勾股定理实际应用题

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勾股定理应用题

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勾 股 定 理 应 用 题
1、如图,校园内有两棵树,相距12米, 一棵树高16米,另一棵树高11米,
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端, 小鸟至少要飞多少米?
2、笨人持竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。

有个邻居聪明者,教他斜竿对两角。

笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。

借问竿长多少数,谁人算出我佩服。

3、 阿凡提发现了一个神秘的箱子,但箱子是锁着的,箱子上的神秘图案里隐藏着
开箱的密码。

箱子上的图案由正方形组成,图中4个数据代表相应正方形的面积,开箱密码是橘色线段长度之和。

你们能帮阿凡提打开这个箱子吗?
4.如图所示,太阳能热水器的支架AB 长为90cm ,与AB 垂直的BC 长120cm ,太阳能真空管AC 有多长?
5.如图所示,∠B=∠ACD=90°,BC=3,AD=13,CD=12,求AB 的长.
6.如图所示,在3米高的柱子顶端有一只老鹰,•它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来,老鹰立即扑去,如果它们的速度相等,问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇?
7.如图所示,起重机吊运物体,已知BC=6m ,AC=18m ,求AB 的长.
8.如图所示,直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系呢?你能说一说你的判断吗?
400
225
144
81。

勾股定理的实际应用题

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WORD文档下载可编辑18.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?19.(2007•义乌市)李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题,请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(1)如图1,正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处;(2)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处;(3)如图3,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图4所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.20.(2013•贵阳模拟)请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示.路线2:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留π)(1)设路线1的长度为L1,则= _________ .设路线2的长度为L2,则= _________ .所以选择路线_________ (填1或2)较短.(2)小明把条件改成:“圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:=_________ .路线2:= _________ .所以选择路线_________ (填1或2)较短.(3)请你帮小明继续研究:当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.21.如图,正方体边长为30cm,B点距离C点10cm,有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点,其爬行速度为每秒2cm,则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点?22.(2013•盐城模拟)如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?23.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.若AB=4,BC=4,CC1=5,(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)求蚂蚁爬过的最短路径的长.一.选择题(共5小题)二.解答题(共22小题)6.(2013•徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.(1)求港口A到海岛B的距离;(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?7.(2012•古冶区二模)有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在A 的南偏东60°,在B的南偏东30°方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?(≈1.7)8.如图,要在高AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?9.如图,一块三角形铁皮,其中∠B=30°,∠C=45°,AC=12cm.求△ABC的面积.10.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处,求点B向外移动的距离BB1的长;(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米?11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D 处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.1.(2010•新疆)如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()2.(2007•茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()3.(2012•乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°,距离为72海里的A海里/小时海里/小时4.(2010•罗湖区模拟)在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽AB=8m,那么油的最大深度是()5.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?13.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?14.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处,过了6秒后,测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米,这辆“小汽车”超速了吗?请说明理由.16.某工厂的大门如图所示,其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由.17.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:△ABC中,∠BAC=90°).请解答:(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ .(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ ,请说明理由.(3)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为_________ ,请说明理由.24.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?25.如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.26.如图,一正方形的棱长为2,一只蚂蚁在顶点A处,在顶点G处有一米粒.(1)问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少?(2)在蚂蚁刚要出发时,突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处,问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?27.如图所示,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少米?(结果不取近似值)2014年3月352449109的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2010•新疆)如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()OA=2.(2007•茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(),最大长度根据勾股定理,得:=133.(2012•乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°,距离为72海里的A海里/小时海里/小时BC=海里,36÷2=18海里4.(2010•罗湖区模拟)在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽AB=8m,那么油的最大深度是()AM=5.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()由勾股定理可得杯里面管长为=13cm二.解答题(共22小题)6.(2013•徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.(1)求港口A到海岛B的距离;(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?,AD=BD=BD=20+x=x=10AB=30的距离为)甲船看见灯塔所用时间:7.(2012•古冶区二模)有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在A 的南偏东60°,在B的南偏东30°方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?(≈1.7)BD==50AC==100==8.如图,要在高AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?==2AC+BC=2+22+29.如图,一块三角形铁皮,其中∠B=30°,∠C=45°,AC=12cm.求△ABC的面积.12=12∴CB=12+12CB AD=72+7210.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处,求点B向外移动的距离BB1的长;(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米?=2.4mC=x=下滑的距离是米.11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D 处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?AC===1213.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?CD===12014.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?BD==240km15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处,过了6秒后,测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米,这辆“小汽车”超速了吗?请说明理由.=所以速度为16.某工厂的大门如图所示,其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由.==0.617.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:△ABC中,∠BAC=90°).请解答:(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3.(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3,请说明理由.(3)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为S1+S2=S3,请说明理由.====+=S18.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?=13m19.(2007•义乌市)李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题,请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(1)如图1,正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处;(2)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处;(3)如图3,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图4所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.;①当横向剪开时:②当竖向剪开时:,∴最短路程为,∠AOD=∠AOA∴AD=OAsin60°=4×=2=2AD=4,20.(2013•贵阳模拟)请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示.路线2:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留π)(1)设路线1的长度为L1,则= 49 .设路线2的长度为L2,则= 25+π2.所以选择路线 2 (填1或2)较短.(2)小明把条件改成:“圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:= 121 .路线2:= 1+25π2.所以选择路线 1 (填1或2)较短.(3)请你帮小明继续研究:当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.=1+25π2+时,时,时,21.如图,正方体边长为30cm,B点距离C点10cm,有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点,其爬行速度为每秒2cm,则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点?=5022.(2013•盐城模拟)如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?AB===.,那么所用细线最短需要.23.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.若AB=4,BC=4,CC1=5,(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)求蚂蚁爬过的最短路径的长.====<=24.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?==25==5;==5;525.如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.BC=SE==26.如图,一正方形的棱长为2,一只蚂蚁在顶点A处,在顶点G处有一米粒.(1)问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少?(2)在蚂蚁刚要出发时,突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处,问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?==2,;==.27.如图所示,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少米?(结果不取近似值)∴B′P=(。

