A'CB ≥α【答案】B【解析】设∠ADC=θ,设AB=2,则由题意AD=BD=1. 在空间图形中,设A'B=t.在△A'BD 中, cos ∠A'DB=A 'D 2+DB 2-AB 22A 'D×DB =12+12-t 22×1×1=2-t 22. 在空间图形中,过A'作A'N ⊥DC,过B 作BM ⊥DC,垂足分别为N,M.过N 作NP MB,连接A'P,所以NP ⊥DC. 则∠A'NP 就是二面角A'-CD-B 的平面角, 所以∠A'NP=α.在Rt △A'ND 中,DN=A'Dcos ∠A'DC=cos θ,A'N=A'Dsin ∠A'DC=sin θ. 同理,BM=PN=sin θ,DM=cos θ.故BP=MN=2cos θ. 显然BP ⊥面A'NP,故BP ⊥A'P.在Rt △A'BP 中,A'P 2=A'B 2-BP 2=t 2-(2cos θ)2=t 2-4cos 2θ.在△A'NP 中,cos α=cos ∠A'NP=A 'N 2+NP 2-A 'P 22A 'N×NP=sin 2θ+sin 2θ-(t 2-4cos 2θ)=2+2cos 2θ-t 22=2-t 22+cos 2θ2=12cos ∠A'DB+cos 2θ2. 因为1sin 2θ≥1,cos 2θsin 2θ≥0,所以cos α≥cos∠A'DB (当θ=π2时取等号),因为α,∠A'DB ∈[0,π],而y=cos x 在[0,π]上为递减函数,所以α≤∠A'DB.故选B.41.(2015·全国2·理T9文T10)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】因为∠AOB=90°,所以S △AOB =12R 2. 因为V O-ABC =V C-AOB ,而△AOB 面积为定值,所以三棱锥底面OAB 上的高最大时,其体积最大.因为高最大为半径R,所以V C-AOB =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S 球=4πR 2=144π.42.(2015·安徽·理T5)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D.若m,n不平行．．．垂直于同一平面．．．,则m与n不可能【答案】D【解析】A选项α,β可能相交;B选项m,n可能相交,也可能异面;C选项若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确.43.(2015·浙江·文T4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【答案】A【解析】若l⊥β,又l⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,故选项A正确;选项B,l⊥m或l∥m或l与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l∥m或l与m异面都有可能.44.(2015·广东·文T6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【答案】D【解析】l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.45.(2014·浙江·理T3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138(cm2).故选D.46.(2014·陕西·文T5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【答案】C【解析】依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为1,母线长也为1,因此其侧面积为2π×1×1=2π,故选C.47.(2014·辽宁·理T4文T4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【答案】B【解析】对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.48.(2014·广东·理T7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.49.(2014·浙江·文T6)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α【答案】C【解析】当m⊥n,n∥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故A选项错误;当m∥β,β⊥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故选项B错误;当m⊥β,n⊥β,n⊥α时,必有α∥β,从而m⊥α,故选项C正确;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,β为平面ABCD,α为平面ADD1A1,这时满足m⊥n,n ⊥β,β⊥α,但m⊥α不成立,故选项D错误.50.(2014·陕西·理T5)已知底面边长为1,侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3B.4π C.2π D.4π3【答案】D【解析】依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R=√12+12+(√2)2=2,解得R=1,所以V=4π3R 3=4π3.51.(2014·大纲全国·理T8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A【解析】由图知,R 2=(4-R)2+2, ∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94, ∴S 表=4πR 2=4π×8116=814π,选A.52.(2014·湖南·理T7文T8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B. 53.(2014·全国1·理T12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6√2B.6C.4√2D.4【答案】B【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=√(4√2)2+22=6.54.(2014·全国1·文T8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).55.(2014·北京·理T7)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, √2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1【答案】D【解析】三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(1,1,0).显然D 1点为A 1C 1的中点,如图(1),正投影为Rt △A 1B 1C 1,其面积S 1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0),B 2(0,2,0),C 2(0,2,0),D 2(0,1,√2).显然B 2,C 2重合,如图(2),正投影为△A 2B 2D 2,其面积S 2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0),B 3(2,0,0),C 3(0,0,0),D 3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A 3D 3C 3,其面积S 3=12×2×√2=√2. 综上,S 2=S 3,S 3≠S 1.故选D.56.(2014·大纲全国·理T11)已知二面角α-l-β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A.14B.√24C.√34D.12【答案】B【解析】如图,在平面α内过C 作CE ∥AB,则∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E 作EO ⊥β于O. 在平面β内过O 作OH ⊥CD 于H, 连EH,则EH ⊥CD.因为AB ∥CE,AB ⊥l,所以CE ⊥l. 又因为EO ⊥平面β,所以CO ⊥l.故∠ECO 为二面角α-l-β的平面角,所以∠ECO=60°. 而∠ACD=135°,CO ⊥l,所以∠OCH=45°.在Rt △ECO 中,CO=CE ·cos ∠ECO=1·cos 60°=12.在Rt △COH 中,CH=CO ·cos ∠OCH=12·sin 45°=√24. 在Rt △ECH 中,cos ∠ECH=CHCE=√241=√24.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24.故选B.57.(2014·大纲全国·文T4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16B.√36C.13D.√33【答案】B【解析】如图所示,取AD 的中点F,连EF,CF,则EF ∥BD,∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF.由题知,△ABC,△ADC 为正三角形,设AB=2,则 CE=CF=√3,EF=12BD=1.∴在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=CE 2+EF 2-CF 22CE ·EF=√3)22√3)22×√3×1=√36.故选B.58.(2014·全国2·理T6文T6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59C.1027D.13【答案】C【解析】由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示. 切削掉部分的体积V 1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm 3), 原来毛坯体积V 2=π×32×6=54π(cm 3). 故所求比值为V1V 2=20π54π=1027.59.(2014·全国2·文T7)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为√3,D 为BC 中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.√32【答案】C【解析】∵D 是等边△ABC 的边BC 的中点,∴AD ⊥BC. 又ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱, ∴AD ⊥平面BB 1C 1C. 又四边形BB 1C 1C 为矩形,∴S △DB 1C 1=12S 四边形BB 1C 1C =12×2×√3=√3. 又AD=2×√32=√3,∴V A -B 1DC 1=13S △B 1DC 1·AD=13×√3×√3=1.60.(2013·全国1·理T8文T11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱= π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16. 所以所求体积为16+8π.故选A.61.(2013·浙江·文T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108 cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 3【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-13×12×3×42=100(cm 3).故选B.62.(2013·山东·理T4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为9,底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】B【解析】如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O,则可求得AO 长为1,故AP 长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π3,即PA 与平面ABC 所成的角为π3.63.(2013·全国2·理T7文T9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )【答案】A【解析】该四面体在空间直角坐标系O-xyz 中的图象如图所示.则它在平面zOx 上的投影,即正视图为.64.(2013·湖南·理T7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B.√2 C.√2-12 D.√2+12【答案】C【解析】当俯视图是面积为1的正方形时,其正视图的最小面积等于一个面的面积1,最大面积等于对角面的面积√2.故正视图面积S 的取值范围为1≤S≤√2. 因为√2-12<1,故选C.65.(2013·全国1·理T6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 3【答案】A【解析】设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长的一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图. BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由R 2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为4π3×53=5003π(cm 3),故选A.66.(2013·辽宁·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ) A.3√172 B.2√10C.132D.3√10【答案】C。

2010年高考数学试题分类汇编计算题--新课标选考内容(推荐)

2010年高考数学试题分类汇编——新课标选考内容（2010辽宁理数）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E（I ）证明：ABE∆ADC ∆ （II ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，求BAC ∠的大小。

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为A E B A C ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=故△ABE ∽△ADC. ……5分（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB ·AC=AD ·AE. 又S=12AB ·ACsin BAC ∠，且S=12AD ·AE ，故AB ·ACsin BAC ∠= AD ·AE.则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分（2010辽宁理数）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），已知P 为半圆C ：O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。

解：（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π，故点M 的极坐标为（3π，3π）. ……5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（6π），A （0,1），故直线AM 的参数方程为1(1)6x t y π⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ……10分（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形

