第六节双曲线

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第六节双曲线

[答案] 16
[解题方略] 应用双曲线的定义，可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出曲线方程；可在“焦点三角形”中，利用正弦定理、余弦定理，并结合 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a ，运用配方法，建立与 |PF1|·|PF2|的联系．应用双曲线的定义时，若去掉绝对值，则点的轨迹是双曲线的一支．
＝13(|PF1|＝1舍去)．所以△F1PF2的周长等于7＋13＋10＝30.
故选C.
答案：C
2．设双曲线x2－
y2 3
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则
|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：如图，由已知可得a＝1，b＝ 3 ，c＝2，从而|F1F2|＝ 4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a ＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足
所以所求双曲线的标准方程为1x62 －y92＝1.
答案：B
3．经过点P(3,2 7)，Q(－6 2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)，
所以97m2m＋＋284n9n＝＝1，1，解得mn＝＝2－15.715，故所求双曲线方程为2y52 －7x52＝1. 答案：2y52 －7x52＝1
间想象、运算求解能力和应用意识．
1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )
A. 22，0
B. 25，0
C. 26，0
D．( 3，0)
解析：∵原方程可化为x12－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，

高三数学课件：第八章第六节双曲线

【解析】依题意知：2b=2，2c= 2 3 ，
所以b=1， c 3，a 2 ，因此，双曲线的渐近线方程为：
b 2 y x x. a 2 答案: y 2 x 2
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双曲线的定义、标准方程
【方法点睛】
1.双曲线定义的应用
利用双曲线的定义解题时，一方面要注意常数2a<|F1F2|这一条件；
第六节双曲线
1.双曲线的定义 (1)满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线之差的绝对值为 ①在平面内；②动点到两定点F1,F2的距离_____________ 小于 1F2|. 定值；③定值_____|F 两个定点F1,F2 (2)焦点：_____________. (3)焦距：两个焦点之间的距离.
2a；线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|=___ 性质实虚轴 2b；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=___ a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长.
【即时应用】
(1)思考:双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的
关系?
2 2 c a b b 提示:因为离心率 e 1 ( ) 2， a a a b 就趋近于+∞，即两条渐近线所形成的角所以，离心率越大， a
采用了“代点法”即“平方差法”建立方程，从而求得参数的
值.
【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于 P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长为_________. 【解析】因为x2-y2=8，所以2a= 4 2，由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|= 4 2， |QF2|-|QF1|= 4 2，所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|= 8 2，

高考数学第八章第六节双曲线课件文

第六节双曲线
基础知识要打牢
[知识能否忆起]
1．差的绝对值焦点焦距 2.x≥a 或 x≤－a y≤－a 或
y≥a 坐标轴原点坐标轴原点 (－a,0) (a,0) (0，－
a)
(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c a
(1，＋∞)
a2＋b2 A1A2
2a B1B2 2b a b
第一页，共16页。
第四页，共16页。
高频考点要通关 [例 1] 解析：(1)∵xa22－by22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2,1)在渐近线上，∴2ab ＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5.
第五页，共16页。
(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2，所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为 |PF1| － |PF2| ＝ 2 ，所以 (|PF1| － |PF2|)2 ＝ 4 ，可得 2|PF1|·|PF2|＝4，则 (|PF1| ＋ |PF2|)2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 12 ，所以 |PF1|＋|PF2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3
[小题能否全取] 1．选 C ∵双曲线方程可化为 x2－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12.
∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
6 2.
∴左焦点坐标为－ 26，0. 2．选 C 依题意得 a2＋1＝4，a2＝3，
故
e＝
2a2＝
2 ＝2 33
3.
第二页，共16页。
3．选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1| －|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所

双曲线-完整版PPT课件可编辑全文

∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在，需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a，化简得 a2＞2b2，即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴：坐标轴
对称性
对称中心：原点
y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴对称中心：原点
性顶点顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符合题意．

第八章第六节双曲线

第八章平面解析几何第六节双曲线课时规范练 A 组基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ．答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( )A ．3B ．2C ．53D ．54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝ca ＝54．答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为 ( )A ． 3B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1．答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3．故选A ．答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B ．答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C ．答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5．答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．答案：x 216－y 29＝19．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，由题意可知：⎩⎨⎧8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎨⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0，5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4，2a ＝8．答案：8B 组能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4．答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5．答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的 ( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16，所以△F 1MF 2的面积S ＝12 m ′n sin 60°＝43．答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a．因为M 的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a．答案：a。