勾股定理及应用 练习题(带答案

勾股定理及应用 练习题(带答案

勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地,,,,,,这块地的面积为( ).【答案】B 【解析】连接,在中,,∴,∵,,,∴是直角三角形,.【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图,在四边形中,,,,.求的度数.【答案】.【解析】连接,在中,,,∴,∴,∴,∵,,∴.在中,,∴是直角三角形,即,∵,∴.【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图,有一个水池,其底面是边长为尺的正方形,一根芦苇生长在它的正中央,高出水面部分的长为尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部恰好碰到岸边,则这根芦苇的长是( ).【答案】C 【解析】苇长尺,则水深尺,∵尺,∴尺,∵中,.∴.【标注】【知识点】勾股定理与实际问题(1)(2)4.如图,一架云梯长米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面米.这个梯子底端离墙有多少米.如果梯子的顶端下滑米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗?【答案】(1)(2)米.不是.【解析】(1)(2)由题意得此时米,米,根据,∴可求米.设滑动后梯子的底端到墙的距离为米,得方程,,解得,所以梯子向后滑动了米.综合得:如果梯子的顶端下滑了米,那么梯子的底部在水平方向不是滑米.【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长,,满足,则是( ).【答案】D【解析】∵,∴或.∴或.∴为等腰三角形或直角三角形.【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图,已知在中,,分别以、为直径作半圆,面积分别记为、,则等于( ).【答案】A【解析】由勾股定理可知:.,,∴.【标注】【知识点】勾股定理与几何问题(1)(2)7.下表中给出的每行三个数、、满足,根据表中已有的数的规律填空:当时, , .用含字母的代数式分别表示、,,.【答案】(1)(2);; 【解析】(1)(2)∵,∴,.∵,,;,,;,,;∴,.【标注】【知识点】勾股树(1)(2)(3)8.若一个直角三角形的两条直角边长为、,斜边为,斜边上的高为.求证:..以、、为边构成的三角形是直角三角形.【答案】(1)(2)(3)证明见解析证明见解析证明见解析【解析】(1)(2)(3)∵,,∴,代入得,∴.由,,则,∴,即,∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图,已知等腰的底边,是腰上一点,且,,求的周长.【答案】.【解析】由勾股定理逆定理得,是直角三角形.在中,应用勾股定理,设,代入数值得,.所以的周长=.【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图,在中,,平分,,,求的长.【答案】.【解析】过作,∵平分,∴,∵,∴由勾股定理得,设,则,在由勾股定理得:,解得,∴.【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用(1)(2)3.如图,在中,,,,的平分线与相交于点,过点作,垂足为.求的长.求的长.【答案】(1)(2)..【解析】(1)∵平分,,,∴,在和中,(2),∴≌,∴.∵,,,∴在中,,∴,.设,则,,在中,,,解得,∴.【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图,在中,,,,求边上的高.【答案】.【解析】设为,则,∵为的高,∴在中,,在中,,∴.即,解得:.∴.∴在中,.【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用(1)(2)5.如图,在中,,,,点为边上的动点,点从点出发,沿边往运动,当运动到点时停止,设点运动的时间为秒,速度为每秒个单位长度.若是直角三角形,求的值.若是等腰三角形,求的值.【答案】(1)(2)或.,或.【解析】(1)(2)当时,是直角三角形,,,故.∵,∴,即,,.当时,是直角三角形,此时与重合,∴,,综上所述,或.当时,即,解得,当时,取中点,连接.∵,∴,∴,∴,∴,即.当时,过点作于点.∵,,,∴,在中,,即,综上所述,的值为,或.【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图,是一张直角三角形纸片,,两直角边、,现将折叠,使点与点重合,折痕为,则的长为 .【答案】【解析】依题可知≌,∴.设,则,在中,,,∴,解得,,∴.【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图,在中,,,,将折叠,使点恰好落在斜边上,与点重合,为折痕,则 .【答案】 或【解析】在中,,∵将折叠得到,∴,,∴.设,则.在中,,∴,解得.∴.【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图,在矩形中,,,将沿对角线翻折,点落在点处,交于点,则线段的长为( ).【答案】A【解析】设,则,∵四边形为矩形,∴,,,∴,由题意得:,∴,∴,由勾股定理得,即,解得:,∴,∴.【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图,矩形中,,,点是边上一点,连接,把沿折叠,使点落在点处.当为直角三角形时,的长为 .【答案】或【解析】当为直角三角形时,有两种情况:图图①当点落在矩形内部时,如答图所示.连接,在中,,,,沿折叠,使点落在点处,,当为直角三角形时,只能得到,点、、共线,即沿折叠,使点落在对角线上的点处,,,,设,则,,在中,,,解得,;②当点落在边上时,如答图所示.此时为正方形,.综上所述,的长为或.故答案为:或.【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图,长方体的长为,宽为,高为,点离点的距离为,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点,需要爬行的最短距离是( ).【答案】B【解析】将长方体展开,连接、,根据两点之间线段最短,()如图,,,由勾股定理得:.()如图,,,由勾股定理得,.()只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图:∵长方体的宽为,高为,点离点的距离是,∴,,在直角三角形中,根据勾股定理得:∴.由于,故最短距离为.【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示,无盖玻璃容器,高,底面周长为,在外侧距下底的点处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.【答案】最短路线长为.【解析】如下图可知,最短路线的长度为线段的长度,作于,则,,∵底面周长为,∴,∴.∴最短路线长为.【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。

勾股定理综合应用题(包含答案)

勾股定理综合应用题(包含答案)

勾股定理综合应用题(包含答案)勾股定理综合应用题及答案1.一艘船从A地出发,向东航行20海里到达B地,再向XXX15海里到达C地。

求AC的长度。

答案:25海里2.一块长方形的地,长60米,宽40米。

现在要在这块地上建造一个正方形的花坛,使剩下的土地面积最大。

问这个花坛的边长和剩余土地的面积。

答案:花坛边长为20米,剩余土地面积为2400平方米或者3987.5平方米。

3.一架飞机以每小时600千米的速度飞行,从A地飞往B 地,飞行时间是5小时。

飞机从B地返回A地的途中,由于风向的影响,飞机的速度变为每小时400千米,飞行时间是6小时。

求AB两地的距离。

答案:10千米。

4.一列货车从A地出发,以每小时50千米的速度行驶,3小时后到达B地,再以每小时40千米的速度行驶,2小时后到达C地。

求AC两地的距离。

答案:20km。

5.一辆汽车从A地出发,向东行驶30海里到达B地,再向北行驶40海里到达C地。

已知汽车的速度为60千米/小时,求(1)AB、BC两段路程所需的时间;(2)从C地返回A地的汽车速度为50千米/小时,求从C地返回A地所需的时间。

答案:(1)AB段需要0.5小时,BC段需要0.67小时;(2)从C地返回A地需要1小时。

6.一条长方形的草坪长12米,宽8米,现在要在这条草坪上建造一个半径为3米的圆形花坛,请问这个花坛占用的草坪面积是多少?答案:96平方米。

7.已知一条边长为4米的正方形,将这个正方形绕其中心旋转45度,求旋转后正方形所在的圆的周长。

答案:2√3–4.8.一座高度为8米的房子前有一座高度为6米的灯杆,灯杆顶部离房顶的最短距离为2米。

求灯杆离房子底部的最短距离。

答案:10米。

9.甲乙两人同时从A地出发,甲向B地行驶,乙向C地行驶,两人相遇于D地,甲行驶了8天,乙行驶了12天。

已知AB、DC两段路程长度相等,求AD的长度。

答案:10天。

10.一条直角三角形的斜边长为13米,一条直角边长为5米,求另一条直角边的长度。

初中数学勾股定理应用题及答案

初中数学勾股定理应用题及答案

初中数学勾股定理应用题及答案1. 问题描述:已知一直角三角形的直角边长分别为6cm和8cm,求斜边的长度。

解答:根据勾股定理,直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边长度为c,则有6² + 8² = c²。