专题四三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（），所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„，所以1229510ω<„，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确．故选D ．3.解析因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π错误!未找到引用源。

绝对经典2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编

绝对经典2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编——集合与逻辑（2010上海文数）16.“”是“”成立的[答]（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如（2010湖南文数）2.下列命题中的假命题是A.B.C.D.【答案】C【解析】对于C选项x＝1时，，故选C（2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则（A）（B）（C）（D），可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2010陕西文数）6.“a＞0”是“＞0”的 [A](A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断，a＞0”是“＞0”的充分不必要条件（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= [D](A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}(C){x－1≤x≤1} (D){x－1≤x＜1}{x－1≤x≤2}｛xx＜1｝{x－1≤x＜1}，，则（A）（B）（C）（D）解析：选D.在集合中，去掉，剩下的元素构成（2010辽宁理数）(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是(A)(B)(C)(D)【答案】C【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。

【解析】由于a>0,令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0==,ymin=，那么对于任意的x∈R,都有≥=（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学解三角形(含答案)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题, 1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14则b=()cA.6B.5C.4D.3【答案】A。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题05 三角函数(含解析)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题05 三角函数1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos 2α.∵α∈（0,π2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sin 2α+cos 2α=1, ∴5sin 2α=1,即sin 2α=15. ∵sin α>0,∴sin α=√55. 故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x 1=π4,x 2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.32C.1D.12【答案】A【解析】由题意,得f(x)=sin ωx 的周期T=2πω=23π4−π4=π,解得ω=2,故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为π2,且在区间（π4,π2）内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间（π4,π2）内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g（π4）=√2,则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2 【答案】C【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π,∴2πω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2,得Asin π4=√2,∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.(方法二)观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S 的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.6.(2019·全国3·理T 12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125,2910) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+π5<6π, 解得125≤ω<2910,故④正确.画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2, ∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P 在CD ⏜上,则tan α>sin α,排除B;若P 在GH⏜上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B【解析】因为cos 2α=2cos 2α-1=23,所以cos 2α=56,sin 2α=16.所以tan 2α=15,tan α=±√55. 由于a,b 的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=√55, 由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55. 9.(2018·全国3·T4)若sin α=13,则cos 2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89【答案】B【解析】cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(13)2=79. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=tanx1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C.π D.2π【答案】C【解析】f(x)=tanx1+tan 2x =sinx cosx1+sin 2x cos 2x=sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin 2x,∴f(x)的最小正周期是π.故选C.11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】因为f(x)=2cos 2x-(1-cos 2x)+2=3cos 2x+1=3×1+cos2x 2+1=32cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π,当cos 2x=1时,f(x)max =4.12.(2018·天津·理T 6)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减【答案】A【解析】函数y=sin (2x +π5)y=sin [2(x -π10)+π5]=sin 2x.当-π2+2k π≤2x≤π2+2k π,k ∈Z,即-π4+k π≤x≤π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增. 当π2+2k π≤2x≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4+k π≤x≤3π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x 在[3π4,5π4]上单调递增.故选A. 13.(2018·全国2·理T 10)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】f(x)=cos x-sin x=-√2sin x ·√22-cos x ·√22=-√2sin x-π4,当x ∈[-π4,34π],即x-π4∈[-π2,π2]时,y=sin x-π4单调递增,y=-√2sin x-π4单调递减.∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆[-π4,34π],∴0<a≤π4,∴a 的最大值为π4.14.(2017·全国3·文T4)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( ) A.-79B.-29C.29D.79【答案】A【解析】∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79. 15.(2017·山东·文T4)已知cos x=34,则cos 2x=( ) A.-14 B.14C.-18D.18【答案】D【解析】cos 2x=2cos2x-1=2×(34)2-1=18.16.(2017·全国3·理T6)设函数f(x)=cos (x +π3),则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】由f (x )=cos (x +π3)的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A 中结论正确;将x=8π3代入f (x )=cos (x +π3),得f (8π3)=-1,故y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称,故B 中结论正确;f (x+π)=cos (x +4π3),当x=π6时,f (x+π)=cos (π6+4π3)=0,故C 中结论正确;当x ∈(π2,π)时,x+π3∈(5π6,4π3),显然f (x )先单调递减再单调递增,故D 中结论错误. 17.(2017·全国2·文T3)函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期为( ) A.4π B.2π C .πD.π2【答案】C【解析】T=2π2=π,故选C .18.(2017·天津·T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24 D .ω=13,φ=7π24 【答案】A 【解析】∵f （5π8）=2,f （11π8）=0,且f (x )的最小正周期大于2π,∴f (x )的最小正周期为4（11π8−5π8）=3π. ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin （23x+φ）. ∴2sin （23×5π8+φ）=2,∴φ=2k π+π12,k ∈Z . 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=π12.19.(2017·山东·文T7)函数y=√3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C .π D.2π【答案】C【解析】因为y=√3sin 2x+cos 2x=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),所以其最小正周期T=2π2=π. 20.(2017·全国1·理T 9)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 【答案】D【解析】曲线C 1的方程可化为y=cos x=sin (x +π2),把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin (2x +π2)=sin 2(x +π4),为得到曲线C 2:y=sin 2(x +π3),需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.21.(2017·全国3·文T 6)函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( ) A.65 B.1C.35D.15【答案】A【解析】因为cos (x -π6)=cos [π2-(x +π3)]=sin (x +π3),所以f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3),故函数f (x )的最大值为65.故选A .22.(2016·全国2·理T9)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-725【答案】D【解析】cos [2(π4-α)]=2cos 2(π4-α)-1=2×(35)2-1=-725,且cos [2(π4-α)]=cos (π2-2α)=sin 2α,故选D .23.(2016·全国3·理T5)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】由tan α=34,得cos2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=42516=6425.故选A .24.(2016·全国3·文T6)若tan θ=-13,则cos 2θ=( ) A.-45B.-15C.15D.45【答案】D【解析】cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-(-13)21+(-13)2=45.故选D .25.(2016·全国1·理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f (x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【答案】B【解析】由题意知π4--π4=T4+kT2,k ∈Z,即π2=2k+14T=2k+14·2πω,k ∈Z,又ω>0,所以ω=2k+1,k ∈Z .又因为f (x )在(π18,5π36)单调, 所以5π36−π18≤T2,T ≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.因为ω>0,所以0<ω≤12.若ω=11,又|φ|≤π2,则φ=-π4,此时f (x )=sin 11x-π4,f (x )在π18,3π44单调递增,在3π44,5π36单调递减,不满足条件;若ω=9,又|φ|≤π2,则φ=π4,此时f (x )=sin 9x+π4,满足f (x )在π18,5π36单调的条件,由此得ω的最大值为9.26.(2016·山东·理T7)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B .πC.3π2D.2π【答案】B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3),故最小正周期T=2π2=π,应选B .27.(2016·浙江·理T5)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( ) A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关【答案】B【解析】f (x )=sin 2x+b sin x+c=1-cos2x2+b sin x+c =-12cos 2x+b sin x+12+c.