专题19 抛物线-2016-2018三年高考文科数学试题分类汇编

考纲解读明方向

分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.

2018年高考全景展示

1．【2018年文北京卷】已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线截得的线段长为4，

则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】

【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点

坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.

点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上

点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.

2．【2018年全国卷Ⅲ文】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【解析】分析：利用点差法进行计算即可。

点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得

到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率。

3．【2018年新课标I卷文】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：．

【答案】(1) y=或． (2)见解析.

【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入抛物线方程求得点M的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；(2)分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方

程为y=或．

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为

，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由得ky 2

–2y –4k =0，可知y 1+y 2=，

y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为

．①

将，

及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得

．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所

以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

2017年高考全景展示

1.2017课标II ，文12】过抛物线2

:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上

方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为

C. 【答案】C

【考点】直线与抛物线位置关系

【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.

2.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的

正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .

【答案】22

(1)(1x y ++-=

【解析】

【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.

【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为

()1,C m -，那么方程就是()()2

2

11x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃

而解了.

3.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2

4

x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．

（1）求直线AB 的斜率；

（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】

试题分析：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点求斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，

消y ，得12||AB x x -=m ．

试题解析：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114

x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，

于是直线AB 的斜率1212

1214

y y x x k x x -+===-．

（2）由24x y =，得2

x

y'=．

设M （x 3，y 3），由题设知312

x

=，解得32x =，于是M （2，1）．

设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．

将y x m =+代入2

4

x y =得2440x x m --=．