天一大联考高一年级数学阶段性测试(一)试题
2020届河南省高三天一大联考高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2024年天一名校高一数学期中复习卷
2024-2025学年度上学期高一数学期中复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21A y y x ==+，集合(){}2,1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）A ．AB =B ．0A ∈C ．(1,2)B ∈D ．(0,0)B∈2.函数3y =的定义域为（）A ．{}|33x x -≤≤B ．{|33x x -<<且}1x ≠C ．{}|33x x -<<D ．{|3x x <-或}3x >3.已知)1fx =-()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．2()1(1)f x x x =+≥-C ．2()1(1)f x x x =-≥-D ．2()1f x x =+4.学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE 为等腰直角三角形，设AB )0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A ．2a b+≥B ．2aba b≤+C ．22a b +≥D ．2a b +≤5.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．是奇函数D ．是偶函数6.在上定义运算：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()10x x *-≥的解集是集合{}12x a x +≤≤的子集，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D.7.已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞8.记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A ．B ．12-C ．13D ．13-10.下列说法正确的有（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11.定义域为的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫∀∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（）A ．()01f =B ．()12y f x =+-的图象关于点()1,2--对称C ．()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+D ．()f x 在s +∞上单调递增()f x ()f x R 1a <-2a <-1a ≤-1a ≥-4898489949004901a 2-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知不等式²0ax bx c ++≤的解集为{|3x x ≤-或}4x ≥,则不等式²230bx ax c b +--≤的解集是______.13.设()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +的值是______；()f a =______.14.若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2325,(0)f x x x g x x x=-=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为．（1）若()7,3M =-，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；（2）若中的一个元素是，求实数的取值范围．16.（本小题满分15分）设全集，集合，集合.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.M M 0a U =R {}|15A x x =≤≤{}122|B x a x a =--≤≤-17.（本小题满分15分）已知函数21()x f x x-=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在(0,)+∞上为增函数；（3）求函数在区间[]2,4--上的最大值和最小值．18.（本小题满分17分）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为台时需另投入成本万元；若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19.（本小题满分17分）若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()31f x x =-为区间上的“阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()42f x x =+是()2221g x x ax a =-+-在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．()f x ()f x 1000101100200k x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,211。
2024届海南省高一下学期天一大联考数学试题参考答案及评分细则
天一大联考海南省2020—2021学年第二学期高一期末考试数学·参考答案及评分细则一、单项选择题1．A2．A 3．D 4．C 5．B6．B 7．C 8．C 二、多项选择题9．CD10．AD 11．BD 12．ABC 三、填空题13．1314．800015．−3216．24四、解答题17．解：（Ⅰ）总的电影部数为10+5+15+20+10=60，（2分，算式1分）获得好评的喜剧电影有15×0.4=6部．（3分）故这部电影是获得好评的喜剧电影的概率为660=110．（5分，未化简不扣分）（Ⅱ）获得好评的电影部数为10×0.6+5×0.4+15×0.4+20×0.25+10×0.2=21.（7分，算式1分）这部电影获得好评的概率为2160=720，（8分）故这部电影没有获得好评的概率为1−720=1320.（10分，算式1分）18．解：（Ⅰ）由题可知f (x )=sin 2x +cos 2x +1（1分）=√2sin (2x +π4)+1.（3分）∵−1⩽sin (2x +π4)⩽1,（4分）∴1−√2⩽√2sin (2x +π4)+1⩽1+√2,即f (x )的值域为[1−√2,1+√2].（6分）（Ⅱ）令f (x )=0，得sin (2x +π4)=−√22，（8分）∴2x +π4=2k π−π4或2x +π4=2k π−3π4，k ∈Z ,（10分）∴x =k π−π4或x =k π−π2，k ∈Z ，（11分）∴f (x )的零点的集合为{x |x =k π−π4或x =k π−π2,k ∈Z }.（12分）注：只有一组解整体扣2分，得到个别解扣3分—1—。
河南省天一大联考2017-2018学年高一上学期阶段性测试(一)数学试卷