当b=0时,f (x )=-12cos 2x+12+c ,周期T=π; 当b ≠0时,f (x )=-12cos 2x+b sin x+12+c ,∵y=-12cos 2x 的周期为π,y=b sin x 的周期为2π, ∴f (x )的周期T=2π.∴f (x )的最小正周期与b 有关,但与c 无关.故选B .28.(2016·全国2·文T3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3)C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2[π3-(-π6)]=π, 所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ). 因为函数图象过点(π3,2), 所以2=2sin (2×π3+φ).所以2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A .29.(2016·全国2·理T 7)若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A.x=kπ2−π6(k ∈Z) B.x=kπ2+π6(k ∈Z) C.x=kπ2−π12(k ∈Z) D.x=kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】由题意可知,将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度得函数y=2sin [2(x +π12)]=2sin (2x +π6)的图象,令2x+π6=π2+k π(k ∈Z),得x=kπ2+π6(k ∈Z).故选B .30.(2016·全国1·文T 6)将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4) B .y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4) D.y=2sin (2x -π3) 【答案】D【解析】由已知周期T=π,右移14T=π4后得y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3)的图象,故选D .31.(2016·四川·理T 3)为了得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需把函数y=sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)].32.(2016·北京·理T 7)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x 的图象上,则( ) A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3 D.t=√32,s 的最小值为π3【答案】A【解析】设P'(x ,y ).由题意得t=sin (2×π4-π3)=12,且P'的纵坐标与P 的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin 2x 的图象上,则sin 2x=12,故点P'的横坐标x=π12+k π(k ∈Z)或5π12+k π(k ∈Z),结合题意可得s 的最小值为π4−π12=π6.33.(2016·全国2·文T 11)函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B【解析】因为f (x )=1-2sin 2x+6sin x=-2sin x-322+112,而sin x ∈[-1,1],所以当sin x=1时,f (x )取最大值5,故选B .34.(2015·福建·文T6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125B.-125C.512 D.-512【答案】D【解析】∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=√1-sin 2α=1213.∴tan α=sinαcosα=-512.35.(2015·全国1·理T 2,)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32 B.√32C.-12D.12【答案】D【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(10°+20°)=sin 30°=12.36.(2015·重庆·理T9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.37.(2015·重庆·文T6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A.17 B.16C.57D.56【答案】A【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα=12-131+12×13=17.38.(2015·安徽·理T10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 【答案】A【解析】将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间内.∵f (x )的最小正周期为π,∴f (-2)=f (π-2).又当x=2π3时,f (x )取得最小值, 故当x=π6时,f (x )取得最大值,π6,2π3是函数f (x )的一个递减区间.又∵π6<π-2<2<2π3,∴f (π-2)>f (2),即f (-2)>f (2).再比较0,π-2与对称轴x=π6距离的大小.∵π-2-π6-0-π6=5π6-2-π6=2π3-2>0, ∴f (0)>f (π-2),即f (0)>f (-2),综上,f (0)>f (-2)>f (2).故选A .39.(2015·全国1·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2kπ-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈ZD.(2k -14,2k +34),k ∈Z 【答案】D【解析】不妨设ω>0,由函数图象可知,其周期为T=2×(54-14)=2,所以2πω=2,解得ω=π.所以f (x )=cos(πx+φ).由图象可知,当x=12(14+54)=34时,f (x )取得最小值,即f (34)=cos (3π4+φ)=-1, 解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z),解得φ=2k π+π4(k ∈Z). 令k=0,得φ=π4,所以f (x )=cos (πx +π4). 令2k π≤πx+π4≤2k π+π(k ∈Z), 解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z).所以函数f (x )=cos (πx +π4)的单调递减区间为[2k -14,2k +34](k ∈Z).结合选项知选D .40.(2015·陕西·理T 3文T 14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin (π6x +φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 【答案】C【解析】因为sin (π6x +φ)∈[-1,1],所以函数y=3sin (π6x +φ)+k 的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8.故选C .41.(2015·山东·理T 3文T 4)要得到函数y=sin (4x -π3)的图象,只需将函数y=sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位【答案】B【解析】∵y=sin (4x -π3)=sin [4(x -π12)],∴只需将函数y=sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可.42.(2014·全国1·T 文2)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0【答案】C【解析】由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C . 43.(2014·大纲全国·文T2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cos α=x r =-45,故选D .44.(2014·全国1·理T8)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2【答案】C 【解析】由已知,得sinαcosα=1+sinβcosβ, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β. ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α, ∴sin(α-β)=sin (π2-α). ∵α∈(0,π2),β∈(0,π2), ∴-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,∴α-β=π2-α,∴2α-β=π2.故选C .45.(2014·大纲全国·理T3)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 【答案】C【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°cos35°, ∴sin35°cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选C .46.(2014·全国1·文T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2x +π6),④y=tan (2x -π4)中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③【答案】A【解析】由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π2=π;由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π;函数y=cos (2x +π6)的周期为2π2=π;函数y=tan （2x-π4）的周期为π2,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A.47.(2014·全国1·理T 6)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知C 项中图符合.故选C .48.(2014·浙江·理T 4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=√2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移π4个单位 B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位【答案】C【解析】y=sin 3x+cos 3x=√2cos (3x -π4)=√2cos [3(x -π12)],因此需将函数y=√2cos 3x 的图象向右平移π12个单位.故选C .49.(2013·浙江·理T6)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( ) A.43B.34C.-34 D.-43【答案】C【解析】由sin α+2cos α=√102,得sin α=√102-2cos α. ① 把①式代入sin 2α+cos 2α=1中可解出cos α=√1010或cos α=3√1010, 当cos α=√1010时,sin α=3√1010; 当cos α=3√1010时,sin α=-√1010. ∴tan α=3或tan α=-13,∴tan 2α=-34.50.(2013·大纲全国·文T2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213B.-513C.513D.1213【答案】A 【解析】∵α是第二象限角,∴cos α=-√1-sin 2α=-√1-(513)2=-1213.故选A . 51.(2013·广东·文T4)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15C.15 D.25【答案】C【解析】∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α=15,∴cos α=15.52.(2013·全国2·文T6)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( )A.16 B.13C.12D.23【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.53.(2012·全国·理T9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是()A.[12,54] B.[12,34] C.(0,12] D.(0,2]【答案】A【解析】结合y=si n ωx的图象可知y=sin ωx在[π2ω,3π2ω]单调递减,而y=sin（ωx+π4）=sin[ω（x+π4ω）],可知y=sin ωx的图象向左平移π4ω个单位之后可得y=sin(ωx+π4)的图象,故y=sin(ωx+π4)在[π4ω,5π4ω]单调递减,故应有[π2,π]⊆[π4ω,5π4ω],解得12≤ω≤54.54.(2012·全国·文T9)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4【答案】A【解析】由题意可知函数f(x)的周期T=2×(5π4-π4)=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ).令x+φ=kπ+π2,将x=π4代入可得φ=kπ+π4,∵0<φ<π,∴φ=π4.55.(2011·全国·理T5文T7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45【答案】B【解析】由三角函数的定义知tan θ=2,且θ为第一或第三象限角,故由“1”的代换得cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos 2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-221+22=-35.56.(2011·全国·理T11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在(0,π2)单调递减B.f(x)在(π4,3π4)单调递减C.f(x)在(0,π2)单调递增D.f(x)在(π4,3π4)单调递增【答案】A【解析】∵f (x )=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+π4,又∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,即ω=2.又f (-x )=f (x ),故f (x )是偶函数,即φ+π4=π2+k π(k ∈Z),φ=k π+π4(k ∈Z).因|φ|<π2,取k=0,则φ=π4,从而f (x )=√2cos 2x ,且在(0,π2)上单调递减,故选A .57.(2011·全国·文T11)设函数f(x)=sin (2x +π4)+cos (2x +π4),则( ) A.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称【答案】D【解析】∵f (x )=sin (2x +π4)+cos (2x +π4)=√2sin (2x +π4+π4)=√2cos 2x ,∴f (x )在(0,π2)内单调递减,且图象关于直线x=π2对称.故选D . 58.(2010·全国·理T9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tan α21-tanα2=( )A.-12B.12C.2D.-2【答案】A【解析】∵cos α=-45,α为第三象限角,∴sin α=-35.1+tan α21-tan α2=1+sin α2cos α21-sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2-sin α2=(cos α2+sin α2) 2(cos α2+sin α2)(cos α2-sin α2)=1+sinαcos 2α2-sin 2α2=1+sinαcosα=-12.59.(2010·全国·文T10)若cos α=-45,α是第三象限的角,则sin (α+π4)等于( )A.-7√210B.7√210C.-√210 D.√210【答案】A【解析】因为α是第三象限的角,所以sin α<0.sin α=-√1-cos 2α=-√1-(-45)2=-35.故sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=√22(sin α+cos α)=√22(-35-45)=-7√210.60.(2010·全国·文T 6)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(√2 ,-√2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数大致图象为( )【答案】C【解析】因为d 是圆周上的点P 到x 轴的距离,所以每转半周,即π弧度,d 的值就会周期性出现,又质点P 的角速度为1,可知,该函数的周期为T=π1=π.起始点为P 0(√2,-√2)在第四象限,对应的d=√2,逆时针旋转到x 轴时,d 的值逐渐减小到0且此时t=π4.综上,只有C 项满足,故选C .61.(2019·江苏·T13)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin 2α+π4的值是 .【答案】√210 【解析】由tanαtan (α+π4)=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,得3tan 2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-13.又sin (2α+π4)=sin 2αcos π4+cos 2αsin π4=√22(sin 2α+cos 2α)=√22×2sinαcosα+cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=√22×2tanα+1-tan 2αtan 2α+1. (*) ①当tan α=2时,(*)式=√22×2×2+1-2222+1=√22×15=√210;②当tan α=-13时,(*)式=√22×2×(-13)+1-(-13)2(-13)2+1=√22×13-19109=√210.综上,sin (2α+π4)=√210.62.(2019·全国1·文T 15)函数f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x 的最小值为.【答案】-4【解析】f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos 2x-3cos x+1=-2(cosx +34)2+178. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min =-4. 故函数f(x)的最小值是-4.63.(2018·全国2·理T15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 【答案】—12【解析】∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,∴sin 2α+cos 2β+cos 2α+sin 2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=−12.64.(2018·全国2·文T15)已知tan α-5π4=15,则tan α=_________.【答案】32【解析】∵tan (α-54π)=tanα-tan 54π1+tanαtan 54π=tanα-11+tanα=15,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=32.65.(2018·北京·理T11)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).若f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为____________. 【答案】23【解析】∵f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,∴当x=π4时,f(x)取得最大值,即f (π4)=cos (π4ω-π6)=1, ∴π4ω-π6=2k π,k ∈Z,∴ω=8k+23,k ∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值23.66.(2018·全国3·理T 15)函数f(x)=cos (3x +π6)在[0,π]的零点个数为 . 【答案】3【解析】令f(x)=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.67.(2018·全国1·理T 16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.68.(2018·江苏·T 7)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为_______. 【答案】−π6【解析】由题意可得sin (2π3+φ)=±1,解得2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),即φ=-π6+k π(k ∈Z). 因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.69.(2017·北京·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= 【答案】13【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称,得α+β=2k π+π,k ∈Z,即β=2k π+π-α,k ∈Z,故sinβ=sin(2k π+π-α)=sin α=13.70.(2017·全国1·文T15)已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)=__________.【答案】3√1010【解析】由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈(0,π2),所以cos α=√55,sin α=2√55.因为cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4,所以cos (α-π4)=√55×√22+2√55×√22=3√1010.71.(2017·北京·理T12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=________________. 【答案】-79【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin 2α-1=2×(13)2-1=-79.72.(2017·江苏·T5)若tan (α-π4)=16,则tan α=________.【答案】75【解析】因为tan (α-π4)=tanα-tan π41+tanα·tan π4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75.73.(2017·全国2·理T 14)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是________. 【答案】1【解析】由题意可知f (x )=1-cos2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cosx -√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cos x ∈[0,1]. 所以当cos x=√32时,函数f (x )取得最大值1.74.(2017·全国2·文T 13)函数f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 【答案】√5【解析】因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )的最大值为√5. 75.(2016·全国1·文T14)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= . 【答案】-43【解析】∵sin (θ+π4)=35,∴cos (θ-π4)=cos [(θ+π4)-π2]=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin (θ-π4)=-45.∴tan (θ-π4)=-43.76.(2016·四川·文T 11)sin 750°= . 【答案】12【解析】sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 77.(2016·四川·理T11)cos 2π8-sin 2π8=_________. 【答案】√22【解析】cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.78.(2016·浙江·T10)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=√2,b= . 【答案】1【解析】因为2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4)+1,所以A=√2,b=1.79.(2016·全国3·理T 14)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】2π3【解析】因为y=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),y=sin x-√3cos x=2sin （x-π3）=2sin[（x-2π3）+π3],所以函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.80.(2015·江苏·理T8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 【答案】3【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tanαtan (α+β)=17+21-27=3.81.(2015·四川·理T 12)sin 15°+sin 75°的值是_____________. 【答案】√62【解析】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×√22×√32=√62. 82.(2015·四川·文T13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 【答案】-1【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=-1. 83.(2015·天津·文T14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 【答案】√π2【解析】f (x )=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+π4,因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z . 又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,所以ω=√π2.84.(2015·湖南·文T15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=____________. 【答案】π2【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象,A ,B 为符合条件的两交点.则A (π4ω,√2),B (-3π4ω,-√2), 由|AB|=2√3,得√(πω)2+(2√2)2=2√3,解得πω=2,即ω=π2.85.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 【答案】1【解析】∵f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.86.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.87.(2014·重庆·文T13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=______.【答案】√22【解析】本题可逆推,将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.88.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.89.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f (x )max =1.90.(2013·全国2·理T15)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 【答案】-√105【解析】由tan (θ+π4)=1+tanθ1-tanθ=12,得tan θ=-13,即sin θ=-13cos θ.将其代入sin 2θ+cos 2θ=1,得109cos 2θ=1.因为θ为第二象限角,所以cos θ=-3√1010,sin θ=√1010,sin θ+cos θ=-√105.91.(2013·全国2·文T 16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ=_________. 【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.92.(2013·全国1·理T 15文T 16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 【答案】−2√55【解析】∵f (x )=sin x-2cos x=√5sin(x-φ), 其中sin φ=2√55,cos φ=√55.当x-φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 93.(2011·江西·理T14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 【答案】-8【解析】∵sin θ=-2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,∴θ为第四象限角.又由三角函数的定义得√4+y 2=-2√55,且y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).故y=-8.94.(2019·浙江·T18)设函数f(x)=sin x,x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),。

