高中数学抛物线经典性质的总结

抛物线

焦点弦长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++

12()y y p ++

12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α

，则22cos p

AB α

= 2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 切线 方程

00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

o

x ()22,B x y F

y ()11,A x y

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 22

22px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜

率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．

(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．

例2、(2011·山东高考)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一 点，F 为抛物线

C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )

A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、

B 两点，交准线于

C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3

D ．8

例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l

于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝9

2

x D ．y 2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P 到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，

B，l

2

与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的

距离为2，直线l：y＝－1

2

x＋b与抛物线C交于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．