正态分布1
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正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于 1。
正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数 学知识求出。
在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转 变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下 横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门 编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表， 供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。
正态分布的应用
估计医学正常值范围。 医学正常值范围又称医学参考值范围，医学正常值范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 一般常用 95%或 99%的医学参考值范围。 某指标的 95%或 99%的医学参考值范围只包括 95%或 99%的正常人该指标的变量值分布范围，还有 5%或 1% 的正常人该指标的变量值不在此范围内。所以，在诊 断时参考值范围只能起“参考”作用，不在此范围并 不一定异常（患病），在此范围内也不一定正常（不 患病）。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。
图一：
图二： 图三：
图四：
当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
制定医学参考值范围时，应从正常人群中抽样，且样本含量应 较大（n>100），根据资料的分布类型采用正态分布法或百分位 数法。 正态分布法： 适用于资料服从正态分布或近似正态分布时。 公式；
双侧 1-α 参考值范围： X U 2 S
单侧 1-α 参考值范围： X U S或 X U S
u2
x2 s
x
155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
正态分布
正态分布的概念
正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率） 大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分 布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一 个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的 分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似服 从数学上的正态分布。
正态分布的特征及其面积规律
正态分
布曲线
max
位于横
轴上方，
呈钟形。
正态分 布曲线 f(x) 以均数 所在处 最高， 且以均 数为中 心左右
对称。
0
µ
正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
式中σ 为总体标准差；μ 为总体均数；π
为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，
即2.71828···。
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α 参考值范围：P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α 参考值范围：> P100 或< P1001
例题参见教科书。
若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的
面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025。
u
uU界指值单，侧
也称随机 变量U的 上侧α 分 位数。其 意义为： 从到+∞这 一侧的面 积为α ,也 即在随机 变量U的所 有取值中， 有100α 的 值比大， 有100（1α ）的值 比小。
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x 2
e 2 2
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
u/2
U 2 指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α 分位数。 其意义为：从
U 2 到+∞这 一
侧的面积为α /2,
从-U 2 到-∞这
一侧的面积也为 α /2,两侧面积之 和为α 。即在随机 变量 U 的所有取 值中，有 100α 的
值比 U 大，有
100（1-α ）的值
比 U 小。
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正
态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
当随机变量的参数μ和σ未知时，若来自该总体的样本 含量n很大时，可分别用样本均数和样本标准差作为μ 和σ的估计值来计算u值。
其基本步骤如下：
已知 X～N（μ ，σ 2）， 求随机变量 X 出现在 区间（x1,x2）的概率
即求服从一般正态分 布 N（μ ，σ 2）的随机 变量 X 在区间（x1,x2） 所对应的面积
我们把U或Z称为标准正态变量。
标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统
计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若
进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随
机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量
（U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化，
也称为U或Z变换。
U
X
式中符号意义如前述。
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф (u２) 、Ф (u１)的 大 小。
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154wenku.baidu.com5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
频数分布图一（又称直方图）
30
20
从频数表及频数分布图上可得 知：
该数值变量资料频数分 布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通
俗地认为该资料服从正态分布。
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
随机变量 U 在区间 （u1,u2）所对应的面积 即为随机变量 X 在区 间（x1,x2）所对应的面 积
举例 说明 通 过正 态分 布 求随 机 变量的 频数分布范围。
例：某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm) 资料，估计该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下及 155 厘米以上者各占正常女孩 总人数的百分比。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
max
σ =0.5
f(x)
f(x)
σ =1 σ =2
0
0
µ1
µ2
µ
正态曲线下面积分布有一定的规律性。
对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在 某在一该区区间间（所围x1,成x2）的的区概域率的与面正积态大分小布相概对率应密（度相曲等线）与。横轴
频数
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图二
20
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图三
在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯 把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时，
下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。
频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布
身高组段
频数
组中值
（1）
（2）
(3)
129～
2
130.5
132～
2
133.5
135～
8
136.5
138～
20
139.5
141～
26
142.5
身高（X）～N(μ ，σ 2)，但μ 和σ 未 知，只知来自该总体的样本的身高均数
x =144.29(cm)和标准差 s=5.41(cmx)，由
于样本含量 n=118 很大，所以可以用 和 s 估计μ 和σ 来计算 u 值。
身高（X）小于 135(cm)的概率为: PX x1 135 PU u1
u1
x1 s
x
135 144.29 5.41
1.72
PX x1 135 PU u1 PU u1 1.72 1.72 0.04272