十年高考真题分类汇编数学专题解三角形

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知及正弦定理,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+c 2-a 22bc,∴c 2-4c 22bc =-14,∴-3c 2b =-14,∴b c =32×4=6,故选A. 2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5【答案】A【解析】∵cos C=2cos 2C2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A.π2 B.π3C.π4 D.π6【答案】C【解析】由S=a 2+b 2-c 24=12absin C,得c 2=a 2+b 2-2absin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A 【答案】A【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,又△ABC 为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A ∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA =csinC ,得2sin 3π4=√2sinC ,即sin C=12,所以C=π6,故选B.6.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.由余弦定理,得cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=22-22×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.7.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于1BC,则sin A=( ) A.310B.√10C.√55D.3√10【答案】D【解析】记角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S △ABC =12a·a 3=12acsin B,∴c=√23a.∴b 2=a 2+(√23a)2-2a·√2a 3·√22=5a 29,即b=√5a3.由正弦定理a=b,得sin A=asinBb=a×√225a3=3√1010.故选D.8.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2 B.√3C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 即5=b 2+4-4b ×23,即3b 2-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.9.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC 2+3AC,∴AC=1.故选A.10.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 又因为b=c,所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A). 由已知a 2=2b 2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A ∈(0,π),所以A=π4.11.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3 B.2√2C.2D.√3【答案】C【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2.12.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=()A.5B.√5C.2D.1【答案】B【解析】由题意知S△ABC=12AB·BC·sin B,即12=12×1×√2sin B,解得sin B=√22.则B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×√22=1,此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×(-√22)=5,解得AC=√5,符合题意.故选B.13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m【答案】C【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60√3(m),DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°)=60×tan45°-tan30°°°=60×1-√331+33=(120-60√3) m.所以BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C.14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.5【答案】D【解析】由23cos 2A+cos 2A=0,得cos 2A=125. ∴cos A=±15.∵A ∈(0,π2),∴cos A=15. ∵cos A=36+b 2-492×6b,∴b=5或b=-135(舍).15.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1【答案】B【解析】A=π-(B+C)=7π12, 由正弦定理得a sinA =b sinB, 则a=bsinA sinB=2sin 7π12sin π6=√6+√2,∴S △ABC =12absin C=12×2×(√6+√2)×√22=√3+1.二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________. 【答案】6√3【解析】∵b 2=a 2+c 2-2accos B, ∴(2c)2+c 2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去). ∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12acsin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】3π4【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A ∈(0,π),B ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=3π4.3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= . 【解析】如图所示,设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4=xsinα=3√2⇒sin α=3√2.在△ABD中,由正弦定理得5-xsin(π2-α)=4sin 3π4=4√2⇒cos -4√2由sin 2α+cos 2α=x 218+(5-x )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠ABD =4sin(π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】√2173【解析】由正弦定理asinA=bsinB ,可知sin B=√217.∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B =2√77. ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=√7.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2abcos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是 .【答案】π(2,+∞)【解析】由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac,∴a 2+c 2-b 2=2accos B.又∵S=√34(a 2+c 2-b 2),∴12acsin B=√34×2accos B,∴tan B=√3,∴∠B=π3.又∵∠C 为钝角, ∴∠C=2π3-∠A>π2,∴0<∠A<π6. 由正弦定理得ca=sin(2π3-∠A)sinA=√32cosA+12sinAsinA=12+√32·1tanA .∵0<tan A<√33,∴1tanA>√3,∴c a >12+√32×√3=2,即ca >2.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 . 【答案】2√33【解析】∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=12.由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =82bc =4bc>0,∴cos A=√3,bc=4=8√3,∴S △ABC =12bcsin A=12×8√33×12=2√33. 7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=√154,cos ∠ABC=14.所以S △BDC =12BC·BD·sin ∠DBC=12×2×2×√154=√152.因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14=BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC=8-CD 28,所以CD=√10.由余弦定理,得cos ∠BDC=-2×2×√10=√104.8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 【答案】75° 【解析】由正弦定理得b =c,即sin B=bsinCc=√6×√323=√22.因为b<c,所以B<C,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017·全国2·文T 16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 【答案】π3【解析】由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________. 【答案】2113【解析】因为cos A=4,cos C=513,且A,C 为△ABC 的内角,所以sin A=3,sin C=12,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365. 又因为a sinA=bsinB,所以b=asinB sinA=2113. 11.(2016·北京·文T 13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc = .【答案】1【解析】由正弦定理知sinA sinC=ac =√3,即sin C=sin 2π3√3=12,又a>c,可得C=π6,∴B=π-2π3−π6=π6,∴b=c,即bc=1.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是. 【解析】如图.作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值范围为(√6−√2,√6+√2).13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC=___________. 【答案】√6【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得AD sinB =ABsin∠ADB,即√3sin120°=√2sin∠ADB,所以sin∠ADB=√22,可得∠ADB=45°,则∠BAD=∠DAC=15°.所以∠ACB=30°,∠BAC=30°.所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=√2.由余弦定理,得AC=√AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°=√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2×(-12)=√6.14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.【答案】100【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°.在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由BC sin∠BAC=ABsin∠ACB ,得BC=AB ·sin∠BAC sin∠ACB=600×1222=300√2(m).在Rt △BCD 中,CD=BC·tan∠CBD =300√2×√33=100√6(m).15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 【答案】7【解析】由S △ABC =12|AB|·|AC|·sin A=12×5×8·sin A=10√3,得sin A=√32.∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×12=49,∴BC=7.16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 【答案】8【解析】∵S △ABC =12bcsin A=12bc -cos 2A =12bc×√15=3√15,∴bc=24.又b-c=2,∴a 2=b 2+c 2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×(-14)=4+2×24+12×24=64.∵a 为△ABC 的边,∴a=8.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC 中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 【答案】2【解析】∠C=60°,根据正弦定理,得ABsinC=ACsinB,所以AC=√22×√6√32=2.18.(2015·福建·文T14)若△ABC 中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________. 【答案】√2【解析】B=60°,由正弦定理,得√3sin60°=BCsin45°,得BC=√2.19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14,3sin A=2sin B,则c= .【答案】4【解析】由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.由余弦定理可得c=√a2+b2-2abcosC=√22+32-2×2×3×(-14)=4.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.【答案】1【解析】在△ABC中,由正弦定理,得sin2AsinC =2sinAcosAsinC=2cos A·ac=2cos A×46=43cos A,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2AsinC =43×34=1.21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【答案】√3【解析】由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b 2+c2-a22bc=12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.【答案】150【解析】在Rt △ABC 中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100√2 m.在△MAC 中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得AC sin∠AMC=MAsin∠MCA ,于是MA=100√2×√32√22=100√3(m).在Rt △MNA 中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√3×√32=150(m),即山高MN=150 m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC 中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为___________. 【答案】2√7【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得a sinA =c sinC =AC sinB =√3√32=2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120°,AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C) =2sin C+4(√32cosC +12sinC)=4sin C+2√3cos C =2√7sin(C+φ)(其中tanφ=√32). 故当C+φ=90°时,AB+2BC 取最大值2√7.24.(2011·全国·文T 15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 . 【答案】15√34【解析】在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B,即BC 2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去).S △ABC =12·AB·BC·sin 120°=12×5×3×√32=15√34.25.(2010·全国·理T16)在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为3-√3,则∠BAC= . 【答案】60°【解析】由S △ADC =12×2×DC×√32=3-√3,解得DC=2(√3-1),则BD=√3-1,BC=3(√3-1).∵在△ABD 中,AB 2=4+(√3-1)2-2×2×(√3-1)×cos 120°=6,∴AB=√6.在△ACD 中,AC 2=4+[2(√3-1)]2-2×2×2(√3-1)×cos 60°=24-12√3,∴AC=√6(√3-1).则cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=-√3-(-√3)2×6×6×31=12,∴∠BAC=60°.26.(2010·全国·文T16)在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________. 【答案】2+√5【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=√2a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD 与三角形ADC 中由余弦定理,有{a 2=k 2+2+2k ,2a 2=4k 2+2-4k ,所以k 2-4k-1=0,所以k=2+√5.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C. (1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.【解析】(1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° =√6+√24.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sinA+C2=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B2, 故cos B 2=2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√3a.由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC =√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°, 故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB=csinC ,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin （2B+π）=sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π6=-√158×√32−78×12=-3√5+716.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinAa=cosB2b,求sin (B +π2)的值.【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由余弦定理cos B=a 2+c 2-b 22ac,得23=(3c )2+c 2-(√2)22×3c×c ,即c 2=13.所以c=√33.(2)因为sinA =cosB, 由正弦定理a =b , 得cosB 2b=sinBb ,所以cos B=2sin B.从而cos 2B=(2sin B)2,即cos 2B=4(1-cos 2B),故cos 2B=45. 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√55.因此sin (B +π2)=cos B=2√55.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.【解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin∠A=ABsin∠ADB .由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235.(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25.所以BC=5.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.【解析】(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π), ∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理,得asinA=bsinB ⇒7sinA =4√37, ∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314. 如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D. ∵sin C=h BC,∴h=BC·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√3.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理asinA=bsinB ,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acos (B -π6),得asin B=acos (B -π6),即sin B=cos (B -π6),可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (B -π6),可得sin A=√3√7.因为a<c,故cos A=7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4√37×12−17×√32=3√314.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.【解析】(1)在△ABC 中,因为a>b, 故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理a sinA=bsinB ,得sin A=asinB b=3√1313.所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313. (2)由(1)及a<c,得cos A=2√1313, 所以sin 2A=2sin Acos A=12,cos 2A=1-2sin 2A=-5.故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7√226.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B,及a sinA=bsinB ,得a=2b.由ac=√5(a 2-b 2-c2),及余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√55ac ac=-√55.(2)由(1),可得sin A=2√55,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA 4b=√55.由(1)知,A 为钝角,所以cos B=√1-sin 2B =2√55.于是sin 2B=2sin Bcos B=45,cos 2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45×(-√55)−35×2√55=-2√55.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12acsin B=a 23sinA ,即12csin B=a 3sinA .由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA. 故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π.由题设得12bcsin A=a 23sinA,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =12acsin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3. 在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3, 即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×1,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,所以bccos A=-6, 又S △ABC =3,所以bcsin A=6.因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=3π. 又b=3,所以c=2√2.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,得a 2=9+8-2×3×2√2×(-√22)=29,所以a=√29.15.(2016·北京,理15,12分,难度)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac.(1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 【解析】(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2-b22ac=√2ac 2ac =√22.又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π-A) =√2cos A-√22cos A+√22sin A=√22cos A+√22sin A=cos (A -π4).因为0<A<3π4,所以当A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 【解析】(1)证明由题意知2(sinA cosA +sinBcosB)=sinA cosAcosB +sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知c=a+b2,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=a 2+b 2-(a+b 2)22ab=38(a b +b a )−14≥12,当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cos A=13,求sin C 的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由a sinA=bsinB ,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos B=√32,得B=π6.(2)由cos A=13,可得sin A=2√23,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin (A +π6)=√32sin A+12cos A=2√6+16.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosBb =sinCc .(1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc,求tan B. 【解析】(1)证明根据正弦定理,可设a sinA=b sinB =csinC =k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入cosA a+cosBb =sinCc 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C. (2)解由已知,b 2+c 2-a 2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35.所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以45sin B=45cos B+35sin B, 故tan B=sinBcosB =4. 19.(2016·浙江·文T 16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C 的值.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由cos B=23得sin B=√5,cos 2B=2cos 2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=4√5,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.20.(2016·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.【解析】(1)由已知及正弦定理,得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=12,所以C=π3.(2)由已知,12absin C=3√32.又C=π,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为5+√7.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若△ABC 的面积S=a 24,求角A 的大小.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解由S=a 24得12absin C=a 24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B. 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C ∈(0,π),所以C=π2±B. 当B+C=π2时,A=π2; 当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π或A=π.22.(2015·全国2·理T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sinBsinC; (2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.【解析】(1)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sinB sinC=AC AB=12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB,AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC 的面积. 【解析】(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac,得c=a=√2. 所以△ABC 的面积为S=12ac=1.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.【解析】(1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2. (2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55.又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4+C), 所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b,又因为A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2.故b=3.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos 2(x +π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若f (A2)=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 【解析】(1)由题意知f(x)=sin2x 2−1+cos (2x+π2)2=sin2x 2−1-sin2x 2=sin 2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z); 单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z). (2)由f (A2)=sin A-12=0,得sin A=12, 由题意知A 为锐角,所以cos A=√32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A, 可得1+√3bc=b 2+c 2≥2bc,即bc≤2+√3,且当b=c 时等号成立. 因此12bcsin A≤2+√3. 所以△ABC 面积的最大值为2+√34.26.(2015·陕西·理T17)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.【解析】(1)因为m ∥n,所以asin B-√3bcos A=0. 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0. 又sin B≠0,从而tan A=√3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A,而a=√7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32. 27.(2015·江苏·理T15)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.【解析】(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC=√7. (2)由正弦定理知,AB sinC=BCsinA, 所以sin C=AB BC·sin A=°√7=√217.因为AB<BC,所以C 为锐角, 则cos C=√1-sin 2C =√1-37=2√77.因此sin 2C=2sin C·cos C=2×√217×2√77=4√37. 28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π,a=3,求△ABC 的面积.【解析】(1)由tan (π4+A)=2,得tan A=13, 所以sin2A sin2A+cos 2A=2tanA 2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A ∈(0,π),得sin A=√1010,cos A=3√1010. 又由a=3,B=π4及正弦定理a sinA=bsinB ,得b=3√5.由sin C=sin(A+B)=sin (A +π4)得sin C=2√55.设△ABC 的面积为S,则S=12absin C=9.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由cos A=-14,可得sin A=√154.由S △ABC =12bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a 2=b 2+c 2-2bccos A,可得a=8. 由asinA =csinC ,得sin C=√15.(2)cos (2A +π)=cos 2A·cos π6-sin 2A·sin π6=√32(2cos 2A-1)-12×2sin A·cos A=√15-7√316.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 【解析】(1)由正弦定理得AD sinB =BDsin∠BAD ,AD sinC=DCsin∠CAD .因为AD 平分∠BAC,BD=2DC, 所以sinB sinC=DC BD =12.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin C=sin(∠BAC+∠B) =√32cos B+12sin B.由(1)知2sin B=sin C,所以tan B=√33,即∠B=30°.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.【解析】设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=310=√1010,由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB ·sinBsin (π-2B )=6sinB2sinBcosB =3cosB=√10.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积. 【解析】(1)由题设及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ① BD 2=AB 2+DA 2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ② 由①,②得cos C=12,故C=60°,BD=√7. (2)四边形ABCD 的面积 S=1AB·DAsin A+1BC·CDsin C =(12×1×2+12×3×2)sin 60° =2√3.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.【解析】(1)由题意得1+cos2A 2−1+cos2B 2=√32sin 2A-√32sin 2B,即√32sin 2A-12cos 2A=√32sin 2B-12cos 2B,sin (2A -π6)=sin (2B -π6),由a≠b,得A≠B,又A+B ∈(0,π), 得2A-π6+2B-π6=π,即A+B=2π3,所以C=π3.。

