含参数不等式问题

含参数不等式问题

在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。 步骤：（1）估计参数上、下界 （2）求出参数上、下界 （3）证明不等式对上、下界恒成立

方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式

例1、求a 的范围，使得对任意x 和θ∈[0，

2

π

]恒有 θsin 23(++x ·22)cos sin ()cos θθθa a x +++≥8

1

．

例2、设a ≤b ＜c 是Rt △三边长，求最大常数M ，使c b a 111++≥

c

b a M

++．

例3、求最大的常数c ，使得对满足x ＞0，y ＞0，12

2

=+y x 的实数y x ,恒有6

6y x +≥

cxy

例4、设a 、b 、c 是Rt △三边长，且a ≤b ＜c ，

求：最大常数k ，使)()()(2

2

2

b a

c a c b c b a +++++≥kabc 对任何Rt △恒成立．

例5、求最小的实数a ，使得对任意非负x 、y 、z ，且x +y +z =1， 有xyz z y x a +++)(2

2

2

≥27

1

3+a ．

多元函数的条件最（极）值求解

求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧．例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律．因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等． 1、函数法

例1、设x 、y ∈R ，求函数7261426),(2

2

+---+=y x xy y x y x f 的最小值，并求出取得最小值时的x 、y 的值．

例2、设x ∈R ，试求函数182)24)(54()(2

2

2

+++++++=x x x x x x x f 的最小值．

例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值．

例4、已知若干个正整数之和为1976，求其积的最大值．

例5、求二元函数22

)11

()(),(+++-=y

x y x y x f 的最小值．

例6、已知+

∈R d c b a ,,,,试求c

b a d

d b a c a d c b d c b a d c b a f +++

++++++++=

),,,(的最小值．

例7、m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为xx ．对于所有这样的m 和n ，3m +4n 的最大值是多少？请证明你的结论．