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2
正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数 学知识求出。
在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转 变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下 横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门 编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表， 供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。
正态分布的应用
估计医学正常值范围。 医学正常值范围又称医学参考值范围，医学正常值范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 一般常用 95%或 99%的医学参考值范围。 某指标的 95%或 99%的医学参考值范围只包括 95%或 99%的正常人该指标的变量值分布范围，还有 5%或 1% 的正常人该指标的变量值不在此范围内。所以，在诊 断时参考值范围只能起“参考”作用，不在此范围并 不一定异常（患病），在此范围内也不一定正常（不 患病）。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。
图一：
图二： 图三：
图四：
当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
制定医学参考值范围时，应从正常人群中抽样，且样本含量应 较大（n>100），根据资料的分布类型采用正态分布法或百分位 数法。 正态分布法： 适用于资料服从正态分布或近似正态分布时。 公式；
双侧 1-α 参考值范围： X U 2 S
单侧 1-α 参考值范围： X U S或 X U S
u2
x2 s
x
155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
正态分布
正态分布的概念
正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率） 大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分 布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一 个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的 分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似服 从数学上的正态分布。
正态分布的特征及其面积规律
正态分
布曲线
max
位于横
轴上方，
呈钟形。
正态分 布曲线 f(x) 以均数 所在处 最高， 且以均 数为中 心左右
对称。
0
µ
正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
式中σ 为总体标准差；μ 为总体均数；π
为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，
即2.71828···。
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α 参考值范围：P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α 参考值范围：> P100 或< P1001
例题参见教科书。
若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的
面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025。
u
uU界指值单，侧
也称随机 变量U的 上侧α 分 位数。其 意义为： 从到+∞这 一侧的面 积为α ,也 即在随机 变量U的所 有取值中， 有100α 的 值比大， 有100（1α ）的值 比小。
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x 2
e 2 2
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
u/2
U 2 指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α 分位数。 其意义为：从
U 2 到+∞这 一
侧的面积为α /2,
从-U 2 到-∞这
一侧的面积也为 α /2,两侧面积之 和为α 。即在随机 变量 U 的所有取 值中，有 100α 的
值比 U 大，有
100（1-α ）的值
比 U 小。
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正
态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
当随机变量的参数μ和σ未知时，若来自该总体的样本 含量n很大时，可分别用样本均数和样本标准差作为μ 和σ的估计值来计算u值。
其基本步骤如下：
已知 X～N（μ ，σ 2）， 求随机变量 X 出现在 区间（x1,x2）的概率
即求服从一般正态分 布 N（μ ，σ 2）的随机 变量 X 在区间（x1,x2） 所对应的面积
我们把U或Z称为标准正态变量。
标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统
计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若
进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随
机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量
（U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化，
也称为U或Z变换。
U
X
式中符号意义如前述。
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф (u２) 、Ф (u１)的 大 小。
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154wenku.baidu.com5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
频数分布图一（又称直方图）
30
20
从频数表及频数分布图上可得 知：
该数值变量资料频数分 布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通
俗地认为该资料服从正态分布。
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
随机变量 U 在区间 （u1,u2）所对应的面积 即为随机变量 X 在区 间（x1,x2）所对应的面 积
举例 说明 通 过正 态分 布 求随 机 变量的 频数分布范围。
例：某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm) 资料，估计该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下及 155 厘米以上者各占正常女孩 总人数的百分比。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
max
σ =0.5
f(x)
f(x)
σ =1 σ =2
0
0
µ1
µ2
µ
正态曲线下面积分布有一定的规律性。
对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在 某在一该区区间间（所围x1,成x2）的的区概域率的与面正积态大分小布相概对率应密（度相曲等线）与。横轴
频数
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图二
20
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图三
在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯 把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时，
下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。
频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布
身高组段
频数
组中值
（1）
（2）
(3)
129～
2
130.5
132～
2
133.5
135～
8
136.5
138～
20
139.5
141～
26
142.5
身高（X）～N(μ ，σ 2)，但μ 和σ 未 知，只知来自该总体的样本的身高均数
x =144.29(cm)和标准差 s=5.41(cmx)，由
于样本含量 n=118 很大，所以可以用 和 s 估计μ 和σ 来计算 u 值。
身高（X）小于 135(cm)的概率为: PX x1 135 PU u1
u1
x1 s
x
135 144.29 5.41
1.72
PX x1 135 PU u1 PU u1 1.72 1.72 0.04272
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2