九年级第二学期阶段性测试数学试卷（一）天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（一）数学1. 已知集合，，设，则集合C的非空子集的个数为A. 8B. 7C. 4D. 32. 函数的定义域为A. B. C. D.3. 函数的零点位于区间A. B. C. D .4.已知函数，则A. 4B. 3C. 2D.15.若定义在R上的奇函数在上单调递减，则不等式的解集是A. B.C. D.6.函数且的图像恒过点P，则下列函数中图像不经过点P的是A. B.C. D.7.已知集合，若，则a的取值范围是A. B. C. D.8.若幂函数没有零点，则的图像A. 关于原点对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 不具有对称性9.若函数为奇函数，则m=A. 2B. 1C.-1D. -210.函数的图像大致为11.已知且，且，则m =A. 14B. 7C. 4D.212.已知函数若不等式恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.2、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的值域是 .14.若，则x= .15.函数在区间上最大值为5，最小值为4，则t的取值范围为 .16.已知方程有唯一实数根，则实数t的取值范围是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）计算下列各式：（1）（2）18.（12分）已知集合（1）若时，求（2）若求实际a的取值范围.19.（12分）已知是上的奇函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）补全的图像（图中小正方形的边长为1），并根据图像写出的单调区间.20.（12分）已知函数（1）当时，函数的图象在x轴的下方，求实数t的取值范围；（2）若函数在上不单调，求实数t的取值范围.21.（12分）某家用电器公司生产一新款热水器，首先每年需要固定投入200万元，其次每生产1百台，需再投入0.9万元，假设该公司生产的该款热水器当年能全部售出，但每销售1百台需另付运输费0.1万元，根据以往的经验，年销售总额（万元）关于年产量x（百台）的函数为（1）将年利润表示为年产量x的函数；（2）求该公司生产的该款热水器的最大年利润及相应的年产量。
河南省天一大联考高一下学期段考数学试卷(解析版)
（ II）若tanθ=2，求 的值．
20．已知ω＞0，平面向量 =（2sinωx， ）， =（2cos（ωx+ ），1），函数f（x）= 的最小正周期是π．
（ I）求f（x）的解析式和对称轴方程；
（ II）求f（x）在 上的值域．
21．已知 ．
（ I）求sin2α的值；
（ II）求 的值．
又角A是△ABC的一个内角，
∴90°＜A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
3．已知向量 =（k，cos ），向量 =（sin ，tan ），若 ，则实数k的值为（）
A． B．﹣1C． D．1
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量 =（k，cos ），向量 =（sin ，tan ）， ，
∴ = ，
解得实数k= ．
故选：C．
4．已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为θ，则∠ABC=π﹣θ，由向量 、 的坐标计算可得cosθ的值，结合θ的范围可得θ的值，又由∠ABC=π﹣θ，计算可得答案．
∴m+n=﹣1．
故选：B．
2．已知角A是△ABC的一个内角，且 ，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判断△ABC的形状
【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】利用倍角公式得到tanA= = =﹣4 ＜0．由此推知三角形ABC的形状．
【解答】解：∵ ，
∴tanA= = =﹣4 ＜0．
北京市2024-2025学年高一上学期第一次第一次阶段检测数学试卷含答案
2024-2025学年度第一学期第一次阶段检测试卷高一数学（答案在最后）一、选择题（1-9题每题4分，10题5分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}2,N x x a a A ==∈，则集合A N 等于（）A .{}0； B.{}0,1； C.{}1,2； D.{}0,2．【答案】D【解析】【分析】求出集合N ，根据交集含义即可得到答案.【详解】当0a =时，20x a ==；当1a =时，22x a ==；当2a =时，24x a ==，故{}0,2,4N =，故{0,2}A N ⋂=，故选：D.2.已知集合{}12A x x =<<，302B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则下图阴影部分表示的集合是（）A.{}01x x ≤≤B.{}01x x <≤C.{}01x x ≤<D.{}01x x <<【答案】B【解析】【分析】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð，计算出结果即可.【详解】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð， {}12A x x =<<，{1R A x x ∴=≤ð或}2x ≥，(){}01R A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：B.【点睛】本题考查由Venn 图求集合，属于基础题.3.下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A 、B 、D 三个选项均不符合，只有选项C 符合题意.故选：C .4.下面四个不等式中解集为R 的是（）A.2230x x -+-≥ B.22340x x -+< C.26100x x ++> D.2210x x -+-<【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】A ：对应的方程为2230x x -+-=，41280∆=-=-<，所以方程无解，又函数223y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为∅，故A 不符合题意；B ：对应的方程为22340x x -+=，932230∆=-=-<，所以方程无解，又函数2234y x x =-+图象开口向上，所以原不等式的解集为∅，故B 不符合题意；C ：对应的方程为26100x x ++=，364040∆=-=-<，所以方程无解，又函数2610y x x =++图象开口向上，所以原不等式的解集为R ，故C 符合题意；D ：对应的方程为2210x x -+-=，440∆=-=，所以方程有一个解1x =，又函数221y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为{}1x x ≠，故D 不符合题意；故选：C.5.下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（）A.A ⊆R ，B ⊆R ，221x y +=B.{}1,0,1A =-，{}1,2B =，:1f x y x →=+C.A =R ，B =R ，1:2→=-f x y xD.A =Z ，B =Z ，:→=f x y 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义逐一判断选项即可.【详解】对于A ，221x y +=可化为y =x A ∈（1x =±除外），y 值不唯一，故不符合函数的定义；对于B ，符合函数的定义；对于C ，当2x =时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D ，当x 为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.故选：B6.已知集合(){}2220,A x x a x a a =-++≤∈R ，若集合A 中所有整数元素之和为14，则实数a 的取值范围是（）A.56a ≤< B.56a ≤≤ C.45a ≤≤ D.4a ≥【答案】A【解析】【分析】分2a <、2a =、2a >三种情况讨论，结合已知条件可求得实数a 的取值范围.