简谐振动的合成
简谐振动的合成
x
A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
x
o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g
转
A
动
l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
简谐运动的合成
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐振动的合成
0 < ∆ϕ < π
质点沿顺时针方向运动
π < ∆ϕ < 2π 质点沿逆时针方向运动
说明：任何一个直线简谐振动， 说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动或匀速 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动. 圆周运动都可分解为两个相互垂直的简谐振动
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第九章 振 动
用旋转矢量描绘振动合成图
(1) ϕ2 − ϕ1 = 0或2π
A2 y= x A1
y
A2
o
A1
x
时刻t 质点离开平衡位置的位移（合振动） 时刻 质点离开平衡位置的位移（合振动）
2 r = x2 + y 2 = A12 + A2 cos(ωt + ϕ )
2 2 A = A1 + A2
——合振动也是谐振动 合振动也是谐振动
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第九章 振 动
Acosϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
令
Asinϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
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结束
第九章 振 动
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
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结束
第九章 振 动பைடு நூலகம்
§9.4.4 互相垂直不同频率简谐振动的合成·李萨如图形 互相垂直不同频率简谐振动的合成 李萨如图形
第2节_简谐振动的合成
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
§11-4相互垂直的简谐振动的合成
x
20 10 π 2
20 10 π 2
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹 随时间变化，不是稳定曲线。
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹
为闭合曲线，称为李萨如图形。
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
2、 20 10 π
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
y
A2
A1 x
y
x A2
o A1
3、20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
合振动运动轨迹为正椭圆
4、 两个简谐振动振幅相同时 y
A2 y
o A1 x
y
x
10 )
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 20 决1定0
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
或
讨论几种特殊情形 1、20 10 0 或 2 π
如图所示，图中所描绘的是
yA
x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的
李萨如图形。
图形与y轴切点数 图形与x轴切点数
-A2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 3 nx y 2
1
x
o
A2
- A1
不同频率比不同初相位差的李萨如图
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
完
第二篇
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
大学物理-12第十二讲简谐振动的合成、阻尼、受迫振动（001）
解得 ω = ωr = ω02 − 2β 2
则
A=
2mβ
F0
ω02 − β 2
= Amax
A
β2 β3
β1
ω
β1 > βω2 0> β3
23
2.速度共振—使速度振幅达最大值的状态
v = dx = − Aω sin(ωt − δ )
dt
速度振幅 vm = Aω
而 Aω =
F0ω
m (ω02 − ω2 ) + 4β 2ω2
●合振幅A的大小由两个分振动的初相差决定。
当 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ±2kπ
(k = 0，1，2") 同相
Y ωK
A2
ωK
A ωK
A = A1 + A2 = Amax
θ2
Δθ θ1
A1
合振动加强
x2 θ x1 x x
4
当 Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π 反相
(k = 0，1，2")
ϕ =0
t
19
2. β =ω0（临界阻尼） x = e −βt (C1 + C 2t)
●在临界阻尼时，质点到达平衡位置时速度即减为 零，振动不可能发生。
◆原理常用于阻尼天平等，以减少摆动时间.