计算得到c² = 36 + 64 = 100,所以c = √100 = 10。

因此,斜边的长度为10cm。

2. 问题描述:一根电线杆被斜率为3/4的斜线分成两段,上方部分长度为12m,求电线杆的总长度。

解答:设电线杆的总长度为h,则下方部分的长度为h - 12。

根据勾股定理,上方部分的长度平方加下方部分的长度平方等于电线杆的总长度平方。

即12² + (h - 12)² = h²。

计算得到144 + h² - 24h + 144 = h²,化简得到288 - 24h = 0,解得h = 12。

因此,电线杆的总长度为12m。

3. 问题描述:一幅矩形画作的对角线长度为10cm,它的长和宽的比为3:4,求长和宽的长度。

解答:设矩形的长为3x,宽为4x,其中x为比例系数。

根据勾股定理,矩形的长的平方加宽的平方等于对角线的平方。

即(3x)² + (4x)² = 10²。

计算得到9x² + 16x² = 100,化简得到25x² = 100,解得x = 2。

因此,长为3x = 3 × 2 = 6cm,宽为4x = 4 × 2 = 8cm。

4. 问题描述:一块长方形农田的两条边长分别为15m和20m,种植了一片正方形的小麦田,且小麦田占农田面积的1/4,求小麦田的边长。

解答:设小麦田的边长为x,则小麦田的面积为x²。

农田的面积为15m × 20m = 300m²。

根据题意,小麦田的面积等于农田面积的1/4。

即x² = 300m² × 1/4 = 75m²。

勾股定理应用题30道初二

勾股定理应用题30道初二

勾股定理应用题30道初二1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米,求斜边的长度。

2. 一个直角三角形的斜边长为10厘米,一条直角边长为6厘米,求另一条直角边的长度。

3. 在一个直角三角形中,已知两条直角边分别为5厘米和12厘米,求斜边的长度。

4. 一个直角三角形的斜边长为13厘米,已知一条直角边长为5厘米,求另一条直角边的长度。

5. 一个梯形的上底长为4厘米,下底长为8厘米,高为3厘米,求梯形的对角线长度。

6. 一个直角三角形的两条直角边分别为7厘米和24厘米,求斜边的长度。

7. 在一个直角三角形中,斜边长为15厘米,一条直角边长为9厘米,求另一条直角边的长度。

8. 一个直角三角形的一条直角边长为8厘米,斜边长为10厘米,求另一条直角边的长度。

9. 在一个直角三角形中,两条直角边分别为6厘米和8厘米,求斜边的长度。

10. 一个直角三角形的斜边长为17厘米,已知一条直角边长为15厘米,求另一条直角边的长度。

11. 一个直角三角形的两条直角边分别为9厘米和12厘米,求斜边的长度。

12. 如果一个直角三角形的斜边长为10√2厘米,直角边长为10厘米,另一条直角边的长度是多少?13. 在一个直角三角形中,已知斜边长为20厘米,一条直角边长为12厘米,求另一条直角边的长度。

14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为15厘米和36厘米,求斜边的长度。

15. 一个直角三角形的斜边长为25厘米,已知一条直角边长为7厘米,求另一条直角边的长度。

16. 在一个直角三角形中,两条直角边长分别为5厘米和12厘米,求斜边的长度。

17. 一个直角三角形的斜边长为10厘米,一条直角边长为8厘米,求另一条直角边的长度。

18. 在一个直角三角形中,已知两条直角边分别为12厘米和16厘米,求斜边的长度。

19. 如果一个直角三角形的直角边长相等,且长为x厘米,求斜边的长度。

20. 一个直角三角形的两条直角边长分别为9厘米和40厘米,求斜边的长度。

勾股定理经典应用题整理

勾股定理经典应用题整理

S 3S 2S 1CB A 勾股定理经典应用题1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(保留)是 多少2、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m , 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ,现将梯子的底端A 向外移动到A ′, 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m .同时梯子的顶端B 下降 至B ′,那么BB ′( ).A .小于1mB .大于1mC .等于1mD .小于或等于1m3、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm ,高8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取 值范围是( ).A .h ≤17cmB .h ≥8cmC .15cm ≤h ≤16cmD .7cm ≤h ≤16cm4、如图所示,以Rt △ABC 的三边向 外作正方形,其面积分别为 s 1、s 2、s 3,且s 1=4,s 2=8,则s 3= 。

AB5、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。

6、如图2,要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m ,棚宽a=2.4m ,棚的长为12m ,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?7、如图3,已知长方形ABCD 中AB=8cm ,BC=10cm ,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ,求CE 的长.8、如图,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南方向航行,已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B 、A 两点,且知AB =30海里,问乙船每小时航行多少 海里?ABCD7cm9、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB),经测量,在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?(3≈1.732)10、如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去.(1)记正方形ABCD的边长为a1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2,a3,a4,……,a n,请求出a2,a3,a4的值;(2)根据以上规律写出a n的表达式.。

勾股定理应用题型大汇总(经典)

勾股定理应用题型大汇总(经典)

勾股定理题型汇总一、用勾股定理解决实际问题 【经典例题】 1.水中芦苇问题在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。