【详解】若2a <，解不等式()2220x a x a -++≤，即()()20x x a --≤，解得2a x ≤≤，即[],2A a =，当(]1,1a ∈-时，集合A 中的所有整数之和取最大值为123+=，不合乎题意；若2a =，则{}2A =，不合乎题意；若2a >，则[]2,A a =，234514+++= ，且集合A 中所有整数元素之和为14，5A ∴∈且6A ∉，因此，56a ≤<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解.7.关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，则点(,)P a b c +位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由分式不等式的解集可得,,a b c 的值，再判断点P 位于的象限即可.【详解】解：因为关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，由分式不等式的解集可得：1,3,2a b c =-==，或3,1,2a b c ==-=，即2,a b +=即点(2,2)P 位于第一象限，故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属基础题.8.已知,a b 挝R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20242024a b +的值为（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用集合相等，求出b ，再求出a ，检验代入求值即可.【详解】根据题意0a ≠，故0b a=，则0b =，故{}{}2,0,1,,0a a a =，则21a =，即1a =±，当1a =时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，当1a =-，0b =时，{}{}1,0,11,1,0-=-，符合题意，所以202420241a b +=，故选：C .9.如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为“同族函数”，那么函数{}2,1,2y x x =∈的“同族函数”有A.3个B.7个C.8个D.9个【答案】C【解析】【分析】利用同族函数的定义可知，只要其对应关系，值域相同，定义域不同即可，易得答案．【详解】解：∵函数{}21,2,y x x =∈的值域为{1，4}，所以对应关系是2y x =，值域为{1，4}的函数的定义域可以是：{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{﹣1，1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{2，1，﹣2}，{2，﹣1，﹣2}，{2，1，﹣1，﹣2}，共8个．故选：C ．10.（多选题）已知*(,)f m n ∈N ，且对任何*,m n ∈N 都有：（1）(1,1)1f =，（2）(,1)(,)2f m n f m n +=+，（3）(1,1)2(,1)f m f m +=.则以下结论正确的有（）A.()1,59f = B.()5,116f = C.()5,626f = D.()3,513f =【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，根据(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，求出()1,59f =；B 选项，根据(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，求出()5,116f =；C 选项，在B 选项()5,116f =基础上，得到()5,626f =；D 选项，根据()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，得到()()3,53,4212f f =+=.【详解】A 选项，因为(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以(1,2)(1,1)2123f f =+=+=，同理可得(1,3)(1,2)2325f f =+=+=，(1,4)(1,3)2527f f =+=+=，(1,5)(1,4)2729f f =+=+=，A 正确；B 选项，因为(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，所以()()2,121,12f f ==，()()3,122,14f f ==，()()4,123,18f f ==，()()5,124,116f f ==，B 正确；C 选项，由B 知，()5,116f =，故()()5,25,1218f f =+=，同理可得()()5,35,2220f f =+=，()()5,45,3222f f =+=，()()5,55,4224f f =+=，()()5,65,5226f f =+=，C 正确；D 选项，因为()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以()()3,23,126f f =+=，()()3,33,228f f =+=，()()3,43,3210f f =+=，()()3,53,4212f f =+=，D 错误.故选：ABC二、填空题（每题5分）11.已知函数()213f x x -=-，则()2f =_____.【答案】6【解析】【分析】赋值求出答案.【详解】令3x =得()231336f -=-=，故()26f =.故答案为：612.若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)0,4【解析】【分析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案.【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意.当0a ≠时,210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -<解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4.故答案为:[)0,4.【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13.若集合{2},{,R}A xx B x x b b =>=<∈∣∣，试写出A B =R 的一个必要不充分条件_____________.【答案】1b >（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，结合充要条件与必要不充分条件，利用集合的交集，可得答案.【详解】由A B =R ，则2b >，所以A B =R 的一个必要不充分条件是1b >.故答案为：1b >（答案不唯一）.14.已知{}20(2)4,{1,2,3,4}A xx B =<-≤=∣，则A B _____________；A B ⋂_____________.【答案】①.{|04}x x ≤≤②.{1,3,4}【解析】【分析】先求出集合A,再用并集和交集概念计算即可.【详解】已知(){}2024{|04,2}A xx x x x =<-≤=≤≤≠∣且，则{|04}A B x x =≤≤ ，{1,3,4}A B = .故答案为：{|04}x x ≤≤;{1,3,4}.15.对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．【答案】{x |2≤x <8}【解析】【分析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}．