2010高考全国新课标卷数学(含解析)

AB2 +AC2 -BC2 1 = , ∠ BAC =60 ° 2AB ⋅ AC 2
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17）（本小题满分 12 分）设数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 − an = 3i 2 （1）求数列 {an } 的通项公式；
2 n −1
而 a1 = 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an = 22 n −1 。（Ⅱ）由 bn = nan = n ⋅ 22 n −1 知
Sn = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 25 + ⋯ + n ⋅ 2 2 n −1
从而
①
22 ⋅ S n = 1 ⋅ 23 + 2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 27 + ⋯ + n ⋅ 22 n +1
（2）令 bn = nan ，求数列的前 n 项和 Sn
解：（Ⅰ）由已知，当 n≥1 时，
an+1 = [(an+1 − an ) + (an − an−1 ) + ⋯ + (a2 − a1 )] + a1
= 3(22 n −1 + 22 n −3 + ⋯ + 2) + 2
= 22(n +1)−1 。
x
1 t
利用复合命题真值表，显然 p1 ∨ p2 ， p1 ∧ ( − p2 ) 为真命题，选 C 命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再
- 2 -
补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（A）100 （B）200 （C）300 （D）400

2010年高考分类汇编之三角函数

2010年高考数学试题分类汇编——三角函数一. 考试大纲原文1、三角函数的概念、同角三角的关系及诱导公式（1）任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念 ②了解弧度制的概念（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义②能利用单位圆中的三角函数线推导出,2a a ππ±±的正弦、余弦、正切的诱导公式.③理解同角三角函数的基本关系式：2sin x +2cos x =1， sin tan cos x x x=2.三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角查的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）二、重、难点知识讲解 1、本周复习的重点（1）角的概念的推广①终边相同的角{β|β=α＋k·360°，k∈Z}表示与角终边相同的角的集合.②象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角. （2）弧度制 ①弧长公式. ②扇形面积公式.（3）同角三角函数的基本关系式 ①倒数关系sin α·csc α=1，cos α·sec α=1，tan α·cot α=1. ②商数关系③平方关系sin 2α＋cos 2α=1，tan 2α＋1= sec 2α，cot 2α＋1=csc 2α. 2、本周复习与研究中的难点（1）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”. （2）两角和与差的三角函数关系：（3）二倍角公式在运用以上公式时，要注意寻找角与角之间的和、差、倍、半关系．下列角度关系在变换中常被用到：2α=(α＋β)＋(α－β)，α=(α＋β)－β等.三、2010年全国各地高考真题精选（一）选择题1、（2010上海文数，18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、（2010湖南文数，7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定3、（2010全国卷2理数，7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位4、（2010辽宁文数，6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 35、（2010江西理数，7）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF∠=（）A. 1627B. 23C. 33 D. 346.（2010重庆文数，6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π=+7.（2010山东文数，10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x -8.（2010北京文数，7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+；（B ）sin 3cos 3αα-+（C ）3sin 3cos 1αα-+；（D ）2sin cos 1αα-+9.（2010四川理数，6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=- 10.将函数()f x =sin(ωx ＋φ)的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．1211.（2010天津理数，7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=A.030B.060C.0120D.0150 12.（2010福建文数，2）计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B ．22 C ．33 D ．3213.（2010全国卷1文数，1）cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12(D)3214.（2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k-15.（2010湖北理数，3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A －223B 223C －63D 63（二）计算题：16.（2010湖南文数，16）（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5 分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2 或x＞4} B．{x|x＜0 或x＞4}C．{x|x＜0 或x＞6} D．{x|x＜﹣2 或x＞2}9．（5 分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）1 n +1 n A ．（1，10） B ．（5，6） C ．（10，12） D ．（20，24）12．（5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P （3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A ，B 两点，且 AB 的中点为 N （﹣12，﹣15），则 E 的方程式为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 x 1，x 2，…x N 和 y 1，y 2，…y N ，由此得到 N 个点（x i ， y i ）（i=1，2，…，N ），再数出其中满足 y i ≤f （x i ）（i=1，2，…，N ）的点数 N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为． 14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5 分）过点 A （4，1）的圆 C 与直线 x ﹣y=1 相切于点 B （2，1），则圆 C 的方程为．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC ，∠ADB=120°，AD=2，若 △ADC 的面积为，则∠BAC= ．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：K 2=．20．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A 和B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x==2，得切线的斜率为2，所以k=2；﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0 时，点P 到x 轴距离d 为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1 是真命题，P2 是假命题，故p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1 是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2 是假命题．由此可知，q1 真，q2 假，q3 假，q4真．故选：C．【点评】只有p1 与P2 都是真命题时，p1∧p2 才是真命题．只要p1 与p2 中至少有一个真命题，p1∨p2 就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2 个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5 分）设偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}=（） A ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞4} B ．{x |x ＜0 或 x ＞4} C ．{x |x ＜0 或x ＞6}D ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞2}【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，则f （x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使|x ﹣2|＞2 解得 x ＞4，或 x ＜0．应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5 分）若，α 是第三象限的角，则 =（）A ．B ．C ．2D ．﹣2【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；GW ：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 α 与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A，B 两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E 的方程式为（）A．B．C．D．【考点】KB ：双曲线的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A ，B 点坐标代入方程联立相减得x 1+x2=﹣24，根据=，可求得 a 和【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=k PN =1，设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合 x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30 得 =，从而 k==1即 4b 2=5a 2，又 a 2+b 2=9，解得 a 2=4，b 2=5，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N 和y1，y2，…y N，由此得到N 个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5 分）过点A（4，1）的圆C 与直线x﹣y=1 相切于点B（2，1），则圆C 的方程为（x﹣3）2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则∠BAC= 60°．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面积求得BD 和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，1 n +1 n n n n n n，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得 a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n +1）﹣1．由此可知数列{a}的通项公式为 a =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b =na =n•22n ﹣1 知 S =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当 n ≥1 时，a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n +1）﹣1．而 a 1=2，所以数列{a n }的通项公式为 a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b n =na n =n•22n ﹣1 知 S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1①n n 从而 22S =1•23+2•25+…+n•22n +1② ①﹣②得（1﹣22）•S =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n•22n +1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【考点】MA ：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明 PE ⊥BC ．（2） ∠APB=∠ADB=60°，求出 C ，P 的坐标，再求平面 PEH 的法向量，求向量，然后求与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A （1，0，0），B （0，1，0）（Ⅰ）设 C （m ，0，0），P （0，0，n ）（m ＜0，n ＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m= ，n=1 ，故 C （﹣），设=（x，y，z）为平面PEH 的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12 分）设F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2 和x1x2进而根据，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，离心率可得．（II）设AB 的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0 和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN 的斜率，根据求得c，进而求得a 和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l 的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B 两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则，因为直线 AB 斜率为 1，|AB |=|x 1﹣x 2|=，得，故 a 2=2b 2 所以 E 的离心率（I ）设 AB 的中点为 N （x 0，y 0），由（I ）知．由|PA |=|PB |，得 k PN =﹣1，即得 c=3，从而故椭圆 E 的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12 分）设函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣ax 2．（1）若 a=0，求 f （x ）的单调区间；（2）若当 x ≥0 时 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数 f （x ）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．（2）根据 e x ≥1+x 可得不等式 f′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而可知当 1﹣2a ≥0，即时，f′（x ）≥0 判断出函数 f （x ）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0 时，f （x ）=e x ﹣1﹣x ，f′（x ）=e x ﹣1．当 x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当 x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0 时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0 时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f （x）＜0．综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB 即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC 与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5 分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10 分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1 与C2 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1 的普通方程为，C2 的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1 与C2 的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1 的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA 的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知先寻找满足f（x）≤ax 的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2 或a≥ 时，函数y=f（x）与函数y=ax 的图象有交点．故不等式f（x）≤ax 的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题05 三角函数与解三角形(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（）＝sin||+|sin|有下述四个结论：①f（）是偶函数②f（）在区间（，π）单调递增③f（）在[﹣π，π]有4个零点④f（）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣）＝sin|﹣|+|sin（﹣）|＝sin||+|sin|＝f（）则函数f（）是偶函数，故①正确，当∈（，π）时，sin||＝sin，|sin|＝sin，则f（）＝sin+sin＝2sin为减函数，故②错误，当0≤≤π时，f（）＝sin||+|sin|＝sin+sin＝2sin，由f（）＝0得2sin＝0得＝0或＝π，由f（）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点＝﹣π，即函数f（）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin||＝1，|sin|＝1时，f（）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos，C2：y＝sin（2），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（）＝cos（2）＝sin（2）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（）＝sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|），为f（）的零点，为y＝f（）图象的对称轴，且f（）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵为f（）的零点，为y＝f（）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝π，∈，∵|φ|，∴φ，此时f（）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝π，∈，∵|φ|，∴φ，此时f（）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（）＝cos（ω+φ）的部分图象如图所示，则f（）的单调递减区间为（）A．（π，π），∈B．（2π，2π），∈C．（，），∈D．（，2），∈【解答】解：由函数f（）＝cos（ω+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f （）＝cos（π+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，∈，即ϕ，f（）＝cos（π）．由2π≤π2π+π，求得2≤2，故f（）的单调递减区间为（，2），∈，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（）＝sin（ω）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线y＝2上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（）＝sin（ω+φ）+cos（ω+φ）的最小正周期为π，且f（﹣）＝f（），则（）A．f（）在单调递减B．f（）在（，）单调递减C．f（）在（0，）单调递增D．f（）在（，）单调递增【解答】解：由于f（）＝sin（ω+ϕ）+cos（ω+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣）＝f（），得φπ（∈），以及|φ|，得出φ．因此，f（）cos2，若∈，则2∈（0，π），从而f（）在单调递减，若∈（，），则2∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（）＝2sin+sin2，则f（）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（）＝2sin+sin2的一个周期，故只需考虑f（）＝2sin+sin2在[0，2π）上的值域，先求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（）＝2cos+2cos2＝2cos+2（2cos2﹣1）＝2（2cos﹣1）（cos+1），令f′（）＝0可解得cos或cos＝﹣1，可得此时，π或；∴y＝2sin+sin2的最小值只能在点，π或和边界点＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD，AE，DE，CD＝m，∵BC＝2，∴（+m）sin15°＝1，∴+m，∴0＜＜4，而AB+m，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当＝θ时，函数f（）＝sin﹣2cos取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（）＝sin﹣2cos（sin cos）sin（﹣α）（其中cosα，sinα），∵＝θ时，函数f（）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a ＝2，△ABC 的面积，∴bc ＝4．①再利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣3×4＝4， ∴b +c ＝4．②结合①②求得b ＝c ＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--，当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=，故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++，将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称，所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-. 故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+，因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以3()sin(9)4f x x π=+，故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】由题意，函数13()cos 32cos 2cos 223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错；④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈，由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错．故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -+=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4) B．(2, C． D．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 2A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =，即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =，又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去，又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =，由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，∵(0,)C π∈，∴23C π=．故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=sin 2ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈，因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin 3cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 32sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______65123-【解析】连接AC ,设ACB θ∠=,则120ACD θ∠=-o ，如图：故在Rt ABC ∆中，sin 4141θθ==， ()1313435cos 120cos 224141241θθθ--=-=-=o Q ，又在ACD ∆中由余弦定理有()22241343cos 1202341241AD θ+--==⨯⨯o,解得265123AD =-即65123AD =-65123-15．在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =．则a c +的取值范围为_____．【答案】(6,3] 【解析】cos cos 23sin A B C a b +=Q23cos cos sin b A a B C ∴+= 由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=，又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,3]a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解3c =.即AB故答案为317．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值；（Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos B =，∴sin B =， ()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠，因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 2223ABC S ab C ==⨯⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+---=sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =，4C π=.（1）求BC 的长；（2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）BC =（2【解析】解：（1）因为cos 10B =，0B π<<，所以sin 10B ===. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 55AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )1021025B C B C ⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭241725225⎛⎫=⨯+-= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】61BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠．因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=，因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin 4CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=．在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． 21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b aB =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠= （Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(答案解析版)