2.梯子滑动问题一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?(3)当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时,这时梯子的顶端距地面有多高?【练一练】1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?3、如图,南北向MN 为我国领海线,即MN 以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意,反走私A 艇通知反走私艇B 时,A 和C 两艇的距离是20海里,A 、B 两艇的距离是12海里,反走私艇B 测得距离C 是16海里,若走私艇C 的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?AA ′BA ′ O二、最短路径问题1、如图1,长方体的长为12cm ,宽为6cm ,高为5cm ,一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行,问:爬到B 点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少?2、如图壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A 处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?3:如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?4.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少?5、如图,一个高18m ,周长5m 的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?(建议:拿张白纸动手操作,你一定会发现其中的奥妙)A B 5 316、有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm ,底面直径为20cm , 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π)7、如图,圆锥的侧面展开图是半径为22cm 的半圆,一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行,问:(1)爬到B 点时,蚂蚁爬过的最短路程;(2)当爬行路程最短时,求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离.8、如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB 的长为6,D 为PB 的中点.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D ,则蚂蚁爬行的最短路程为三、面积问题1. 已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形,以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长是 .AB CD E FGA ·B · A· B ·FE DABC2.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S 1,S 2,S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=______ ___. 4.如图,△ABC 中,∠C =90°,(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S 1+S 2与S 3的关系;(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S 1+S 2与S 3的关系; (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S 1+S 2与S 3的关系.图① 图② 图③5.如图,设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下去…,记正方形ABCD 的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an ,根据上述规律,则第n 个正方形的边长an =___ _____记正方形AB -CD 的面积S 1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2,S 3,……,S n (n 为正整数),那么S n =____ ____.6.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC 、BC 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 .四、翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F. (1)求证:△FAC 是等腰三角形;(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=求BF 的长.G AD A B C DAA B C D EG FF 4、如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。

勾股定理的应用题典型

勾股定理的应用题典型

勾股定理的应用题典型
应用题1:建筑斜坡
一座高楼的斜坡长5米,高3米。

如果斜坡的底边与地面呈直角,问斜坡的斜边长度是多少?
答案:
设斜边长度为(c)米,根据勾股定理,可以得到:
应用题2:田径场内外跑道
一个标准田径场内外各有一个跑道,内跑道的周长为400米,外跑道的周长为600米。

问内外跑道的宽度分别是多少?
答案:
设内跑道的宽度为(x)米,那么外跑道的宽度为(x+2)米。

根据题意,可以列出方程:解这个方程组,得到内外跑道的宽度分别为:
应用题3:三角形边长关系
已知一个直角三角形,两条直角边长分别为(a = 3),(b = 4),求斜边的长度(c)。

答案:
根据勾股定理,可以得到:
c^2 = 3^2 + 4^2
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
c = 5。

勾股定理应用三十题

勾股定理应用三十题

勾股定理应用三十题一、最短路径1、如下图,有一个圆柱体油罐,底面周长为12米,高为5米,先从油罐底部A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,则梯子最短需要米.2、如下图,有一根高为4m的圆木柱,它的底边周长为0.3m为了营造喜庆的气氛,小颖想用一根彩带从圆木的底向顶均匀地缠绕10圈,一直缠到起点的正上方为止.小颖至少要准备 m的一根彩带.3、如下图,一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为50cm,30cm和10cm,A和B是这个台阶的两个相对点。

A上有一只蚂蚁想到B处吃食,则他走过的最短路线长度 cm4、如下图,某商场开业,要为一段高5m,长13 m的楼梯上铺上红毯,至少需要红地毯______米5、如下图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行米.第一题第二题第三题第四题第五题6、如图,长方体的盒子长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,爬行的最短路程是多少?(21.542=464).7、如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A点多少千米处?8.如图,A、B两个小集镇在河流的同侧,分别到河岸l的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米2万元,请你在河岸L上选择水厂的位置M(作图并标注出来),使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?二、判断三角形形状9、三角形的边长为m2-1,2m,m2+1(m为大于1的自然数),则这个三角形为三角形。

10、已知a=3,且,以a,b,c为边长组成的三角形面积为。

11、若ABC的三条边长a,b,c,满足那么ABC的面积是。

勾股定理应用题

勾股定理应用题

勾股定理应用题在数学中,勾股定理是一个非常重要的几何定理,用于解决直角三角形中三边之间的关系。

勾股定理的表达式为$a^2 + b^2 = c^2$,其中$c$为斜边的长度,$a$和$b$为直角边的长度。

勾股定理的应用非常广泛,可以帮助我们解决各种复杂的几何问题。

在现实生活中,我们可以利用勾股定理来计算建筑物的高度、道路的宽度、电线杆的高度等等。

下面我将通过几个应用题来展示勾股定理的具体应用。

1. 一根电线杆倾斜在地面上,杆子的高度为3米,倾斜角为30度。

请问这根电线杆的长度是多少?解:根据题意可知,电线杆倾斜后可以构成一个直角三角形,其中高度为3米,倾斜角为30度。

我们可以利用正弦函数来解决这个问题。

设电线杆的长度为$c$,根据正弦函数可得:$\sin30° = \frac{3}{c}$,即$\frac{1}{2} = \frac{3}{c}$,解得$c=6$米。

因此,这根电线杆的长度为6米。

2. 一座高楼的高度为100米,一根直立在地面上的杆子与高楼的顶部呈45度夹角,杆子的长度为多少?解:同样地,根据题意可知,高楼的高度为100米,与杆子构成一个直角三角形,夹角为45度。

我们可以利用正切函数来解决这个问题。

设杆子的长度为$c$,根据正切函数可得:$\tan45° = \frac{100}{c}$,即$1 = \frac{100}{c}$,解得$c=100$米。

因此,这根杆子的长度为100米。

3. 一块田地是一个长方形,长为50米,宽为30米。

现在要在田地中间挖一个池塘,池塘的形状为一个直角三角形,底边与田地的长边平行,且底边长30米,侧边长40米。

求该池塘的面积。

解:根据题意可知,池塘的形状为一个直角三角形,且侧边长为40米,底边长为30米。

我们可以利用勾股定理来求解这个问题。

设池塘的面积为$S$,根据勾股定理可得:$30^2 + 40^2 = c^2$,解得$c=50$米。

八年级数学勾股定理的实际应用专题练习(含解析答案)

八年级数学勾股定理的实际应用专题练习(含解析答案)