故答案为：{x |2≤x <8}【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目.三、解答题16.已知全集R U =，集合{121},{25}P xa x a Q x x =+≤≤+=-≤≤∣∣.（1）若3a =，求(),U U Q P Q 痧；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2U Q x x =<-ð或>5，(){|24}U P Q x x =-≤< ð（2）(]2-∞，【解析】【分析】（1）当3a =时，可得{|47}P x x =≤≤，进而根据补集和交集的定义求解即可；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，然后考虑P =∅和P ≠∅两种情况分别求解即可．【小问1详解】当3a =时，{|47}P x x =≤≤，{|4U P x x =<ð或7}x >，因为{|25}Q x x =-≤≤，所以{2U Q x x =<-ð或}5x >，(){|24}U P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，当121a a +>+时，即0a <，此时P =∅，满足PQ ，当P ≠∅时，则12215211a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得02a ≤≤，且12a +=-和215a +=不能同时成立，综上所述：实数a 的取值范围为(],2∞-.17.解关于x 的不等式211mx x -≥-.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意，化简不等式为(1)101m x x --≥-，分类讨论，结合分式不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式211mx x -≥-，可得221(1)110111mx mx x m x x x x ---+---==≥---，（1）若10m -=，即1m =时，等价于101x ≤-，解得1x <，不等式的解集为(,1)-∞；（2）若10m ->，即1m >时，等价于1()101x m x --≥-，当111m >-时，即12m <<时，解得1x <或11x m ≥-，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当111m =-时，即2m =时，10≥恒成立，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当111m <-时，即2m >时，解得1x >或11x m ≤-，不等式的解集为1(,](1,)1m -∞+∞- .（3）若10m -<，即1m <时，等价于1()101x m x --≤-，解得111x m ≤<-，所以不等式的解集为1[,1)1m -.综上可得：当1m <时，不等式的解集为1[,1)1m -；当1m =时，不等式的解集为(,1)-∞；当12m <<时，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当2m >时，不等式的解集为1(,(1,)1m -∞+∞- .18.已知函数2()5f x ax bx =+-，对于任意x R ∈，有(2)(2),(2)7f x f x f -=+-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[],3t t +上的最小值为8-，求t 的值；【答案】（1）2()45f x x x =--（2）2t =-或3t =【解析】【分析】（1）根据题意可得()f x 关于2x =对称，得出22b a-=，再由(2)7f -=即可求出,a b ；（2）讨论区间与对称轴的位置关系根据二次函数的性质可求出.【小问1详解】因为(2)(2)f x f x -=+，()f x \关于2x =对称，即22b a-=，又(2)4257f a b -=--=，则可解得1,4a b ==-，所以2()45f x x x =--；【小问2详解】当32t +≤，即1t ≤-时，()()()()2min 334358f x f t t t =+=+-+-=-，解得2t =-或0t =（舍去）；当23t t <<+，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意；当2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得1t =（舍去）或3t =，综上，2t =-或3t =.19.已知集合{}12,,(2)k A a a a k =≥ ，其中(1,2,)i a i k ∈=Z .定义：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 其有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和:{(,),,}Q P x y x A y A x y A =∈∈+∈∣，{(,),,}Q x y x A y A x y A =∈∈-∈∣，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{0,1,2,3}J =与集合{1,2,3}K =-，判断它们是否具有性质G ；若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由；（2）若集合A 具有性质G ，证明：m n =.【答案】（1）{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）0J ∈，则0J -∈，故J 不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，并求出()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）分(),a b P ∈和(),a b Q ∈两种情况，若(),a b P ∈，推出P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，若(),a b Q ∈，推出Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，从而得到答案.【小问1详解】0J ∈，则0J -∈，故不满足定义，{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-，1K -∈，1K ∉，2K ∈，2K -∉，3K ∈，3K -∉，满足要求，故{1,2,3}K =-具有性质G ，由于132K -+=∈，其他均不合要求，故()(){}1,3,3,1P =--，由于231K -=-∈，()213K --=∈，其他不合要求，故()(){}2,3,2,1Q =-；【小问2详解】集合A 具有性质G ，对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果()(),,,a b c d 是P 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a c b d +=+中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d ++也是Q 中不同的元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，对于(),a b Q ∈，根据定义可知，,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a P -∈，如果()(),,,a b c d 是Q 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d --也是P 中不同的元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，综上，m n =.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一(上)段考数学试卷(一)(含解析)
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一（上）段考数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）l已知集合M= {1,3,S}, N = {2,4,6}，则MUN=()A.{xl l:,; x:,; 6}B. 0C.N"D.{1,2,3,4,5,6}2已知集合A=｛x配－9=0}，若B呈A,则满足条件的集合B的个数为（）A.1B.2C. 3D.43已知全集U = {-2,-1,0,1,2,3,4,S}，集合A= {-2,2}, 8 = { -2, -1,4}，则(CuA)nB=( ) A.{-1,1,4}B .{-1,4} C. {-2,-1,4}D. {-2, -1,2,4}4．下列命题是真命题的是（）A."Ix E R ,.fxi = X C. "x EZ , lxl EN B.3x E Q, x 2 = 3D. 3x E R , x 2 -2x + 3= 05已知p:m 2-8m<O, q,关千x的不等式x 2+ (m -4)x + 9 > 0的解集为R,则p是q的（）A充分不必要条件C.既不充分也不必要条件6.若X > 3,则止6x+11的最小值为（）X 一3B必要不充分条件D 充要条件A.2B 豆C. 4豆D. 2豆7.已知集合A={x E N *I 10X 2-2x+2 >1},B={l,a,a+l}，若A=B,则实数a的值为（）A.1B.2C.3 D.48.已知关千x的不等式ax 2+bx+ c > 0的解集为{xi -1 < X < 3}，则下列结论正确的是（）A.b = 2aB. 4a+ 2b + c < 0C.不等式ax+c>O的解集为(xix<3}D不等式bx 2-ex -a>0的解渠为{xi�<X < 1}二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题(解析版)
河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ⋂=（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利用分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出a . 【详解】 由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭得1a =， 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能力.3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2D ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数大于0，分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈⋃.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的方法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（ ） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位， 再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域， 故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，而()110f e =-> 则()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知 函数零点所在区间为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.20.343,log 0.4,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【解析】将,,a b c 与1和0进行比较，从而得出结果. 【详解】0.20331a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x+=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-， 则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择. 【详解】 因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项； 又1101x ->，故()()0,1f x ∈，故排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9．已知函数()22()log 2f x x x a =-+的最小值为3，则a =（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成立， 则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满足2290x x -+>在R 上恒成立， 若220x x a -+>在R 上不恒成立，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔方约有194.310⨯种不同的状态，将这个数记为A ，二阶魔方有85603⨯种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（ ）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈⨯） A ．280.63-⨯ B ．280.610⨯ C ．280.63⨯ D ．320.63⨯【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算. 【详解】由题可知：A B =1984.3105603⨯两边取对数可得1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+⨯-35log 27.93A B ⨯≈故27.9533A B ≈⨯ 解得：27.90.63A B ≈⨯，故与之最接近的为280.63⨯. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2C ．211e e ++ D ．221ee ++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造一个奇函数，再进行求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e-=+，显然()h x 为奇函数， 故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+⎩若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2(2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2[4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2(4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论. 