第六节双曲线

A. x2 -y2=1
4
C. 3x2 - 3y2 =1
20 5
B.x2- y2 =1
4
D. 3x2 - 3y2 =1
5 20
答案
A
由题意可得
b aa2
1 2 b
,
2
5,
a 0,b 0,
解得a=2,b=1,
所以双曲线的方程为 x2 -y2=1,故选A.
4
考点突破
栏目索引
考点三双曲线的几何性质
∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
144 25
(3)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(mn>0).
考点突破
栏目索引
∵双曲线经过两点P(-3,2 7 )和Q(-6 2 ,-7),
∴
9m 28n 1, 72m 49n 1,
解得mn 271155., ∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
考点突破
栏目索引
1-1 △ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则
顶点C的轨迹方程是
.
答案 x2 - y2 =1(x>2)
4 21
解析如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.
|AG|=|AE|=7,|BF|=|BG|=3,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=7-3=4.
B.
5 2
,
0
C.
6 2
,0
D.( 3,0)
答案
C
∵原方程可化为
x2 1
-
y2 1
=1,
2
∴a2=1,b2=
1 2
,∴c2=a2+b2=

第六节双曲线

25
∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
25 75
考点突破栏目索引
方法技巧
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法:设出双曲线的标准方程,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的
方程并求出a,b,c的值.当所求双曲线与双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1有相同的渐近线时,可
设所求双曲线方程为
x2 b2
-
y a
2 2
=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则
1 e12
+ 1 =1. ( √ )
e22
教材研读
2.若方程 x2 - y2 =1表示双曲线,则m的取值范围是 ( D )
2 m m1
A.m>-1 B.m<-1 C.-2<m<-1 D.m>-1或m<-2
栏目索引
教材研读栏目索引
=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
考点突破栏目索引
又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c, |OA|=|AF1|-|OF1|=a,因为点M的横坐标和点A的横坐标相同,所以△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为a.
考点突破栏目索引
考点二双曲线的标准方程
典例2 (1)若双曲线的渐近线方程为y=±1 x,且经过点(4, 3 ),则双曲线的标准
6.(教材习题改编)若双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于
实轴长,则该双曲线的离心率为
.
答案 5
解析由题意知 |bc| =2a,

第六节双曲线

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．注意：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2016·课标全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a.又x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x.答案：C4．(2017·广州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：本题主要考查圆锥曲线．因为双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为2x ＋3y ＝0，所以y ＝－23x .所以4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝49.所以a 2＝9.根据双曲线的性质有||PF 1|－|PF 2||＝|7－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝1或13.答案：D5．(2015·浙江卷)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x.答案：23 y ＝±22x两条规律1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±abx.两种方法求双曲线标准方程的方法1．定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．2．待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点，则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn<0)．两点注意1．区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e ∈(0，1)．一、选择题1．“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m<8或m>10.故“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．(2015·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1解析：A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x.答案：A3．(2015·湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.答案：D4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1B.y 24－x 23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：由题意，c ＝32＋42＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：A5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2 解析：∵e ＝2，∴ca＝2.设焦点F 2(c ，0)到渐近线y ＝ba x 的距离为3，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|bc －a ×0|b 2＋a 2＝ 3.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ 3.由ca＝2，得c c 2－b2＝2，∴c 2c 2－3＝4，解得c ＝2.∴焦距2c ＝4. 答案：C6．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A二、填空题7．(2015·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y ＝0，则a ＝________．解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y＝0，即y ＝－3x ，因为a>0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：338．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3即x 23－y 212＝1，所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x9．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a.因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：7 三、解答题10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a|b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．(1)解：∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵MF1→＝(－3－23，－m)， MF2→＝(23－3，－m)． ∴MF1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF1→·MF 2→＝0. (3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m|＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。