八年级数学勾股定理的实际应用专题练习一.选择题(共5小题)1.如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()A.3m B.5m C.7m D.9m2.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15 C.5≤a≤12D.5≤a≤133.一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°,距离为72海里的A处,上午10时到达C 处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为()A.18海里/小时B.海里/小时C.36海里/小时D.海里/小时4.在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽AB=8m,那么油的最大深度是()A.1m B.2m C.3m D.4m5.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()A.3<h<4 B.3≤h≤4C.2≤h≤4D.h=4二.解答题(共22小题)6.如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.(1)求港口A到海岛B的距离;(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?7.有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在A的南偏东60°,在B的南偏东30°方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?(≈1.7)8.如图,要在高AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?9.如图,一块三角形铁皮,其中∠B=30°,∠C=45°,AC=12cm.求△ABC的面积.10.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处,求点B向外移动的距离BB1的长;(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米?11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?13.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?14.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处,过了6秒后,测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米,这辆“小汽车”超速了吗?请说明理由.16.某工厂的大门如图所示,其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由.17.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:△ABC中,∠BAC=90°).请解答:(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________.(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________,请说明理由.(3)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为_________,请说明理由.18.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?19.李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题,请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(1)如图1,正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处;(2)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处;(3)如图3,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图4所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.20.请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示.路线2:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留π)(1)设路线1的长度为L1,则=_________.设路线2的长度为L2,则=_________.所以选择路线_________(填1或2)较短.(2)小明把条件改成:“圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:=_________.路线2:=_________.所以选择路线_________(填1或2)较短.(3)请你帮小明继续研究:当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.21.如图,正方体边长为30cm,B点距离C点10cm,有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点,其爬行速度为每秒2cm,则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点?22.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?23.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.若AB=4,BC=4,CC1=5,(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)求蚂蚁爬过的最短路径的长.24.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?25.如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.26.如图,一正方形的棱长为2,一只蚂蚁在顶点A处,在顶点G处有一米粒.(1)问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少?(2)在蚂蚁刚要出发时,突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处,问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?27.如图所示,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少米?(结果不取近似值)参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()A.3m B.5m C.7m D.9m考点:勾股定理的应用.专题:应用题;压轴题.分析:为了不让羊吃到菜,必须<等于点A到圆的最小距离.要确定最小距离,连接OA交半圆于点E,即AE 是最短距离.在直角三角形AOB中,因为OB=6,AB=8,所以根据勾股定理得OA=10.那么AE的长即可解答.解答:解:连接OA,交半圆O于E点,在Rt△OAB中,OB=6,AB=8,所以OA==10;又OE=OB=6,所以AE=OA﹣OE=4.因此选用的绳子应该不大于4m,故选A.点评:此题确定点到半圆的最短距离是难点.熟练运用勾股定理.2.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤13考点:勾股定理的应用.专题:压轴题.分析:最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.解答:解:a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:=13.即a的取值范围是12≤a≤13.故选A.点评:主要是运用勾股定理求得a的最大值,此题比较常见,有一定的难度.3.一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°,距离为72海里的A处,上午10时到达C 处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为()A.18海里/小时B.海里/小时C.36海里/小时D.海里/小时考点:勾股定理的应用;方向角.专题:应用题.分析:首先画图,构造直角三角形,利用勾股定理求出船8时到10时航行的距离,再求速度即可解答.解答:解:如图在Rt△ABC中,∠ABC=90°﹣60°=30°,AB=72海里,故AC=36海里,BC==36海里,艘船航行的速度为36÷2=18海里/时.故选B.点评:本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.4.在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽AB=8m,那么油的最大深度是()A.1m B.2m C.3m D.4m考点:勾股定理的应用;垂径定理的应用.分析:本题是已知圆的直径,弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离,可以转化为求弦心距的问题,利用垂径定理来解决.解答:解:过点O作OM⊥AB交AB与M,交弧AB于点E.连接OA.在Rt△OAM中:OA=5m,AM=AB=4m.根据勾股定理可得OM=3m,则油的最大深度ME为5﹣3=2m.故选B.点评:考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用,圆中的有关半径,弦长,弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题.5.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()A.3<h<4 B.3≤h≤4C.2≤h≤4D.h=4考点:勾股定理的应用.分析:根据题中已知条件,首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16﹣12=4cm;最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.解答:解:①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为16﹣12=4(cm);②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,底面对角线直径为5cm,高为12cm,由勾股定理可得杯里面管长为=13cm,则露在杯口外的长度最长为16﹣13=3cm;则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化.故选B.点评:本题考查了矩形中勾股定理的运用,解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置,然后计算求解.二.解答题(共22小题)6.如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.(1)求港口A到海岛B的距离;(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?考点:勾股定理的应用.专题:应用题.分析:(1)作BD⊥AE于D,构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD,利用DA和DC 之间的关系列出方程求解.(2)分别求得两船看见灯塔的时间,然后比较即可.解答:解:(1)过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中,∠BCD=60°,设CD=x,则BD=,BC=2x在Rt△ABD中,∠BAD=45°则AD=BD=,AB=BD=由AC+CD=AD得20+x=x解得:x=10+10故AB=30+10答:港口A到海岛B的距离为海里.(2)甲船看见灯塔所用时间:小时乙船看见灯塔所用时间:小时所以乙船先看见灯塔.点评:此题考查的知识点是勾股定理的应用,解答此类题目的关键是构造出直角三角形,利用解直角三角形的相关知识解答.7.有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在A的南偏东60°,在B的南偏东30°方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?(≈1.7)考点:勾股定理的应用.