4条件概率和全概率公式
事件的独立性条件概率与全概率公式
事件的独立性条件概率与全概率公式事件的独立性是概率论中一个非常重要的概念。
当两个事件A和B的发生与否不会相互影响时，我们称这两个事件是独立的。
具体来说，事件A的发生与否不会对事件B的发生概率造成影响，同样，事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率造成影响。
独立性是概率论中一种核心的概念，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算的效率。
在实际问题中，我们通常会用到一些已知的概率，利用独立性可以快速计算出我们所关心的概率。
条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一些事件发生的概率。
具体来说，设A和B是两个事件，已知事件B已经发生，那么事件A发生的概率记作P(A，B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中非常常见，它可以帮助我们确定一些事件在给定条件下的概率。
例如，在进行疾病检测时，我们可以根据患者的年龄、性别、家族病史等条件，计算出患病的概率，为疾病的早期预防提供重要依据。
全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算复杂事件的概率。
全概率公式的核心思想是将一个事件分解为不同的互斥事件，并将这些事件的概率加和起来。
具体来说，设B1、B2、…、Bn是一组互斥事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意一个事件A，全概率公式可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)全概率公式的应用场景非常广泛。
例如，在市场调查中，我们希望了解其中一特定群体的消费习惯，但由于无法直接获取到该群体的信息，我们可以通过对不同市场细分的消费者进行调查，然后利用全概率公式将这些细分市场的调查结果综合起来，推断出整个特定群体的消费习惯。
总结起来，事件的独立性、条件概率和全概率公式都是概率论中非常重要的概念和工具。
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
表示为P(A|B)，读作“B发生下A的概率”。
其中，A和B都是事件。
全概率公式是指在多个互斥事件的情况下，求解某事件发生的概率。
表示为P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)，其中，A和B1~Bn都是事件，且
B1~Bn互斥（即只能有一个事件发生）且构成全集（即所有事件的并集是样本空间）。
意思是将A发生的情况分别在B1到Bn分别发生下计算，再加起来就是A发生的概率。
例如，某次摇色子，摇出的数为1~6之一，设事件A为“得到奇数”，事件B为“得到4点以下的数”。
则P(A|B)表示在已知得到4以下的数的情况下，得到奇数的概率。
全概率公式中需要先考虑各个条件下得到4以下的数的概率，再乘以相应条件下得到奇数的概率，最后将得到奇数的结果相加，就可以得到最终的结果。
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
考查很隐晦却很重要的概率运算五大公式
考查很隐晦却很重要的概率运算五大公式来源:文都图书概率论与数理统计在考研数学中占22%，约34分，在396经济联考中占14分，事件概率计算的五大公式是数一、数三，396考纲中都有要求的内容，所以比较基础也比较重要。
今天，我们和大家谈谈概率计算的五大公式。
五大公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
1、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。
此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。
2、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。
学生还应掌握三个事件相加的加法公式。
以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。
所以记住公式的形式是基本要求。
3、乘法公式，是由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。
在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候用条件概率来求，什么时候用积事件概率来求。
比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候用积事件概率来求;如果“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是一个确定的事实，所以这时候不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。
4、全概率公式5、贝叶斯公式以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。
结合起来学习比较容易理解。
首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。
其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式;是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。
例如;买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要用全概率公式;若已知买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P(B1 ) P( A | B1 ) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A |
B2 )
0.55. P(B3 )
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
注
（1）PBi 称为“先验概率”， PBi | A 称为“后验概率”；
（2）贝叶斯公式——探求结果 A的发生由原因 Bi 所导致的概率；
为色盲，求此人是男性的概率？
解 设 A 表示“抽取的人为色盲”，B 表示“抽取的人为男性”，则
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B)
3 5% 2 2.5% 4%.
5
5
P(B | A) ?
P(B | A) P( AB)
P(B)P(A| B)
3.
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B) 4
4%，2%，4%. 试计算:（1）从总产品中任取一件是不合格产品
的概率;（2）从总产品中任取一件是不合格产品，那么这件产品
是由 1 号工厂生产的概率?
解 设 A 表示“从总产品中任取一件是不合格产品”，Bi (i 1, 2, 3) 表示“从总产品中任取一件是第 i 号工厂生产的”.
P( A) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A | B2 ) P(B3 ) P( A | B3 ) 45%4% 35%2% 20%4% 0.033.
PB
|
A
P( AB) P( A)
0.2 0.4
1， 2
（2） P B
|
A B
P
BA B PA B
P A
P B PB
P AB
条件概率和全概率公式
即
P A 1 P A .