A054=第八章第六节双曲线

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012· 江南十校联考)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2
＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则
|PF1|· 2|＝ |PF A．2 C．6 B．4 D．8 ( )
解析：不妨设点 P 在双曲线 C 的右半支上，由双曲线的定义得： |PF1|－|PF2|＝2 两边平方得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4① 在△PF1F2 中， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 cos60° ＝ 2|PF1|· 2| |PF 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|· 2|＝8 |PF 由①②可解得|PF1|· 2|＝4. |PF ②
得 4x2－10cx＋35b2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5c x1＋x2＝ 2 ，则 35b2 x1x2＝ . 4
①
x3＝λx1＋x2，设 OC ＝(x3，y3)， OC ＝λ OA ＋ OB ，即 y3＝λy1＋y2.
y2 x2 (2)(2011· 江西高考)若双曲线16－m＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[自主解答]
x2 y2 (1)双曲线a2－ 9 ＝1的渐近线方程为3x± ay＝0，与已知方
程比较系数得a＝2. (2)由题知a2＝16，即a＝4又e＝2 ∴c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
又|F1F2|＝10，∴△PF1F2直角三角形． 1 ∴S＝2×6×8＝24.
答案： C
x2 y2 3．若双曲线a2－b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 A. 5 C. 2 B．5 D．2 ( )
b bc 解析：焦点(c,0)到渐近线y＝ax的距离 2 ＝2a，则b＝2a， a ＋b2 c 又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴离心率e＝a＝ 5.

第六节双曲线第一课时双曲线的定义、方程与性质讲

第一课时双曲线的定义、方程与性质一.课标要求，准确定位1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.二.考情汇总，名师解读1．考查双曲线定义的应用，求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率（或取值范围）及与双曲线的渐近线有关的问题．2．考查题型有选择题、填空题、解答题．如2023新课标1卷第16题，2021新高考2卷第13题，考查双曲线的性质.＝.②e=到两焦点距离的等比中项－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）y＝±x y＝±xe＝，且e∈（1，＋∞））与双曲线－＝）有共同渐近线的双曲线系方程为－＝＝＝，离心率越大，双曲线）双曲线的焦点到其渐近线的距离为，通径长为.2·＝考向一利用定义求轨迹方程）已知渐近线方程为±＝的双曲线，可设为－＝考向一双曲线的渐近线22x y（2023·四川绵阳南山中学模拟）29．已知双曲线2213y x -=的右焦点为F ，(4,35)M ，直线MF 为双曲线上一动点，且点P 在以MN 为直径的圆内，直线MP 点,M Q ，则PM PQ ⋅的最大值为（）或，的值或范围得结论．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路:【微点解读】如果试题的条件给出角分线、三角性的内心、点的对称、中垂线等几何特A．2.14C．1.73【江西省九江市2023届高三上学期第一次模拟】36．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为A．42cm3B．924（多选题）（教材改编题）38．已双曲线C ：()2202x y λλ-=<，则（）A ．双曲线C 的实轴长为定值参考答案：16．BP【分析】根据焦距和点(2,1)的方程.【详解】因为焦距为25，故半焦距为P在一条渐近线上，故因为(2,1)故答案为：33y x =±4在曲线C 中，易知：FA b =，则DB 又4FB b =，1422F B b a c =-=，即又222c a b =+，得43b a =，渐近线方程为故答案为：43y x=±428．12e <<【分析】在PF F △中，由正弦定理可得连接,,NQ NP PF ，因为Q 在以MN 为直径的圆上，所以MQ NQ ⊥，(cos πPQ PN MPN =-∠()cos πPM PQ PM PN MPN PM ⋅=⋅-∠=- 2PF PF FN PF FM FM FN =--⋅-⋅-⋅ ，【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质范围,利用双曲线定义可使数据简化.32．B【解析】连接ON ,可得点N 为1MF 的中点，相交于点P ，可得1PF PM =，可得2PF PF -为双曲线，可得其方程.【详解】，如图，因为点B 在以1AF 为直径的圆上，则1AB F B ⊥，又AB 为所以1AF AD =，则B 为连接OB ，在DF F △中，又因为36．D【分析】画出塔筒的轴截面；以垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系把点,A B的坐标代入双曲线方程即可求出答案【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设22x y【详解】1,,F A D 共线，1,,F B C 共线，1AF m =，则22AF m =-12ABC ∠=-，所以tan ABF ∠这里28a =，4a =，5c =，则b =故点P 的轨迹方程为221169x y -=(4)x >∵OQ∥PF，∠=∠，∴AOQ OFP又∵双曲线的渐近线关于∠=∠，∴FOP AOQ。