3. β >ω0（过阻尼）
x = e − βt (C 1e ω1t + C 2 e −ω1t )
●过阻尼时，质点的速度 x
F强 = F0 cosωt
v = dx = Aω cos ωt v与强迫力同位相。
dt
●在整个周期内外力的方向和物体运动方向一致， 不断对物体作正功，使振动最强。 ◆外力的周期性变化与物体的固有振动“合拍”。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
相互垂直的简谐振动的合成
相互垂直的简谐振动的合成简谐振动是一种重要的物理现象，在许多领域都有广泛的应用，如机械、光学、电磁等领域。
在某些情况下，需要对两个或更多相互垂直的简谐振动进行合成，以产生一个新的复合振动。
本文将介绍相互垂直的简谐振动的合成，并阐述其原理和应用。
简谐振动的定义简谐振动是指一个对象以一个周期性的方式在其平衡位置周围运动的物理现象。
这种振动是由于弹性力的作用而产生的，例如弹簧、摆线、声波等。
一个简谐振动的特点是在相同的时间内，运动具有相同的加速度和速度。
简谐振动的运动方程可以用以下公式表示：x = A sin(ωt)其中，x代表位移，A代表振幅，ω代表角速度，t代表时间。
由于简谐振动的周期（T）与角速度有关系，因此可以用以下公式表示：T = 2π/ω当存在两个或更多个以不同的频率振动的物体时，它们的振动将会互相影响。
考虑一个垂直向上运动的弹簧振子和一个水平运动的弹簧振子。
如果它们同时振动，将会出现一个垂直方向上的复合振动。
其中，y1代表第一个弹簧振子的位移，y2代表第二个弹簧振子的位移。
为了合成垂直方向的复合振动，需要执行以下步骤：1. 确定两个振动的振幅和角频率。
2. 计算两个振动的周期。
3. 将两个振幅和周期代入以下公式中：y = A1 sin(ω1t) + A2 sin(ω2t)其中，y代表合成振动的位移。
4. 对于每个时刻t，计算出合成振动的振幅y。
合成垂直方向振动的物理意义当两个垂直方向上的简谐振动相互作用时，它们的复合振动将形成一个网格图形，每个节点表示一个特定的振幅和相位差。
相位差表示两个振动之间的时间差，其中一个振动的周期相对于另一个振动周期的时间差。
合成振动的频率与原始简谐振动的差异通常很小，因此可以将它们看作共振现象。
在许多现实情况下，相互垂直的简谐振动产生的复合振动是非常有用的，例如在音乐和声学领域。
应用和例子1. 双摆双摆是指两个以不同长度的摆绳悬挂并以不同频率振动的摆。
当它们相互作用时，将产生一个复合振动，其中一个摆的振动会影响另一个摆的振动，并且它们最终会形成一个规律的图案。
第三十二讲：简谐振动的合成
第三十二讲 §8.2 简谐振动的合成一、两个同方向同频率简谐振动的合成1、合振动仍然为简谐振动简谐振动1：()111cos ϕω+=t A x 简谐振动2：()222cos ϕω+=t A x合振动：()()()ϕωϕωϕω+=+++=+=t A t A t A x x x cos cos cos 2211212、合振动的振幅：()()22211222112sin sin cos cos A ϕϕϕϕA A A A +++=()1212212221sin sin cos cos 2ϕϕϕϕ+++=A A A A ()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A 3、合振动的初相位：22112211cos cos sin sin tan ϕϕϕϕϕA A A A ++==邻边对边 4、合振动的最大值，相长的条件：两分振动相位相同，相位差：() 3,2,1,0212=±=-=∆k k πϕϕϕ⇒()1cos 12=-ϕϕ ⇒ 212122212A A A A A A A +=++=5、合振动的最小值，相消的条件：两分振动相位相反，相位差：() 3,2,1,01212=+±=-=∆k k πϕϕϕ）（ ⇒()1cos 12-=-ϕϕ ⇒ 212122212A A A A A A A -=-+= 其他值：2121A A A A A +-练习题1. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：)212c o s (04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI) 求此物体的振动方程．解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 )cos(φω+=t A x则 )c o s(2122122212φφ-++=A A A A A ①以 A 1 = 4 cm ，A 2 = 3 cm ，π=π-π=-212112φφ代入①式，得5cm 3422=+=A cm 2分又 22112211c o s c o s s i n s i n a r c t gφφφφφA A A A ++= ② ≈127°≈2.22 rad 2分 ∴)22.22cos(05.0+π=t x (SI) 1分练习题2. 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 )4310cos(10521π+⨯=-t x (SI), )4110cos(10622π+⨯=-t x (SI) 求合振动方程．解：依合振动的振幅及初相公式可得φ∆++=c o s 2212221A A A A A 22210)4143cos(65265-⨯π-π⨯⨯⨯++= m 21081.7-⨯= m 2分)4/c o s (6)4/3c o s (5)4/s i n (6)4/3s i n (5a r c t gπ+ππ+π=φ = 84.8°=1.48 rad 2分则所求的合成振动方程为 )48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI)1分练习题3. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x 1 = 4×10-2cos2π)81(+t (SI), x 2 = 3×10-2cos2π)41(+t (SI) 求合振动方程．解：由题意 x 1 = 4×10-2cos)42(π+πt (SI)x 2 =3×10-2cos)22(π+πt (SI) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为22210)4/2/cos(2434-⨯π-π++=A m= 6.48×10-2 m 2分)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctgπ+ππ+π=φ=1.12 rad 2分 合振动方程为 x = 6.48×10-2 cos(2πt +1.12) (SI) 1分练习题4. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6)= 3×10-2cos(4t - π/6- π/2)= 3×10-2cos(4t - 2π/3)．作两振动的旋转矢量图，如图所示． 