分析:作CD⊥AB交AB延长线于D,根据勾股定理分别计算出AB和BC的长度,利用速度、时间、路程之间的关系求出各自的时间比较大小即可.解答:解:作CD⊥AB交AB延长线于D,由已知得:∠EAC=60°,∠FBC=30°,∴∠1=30°,∠2=90°﹣60°=30°,∵∠1+∠3=∠2,∴∠3=30°,∴∠1=∠3,∴AB=BC=100,在Rt△BDC中,BD=BC=50,∴DC==50,∵AD=AB+BD=150,∴在Rt△ACD中,AC==100,∴t1号==≈4.25,t2号==,∵<4.25,∴搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援.点评:本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系.8.如图,要在高AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?考点:勾股定理的应用.分析:根据题意,知还需要求出BC的长,根据勾股定理即可.解答:解:由勾股定理AB2=BC2+AC2,得BC===2,AC+BC=2+2(米).答:所需地毯的长度为(2+2)米.点评:能够运用数学知识解决生活中的实际问题.熟练运用勾股定理.9.如图,一块三角形铁皮,其中∠B=30°,∠C=45°,AC=12cm.求△ABC的面积.考点:勾股定理的应用;三角形的面积;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.分析:首先过A作AD⊥CB,根据∠C=45°,可以求出AD=DC,再利用勾股定理求出AD的长,再根据直角三角形的性质求出AB的长,利用勾股定理求出BD的长,最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积.解答:解:过A作AD⊥CB,∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,∴AD=DC,设AD=DC=x,则x2+x2=(12)2,解得:x=12,∵∠B=30°,∴AB=2AD=24,∴BD==12,∴CB=12+12,∴△ABC的面积=CB•AD=72+72.点评:此题主要考查了勾股定理的应用,以及直角三角形的性质,关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD、AD的长.10.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处,求点B向外移动的距离BB1的长;(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米?考点:勾股定理的应用.分析:(1)根据题意可知∠C=90°,AB=2.5m,BC=0.7m,根据勾股定理可求出AC的长度,根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m,可求出A1C的长度,梯子的长度不变,根据勾股定理可求出B1C的长度,进而求出BB1的长度.(2)可设点B向外移动的距离的一半为2x,则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x,根据勾股定理建立方程,解方程即可.解答:解:(1)∵AB=2.5m,BC=O.7m,∴AC==2.4m∴A1C=AC﹣AA1=2.4﹣0.9=1.5m,∴B1C==2m,∴BB1=B1C﹣BC=0.5m;(2)梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x,则点B向外移动的距离的一半为2x,由勾股定理得:(2.4﹣x)2+(0.7+2x)2=2.52,解得:x=,答:梯子沿墙AC下滑的距离是米.点评:本题考查勾股定理的应用,在直角三角形里根据勾股定理,知道其中两边就可求出第三边,从而可求解.11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.考点:勾股定理的应用.分析:在Rt△ABC中,∠B=90°,则满足AB2+BC2=AC2,BC=a(米),AC=b(米),AD=x(米),根据两只猴子经过的路程一样可得10+a=x+b=15解方程组可以求x的值,即可计算树高=10+x.解答:解:Rt△ABC中,∠B=90°,设BC=a(米),AC=b(米),AD=x(米)则10+a=x+b=15(米).∴a=5(米),b=15﹣x(米)又在Rt△ABC中,由勾股定理得:(10+x)2+a2=b2,∴(10+x)2+52=(15﹣x)2,解得,x=2,即AD=2(米)∴AB=AD+DB=2+10=12(米)答:树高AB为12米.点评:本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系,并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键.12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?考点:勾股定理的应用.分析:地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和,即AC与BC的和,在直角△ABC中,根据勾股定理即可求得BC的长,地毯的长与宽的积就是面积.解答:解:由勾股定理,AC===12(m).则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的总面积为17×2=34(平方米),所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元.点评:正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.13.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?考点:勾股定理的应用.专题:应用题.分析:(1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由A点向BF作垂线,垂足为C,若AC>200则A城不受影响,否则受影响;(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点,分别设为D、G,则△ADG是等腰三角形,由于AC⊥BF,则C是DG的中点,在Rt△ADC中,解出CD的长,则可求DG长,在DG长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距离的关系则可求时间.解答:解:(1)由A点向BF作垂线,垂足为C,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=320km,则AC=160km,因为160<200,所以A城要受台风影响;(2)设BF上点D,DA=200千米,则还有一点G,有AG=200千米.因为DA=AG,所以△ADG是等腰三角形,因为AC⊥BF,所以AC是BF的垂直平分线,CD=GC,在Rt△ADC中,DA=200千米,AC=160千米,由勾股定理得,CD===120千米,则DG=2DC=240千米,遭受台风影响的时间是:t=240÷40=6(小时).点评:此题主要考查辅助线在题目中的应用,勾股定理,点到直线的距离及速度与时间的关系等,较为复杂.14.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?考点:勾股定理的应用.分析:(1)首先根据勾股定理计算BD的长,再根据时间=路程÷速度进行计算;(2)根据在30千米范围内都要受到影响,先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离,再根据时间=路程÷速度计算,然后求出时间段即可.解答:解:(1)在Rt△ABD中,根据勾股定理,得BD===240km,所以,台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点,答:台风中心经过16小时时间从B移动到D点;(2)如图,∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km,BC=BD+CD=240+30=270km,∵台风速度为15km/h,∴210÷15=14时,270÷15=18,∵早上6:00接到台风警报,∴6+14=20时,6+18=24时,∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作.点评:本题考查了勾股定理的运用,此题的难点在于第二问,需要正确理解题意,根据各自的速度计算时间,然后进行正确分析.15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处,过了6秒后,测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米,这辆“小汽车”超速了吗?请说明理由.考点:勾股定理的应用.专题:计算题.分析:由题意知,△ABC为直角三角形,且AB是斜边,已知AB,AC根据勾股定理可以求BC,根据BC的长度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度,若速度大于70千米/时,则小汽车超速;若速度小于70千米/时,则小汽车没有超速.解答:解:由题意知,AB=130米,AC=50米,且在Rt△ABC中,AB是斜边,根据勾股定理AB2=BC2+AC2,可以求得:BC=120米=0.12千米,且6秒=时,所以速度为=72千米/时,故该小汽车超速.答:该小汽车超速了,平均速度大于70千米/时.点评:本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中准确的求出BC的长度,并计算小汽车的行驶速度是解题的关键.16.某工厂的大门如图所示,其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由.考点:勾股定理的应用.专题:应用题.分析:根据题中的已知条件可将BB′的长求出,和卡车的高进行比较,若门高低于卡车的高则不能通过否则能通过.解答:解:设BB′与矩形的宽的交点为C,∵AB=1米,AC=0.8米,∠ACB=90°,∴BC===0.6米,∵BB′=BC+CB′=2.3+0.6=2.9<3.0,∴不能通过.点评:考查了勾股定理的应用,本题的关键是建立数学模型,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.17.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:△ABC中,∠BAC=90°).请解答:(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3.(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3,请说明理由.(3)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系式为S1+S2=S3,请说明理由.考点:勾股定理的应用.专题:探究型.分析:(1)利用直角△ABC的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小,满足勾股定理.(2)利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小,满足勾股定理.解答:解:设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1+S2=S3,证明如下:∵S3=,S1=,S2=∴S1+S2==S3;(2)S1+S2=S3.证明如下:∵S3=,S1=,S2=∴S1+S2=+==S3;(3)过D点作DE∥AB,交BC于E,设梯形的边AB、DC、AD的长分别为a、b、c,可证EC=AD=c,DE=AB=a,∠EDC=180°﹣(∠DEC+∠BCD)=180°﹣(∠ABC+∠BCD)=90°,则c2=a2+b2∵S1=a2、S2=b2、S3=c2,表示,则S1+S2=S3.故答案为:S1+S2=S3;S1+S2=S3;S1+S2=S3.点评:考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用.18.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?考点:勾股定理的应用.专题:计算题.分析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m,也就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解.解答:解:如图所示:根据题意,得AC=AD﹣BE=13﹣8=5m,BC=12m.根据勾股定理,得AB==13m.则小鸟所用的时间是13÷2=6.5(s).答:这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起.。

