函数的四大性质总结

函数的四大性质总结
知识点总结：
一． 单调性：
1. 定义：在定义域I 里，有两个任意自变量,当
时，
则f （x ）
在定义域单调增。

当
时，
则f （x ）在定义域单调减。

2. 判断方法：①定义法（作差或作差比较）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤倒数法； 二． 奇偶性：
偶函数 ：f （-x ）=f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 奇函数：f （-x ）= - f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 三． 周期性：
如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （x ）[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a]，则f （x ）为周期函数，T=a 。

周期函数有三种变形形式： 这三种形式的周期都为2a 。

四． 对称性：
如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （a-x ）[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a]，则f （x ）为对称函数，对称轴为x=a 。

对称性和周期性的结合：
① f(x)关于（a,0）和(b,0)点对称,则f （x ）是周期函数，T=2
② f(x)关于直线x=a 和x=b 对称,则f （x ）是周期函数，T=2 ③ f(x)关于点（a,0）和x=b 点对称,则f （x ）是周期函数，T=4
专题训练
（一）函数的单调性 1、当⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈21,0x ，下列式子中正确的是
（A ）()11log >-x x （B ）x
x
-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⎪
⎭
⎫
⎝⎛112121 （C ）()()2
32311x x -<+ （D ）()11log 2->-x
2、()()()4,2122
∞-+-+=在x a x x f 上是减函数，则a 的取值围是（ ）
（A ）3-≤a （B ）3-≥a （C ）5≤a （D ）3≥a
3、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<
Ｂ．P R Q <<
Ｃ．Q R P <<
Ｄ．R P Q <<
3．1函数是单调函数时，的取值围 A ． B ． C ． D ．
3.2、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)
3.3、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有121()()()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则
必有（A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤ （C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤ 3.4、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在
D 上
Af(x)+g(x)一定是减函数 B f(x)-g(x)一定是增函数 C f(x)·g(x)一定是增函数 D )
()
(x g x f 一定是减函数
4若0.5
2a =，πlog 3b =，22π
log sin 5
c =，则（ A ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>
D ．b c a >>
5 函数f(x)=㏒
0.5
(x-1)(x+3)的单调递增区间是（A ）
A （-∞，-3）
B （-∞，-1）
C （1，∞）
D （-3，-1）
6设2
lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>
7 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 A ．()f x =
1x
B ()f x =2(1)x -
C ()f x =x
e D ()ln(1)
f x x =+ 8 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有
2121
()()
0f x f x x x -<-则
A (3)(2)(1)f f f <-<
B (1)(2)(3)f f f <-<
C (2)(1)(3)f f f -<<
D (3)(1)(2)f f f <<- 9
已知函数
()x f 是
R 上的偶函数，且在区间
[)
+∞,0上是增函数.令
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 （A ）
(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<
10．函数 的单调区间为
11.f （x ）= （1）判断函数的奇偶性（2）若y=f （x ）在 上为减函数，
求a 的取值围。

二、函数的奇偶性
1、 函数 ()()
2
21lg 2
---=x x x f （ ）
（A ）奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数
2、判断下列函数奇偶性：()()
x x x f -+=2
1lg 是 ， ()2
212
-+-=x x x f 是 。

3、已知()83
5
+++=bx ax x x f ，且()102=-f ，那么()2f 等于（ ）
（A ）6 （B ）－18 （C ）－10 （D ）10 4、函数()2
11x
a x x f ---=
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 5、()())0(1221≠⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
=x x f x F x
是偶函数，且()x f 不恒等于零，则()x f （ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）非奇函数非偶函数 6、若()x f 、()x g 都是定义在R 上的奇函数，若()()()2++=x bg x af x F 在区间()+∞,0上的最大值为5，
则()()0,∞-在x F 上的最小值为 。

7、奇函数()x f 在[]7,3上是增函数，在[]6,3上的最大值为8，最小值为－1，则()()=-+-362f f
（A ）5 （B ）－5 （C ）－13 （D ）－15 8、已知函数 ()1sin cos 2
-++=x x b ax x f ，满足，则
/65f π=（） 则/6f π=（-）
A 、35-
B 、53-
C 、4
D 、－4
9、设偶函数()()0,log ∞--=在b x x f a 上递增，则()()11++b f a f 与的大小关系是（ ） A ()()21+=+b f a f B ()()21+>+b f a f C ()()21+<+b f a f D 不确定 10、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值围是 A （
13，23） B ［13，23） C （12，23） D ［12，23
） （三）自对称、互对称、周期性
1、设函数()x f y =定义在R 上，则函数()x f y -=1与函数()x f y +=1的图象关于（ ） （A ）直线0=y 对称 （B ）直线0=x 对称 （C ）直线1=y 对称 （D ）直线1=x 对称
2、设函数()x f y =定义在R 上，则函数()1-=x f y 与函数()x f y -=1的图象关于（ ） （A ）直线0=y 对称 （B ）直线0=x 对称 （C ）直线1=y 对称 （D ）直线1=x 对称
3、函数
21
3+-=
x x y 的图象（ ）
A 关于点()3,2-对称
B 关于点()3,2-对称
C 关于直线2-=x 对称
D 关于直线3-=x 对称
4 设定义在R 上的函数()f x 满足 ()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）2
13
5、已知()x f 是定义在R 上函数，且 ()()()
2121---+=
x f x f x f ,若()321+=f ，则()2005f 等于 （ ）
A 、23-
B 、23+
C 、32-
D 、32--
6、 函数1()2
x
y =与函数2()16x y =-的图像关于 D
A 、直线2x =
B 、点（4，0）对称
C 、直线4x =
D 、点（2，0）对称
（四）函数图像的转换规则 1.设函数()()42),1,0(=≠>=-f a a a
x f x
，则（ ）
（A ）()()12->-f f （B ）()()21->-f f （C ）()()21f f > （D ）()()22f f >- 2、若10<<a 且函数()x x f a log =则下列各式中成立的是（ ）
（A ）()⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛>41312f f f （B ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛31241f f f （C ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛41231f f f （D ）()23141f f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3.、在下列函数中，在区间()1,0上为增函数的是（ ） （A ）()
3
2
1-+=x y （B ）12-=x y （C ）1log 2
1-=x y （D ）12
+=-x
y
4、设函数()2,12,log 2>-<<<-=c b a x x f 则下列各式成立的是
（A ）()()()c f b f a f >>（B ）()()()a f b f c f >> （C ）()()()b f a f c f >> （D ）()()()c f a f b f >> 5、不等式 ()112
-<-x x 的解集为
A 、()2,∞-
B 、()2,0
C 、()()2,11,0
D 、()()2,11, ∞- 6、
()()()10,1x f x a b a a =-+>≠的图象不经过第二象限，则必有（ ）。