第八章第六节双曲线

＝2，∴a＝2，b2＝12.
3．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 A．28 C．14＋8 B．14－8 D．8 ( )
解析：由双曲线定义知， |PF2|－|PF1|＝4 ，|QF2|－|QF1|＝4 ，，
∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距 .
2．双曲线定义的理解
又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，
∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8 ，
∴△PF2Q的周长为14＋8
答案：C
.
4．已知双曲线
－y2＝1，则其渐近线方程是________，
离心率e＝________. 解析：由－y2＝0，得y＝± x即为渐近线方程．，∴e＝ .
又a＝2，b＝1，∴c＝
答案：y＝±
的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：
(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[思路点拨]
[课堂笔记] 设动圆M的半径为r，则由已知 |MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
到简化．
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长
为2 . 与双曲线C左支交于A、B两点，求k

第八章第六节双曲线

(3)已知双曲线 C：1x62－by22＝1(b＞0)，F1、F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l
分别交 C 的左、右支于点 A、B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝( )
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由双曲线方程知 a ＝4，∴|AB|＝16，故选 C.
(y＋ 6)2＝1 上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为( )
A．8
B．9
C．10
D．11
解析：由题意知 2a＝6，则 a＝3，又由ba＝13得 b＝1，所以 c＝ a2＋b2＝ 10，则 F1 (－ 10，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN| ＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝ 102＋－ 62＋5＝9，当且仅当 F1，M，N，E 共线时取等号，故选 B. 答案：B
答案：A
挖掘 2 利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究
[例 2] (1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线 x2－y2＝9 右焦点 F2 的直线交双曲线的
左支于点 P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ 的周长为( )
A．19
B．26
C．43
D．50
解析：如图所示，由双曲线的定义
可得||PQFF22||－－||PQFF11|＝|＝22aa，， ②
适合易求 a、b、c
构造法构造 a、b、c 间的等式或不等式的齐次关系可能是 a、c 或 a、b 的关系

第8章第6节双曲线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.
(1)当__a_<_c_|____时，P 点的轨迹是双曲线． (2)当__a_＝_c_____时，P 点的轨迹是两条射线． (3)当__a_>_c_____时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
解析(1)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，
则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2
＝（4 22）×2＋ 4 （2×2 22）2 2－42＝34.故选 C.
[巩固演练] 1．(2)已知 P 是双曲线x92－1y62 ＝1 右支上任意一点，M 是圆(x＋5)2＋y2＝1 上任意一点，设 P 到双曲线的渐近线的距离为 d，则 d＋|PM|的最小值为___9_____．
►考向三双曲线的几何性质[多维探究]
命题点 1 与渐近线相关的问题
[例 3－1] 已知 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程
是( A )
故双曲线 C 的标准方程为1x62 －y92＝1.故选 B.
(2)已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的一条渐近线 l 的倾斜角
为π，且 C 的一个焦点到 l 的距离为 3，则双曲线 C 的方程 3
为( D )
A． x2 －y2＝1 12 4
B．x2－ y2 ＝1 4 12

高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何第六节双曲线

一定是双曲线吗?为什么?
提示不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
x2
a2
−
y2
=1(a>0,b>0)
b2
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
b2
32 + 02 =2<|AB|=4,
∴F 的轨迹为以点 A,点 B 为焦点的双曲线的下支.
2
设双曲线方程为 2

−
2
2 =1(y≤-a),

则 2a=2,即 a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
∴焦点 F 的轨迹方程是
2

y2- =1(y≤-1).
3
考点二
双曲线的标准方程
典例突破
例 2.(1)(2023
7.焦点三角形的面积:点P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且
∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为

2
tan

2
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
线.( × )
2
小值为9.
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2,
所以|PF1|=2|PF2|=4 2,
所以
|1 |2 +|2 |2 -|1 2 |2
cos∠F1PF2=