【详解】为方便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1； 对()g x ，因为290a =≥，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下面两种可能： ①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于方程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞， 只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()20g =且522a <，解得12a =， 故1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当()40,4a -∉，即(][),04,a ∈-∞⋃+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于方程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】因为xy a =恒过定点()0,1，又函数2x y a =+是由xy a =向上平移2个单位得到， 故2xy a =+恒过定点()0,3.故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去； 若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去， 所以3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=； 当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216--⎛⎫⎛⎫⨯--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果； （2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=⨯--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329⨯⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭323111533log 9log 3log 212232624⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯⨯+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|30}x x -<（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或.∴(){|30}R A B x x ⋂=-<.（2）{|38}A B x x ⋃=-<<.若C =∅，则13m m -+，解得1m -.若C ≠∅，则13,13,38,m m m m -<+⎧⎪--⎨⎪+≤⎩，解得14m -<.∴实数m 的取值范围为(,4]-∞.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.【解析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系.【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++， 解得1a =.（2）因为212()12121x x x f x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R .∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x ∈+， ∴()f x 的值域为(1,1)-.（3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ∴()f x 是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益P 与投入a满足30P =-，乙项目的收益Q 与投入a 满足1505Q a =+.设甲项目的投入为x . （1）求两个项目的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元；360万元【解析】(1)由题意得，分别代入甲和乙的收益函数即可得出两个项目的总收益关于x 的函数()F x ；(2)利用换元法，令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦，得出关于t 的二次函数，根据已知区间内的二次函数即可求出最大值以及对于的x 值，即可得出答案.【详解】（1）由题知，甲项目投资x 万元，乙项目投资1200x -万元.所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥⎧⎨-≥⎩解得300900x ≤≤. 故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦.221145260(105)36055y t t t =-++=--+ 当105t =，即500x =，y 的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用以及二次函数的性质，利用换元法及二次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的大致图象； （2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43⎡-⎣【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合二次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出二次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间比较，结合单调性，分别求出每种情况的最小值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围.【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称， 即14k =-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的大致图象如图所示.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，所以min ()4f x ≥-.由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k ≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增， 此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-； 当24k ≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减， 此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件； 当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43⎡-⎣.