4条件概率和全概率公式

由乘法公式求得
P ( A1A2 ) = P ( A2 | A1) P ( A1)
= 1⋅4 = 2 2 7 7
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
8
三 全概率公式
Total probability formula
引例 甲袋中有5个红球、4个白球, 乙袋中有7个红球、3个白 球. 先从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球.问 从乙袋取出红球的概率. 1.样本空间的划分： 设Ω 为试验的样本空间，若事件 A1, A2 , ⋅⋅⋅, An 满足：
A1, A2 , ⋅⋅⋅, An 两两互斥，即 Ai= Aj Φ (i ≠ j , i, = j 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
A1 A2 ⋅⋅⋅ An = Ω
则称 { A1, A2 , ⋅⋅⋅, An} 为样本空间 Ω 的一个划分. 记为：Ω = A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An
石家庄铁道大学
P ( B A) =
P ( AB ) P ( A)
为(事件) A 发生的条件下(事件) B 的条件概率. Conditional probability
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
3
条件概率仍是概率！ (1)非负性 P( B A) ≥ 0 (2)规范性 P(Ω A) = 1 (3)可列可加性 设B1，B2，……为两两互斥的 事件，则有 ∞ ∞ P( Bi A) = ∑ P( Bi A)
第一章 随机事件与概率
9
2.全概率公式
设A1, A2 , ···, An是样本空间Ω的一个划分，且
P(Ai)>0， i = 1, 2, , n ，则对任意事件 B,有
P (B) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai )
i =1
n
特殊地 ： P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) =
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
11
例1 设仓库中有10箱同样规格的产品，已知这10箱中 依次有5箱、3箱、2箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的。 又甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为 1/10,1/15,1/20,从这10箱产品中任取一箱，并从中任取 一件产品，求取得正品的概率. 注：把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对 结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关.
P (C= ) P ( ABC + ABC + ABC + ABC )
= P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC ) = =
4 10
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
17
作业：P21： 14,15,16
石家庄铁道大学
？
已知取到的产品是正品，求所取的那箱产品
石家庄铁道大学
是甲厂、乙厂、丙厂生产的概率各为多少？
第一章 随机事件与概率
12
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
13
四 贝叶斯公式 Bayes’ formula
设A1, A2 , ···, An是样本空间Ω的一个划分，且
P(Ai)>0， i = 1, 2, , n ，则对任意事件 B, 只要P(B)>0, 有
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
石家源自文库铁道大学
第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为 P ( A | C ) P(C ) P (C | A) = P ( A | C ) P(C ) + P( A | C ) P(C )
=
0.95 × 0.0004 0.95 × 0.0004 + 0.1× 0.9996
可见，虽然检验法相当可靠， 但被诊断患有癌症而真正患有癌 症的可能性并不大
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
5
二 乘法公式 Multiplication formula
P(AB) = P(A)P(B|A) (条件：P(A)>0) = P(B)P(A|B) (条件：P(B)>0)
推广：P(ABC) = P(AB)P(C|AB)
(条件：P(AB)>0) = P(A)P(B|A) P(C|AB) P(A1A2 …An) =P(A1)P(A2|A1) …P(An|A1A2 …An−1) (条件： P(A1A2 …An−1)>0) 例3 一批零件共100个，其中10个次品. 从中一个 一个取出（不放回），求第3次才取到正品的概率.
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
15
例2 用某种诊断法诊断癌症,记 A = {判断被检验者患有癌症
}
C = { 被检验者患有癌症 } 已知 = P ( A | C ) 0.95, = P ( A | C ) 0.90, 又设人群中 ， 现在若有一人被诊断患有癌症， P (C ) = 0.0004 问此人真正患有癌症的可能性有多大？
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
4
条件概率的计算
在原样本空间中, 利用公式计算.
在缩减的样本空间中直接计算； 例1 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7， A 求其中一颗为1点的概率. B 例2 10件产品中有4件次品，从中任取两件，已知 其中一件是次品，求另一件也是次品的概率。 B A
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ) P ( B | Ai ) ∑ i =1
n
P ( Ai ) P ( B | Ai )
石家庄铁道大学
发生的可能性大小（在试验 前是知道的） “原因” 假定 A1, A2 , ⋅⋅⋅, An为导致试验结果的 称 P ( Ai ) = (i 1, 2, ⋅⋅⋅, n) 为 先验概率 若试验产生事件 B , 则要探讨事件发生的“原因”
先验概率反映了各种“原因” 第一章 随机事件与概率 14
P ( Ai | B ) = (i 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
称 P ( Ai | B )为 后验概率 后验概率反映了试验后对各种“原因” 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算 发生的可能性大小的推断
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判 别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握 的先验知识来推断后验概率
石家庄铁道大学
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10