第九章第6讲双曲线

第6讲双曲线1．双曲线的概念(1)定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合：若集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2c>2a>0，即c>a>0，则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线，且|F1F2|＝2c是双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)性质实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b(a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长)a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．渐近线为mx±ny＝0对应的双曲线方程为m2x2－n2y2＝λ.2．当双曲线焦点不明确时，要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解．1．(选修2－1 P61A组T1改编)双曲线y264－x216＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为()A．20 B．16C．12 D．8解析：选A.设P到另一个焦点的距离为d，则|d－4|＝2×8＝16，∴d ＝20，故选A.2．(选修2－1 P 55练习T 1(3)改编)双曲线C 的焦点为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1 解析：选B.2a ＝| (－5＋6)2＋22－ |(－5－6)2＋22 ＝4 5.∴a ＝25，又c ＝6，∴b 2＝c －a 2＝36－20＝16.∴双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.3．(选修2－1 P 57内文改编)等轴双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析：选A.不妨设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2， ∴c 2＝a 2＋a 2＝2a 2，即c ＝2a ，∴e ＝ca＝2，故选A.4．(选修2－1 P 62A 组T 4(3)改编)离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x 轴上时，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.则c a ＝3，3a 2－4b2＝1.且a 2＋b 2＝c 2. 解得a 2＝1，b 2＝2.∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1. 当双曲线焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2－x 2b2＝1.则c a ＝3，4a 2－3b2＝1，且a 2＋b 2＝c 2. 解得a 2＝52，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为y 252－x 25＝1.答案：x 2－y 22＝1或y 252－x25＝15．(选修2－1 P 62B 组T 1改编)与椭圆x 249＋y 224＝1有相同焦点且离心率为54的双曲线的标准方程为________．解析：椭圆x 249＋y 224＝1的焦点F (±5,0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝5，c a ＝54，∴a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y29＝1双曲线的定义与标准方程(1)[双曲线的定义及应用]已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(2)[双曲线的标准方程]如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[答案] (1)44 (2)x 2－y23＝1(1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支)，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．1．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.45B.74C.54D.7解析：选 A.在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝810＝45，故选A.2．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5，设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.双曲线的几何性质(1)[双曲线的基本性质]已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m(2)[代数关系确定离心率]直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 (3)[几何关系确定离心率](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[解析] (1)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mm x ，即my＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝ 3.故选A. (2)不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知l 的方程为x ＝±c .代入x 2a 2－y 2b 2＝1得，y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a .即|AB |＝2b 2a .∴2b 2a ＝4a .则c 2－a 2＝2a 2.c 2a 2＝3. ∴e ＝ca＝3，故选B.(3)不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，所以M 点的坐标为2a ，3a .因为 M 点在双曲线上，所以4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，所以c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D.[答案] (1)A (2)B (3)D(1)利用双曲线的几何性质求解相关问题时要注意点(顶点、焦点、中心)、轴长(实轴长，虚轴长，焦距)、渐近线、离心率之间的关系，根据条件列出关系式．(2)求双曲线离心率的三种方法：①代数法：根据a ，b ，c (c 2＝a 2＋b 2)的关系，整体求出ca.②几何法：根据几何条件，建立a ，b ，c 的关系式，从而求出离心率．③渐近线法：若双曲线的渐近线方程为y ＝±kx ，当焦点在x 轴上，则离心率e ＝1＋k 2，当焦点在y 轴上，则离心率e ＝1＋1k 2.1．双曲线C 的焦点在x 轴上，其一条渐近线方程为2x －y ＝0，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5解析：选D.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得ba＝2.∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.故选D. 2.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.直线与双曲线的位置关系若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2，∴k ＝52.求解直线与双曲线的位置关系问题，常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．并注意讨论二次项系数．1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线l 与双曲线只有一个交点，若直线l 的斜率为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选A.由题意知，只有当直线l 与双曲线的一条渐近线平行时，l 与双曲线才可能只有一个交点，故b a ＝1，即a ＝b .∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴e ＝ca＝2，故选A.2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：根据对称性，只要∠AEF <π4即可．由题意，知F (－c ，0)，直线AB 的方程为x＝－c ，将x ＝－c 代入双曲线方程，得y 2＝b 4a 2，取点A (－c ，b 2a )，则|AF |＝b 2a，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b2a<a ＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒c 2－ac －2a 2<0⇒e 2－e －2<0，解得－1<e <2，又e >1，故1<e <2.故离心率e 的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意知双曲线的一条渐近线方程为x a －yb＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，即b ＝3，ca ＝2⇒a ＝1，c ＝2， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2,0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，∵直线l 与双曲线有两个交点， ∴k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)， △F 1AB 的面积 S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4(k 2－3)(4k 2＋3)|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.一、选择题1．(选修2－1 P 58例3改编)双曲线9y 2－16x 2＝144的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.双曲线方程即为y 216－x 29＝1，焦点F (0，±5)．渐近线方程为y ＝±43x .即4x ±3y ＝0.∴F 到渐近线的距离为d ＝|4×0±5×3|42＋(±3)2＝3，故选A.2．(选修2－1 P 42练习T 4改编)点A ，B 的坐标是(－1，0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则点M 的轨迹为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D ．x 2－y 22＝1(x ≠±1) 解析：选D.设点M 的坐标为(x ，y )， ∵点A ，B 的坐标是(－1,0)，(1,0)，∴k AM ＝yx ＋1(x ≠－1)，k BM ＝yx －1(x ≠1)，由已知y x ＋1·yx －1＝2，化简得x 2－y 22＝1(x ≠±1)． 3．(选修2－1 P 55练习T 2改编)与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且一条渐近线为x ＋15y＝0的双曲线方程是( )A.x 215－y 2＝1 B ．x 2－y 215＝1 C.x 212－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)，∵椭圆x 225＋y29＝1的焦点为F (±4,0)．∴a 2＋b 2＝16，①又双曲线的渐近线为x ＋15y ＝0，即y ＝－115x .∴b a ＝115，② ①、②解得a ＝15，b ＝1.∴所求的双曲线方程为x 215－y 2＝1.二、填空题4．(选修2－1 P 80A 组T 4改编)α∈(0，π)，曲线C ：x 2＋y 2cos α＝1的离心率e ＝3，则α＝________.