（A ）01,0a b <<> （B ）01,0a b <<< （C ）1,1a b >< （D ）1,0a
b >≥
7、为了得到函数3
lg
10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ C ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长
8、设()lg f x x =，若0a b c <<<，且()()()f a f c f b >>，则下列关系正确的是 A 、1ac a c +<+ B 、 1ac a c +>+ C 、 1ac a c +=+ D 、 1ac >
9 ．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2
()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；
命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（D ）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 10、下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）
单调递增的函数是（B ） （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）2
1y x =-+ (D) 2
x
y -=
11 函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1
在同一直角坐标系下的图象大致是(C)
12 ．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为
（ C ）
A ．1ln
||
y x = B ．3
y x =
C ．||
2x y =
D ．cos y x =
（五）三类性质的综合运用
1、 设 ()x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知当 []3,2∈x 时，()x x f = ，则当 []0,2-∈x 是，
()x f 的解析式为
（A ）()4+=x x f （B ）()x x f -=2 （C ）()13+-=x x f （D ）()12++=x x f
2、函数()x f 是以π为周期的奇函数，且14f π
=-（
-），则⎪⎭
⎫
⎝⎛π49f 等于（ ）
（A ）
4π （B ）4
π
- （C ）1 （D ）－1 3、设()x f 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()5.7f 等于（A ） A.
0.5 （B ）－0.5 （C ）1.5 （D ）－1.5
5、设()x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于2=x 对称，已知[]2,2-∈x 时，()12
+-=x x f ，则
[]2,6--∈x 时，求()x f 。

6、设奇函数()x f 的定义域为R ，且满足()()x f x f =+2，当[]1,0∈x 时，()x f
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=24log ,1221f x
则的值等于（ ） （A ）21-
（B ）2423- （C ）65- （D ）2
5-
7、定义在R 上的偶函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，()-=2x f 4-x ，则
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛<
⎪⎭⎫
⎝⎛6cos 6sin ππf f （B ）()()1cos 1sin f f > （C ）⎪⎭
⎫ ⎝
⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛32sin
32cos ππf f
（D ）()()2sin 2cos f f >
8 已知()f x 是周期为2的奇函数,当(0,1)x ∈时,
()2x f x =,则12
(log 23)f = (2316
-)
9 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),
()(1)(2)x f x f x f x -⎧=⎨---⎩
则f （2009）的值为：（09）
（A ）-1 （B ） 0 （C ）1 （D ） 2
10 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值围是（09文）
（A ）（
13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，2
3
） 11 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x =1()2
x
；当x ＜4时()f x =(1)f x +，则2(2log 3)f +=（09文）
（A ）124 （B ）1
12
（C ）18 （D ）38
12 函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则09理 （ ） A 、()f x 是偶函数
B 、()f x 是奇函数
C 、()(2)f x f x =+
D 、(3)f x +是奇函数
13．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f == 5(),2
c f = 则选D.
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<
14．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）
，且当[0,2)x ∈时，
2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（09文）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 15．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1
(1)f f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的实数x 的取值围是 07 A ．(11)-，
B ．(01)，
C ．(10)(01)-，，
D ．(1)
(1)-∞-+∞，，
16、已知奇函数 ()x f 在 ()0,∞- 上单调递减，且 ()02=f ，不等式()()011>--x f x 的解集为（ ） （A ）{}13-<<-x x （B ）{}
3111<<<<-x x x 或 （C ）{}303><<-x x x 或 （D ）{}
213><<-x x x 或
17、已知()x f 是奇函数，定义域为{}
0,≠∈x R x x ，又()x f 在区间()+∞,0上是增函数，且()01=-f ，则
满足()x x f 的0>的取值围为
（A ）()+∞,1 （B ）()1,0 （C ）()()+∞-,10,1 （D ）()()+∞-∞-,11, 18、已知 ()x f 是R 上的偶函数，已知 ()x g 是R 上的奇函数，且 ()()1-=x f x g ，若 ()21=f ，则
()2005f 的值为 （ ）
A 、2
B 、0
C 、－2
D 、±2。