勾股定理应用题含答案

勾股定理应用题含答案

勾股定理应用题含答案1、在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=15,AC=17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为__________.3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要 __________元.4、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h 的取值范围是().A.h≤17cm B.h≥8cmC.15cm≤h≤16cm D.7cm≤h≤16cm●拓展提高1. 小明想测量教学楼的高度.他用一根绳子从楼顶垂下,发现绳子垂到地面后还多了2 m,当他把绳子的下端拉开6 m后,发现绳子下端刚好接触地面,则教学楼的高为().A. 8 mB. 10 mC. 12 mD. 14 m2.如果梯子的底端离建筑物9 m,那么15 m长的梯子可以到达建筑物的高度是().A. 10 mB. 11 mC. 12 mD. 13 m3. 直角三角形三边的长分别为3、4、x,则x可能取的值有().A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个4、直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2,8 cm2,则以斜边为边长的正方形的面积为_________ cm2.●体验中考(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角,则梯子的顶端沿墙面升高了() m.参考答案1、8π提示:在Rt△ABC中,AB2=AC2-BC2=172-152=82,∴AB=8.∴S半圆=πR2=π×()2=8π.2、12或7+提示:因直角三角形的斜边不明确,结合勾股定理可求得第三边的长为5或,所以直角三角形的周长为3+4+5=12或3+4+=7+ .3、150a.4、A提示:移动前后梯子的长度不变,即Rt△AOB和Rt △A′OB′的斜边相等.由勾股定理,得32+B′O2=22+72,B′O=,6<B′O<7,则O<BB′<1.●拓展提高1.A 解:设教学楼的高为x,根据题意得:解方程得:x=8.2.C 解:设建筑物的高度为x,根据题意得:解方程得:x=12.3.B 斜边可以为4或x,故两个答案。

勾股数与勾股定理应用题

勾股数与勾股定理应用题

勾股数与勾股定理应用题勾股数与勾股定理是数学中的重要概念,被广泛应用于各个领域。

本文将通过一系列勾股数与勾股定理的应用题,展示其在实际问题中的运用。

1. 甲乙两地相距120公里,一人自甲地出发,以每小时16公里的速度向乙地前进;另一人自乙地同一时刻出发,以每小时12公里的速度向甲地前进。

问多少小时后两人相遇?解析:设甲乙两人相遇时间为t小时。

根据题意可得,甲乙两人行程之和等于两地的距离120公里。

甲的行程距离为16t公里,乙的行程距离为12t公里。

根据勾股定理可得:(16t)^2 +(12t)^2 = 120^2解方程可得t = 6。

因此,两人相遇时间为6小时。

2. 一座大楼高30米,从楼顶向下倾斜的斜坡底部距离大楼底部水平距离为40米。

一人从斜坡底部向上沿着斜坡匀速上升,求此人爬到大楼顶部需要多少时间?解析:设此人从斜坡底部到大楼顶部需要t分钟。

根据题意可得,此人爬升的高度为30米,水平行程为40米。

根据勾股定理可得:30^2 + 40^2 = (30 + vt)^2解方程可得t = 5。

因此,此人爬到大楼顶部需要5分钟。

3. 一边长为15厘米的直角三角形中,已知一直角边为3倍于另一直角边的长度,求三角形斜边的长。

解析:设另一直角边的长度为x厘米,则直角边的长度为3x厘米。

根据勾股定理可得:(3x)^2 + x^2 = 斜边^2解方程可得斜边的长为5x厘米。

代入已知条件可得:(3x)^2 + x^2 = 15^2解方程可得x = 3。

因此,斜边的长为5x = 15厘米。

通过以上应用题的解析,我们可以看到勾股数与勾股定理在解决实际问题中的作用。

勾股定理的应用不仅限于几何学领域,也广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个学科。

熟练掌握勾股定理的应用,将为我们解决问题提供有力的数学工具。

总结:本文通过解析勾股数与勾股定理的应用题,展示了其在实际问题中的运用。

通过这些例子,我们了解到勾股定理在各个领域都有重要的作用。

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19. (2007?义乌市)李老师在与同学进行 蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题, 的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(1) 如图 (2) 如图C 1处;(3) 如图 1,正方体的棱长为 5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A 沿着正方体表面爬到点 2, 正四棱柱的底面边长为 5cm ,侧棱长为6cm , —只蚂蚁从正3,圆锥的母线长为 4cm ,圆锥的侧面展开图如图 的点A 出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点请你根据下列所给 C 1处; A 沿着棱柱表面爬到 4所示,且/ AOA 仁120 ° 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上 (1)设路线1的长度为L i ,则二=.设路线2的长度为L 2,则]:,= •所以选择路.路线 2:::,= •所以选择路线 (填 1或2)较短. 18.如图,有一只小鸟在一棵高 13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树 12m ,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以 2m/s 的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?20. (2013?贵阳模拟)请阅读下列材料:问题:如图1,圆柱的底面半径为 1dm, BC 是底面直径,圆柱高 AB 为5dm ,求一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面 爬行到点C 的最短路线,小明设计了两条路线: 路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示•路线2:侧面展开图中的线段 AC,如图2所示.(结果保留n)B CQ 沿AB 剪 开平铺一(填 1或2)较短. (2)小明把条件改成: 圆柱的底面半径为 5dm ,高AB 为1dm"继续按前面的路线进行计算. 此时,路线1:J = 13m B-B A .!P_ C图2(3)请你帮小明继续研究: A 出发沿圆柱表面爬行到点当圆柱的底面半径为2dm ,高为hdm 时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 C 的路线最短. 21.如图,正方体边长为 为每秒2cm ,则这只蚂蚁最快多长时间可爬到30cm , B 点距离C 点10cm ,有一只蚂蚁沿着正方体表面从A 点爬到B 点,其爬行速度 B 点?,有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬22. (2013?盐城模拟)如图,长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ,高为6cm ,如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达 B ( B 为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到 达点B,那么所用细线最短需要多长?23. 如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)到柜角 C i 处.若 AB=4 , BC=4 , CC i =5,(1) 请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2) 求蚂蚁爬过的最短路径的长.一 •选择题(共5小题)二.解答题(共22小题)6. (2013?徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A 出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B 航行,其速 度为15海里/小时;乙船速度为 20海里/小时,先沿正东方向航行 1小时后,到达C 港口接旅客,停留半小时后再 转向北偏东30。

方向开往B 岛,其速度仍为20海里/小时.(1) 求港口 A 到海岛B 的距离; (2) B 岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆 5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?7. (2012?古冶区二模)有一艘渔轮在海上 C 处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上 A 处和B 处,B 在A 的正东方向,且相距 100里,测得地点C 在A 的南偏东60 °在B 的南偏东30。