解析：由C ：x 2＋y 2cos α＝1的离心率e ＝3知，曲线C 为双曲线．∴α∈(π2，π)．方程x 2＋y 2cos α＝1即为x 2－y 21－cos α＝1.则a 2＝1，b 2＝1－cos α，∴c 2＝a 2＋b 2＝1－1cos α＝cos α－1cos α，由e ＝3得e 2＝3.即c 2a 2＝3.∴cos α－1cos α＝3.即cos α＝－12， ∴α＝2π3.答案：23π5．(选修2－1 P 62A 组T 6改编)经过点(－1,3)，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为________．解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∴λ＝(－1)2－32＝－8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝－8，即y 28－x 28＝1.答案：y 28－x28＝1三、解答题6．(选修2－1 P 62A 组T 5改编)已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝4，点B 的坐标(3,0)，P 是圆A 上的任意一点．BP 的垂直平分线l 与直线AP 相交于点Q .(1)当点P 在圆A 上运动时，求点Q 的轨迹C 的方程；(2)当△P AB 面积最大时，求圆A 上的点到直线l 的距离的最大值； (3)在(2)的条件下，证明直线l 与曲线C 相切．解：(1)由题意得圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝4的圆心为A (－3,0)，半径r ＝2且|QP |＝|QB |， ∴|||QA |－|QB |＝||QA |－|QP ||＝|AP |＝2.∴Q 的轨迹是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝2；c ＝3，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝8.所以点Q 的轨迹方程为x 2－y 28＝1. (2)当△P AB 面积最大时，P A ⊥AB ，此时P 的坐标为(－3，±2)， ①当P 的坐标为(－3,2)时，PB 的中点坐标为(0,1)．k PB ＝－13，∴k l ＝3.直线l 的方程为y ＝3x ＋1，即3x －y ＋1＝0，圆A 的圆心(－3,0)到l 的距离d ＝|3×(－3)－0＋1|32＋(－1)2＝4105>2.∴圆A 上的点到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝4105＋2.②当P 的坐标为(－3，－2)时，由对称性同理可得圆A 上的点到直线l 的距离的最大值为4105＋2.(3)证明：由(2)知直线l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－(3x ＋1)．将y ＝3x ＋1或y ＝－(3x ＋1)代入C ：x 2－y 28＝1得8x 2－(9x 2＋6x ＋1)＝8，即x 2＋6x ＋9＝0，Δ＝0，∴x 1＝x 2＝－3，故直线l 与C 相切．一、选择题1．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为F (0,22)，一个顶点为A (0，－2)，则双曲线C 的方程为( )A.y 22－x 22＝1B.y 24－x 212＝1C.y 24－x 24＝1D.y 24－x 22＝1 [导学号03350775] 解析：选C.设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝(22)2，a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故双曲线的方程为y 24－x 24＝1，故选C. 2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x[导学号03350776] 解析：选B.由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.3．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455[导学号03350777] 解析：选C.x 24－y 2＝1的顶点坐标为(±2,0)，渐近线为x ±2y ＝0.代入点到直线的距离公式得d ＝|±2|12＋(±2)2＝255.故选C.4．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1C.3＋12D.3＋1 [导学号03350778] 解析：选D.因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.5．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5[导学号03350779] 解析：选A.由抛物线方程知抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以双曲线方程中半焦距c ＝3.因为双曲线的右焦点坐标为(c,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪bc a 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝b ，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b .因为双曲线中a ＝2，c ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝9－4＝ 5. 6．若焦点在x 轴上的双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x[导学号03350780] 解析：选A.由题意可得a 2＝2，b 2＝m .因为e ＝c a ＝62，所以c 2a 2＝2＋m 2＝32，解得m ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A. 7．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 [导学号03350781] 解析：选A.双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.故选A.8．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15[导学号03350782] 解析：选B.如图所示，依题意可得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|.又因为|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝2a .又因为|AF 2|－|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a .即在△F 1BF 2中，|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°. 由余弦定理可得c 2＝7a 2，所以离心率为7.9．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.35C.34D.45[导学号03350783] 解析：选C.由x 2－y 2＝2知， a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.故选C.10．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 [导学号03350784] 解析：选B.不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53，故选B. 二、填空题11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则此双曲线的离心率e 的值为________．[导学号03350785] 解析：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，即b a ＝12，则双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝1＋14＝52.答案：5212．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线的方程为________．[导学号03350786] 解析：由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.答案：x 212－y23＝113．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.[导学号03350787] 解析：由已知得ca ＝2，所以a 2＋b 2a2＝4，解得ba＝3，即双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3，可得p ＝2.答案：214．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与曲线y ＝2x －1相切，则该双曲线的离心率为________．[导学号03350788] 解析：由y ＝2x －1，得y ′＝12x －1，设切点为(x 0，2x 0－1)，则一条渐近线(即切线方程)为y －2x 0－1＝12x 0－1·(x －x 0)，即y ＝12x 0－1x ＋2x 0－1－x 02x 0－1. 因为一条渐近线方程为y ＝ba x ，所以比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0－1＝ba，2x 0－1－x 02x 0－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，b a＝1.所以该双曲线的离心率为e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： 2三、解答题15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB 的长．[导学号03350789] 解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 16．设双曲线C 以椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为焦点，且双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 3.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以P (0,3)为圆心的同一圆上，求实数m 的取值范围．[导学号03350790] 解：(1)依题意知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴c ＝4.又双曲线C 的焦点到渐近线的距离为23， ∴b ＝2 3.∴a 2＝c 2－b 2＝4.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 212＝1消去y 整理，得(3－k 2)x 2－2kmx －(m 2＋12)＝0. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝4k 2m 2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0.(*) 设EF 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝km 3－k 2.又∵点G 在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ＝3m 3－k2，∴G ⎝⎛⎭⎫km 3－k 2，3m 3－k 2. ∵E ，F 两点都在以P (0,3)为圆心的同一圆上， ∴GP ⊥EF ，即k GP ·k ＝－1.∴3m3－k 2－3km 3－k 2·k ＝－1，整理得k 2＝9－4m 3，代入(*)式得⎩⎨⎧3－9－4m 3≠0，Δ＝4m 2·9－4m 3＋4⎝⎛⎭⎫3－9－4m 3(m 2＋12)>0，解得m >0或m <－163.又∵k 2＝9－4m 3>0，∴m <94.故所求m 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，－163∪⎝⎛⎭⎫0，94.。