图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 2分合振动方程为 x = 2×10-2cos(4t + π/3) (SI)1分小结：简谐振动的合成，与旋转矢量的解法作业：P33 8—16；8—17；预习：§8—2二、两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍频三、相互垂直的简谐振动的合成1、同频率的相互垂直的简谐振动的合成2、不同频率的相互垂直的简谐振动的合成第三十二讲 §8.2 简谐振动的合成 8-16 解：设两质点的振动表达式分别为：)cos()cos(2211ϕωϕω+=+=t A x t A x 由图题可知，一质点在21A x =处时对应的相位为： 32/arccos 1πϕω==+A A t 同理：另一质点在相遇处时，对应的相位为：352/arccos2πϕω==+A A t 故相位差)()(12ϕωϕωϕ∆+-+=t t πππϕϕ3433512=-=-= 若21υυ与的方向与上述情况相反，故用同样的方法，可得：πππϕϕϕ∆32)3(312=--=-= 8-17 解：由图题8-17(图在课本上P 200)所示曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，即m 05.021==A A ,周期均匀s 1.0=T ，因而圆频率为：ππω202==T 由x -t 曲线可知，简谐振动1在t=0时，,010=x 且010>υ，故可求得振动1的初位相πϕ2310=. 同样，简谐振动2在t=0时，πϕυ==-=202020,0,05.0可知m x 故简谐振动1、2的振动表达式分别为： mt x t x )20cos(05.0)2320cos(05.021ππππ+=+=因此，合振动的振幅和初相位分别为：m A A A A A 210202122211025)cos(2-⨯=-++=ϕϕ 2021012021010cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++= ππ4541a r c t a n 或== 但由x-t 曲线知，t=0时，πϕ45,05.021应取因此-=+=x x x . 故合振动的振动表达式：m t x )4520cos(10252ππ+⨯=-习题8-16图。
8.5 简谐运动的合成
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
2
t +)
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
ν = (ν 1 + ν 2 ) 2
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
振幅是随时间变化的， 振幅是随时间变化的，由于振幅的改变也是周期 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
y A2
A2 y= x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 = π
3） 2 1 = ± π 2
2 2
A2 y= x A1
o
y
A2
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
合成振动为： 合成振动为： x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ) + A2 cos(ω 2 t + ) 利用三角函数公式可得
x = 2 A cos(
ω2 ω1
2
t ) cos(
ω2 + ω1
2
t +)
= 2 A cos( 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 相近的两个同方向简谐振动的合振动是 时间周期性变化的特殊简谐振动 称为拍振动 的特殊简谐振动， 拍振动。 时间周期性变化的特殊简谐振动，称为拍振动。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 拍频 由
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:
x1(t) A1 cos(t 1)
A
x2 (t) A2 cos(t 2 )
A2
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2
tg A1 sin1 A2 sin2
1 2
r A
X
合振动初相位
1 2
两分振动相互加强
A1 X A2
o
x=x1+x2
t
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动反相位：
2 1 (2k 1) k 0,1, 2, r
合振幅最小
r A1
A A1 A2 合振动初相位
r 2 A
A2 o
1
X
若A1>A2 1 若A1<A2 2
A1 cos1 A2rcos2
O
1
x2
A1
x1
x
x
结论 ①合矢量 A即为合振动所对应的旋转矢量。
②合振动仍为简谐振动，振动角频率仍为ω。
分析 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
合振幅最大
A A1 A2
o
r
A2
r
A1
4
求合振动的振动方程。
解：
2
T
20
x(cm) 5
x1 x2
A1 A2 5cm
0.1
o 0.05
且 t 时0
-5
r
A2
x10 0, v10 f 0; x20 5cm
简谐振动的合成
动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为： 调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强
一同频率同一直线上的简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t
2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2
( 2 1 )
2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初 相为零，则有
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1
§1 简谐振动
简谐振动的动力学方程 单摆、复摆
振动的能量
§3 简谐振动的合成
同方向、同频率的简谐振动的合成
同方向、不同频率的简谐振动的合成
垂直方向、同频率简谐振动的合成
2
§4 机械波的形成和一般描述
§5 平面简谐波
行波方程：右行波和左行波
波的能量和能流密度
§6 波的干涉现象
波的干涉条件
x(t) x1(t) x2 (t) Acos(t )
式中： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
仍然是同频率的简谐振动。
φ按照矢量法 取值
11
同方向、不同频率的简谐振动的合成
x1(t ) Acos(1t )
驻波
半波损失
简正模式
§7 多普勒效应
3
简谐振动的动力学方程
弹性力
mx kx
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解：x(t) Acos(0t 0 )
2
周期：
T
o
振动频率：
1 T
0 2
角频率（或圆频率）:
o
2
T
k m
4
由初始条件求解振动方程
求x A cos 0t 中A， 0，的 值
求0
1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式.