性质 4设 A 、 B 为两事件 , 且 A B , 则
P A B P A P B A P B . 并且 P
A B A B 证 如图 , 因为 A B , 所以 AB 并且 B
例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调 查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同 时订购A、B两报，A、C两报，B、C两 报的分别各占10%，8%，5%，三种报 纸都订的占3%.今在该城市中任找一户, 问 (1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少? (2)该户只订C报的概率是多少?
第三节 条件概率与全概率公式
4. 乘法公式
P( AB) 同样,由 P(B | A) 可以反求P (AB) P( A)
即 若P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件 .
设 A 、 B 、 C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
解
1 由于 A 、 B 互斥 , 所以
B A
于是 B A B
所以
1 . P B A P B 2
A
B
A 、 B互斥
2 因为 A B , 所以
P B A P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
P ( B | A ) 1 P ( B | A ) 1 0 . 5 0 . 5
例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.
第三节条件概率全概率公式
第三节条件概率全概率公式条件概率、全概率公式是概率论中两个重要的概念和方法。
在实际问题中，我们常常需要考虑一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，即条件概率。
而全概率公式则是一种根据一组互斥事件的概率可以计算出其他事件概率的方法。
本节将详细介绍条件概率和全概率公式的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在一个已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
记为P(A，B)，读作“A在B下的概率”。
其计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率具有以下性质：1.非负性：对于任意的事件A和B，有P(A，B)≥0。
2.规范性：当P(B)>0时，有P(B，B)=13.直积性：对于任意的事件A和B，有P(A∩B)=P(B)×P(A，B)。
4.反转性：若P(B)>0，有P(A，B)=P(A∩B)/P(B)=P(B，A)×P(A)/P(B)。
条件概率在实际应用中非常重要。
例如，在医学诊断中，我们常常需要计算一些疾病在一些检查结果呈阳性的条件下的概率，以判断该疾病的可能性大小。
全概率公式是指通过一组互斥事件的概率可以计算出另一个事件的概率的方法。
假设事件B1、B2、..、Bn互不相容且构成样本空间S，即B1、B2、..、Bn是一组完备事件，且P(Bi)>0，那么对任意事件A有：P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+...+P(A，Bn)×P(Bn)全概率公式的核心思想是将事件A在各个互斥事件的条件下进行考虑，并加权求和得到事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛。
例如，在市场营销中，一个产品的销量可能受到不同市场环境的影响。
我们可以通过对不同市场环境下产品销售的数据进行分析，运用全概率公式计算出在不同市场环境下产品销售的概率，进而制定相应的营销策略。
专题04条件概率与全概率公式(4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点)原卷版
专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率知识点2.乘法公式知识点3.全概率公式知识点4.贝页斯公式拓展1.条件概率的求解拓展2.全概率公式的应用突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算题型2.事件的独立性与条件概率的关系题型3.乘法公式的应用题型4条件概率的综合应用题型5.全概率公式的应用题型6.贝叶斯公式的应用题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率一、条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．二、 条件概率的性质设P (A )>0，则(1)P (Ω|A )＝1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)设B 和B 互为对立事件，则P (B |A )＝1－P (B |A )．例1．单选题（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（ ） A ．111 B ．211 C ．19 D ．29知识点2.乘法公式对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )为概率的乘法公式．例2．填空题（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用1A 、2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()2P A B =知识点3.全概率公式一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝ 1n i =∑P (A i )P (B |A i )，我们称该公式为全概率公式．例3．多选题（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A ．在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47 B ．在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C ．甲获得奖品的概率为2449D ．若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小知识点4.贝叶斯公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P A i P B |A i P B = 1()(B )()(B )i i n k ki P A P A P A P A =∑，i ＝1,2，…，n .例4．（2023·全国·高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B =“被调查的施工企业资质不好”，A =“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知()0.97P A B =，()0.95P A B =．现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．拓展1.条件概率的求解1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 拓展2.全概率公式的应用2．（2024上·福建泉州·高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；(3)对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用1．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算1．（2024上·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是．题型2.事件的独立性与条件概率的关系2．多选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别A和3A表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由以1A，2题型3.乘法公式的应用3．（2024上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第题型4条件概率的综合应用4．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概题型5.全概率公式的应用5．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.题型6.贝叶斯公式的应用6．（2023·全国·高二随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用7．（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”1．判断题（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）()()|P B A P AB <.( )（2）事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，相当于,A B 同时发生的概率．( )（3）()|0P A A ＝.( )（4）()()||P B A P A B =.( )【方法五】 成果评定法一、单选题1．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次不放回地取2个数，事件A 为“第2．（2021·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（17011763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）A ．0.01B ．0.0099C ．0.1089D ．0.13．（2021上·山东淄博·高三统考阶段练习）甲袋中有5个白球、1个红球，乙袋中有4个白球、2个红4．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）等于（ ）A ．0.5B ．0.4C ．0.25D ．0.1256．（2022下·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）某人从A 地到B 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A 地到B 地迟到的概率是（ ）A ．0.16B ．0.31C ．0.4D ．0.32 二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ）10．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）11．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知,A B 为两个随机事件，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是（ ）12．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，三、填空题13．（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i ，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j ，在i j <的条件下，2j i <+的概率为 ． 14．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是 ．15．（2023下·北京西城·高二统考期末）抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为 ．16． 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ．四、解答题17．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A ，B 两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B 同学接着抽取题目回答，若他(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．。
概率统计公式大全
概率统计公式大全概率统计是一门研究事件发生的可能性及其规律性的学科。
它以概率论为基础，通过概率模型和统计方法对随机现象进行建模、分析和预测。
在概率统计中，有很多重要的公式和定理，下面将简单介绍几个常用的公式。
1.加法原理加法原理是计算多个事件并集概率的基本方法，它表述为：如果A和B是两个事件，那么它们的并集事件的概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.乘法原理乘法原理是计算多个事件交集概率的基本方法，它表述为：如果A和B是两个事件，那么它们的交集事件的概率可以表示为P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3.条件概率条件概率是指在其中一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)不为0。
4.全概率公式全概率公式是计算事件的概率的重要方法，它表述为：如果B1、B2、..、Bn是一组互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意事件A，可以表示为P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)。
5.贝叶斯定理贝叶斯定理是利用条件概率和全概率公式来计算事件的概率的重要方法，它表述为：如果B1、B2、..、Bn是一组互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意事件A，可以表示为P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/(P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn))。
6.期望值期望值是度量随机变量平均取值的重要统计量，它可以表示为E(X)=∑x*P(X=x)，其中x为随机变量X的取值，P(X=x)为X取值为x的概率。
7.方差方差是衡量随机变量取值的波动性的统计量，它可以表示为Var(X)= E((X - E(X))^2)，其中E(X)为随机变量X的期望值。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率与全概率公式
P ( A )＝ P ( B 1 ) P ( A ｜ B 1 )＋ P ( B 2 ) P ( A ｜ B 2 )＋ P ( B 3 ) P ( A ｜ B
3 )＋
P ( B 4 ) P ( A ｜ B 4 )＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋
0.35×0.02＝0.031 5，
∑ ()(｜)
=1
， i ＝1，2，···， n .
[小题诊断]
1.
1
1
若 P ( A ｜ B )＝ ， P ( B )＝ ，则 P ( AB )的值是(
9
3
A )
1
1
1
由 P ( AB )＝ P ( A ｜ B ) P ( B )，可得 P ( AB )＝ × ＝ .
9
3
27
2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失
[解]
设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞
()
蹈节目的概率为 P ( B ｜ A )＝
＝
()
2
5
2
3
法二：因为 n ( AB )＝12， n ( A )＝20，
总产量的15％，20％，30％和35％，且四条流水线的产品不合格率分别
为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不
合格品的概率是多少？
解：设 A ＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B i ＝“任取一件这种产品，结果是第 i 条流水线的产品”( i ＝1，
2024版高考数学总复习：条件概率与全概率公式课件
( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表
示事件A，B同时发生的概率．
( √ )
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
( √ )
1
2
3
4
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状
完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球
一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽
到的是卡口灯泡的概率为(
3
A．
10
2
B．
9
7
C．
8
)
7
D．
9
D
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2
3
3 7
7
次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝ ，P(AB)＝ × ＝ ，则所求的
10
10 9 30
概率为P(B|A)＝
2
C．
17
)
17
D．
38
解析：记事件A：抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B：抽到的
2张钞票都是假钞，
C15 C115 +C25
85
17
C25
1
则P(A)＝
＝ ＝ ，P(AB)＝ 2 ＝ ，
2
C20
190 38
C20 19
因此，P(B|A)＝
1 38
2
＝ × ＝ ．
19 17 17
根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称
条件概率
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。
而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。
具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。
- 1 -。
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
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= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
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第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
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第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
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第一章 随机事件与概率
4
条件概率的计算
在原样本空间中, 利用公式计算.
