正态分布1

式中σ 为总体标准差；μ 为总体均数；π
为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，
即2.71828···。
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
正态分布的应用
估计医学正常值范围。 医学正常值范围又称医学参考值范围，医学正常值范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 一般常用 95%或 99%的医学参考值范围。 某指标的 95%或 99%的医学参考值范围只包括 95%或 99%的正常人该指标的变量值分布范围，还有 5%或 1% 的正常人该指标的变量值不在此范围内。所以，在诊 断时参考值范围只能起“参考”作用，不在此范围并 不一定异常（患病），在此范围内也不一定正常（不 患病）。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。
图一：
图二： 图三：
图四：
当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
正态分布
正态分布的概念
正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率） 大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分 布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一 个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的 分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似服 从数学上的正态分布。
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф (u２) 、Ф (u１)的 大 小。
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
制定医学参考值范围时，应从正常人群中抽样，且样本含量应 较大（n>100），根据资料的分布类型采用正态分布法或百分位 数法。 正态分布法： 适用于资料服从正态分布或近似正态分布时。 公式；
双侧 1-α 参考值范围： X U 2 S
单侧 1-α 参考值范围： X U S或 X U S
在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯 把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时，
u/2
U 2 指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α 分位数。 其意义为：从
U 2 到+∞这 一
侧的面积为α /2,
从-U 2 到-∞这
一侧的面积也为 α /2,两侧面积之 和为α 。即在随机 变量 U 的所有取 值中，有 100α 的
值比 U 大，有
100（1-α ）的值
比 U 小。
u2

x2 s
x

155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于 1。
正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数 学知识求出。
在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转 变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下 横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门 编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表， 供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。
u1

x1 s
x

135 144.29 5.41

1.72
PX x1 135 PU u1 PU u1 1.72 1.72 ห้องสมุดไป่ตู้.04272
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α 参考值范围：P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α 参考值范围：> P100 或< P1001
例题参见教科书。
身高（X）～N(μ ，σ 2)，但μ 和σ 未 知，只知来自该总体的样本的身高均数
x =144.29(cm)和标准差 s=5.41(cmx)，由
于样本含量 n=118 很大，所以可以用 和 s 估计μ 和σ 来计算 u 值。
身高（X）小于 135(cm)的概率为: PX x1 135 PU u1
下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。
频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布
身高组段
频数
组中值
（1）
（2）
(3)
129～
2
130.5
132～
2
133.5
135～
8
136.5
138～
20
139.5
141～
26
142.5
若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的
面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025。
u
uU界指值单，侧
也称随机 变量U的 上侧α 分 位数。其 意义为： 从到+∞这 一侧的面 积为α ,也 即在随机 变量U的所 有取值中， 有100α 的 值比大， 有100（1α ）的值 比小。
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正
态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
正态分布的特征及其面积规律
正态分
布曲线
max
位于横
轴上方，
呈钟形。
正态分 布曲线 f(x) 以均数 所在处 最高， 且以均 数为中 心左右
对称。
0
µ
正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
频数
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图二
20
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数
频数分布图三
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x 2
e 2 2
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
当随机变量的参数μ和σ未知时，若来自该总体的样本 含量n很大时，可分别用样本均数和样本标准差作为μ 和σ的估计值来计算u值。
其基本步骤如下：
已知 X～N（μ ，σ 2）， 求随机变量 X 出现在 区间（x1,x2）的概率
即求服从一般正态分 布 N（μ ，σ 2）的随机 变量 X 在区间（x1,x2） 所对应的面积
Ф (u２) －Ф (u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
随机变量 U 在区间 （u1,u2）所对应的面积 即为随机变量 X 在区 间（x1,x2）所对应的面 积
举例 说明 通 过正 态分 布 求随 机 变量的 频数分布范围。
例：某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm) 资料，估计该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下及 155 厘米以上者各占正常女孩 总人数的百分比。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
max
σ =0.5
f(x)
f(x)