高考数学(苏教,理科)复习配套课件：第八章平面解析几何第六节双曲线

数学
第六节双曲线
双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.
归纳起来常见的命题角度有： 1已知离心率求渐近线方程； 2已知渐近线求离心率； 3已知离心率确定渐近线夹角问题； 4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.
数学
第六节双曲线
角度一已知离心率求渐近线方程 1．(2013·新课标卷Ⅰ改编)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)
率的取值范围为________．解析：∵双曲线的一条渐近线方程为 y＝bax，则由题意得ba＞2，
∴e＝ac＝
1＋ba2＞ 1＋4＝ 5.
答案：( 5，＋∞)
数学
第六节双曲线
[类题通法] 解决渐近线与离心率关系的问题方法
(1)已知渐近线方程 y＝mx，若焦点位置不明确要分 m＝ba 或 m＝ab讨论．
图形
性范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
Байду номын сангаас
质对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
数学
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标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
顶点渐近线
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
▪ 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/312021/7/312021/7/31Jul-2131-Jul-21
▪ 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/312021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021

第六节 双曲线

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高三数学课件：第八章 第六节 双曲线

高考数学 第八章 第六节 双曲线课件 文

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第八章 第六节 双曲线

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第六节双曲线第一课时双曲线的定义、方程与性质讲

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第8章 第6节 双曲线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线

第九章第6讲双曲线

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