方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小 时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到 C 处救援?( V3^l.7)9.如图,一块三角形铁皮,其中/AC 为2米,斜坡AB 长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?B=30 ° / C=45 ° AC=12“^cm .求△ ABC 的面积.10.如图,一架长 2.5米的梯子AB 斜靠在竖直的墙 AC 上,这时B 到墙AC 的距离为0.7米.(1) 若梯子的顶端 A 沿墙AC 下滑0.9米至A i 处,求点B 向外移动的距离 BB i 的长;(2) 若梯子从顶端 A 处沿墙AC 下滑的距离是点 B 向外移动的距离的一半,试求梯子沿墙AC 下滑的距离是多少米?11•如图,AB 为一棵大树,在树上距地面 10米的D 处有两只猴子,他们同时发现 C 处有一筐水果,一只猴子从 D 处往上爬到树顶 A 处,又沿滑绳 AC 滑到C 处,另一只猴子从 D 滑到B,再由B 跑到C 处,已知两只猴子所经 路程都为15米,求树高AB .1. (2010?新疆)如图,王大伯家屋后有一块长 12m ,宽8m 的矩形空地,他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴 A 处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用() &如图,要在高 B CA . 3m B. 5m C. 7m D. 9mAB=8m ,那么油C . 3mD . 4m5•如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为 则吸管露在盒外的部分 h 的取值范围为( ) 4cm 、3cm 、12cm ,现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部,B . 3<i 詔 D . h=42. (2007?茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是 5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部 的直吸管在罐内部分 a 的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是() A . 12 弟 <13 B . 12 弟 W 15 C . 5 毛 <12 D . 5 毛 <133. ( 2012?乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B 处,看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A 处, 上午10时到达C 处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为() A . 18海里/小时 |B.丨;-海里/小时 |C. 36海里/小时 |D .卜-海里/小时4. ( 2010?罗湖区模拟)在直径为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽 的最大深度是( )12 .如图,某会展中心在会展期间准备将高 5m ,长13m ,宽2m 的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米 18元,请你 帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?A . 3 v h v 413. 如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向320km 的B 处,以每小时 向移动,距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域.(1) A 城是否受到这次台风的影响?为什么?(2) 若A 城受到这次台风影响,那么 A 城遭受这40km 的速度向北偏东 60°的BF 方14. 如图,某城市接到台风警报, 在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度移动,已知城市 A 到BC 的距离AD=100km .(1)台风中心经过多长时间从 B 移动到D 点? (2)已知在距台风中心 30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点 D 的工作人员早上6: 00接到台风 警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?15.中华人民共和国道路交通管理条例 ”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70千米/时.一辆 小汽车” 在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面 车速检测仪A ”正前方50米C 处,过了 6秒后,测得小 汽车”位置B 与 车速检测仪A ”之间的距离为130米,这辆 小汽车”超速了吗?请说明理由.16. 某工厂的大门如图所示,其中下方是高为 2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由.(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,请说明理由.则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_______________■>08米23米A r护< -- 2米一T17•勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣. 1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图 1 : △ ABC中,/ BAC=90 °.请解答:(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积S i、S2、S3之间的数量关系是(3)如图4,在梯形 ABCD中,AD // BC ,Z ABC+ / BCD=90 ° BC=2AD,分别以 AB、CD、AD为边向梯形外作正方形,其面积分别为S2、S3,则$2、S3之间的数量关系式为_______________________ ,请说明理由.最短距离是多少?24. 如图,长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点25. 如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.26. 如图,一正方形的棱长为 2, —只蚂蚁在顶点 A处,在顶点G处有一米粒.(1)问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少?(2)在蚂蚁刚要出发时,突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处,问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?27•如图所示,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食•此时,小猫正在 B处,它要沿圆锥侧面到达 P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少米?(结果不取近似值)B . 5mC . 7mD . 9m 2014年3月352449109的初中数学组卷参考答案与试题解析一 •选择题(共5小题)1. (2010?新疆)如图,王大伯家屋后有一块长 12m ,宽8m 的矩形空地,他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴 A 处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()考点:勾股定理的应用•专题: 应用题;压轴题•分析: 为了不让羊吃到菜,必须V 等于点 A 到圆的最小距离.要确定最小距离,连接 OA 交半圆于点E,即AE 是最短距离.在直角二角形 AOB 中,因为OB-6 , AB-8,所以根据勾股定理得 OA-10 .那么AE 的长即 可解答.解答:解:连接OA ,交半圆0于E 点,在 Rt △ OAB 中,OB=6 , AB=8 ,所以 OA= ■'一 比=10;又 OE=OB=6 ,所以 AE=OA - OE=4 .因此选用的绳子应该不大于 4m,故选A.点评: 此题确定点到半圆的最短距离是难点•熟练运用勾股定理.2. (2007?茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是 5,高是12, 上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是() A . 3mB . 12 弟<15 D . 5 <1<3B . 2mC . 3mD . 4m 在 Rt △ OAM 中:OA=5m ,AM = ]AB=4m. 解答: 考点:勾股定理的应用.专题:压轴题.分析:最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.解答:解:a 的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得: .「一「二=13 .即a 的取值范围是12^<13. 故选A.点评:主要是运用勾股定理求得 a 的最大值,此题比较常见,有一定的难度. 3. ( 2012?乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B 处,看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A 处, 上午10时到达C 处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为() A . 18海里/小时 |B. 海里/小时 C. 36海里/小时 |D .上 海里/小时考点: 勾股定理的应用;方向角.专题: 应用题.分析: 首先画图,构造直角三角形, 利用勾股定理求出船8时到10时航行的距离,再求速度即可解答. 解答: 解:如图在Rt △ ABC 中, / ABC=90 ° - 60°=30 ° A B=72海里,BC故AC=36海里,BC=J 肿-肝=36衍海里,艘船航行的速度为 3^3吃=18衍海里/时.故选B .点评:本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三 角形的问题,解决的方法就是作高线.4. ( 2010?罗湖区模拟)在直径为 10m 的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽 AB=8m ,那么油的最大深度是()考点:勾股定理的应用;垂径定理的应用.分析: 本题是已知圆的直径, 弦长求油的最大深度其实就是弧 AB 的中点到弦AB 的距离,可以转化为求弦心距的 问题,利用垂径定理来解决.解:过点 O 作OM 丄AB 交AB 与M ,交弧AB 于点E .连接OA .根据勾股定理可得 OM=3m ,则油的最大深度 ME 为5 - 3=2m .A . 1m故选B .点评:考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用,圆中的有关半径,弦长,弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题.5. 如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分 h的取值范围为( )A . 3 v h v 4 B. 3<i詔C. 2 4 詔 D . h=4考点:勾股定理的应用.分析:根据题中已知条件,首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16 12=4cm ;最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.解答:解:①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为16 - 12=4 (cm);② 露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,底面对角线直径为 5cm,高为12cm,由勾股定理可得杯里面管长为y - <i=13cm,则露在杯口外的长度最长为16 - 13=3cm ;则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化.故选B.点评:本题考查了矩形中勾股定理的运用,解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置,然后计算求解.二.解答题(共22小题)6. (2013?徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛 B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为 20海里/小时,先沿正东方向航行 1小时后,到达 C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30。

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