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．　3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．　4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．　11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为　x2+y2=2　．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的　①②③⑤　（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=　2+　．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学(20210417120444)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题空间向量1. （2014 •全国2 •理T11）直三棱柱ABC-A6C 、中，N%4R00 ,MN 分别是A £, A6的中点,则6y 与4V 所成角的余弦值为（） r 同 u.— 102. （2013 •北京•文T8）如图，在正方体被〃中，尸为对角线做的三等分点，尸到各顶点的距离的不同取值有（）3. （2012 •陕西•理T5）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱板。

1二8与纸则直线与直线必夹角的余弦值为（4. （2010 •大纲全国•文T6）直三棱柱ABC-ABQ 中，若NBAC =90° ,AB=AC=AA1，则异面直线BA ：与AQ 所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. (2019 •天津•理 T17)如图,AE,平面 ABCD, CF 〃AE ， AD 〃BC, AD_LAB, AB=AD=1, AE=BC 二2.(1)求证:BF 〃平面ADE;B -l B. 4个C 5个 D.6个A.3个 C.这⑵求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;⑶若二面角E-BD-F的余弦值为京求线段CF的长.EB6.（2019 •浙江• T 19）如图，已知三棱柱ABC-A&C,平面 4月平面ABC, ZABC^0° , Z 区灰＞30° ,4月引。

泡尸分别是〃;43的中点.（1）证明:年J_6C;⑵求直线房与平面46。

所成角的余弦值.7.（2019 •全国1•理T18）如图，直四棱柱极〃的底面是菱形，例=1,止2, N 员切40° ,EM,V分别是比破,4。

的中点.⑴证明：/V〃平面C、DE;（2）求二面角力T4M的正弦值.8.（2019 •全国2 •理T17）如图，长方体力用a-4£4〃的底面月颜是正方形，点£在棱前［上，龙LEG.⑴证明:麻山平面微a；⑵若AE=A^求二面角B-EC-C的正弦值.9.（2019 •全国3 •理T19）图1是由矩形ADEB,Rt^ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60° .将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.（1）证明：图2中的A, C, G, D四点共面,且平面ABC_L平面BCGE;（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.10.（2018 •浙江• T 8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段AB 上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为01,SE与平面ABCD所成的角为82,二面角S-AB-C的平面角为83,则（）A.01<02<03B.03<02<61C.01<O3<02D.92<03<0111.（2018 •全国3 •理T19）如图,边长为2的正方形4加9所在的平面与半圆弧曲所在平面垂直,"是曲上异于的点.（1）证明：平面AMD_L平面BMC;⑵当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.12.（2018 •北京•理T16）如图，在三棱柱ABC-A瓜&中，CC_L平面ABCM & F, G分别为44：, AQ 4Q 能的中点，AB二BC二遍,AC=AA尸2.⑴求证:AC_L平面BEF;（2）求二面角B-CD-G的余弦值;16.(2018 •浙江• T9)如图，已知多面体ABCA瓜心, 44 £5 均垂直于平面ABC, Z板=120° , A.A^ GC=1, AB=BC=B-.B=^.(1)证明:四_L平面4A4;⑵求直线月a与平面月期所成的角的正弦值.17.(2018 •上海，T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设P0=4, 0A, 0B是底面半径,且NA0B=90° , M为线段AB的中点，如图,求异面直线PM与0B 所成的角的大小.18.(2017 •北京•理T16)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,平面PAD,平面ABCD, 点M在线段PB上,PD〃平面MAC, PA=PD二遍,AB=4.⑴求证:M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；⑶求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.19.（2017 •全国 1 •理 T18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。

【数学】2010年高考数学选择试题分类汇编——三角函数

2010年高考数学试题分类汇编——三角函数（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角（2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题（2010浙江理数）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（2010陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是[C](A)最小正周期为2π的奇函数（B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数解析：本题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 3 解析：选C.由已知，周期243,.32T ππωω==∴=（2010辽宁理数）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 (B)43 (C)32(D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。

2010高考数学权重体系答案与解析142页精品3

题型一解三角形 1、列三角方程：（1）根据正弦定理，余弦定理，三角形面积公式列方程代入已知数。

（2）不能直接列的，画辅助线将已知条件平移到一个三角形，在列方程。

2、化简三角方程：（1）边角互化：若题干给出的三角方程即有边又有角（2）不同角化同角：三角形内角互补，利用互补角正弦相等，余弦互为相反数完成多角变少角。

一、正余弦定理的直接运用1 在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为．2 ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若120c b B ===,则a = ．3在△ABC 中，7:5:3c :b :a =，则△ABC 的最大角是_________。

4．ΔABC 中, a=2 , b=23, ∠A=30°,则∠B 等于（）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°5．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°6.在△ABC 中，ab b c a 222=+-，则角C 为（）（A ）o30 （B ）o60 （C ）o 120 （D ）o 45或o1357．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝8. 在△ABC 中，bcosA=acosB ，则△ABC 的形状是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形9. ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若,2a A B ==,则cos B =( )10. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .题型二：解三角形综合1 已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，求角A ，B ，C 的大小。

2010年高考数学考点10 解三角形应用举例

考点10 解三角形应用举例1.（2010·陕西高考理科·Ｔ１7）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。

【思路点拨】解三角形22202cos60ABD BD DC BD BC BD BC DC t ∆⇒⇒=+-⨯⨯⇒⇒【规范解答】000003)906030,45,105.DBA DAB ADB ∠=-=∠=∴∠=由题意知AB=5(3+， 00000sin105sin 45cos 60sin 60cos 452132262∴=•+•+=+=sin sin sin 5(33)sin 45sin 25(33)103(13)2 3.2613BD AB ABD DAB ADBAB DAB BD ADB ∆=∠∠•∠+•∴==∠+===++在中，由正弦定理得: 00002220180606060,203,2cos 601300120023203900.230301().30D DBC CD DBC BC DBC CD BD BC BD BC CD t ∠=--==∆=+-⨯⨯⨯=+-⨯=∴===∆又在中，由余弦定理得（海里），则需要的时间小时答;救援船到达点需要1小时.注：如果证出为直角三角形，根据勾股定理求出，同样给分.2.（2010·陕西高考文科·Ｔ１7）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力，属于中档题。

2010高考数学权重体系(答案与解析,142页)3--高中数学

题型一解三角形 1、列三角方程：（1）根据正弦定理，余弦定理，三角形面积公式列方程代入已知数。

（2）不能直接列的，画辅助线将已知条件平移到一个三角形，在列方程。

一、正余弦定理的直接运用1 在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为．2 ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若26120c b B ===，，,则a = ．3在△ABC 中，7:5:3c :b :a =，则△ABC 的最大角是_________。

4．ΔABC 中, a=2 , b=23, ∠A=30°,则∠B 等于（）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°5．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°6.在△ABC 中，ab b c a 222=+-，则角C 为（）（A ）o30 （B ）o60 （C ）o120 （D ）o45或o1357．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝8. 在△ABC 中，bcosA=acosB ，则△ABC 的形状是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形9. ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5,22a A B ==,则cos B =( ) 55 5 510. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .题型二：解三角形综合1 已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角A ，B ，C 的大小。

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