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，利用偶函数性质以及二次函数的对称轴、单调性、最值，同时还考查二次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩,且()()3f f e -=()1求()f x 的最大值()2若方程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k 值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最大值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a = 当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤=所以()f x 的最大值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩ 当11x -<<时,11x -<-<由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+ 设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减 又因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点, 从而原方程在[)2,3,上有且仅有一个实根.故可取2k =当非零实数0x 满足()()000f x f x --=时,0x -也满足()()000f x f x --=,即原方程的非零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有一个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数一般需要分类讨论．。
河南省天一大联考2021-2022学年高一上学期阶段性测试数学
河南省天一大联考2021-2022学年高一上学期阶段性测试数学引言河南省天一大联考是河南省各高中学校的一项重要考试，旨在评估学生在不同学科上的学业水平。
本文将重点介绍2021-2022学年高一上学期阶段性测试中的数学部分。
考试概况•考试时间：2021年12月15日•考试地点：各参考学校•考试内容：数学考试目标本次数学考试的主要目标是评估学生对高中数学知识的掌握情况，包括以下方面：1.数学基本概念与理论的理解和运用能力；2.数学问题的分析和解决能力；3.数学思维的灵活性和创新性。
考试内容本次数学考试涵盖了高一上学期的数学知识点，主要包括以下几个方面：1.函数与方程：包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的定义、性质和应用；2.三角函数：包括常用三角函数的定义、性质和应用，例如正弦函数、余弦函数和正切函数等；3.平面向量：包括向量的定义、向量的加法和数量乘法、向量的模和方向等；4.解析几何：包括直线、圆等几何图形的性质和应用；5.数列与数学归纳法：包括数列的定义、性质和应用，以及数学归纳法的原理和应用；6.概率与统计：包括概率的基本概念、概率运算和统计的基本方法。
考试形式本次数学考试采用笔试形式，共分为两个部分：选择题和解答题。
1.选择题：考生需要从给出的选项中选择正确答案。
选择题部分涵盖了各个知识点，并注重考查学生的基本概念和计算能力。
每题4个选项，每题2分，共计60分。
2.解答题：考生需要根据题目要求进行解题，包括计算题、证明题和应用题等。
解答题部分注重考查学生的问题分析和解决能力，以及数学思维的灵活性。
共计40分。
知识点重点根据考试大纲和往年的考试情况，以下是本次数学考试的重点知识点：1.函数与方程：–一次函数的性质和应用–二次函数的性质和图象–指数函数和对数函数的基本性质2.三角函数：–基本三角函数的定义和性质–三角函数的图象和变换–三角函数的应用3.平面向量：–向量的定义和基本运算–向量的模和方向–向量的共线和垂直关系4.解析几何：–直线的方程和性质–圆的方程和性质5.数列与数学归纳法：–等差数列和等比数列的性质和应用–数学归纳法的思想和应用6.概率与统计：–概率的基本概念和运算–统计的基本方法和应用学习建议为了取得好的成绩，考生应该做好以下几点准备：1.熟练掌握各个知识点的定义、性质和应用；2.多做习题，培养解题和计算能力；3.多思考、多总结，加强对数学思维的训练；4.定期进行模拟测试，检验自己的学习效果；5.有针对性地复习薄弱知识点，提高自己的综合素质。
天一联考期末数学试卷高一
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 1C. 0D. -32. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(2) = f(a)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°4. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 2x + 5C. 2x - 3 = 3x - 2D. 3x + 4 = 2x + 85. 若log2x = 3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 166. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = 1/xB. f(x) = √xC. f(x) = x²D. f(x) = |x|7. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 318. 已知函数f(x) = x² - 4x + 3，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于x轴的对称点坐标为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)10. 若sinα = 1/2，则α的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为______。
12. 若log3x = 2，则x的值为______。
13. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是______。
天一大联考2022-2023学年数学高一上期末达标检测试题含解析
若 和 都是单位向量,但是两向量方向D说法正确.
本题选择D选项.
6、D
【解析】
，选D.
7、C
【解析】运用诱导公式即可化简求值得解
【详解】 ，可得 ，
那么
故选：C
8、B
【解析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值
，又 ，
即 ，∴
故选：A
3、D
【解析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由题设， ，可得 ，
所以函数定义域为 .
故选：D
4、D
【解析】由已知结合 求出 即可得出.
【详解】因为 第三象限角，所以 ，
因为 ，且 ，
解得 或 ，
则 .
故选：D.
5、D
【解析】考查所给的四个选项：
向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；
对于D，函数的定义域为 ，值域为 ，满足题意，故D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.
11、B
【解析】由已知求得 ，则由诱导公式可求.
【详解】 α是第三象限的角，且 ，
， .
故选：B.
12、C
【解析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可.
【详解】函数 ，
由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足 ，
解得 ，
由题意可知， 在区间 上没有最值，
则 ， ，
所以 或 ，
因为 ，解得 或 ，
当 时，代入可得 或 ，
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我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千
篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。