在缩减的样本空间中直接计算； 例1 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7， A 求其中一颗为1点的概率. B 例2 10件产品中有4件次品，从中任取两件，已知 其中一件是次品，求另一件也是次品的概率
2.全概率公式
设A1, A2 , ···, An是样本空间Ω的一个划分，且
P(Ai)>0， i = 1, 2, , n ，则对任意事件 B,有
P (B) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai )
i =1
n
特殊地 ： P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) =
由乘法公式求得
P ( A1A2 ) = P ( A2 | A1) P ( A1)
= 1⋅4 = 2 2 7 7
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第一章 随机事件与概率
8
三 全概率公式
Total probability formula
引例 甲袋中有5个红球、4个白球, 乙袋中有7个红球、3个白 球. 先从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球.问 从乙袋取出红球的概率. 1.样本空间的划分： 设Ω 为试验的样本空间，若事件 A1, A2 , ⋅⋅⋅, An 满足：
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ) P ( B | Ai ) ∑ i =1
n
P ( Ai ) P ( B | Ai )
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发生的可能性大小（在试验 前是知道的） “原因” 假定 A1, A2 , ⋅⋅⋅, An为导致试验结果的 称 P ( Ai ) = (i 1, 2, ⋅⋅⋅, n) 为 先验概率 若试验产生事件 B , 则要探讨事件发生的“原因”
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第一章 随机事件与概率
15
例2 用某种诊断法诊断癌症,记 A = {判断被检验者患有癌症
}
C = { 被检验者患有癌症 } 已知 = P ( A | C ) 0.95, = P ( A | C ) 0.90, 又设人群中 ， 现在若有一人被诊断患有癌症， P (C ) = 0.0004 问此人真正患有癌症的可能性有多大？
P ( B A) =
P ( AB ) P ( A)
为(事件) A 发生的条件下(事件) B 的条件概率. Conditional probability
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第一章 随机事件与概率
3
条件概率仍是概率！ (1)非负性 P( B A) ≥ 0 (2)规范性 P(Ω A) = 1 (3)可列可加性 设B1，B2，……为两两互斥的 事件，则有 ∞ ∞ P( Bi A) = ∑ P( Bi A)
先验概率反映了各种“原因” 第一章 随机事件与概率 14
P ( Ai | B ) = (i 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
称 P ( Ai | B )为 后验概率 后验概率反映了试验后对各种“原因” 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算 发生的可能性大小的推断
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判 别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握 的先验知识来推断后验概率
P (C= ) P ( ABC + ABC + ABC + ABC )
= P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC ) = =
4 10
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第一章 随机事件与概率
17
作业：P21： 14,15,16
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第一章 随机事件与概率
11
例1 设仓库中有10箱同样规格的产品，已知这10箱中 依次有5箱、3箱、2箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的。 又甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为 1/10,1/15,1/20,从这10箱产品中任取一箱，并从中任取 一件产品，求取得正品的概率. 注：把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对 结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关.
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第一章 随机事件与概率
5
二 乘法公式 Multiplication formula
P(AB) = P(A)P(B|A) (条件：P(A)>0) = P(B)P(A|B) (条件：P(B)>0)
推广：P(ABC) = P(AB)P(C|AB)
(条件：P(AB)>0) = P(A)P(B|A) P(C|AB) P(A1A2 …An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An|A1A2 …An−1) (条件： P(A1A2 …An−1)>0) 例3 一批零件共100个，其中10个次品. 从中一个 一个取出（不放回），求第3次才取到正品的概率.
？
已知取到的产品是正品，求所取的那箱产品
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是甲厂、乙厂、丙厂生产的概率各为多少？
第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
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四 贝叶斯公式 Bayes’ formula
设A1, A2 , ···, An是样本空间Ω的一个划分，且
P(Ai)>0， i = 1, 2, , n ，则对任意事件 B, 只要P(B)>0, 有
由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为 P ( A | C ) P(C ) P (C | A) = P ( A | C ) P(C ) + P( A | C ) P(C )
=
0.95 × 0.0004 0.95 × 0.0004 + 0.1× 0.9996
可见，虽然检验法相当可靠， 但被诊断患有癌症而真正患有癌 症的可能性并不大
A1, A2 , ⋅⋅⋅, An 两两互斥，即 Ai= Aj Φ (i ≠ j , i, = j 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
A1 A2 ⋅⋅⋅ An = Ω
则称 { A1, A2 , ⋅⋅⋅, An} 为样本空间 Ω 的一个划分. 记为：Ω = A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An
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