5
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
式中x0是初始的位移，V0是初速度。
由此可得出：
A
x02
V02
2 0
tg0
V0
x0 0
6
振幅和初相位
已知 t 0
x0 A cos 0
V0 0 A sin 0
φ值的取舍：
1.
x0 0, ;v0 0
(0, )
k 0,1,2,3,... 相长干涉
程 差
r2
r1
(2k 1)
2
,
k 0,1,2,3,... 相消干涉 16
驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：
y1 t 0
x
y1
Acos(t 2
x)
y2
Acos(t 2
x)
x0 y2 t 0
x
其合成波称为驻波其表达式：
f mg
0
g l
T 2 2 l
0
g
8
复摆
m gh sin I
I 为m绕O点转动的转动惯量。
当 sin 时 mgh 0
I 复摆的角谐振动方程：
OC h
O
C
mg
d 2
dt 2
mgh
I
2 0
mgh I
T 2 I
mgh
9
简谐振动动能：E k
1 2
mV 2
1 2
k A2
Y
极小
X
极大
极大
极小
能流密度 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平
均能量。
I
1
A
2
2
u
2
平面波：
A1 A2
球面波：
y A cos (t r )
14
r
u
相干条件：
两波源具有相同的频率
S2
r2
具有恒定的相位差
p
振动方向相同
S1
（或称为具有相同的偏振面)
最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
* 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到
最大或同时达到最小。速度方向相同。 18
半波损失：
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射 时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面 上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。
x0
2
2
y y1 y2 Acos(t x) Acos(t x)
2Acos 2 x cos t
17
y 2Acos 2 x cost
波腹的位置为：
xk , 2
k 0,1,2,3,...
波节的位置为： x (2k 1) , k 0,1,2,3,...
4
驻波的相位
* 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向
简正模式
在绳长为 L 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件
L n n ,
2
n
n
u 2L
,
n 1,2,3,...
n 1,2,3,...
n
2L n
,
T
u
n 1,2,3,...
19
多普勒效应
当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的 频率为：
r1
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 其振动表达式为： y10 (S1, t) A1 cos(t 10 )
y20(S2, t) A2 cos(t 20 )
在 P 点的合成振动为：
y y1 y2 Acos(t ) 15
y y1 y2 Acos(t )
其中：
( 20
10 )
2
2.
x0 0, ;v0 0
( , )
2
3.
x0 0,
;v0 0
( , 3 )
2
4. x0 0, ; v0 0 (3 , 2 ) 2
7
单摆
ml
2
d 2
dt 2
mgl sin
当 sin 时 g 0
l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：
2
(r2
r1 )
A 2 A12 A22 2 A1 A2 cos
干涉相长的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
干涉相消的条件：
( 20
10 )
2
(r2
r1 )
(2k
1)
,
k 0,1,2,3,...
称
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：
为 波
r2 r1 k,
x2 (t ) Acos(2t )
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
拍频是振动 cos ( 2 即拍频为：
2
1
t
)的频率的两倍。
2
1
2
(2
1 )
2
2
1
12
行波方程
已知O点振动表达式： y A cos ( t 0 )
右行波波动方程：
y( x, t)
A cos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t) A cos[k( x ut) 0 ]
y u
px
Ox
左行波波动方程：
y( x, t )
A cos[ (t
x) u
0]
y u
p
x
y( x, t ) A cos[k( x ut ) 0 ] O x
13
波的能量
能量
sin
2 (0t
0 )
简谐振动势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
k A2
cos2 (0t
0 );
Ek
Ep
A o
A
机械能守恒:
E 1 mv2 1 kx2＝ 1 kA2
2
2
2
E 1 kA2 2
10
同方向、同频率的简谐振动的合成
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )