专题02函数A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)
2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。
2021年新高考新题型之高考数学多项选择题专项训练
目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。
2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)
2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。
专题01集合(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题01集合历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设A=[－2，4)，B={x|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )A．[−1,2)B．[−2,2]C．[0,3]D．[0,3)【答案】D【解析】因为x2−ax−4=0有两个实根x1=a2−√4+a24,x2=a2+√4+a24，故B⊆A等价于x1≥－2且x2<4，即a2−√4+a24⩾−2且a2+√4+a24<4，解之得0⩽a<3，故选D．2．【2007高中数学联赛（第01试）】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集.若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合AUB的元素个数最多为( )A．62B．66C．68D．74【答案】B【解析】先证|A∪B|⩽66，只需证|A|⩽33，为此只需证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈A，证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈A，如取A={1,3,5,⋯,23,2,10,14,1825,27,29,⋯,49,26,34,42,46}，B={2n+2|n∈A}，则A，B满足题设且|A∪B|=66.故选B.3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知集合A={x|5x－a≤0}，B={x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为( )A.20B.25C.30D.42【答案】C【解析】由5x−a⩽0得x⩽a5，由6x−b>0得x>b6，要使A∩B∩N={2,3,4}，则{1⩽b6<24⩽a5<5，即{6⩽b<1220⩽a<25.所以数对(a，b)共有C61C51=30个.故选C.4．【2005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M={a17+a272+a373+a474|a i∈T,i=1,2,3,4}，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是( )A．57+572+673+374B．57+572+673+274C．17+172+073+474D．17+172+073+374【答案】C【解析】用[a1a2⋯a k]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1⋅73+a2⋅72+a3⋅7+a4|a i∈T,i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|a i∈T,i=1,2,3,4}，M'中的最大数为[6666]7=[2400]10，在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的第2005个数是2400−2004=396，而[396]10=[1104]7，将此数除以74，便得M中的数是17+172+073+474.故选：C.5．【2004高中数学联赛（第01试）】已知M={(x,y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}.若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[−√62,√62]B．(−√66,√62)C．(−2√33,2√33)D．[−2√33,2√33]【答案】A【解析】由M ∩N ≠∅相当于点(0，b )在椭圆x 2+2y 2=3上或它的内部. 所以2b 23⩽1，所以−√62⩽b ⩽√62. 故选A .6．【2002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合A ={a 1,a 2,⋯,a 100}与B ={b 1,b 2,⋯b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)⩽f (a 2)⩽⋯⩽f (a 100)，则这样的映射共有( )A ．C 10050B ．C 9948 C ．C 10049D ．C 9949【答案】D【解析】不妨设b 1<b 2<⋯<b 50，将A 中元素a 1,a 2,⋯,a 100按顺序分为非空的50组. 定义映射f ：A →B ，使第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i =1，2，…，50).易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A 按号码顺序分为50组的分法数相等.而对A 的分割等价于从A 中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割(这样保证了每组非空且与前者一一对应)，故A 的分法数为C 9949，则这样的映射共有C 9949，故选D .7．【2001高中数学联赛（第01试）】已知a 为给定的实数，那么集合M ={x|x 2－3x －a 2+2=0，x ∈R }的子集的个数为( ) A ．1B ．2C ．4D ．不确定【答案】C 【解析】M 表示方程x 2−3x −a 2+2=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a 2>0，所以M 含有2个元素.故集合M 有22=4个子集.8．【2000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若A ={x|√x −2≤0}，B ={x|10x 2−2=10x }，则A ∩B̅是( ) A ．{2} B ．{−1}C ．{x|x ≤2}D ．∅【答案】D【解析】由√x −2≤0得x =2，注意到A 中只有一个元素，于是将x =2代入B ，方程成立，故A ∩B ̅=∅. (注：这样思考，即使B 更复杂一些，计算起来都很简单)9．【1998高中数学联赛（第01试）】若非空集合A ={x|2a +1≤x ≤3a －5}，B ={x|3≤x ≤22}，则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a的集合是( )A．{a|1⩽a⩽9}B．{a|6⩽a⩽9}C．{a|a⩽9}D．∅【答案】B【解析】由题意得A⊆B，所以{2a+1⩾33a−5⩽223a−5⩾2a+1，解得6⩽a⩽9.10．【1993高中数学联赛（第01试）】集合A，B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数有A．8B．9C．26D．27【答案】D【解析】已知A∪B={a1,a2,a3}，则作为其子集的A，B最多只有3个元素.(1)若A={a1,a2,a3}，则满足题意的B可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B有C30+C31+C32+C33=23个，这时(A，B)有C33⋅23对.(2)若A为二元素的集合，则有C32种，其对应的B的23个(C20+C21+C22=22)，这时(A，B)有C32⋅22对.(3)若A为单元素的集合，则有C31种，其对应的B有2个，这时(A，B)有C31⋅2对.(4)若A是空集，则有C30种，其对应的B有一个.这时(A，B)有C30⋅1对.所以这样的(A，B)共有C33⋅23+C32⋅22+C31⋅2+C30⋅20=33=27个，因此答案是D．.11．【1991高中数学联赛（第01试）】设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)−sin(2πy2)= cos(2πx2)−cos(2πy2)，x，y∈R}.则( )A．s⊂T B．T⊂S C．S=T D．S∩T=∅【答案】A【解析】当y2=x2+奇数时，易见sin(2πx2)−sin(2πy2)=cos(2πx2)−cos(2πy2)成立.故当(x,y)∈S时，它必属于T，于是S⊆T，又满足x=y的点(x,y)∈T但不属于S.故S⊆T12．【1990高中数学联赛（第01试）】点集{(x,y)|lg(x3+13y3+19)=lgx+lgy}中元素的个数为( )A．0B．1C．2D．多于2【答案】B【解析】由lg (x 3+13y 3+19)=lgx +lgy 得x 3+13y 3+19=xy (x >0,y >0).由均值不等式x 3+13y 3+19⩾3√x 3(13y 3)⋅19=xy ，当且仅当{x 3=1913y 3=19，上式等号成立，解方程得x =√193,y =√133.故点集中有唯一点为(√193,√133).13．【1989高中数学联赛（第01试）】若M ={z|z =t 1+t+i1+t t,t ∈R,t ≠−1,t ≠0}，N ={z|z =√2[cos(arcsint)+ icos (arccos t)],t ∈ℝ,|t|⩽1}，则M ∩N 中元素的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】M 中的点在曲线M:{x =t 1+ty =1+t t(t ∈R,t ≠0,−1) 上，N 中的点在曲线N:{x =√2(1−t 2)y =√2t(t ∈R,|t|⩽1) 上，曲线M 和N 的普通方程是M:xy =1 (x ≠0,1)，N:x 2+y 2=2 (0⩽x ⩽√2). 于是曲线M 和N 的交点在横坐标满足x 2+1x 2=2，即x =±1，显见M ∩N =∅.14．【1989高中数学联赛（第01试）】集合M ={u|u =12m +8n +4l,m,n,l ∈Z }，N ={u|u =20p +16q +12r,p,q,r ∈Z }，的关系为( ) A ．M =NB ．M ⊈N,N ⊈MC ．M ⊂ND ．M ⊃N【答案】A【解析】对N 中任一元素u ，有u =20p +16q +12r =12r +8(2q)+4(5p)∈M . 从而N ⊆M .另一方面，对M 中任一元素u ，有u =12m +8n +4l =20n +16l +12(m −n −l)∈N . 从而M ⊆N . 故M =N .15．【1982高中数学联赛（第01试）】如果凸n 边形F (n ≥4)的所有对角线都相等，那么( ) A ．F ∈{四边形}B ．F ∈{五边形}C ．F ∈{四边形}∪{五边形}D ．F ∈{边相等的多边形}{内角相等的多边形}【答案】C【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项A不正确.任作两条等长的相交线段AC和BD，这样所得的四边形ABCD对角线相等，可见选项B．不正确.其实，选项A与选项B都是选项C的真子集，可不必考虑，因若选项A或选项B成立，则选项C必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内角相等，又得到选项D不正确16．【1982高中数学联赛（第01试）】设M={(x,y)||xy|=1,x>0}，N={(x,y)|arctanx+arccoty=π}.那么( )A．M∪N={(x,y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N={(x,y)||xy|=1,且x,y不同时为负数}.【答案】B【解析】由arctanx+arccoty=π①即arctanx=π−arccoty.所以tanarctanx=tan(π−arccoty)，因此x=−1y②如果式②成立，当x>0，y<0时，有arctanx∈(0,π2),π−arccoty∈(0,π2)，可知式①成立；当x<0，y>0时，有arctanx∈(−π2,0),π−arccoty∈(π2,π)，可知式①不成立所以N={(x,y)|xy=−1,x>0}.而M={(x,y)||xy=−1或1,x>0}.所以N⊂M，因此M∪N=M.17．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.18．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.【答案】−32【解析】假如x≥0，则最大、最小元素之差不超过max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合条件.故x<0，即x为最小元素.于是3－x=6+x，解得x=−32.19．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为.【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3. 20．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A},C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为.【答案】24【解析】由条件知，B∩C={2,4,6,⋯,198}∩{12,1,32,2,⋯,992}={2,4,6,⋯,48}，故B∩C的元素个数为24.21．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}则A∪B的所有元素之和是.【答案】31【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.22．【2014高中数学联赛（第01试）】设集合{3a+b|1⩽a⩽b⩽2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M−m的值为.【答案】5−2√3【解析】由1⩽a⩽b⩽2知3a +b⩽31+2=5，当a=1，b=2时，得最大元素M=5，又3a +b⩾3a+a⩾2√3a⋅a=2√3，当a=b=√3时，得最小元素m=2√3.因此M−m=5−2√3.23．【2013高中数学联赛（第01试）】设集合A={2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，2－x2∈A}.则集合B中所有元素的和为.【答案】−5【解析】易知B⊆{−2,0,−1,−3}，当x=－2，－3时，2－x2=－2，－7，有2−x2∉A；而当x=0，－1时，2－x2=2，1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B={−2,−3}.所以，集合B中所有元素的和为－5.24．【2011高中数学联赛（第01试）】设集合A={a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={－1，3，5，8}，则集合A=.【答案】{－3，0，2，6}【解析】显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以3(a1+a2+a3+a4)=(−1)+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5.于是集合A的四个元素分别为5−(−1)=6，5−3=2，5−5=0，5−8=−3.因此，集合A={－3，0，2，6}.25．【2003高中数学联赛（第01试）】已知{A=x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}.若A⊆B，则实数a的取值范围是.【答案】−4⩽a⩽−1【解析】易得A=(1，3)，设f(x)=21−x+a，g(x)=x2−2(a+7)x+5，要使A⊆B，只需f(x)，g(x)在(1，3)上的图像均在x轴下方其充要条件是：同时有f(1)⩽0,f(3)⩽0,g(1)⩽0,g(3)⩽0.由此推出−4⩽a⩽−1.26．【1996高中数学联赛（第01试）】集合{x|−1⩽log1x 10<−12,x∈N}的真子集的个数是.【答案】290−1【解析】首先考察该集合元素的个数.对x∈N，有−1⩽log1x 10<−12，所以−2<lg1x⩽−1，则1⩽lgx<2，因此10⩽x<100.于是集合大小是90，于是真子集个数是290−1.27．【1995高中数学联赛（第01试）】设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15 x∉A，则A中元素的个数最多是.【答案】1870【解析】用n(A)表示集合A所含元素的个数.由题设，k与15k(k=9，10，…，133)这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有125(125=133－9+1)个数不属于A，即n(A)⩽1995−125=1870.另一方面，可取A={1,2⋯,8}∪{134,135⋯,1995}，A满足题设条件，此时n(A)=1870.所以n(A)的最大值就是1870.引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，如果题目条件说集合里任两个数之差不为a，则可将两个差为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为a，则可将两个和为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为a，则可将两个积为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题.28．【1991高中数学联赛（第01试）】将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有2n－1个奇数进行分组：{1}(第一组)，{3，5，7}(第二组)，{9，11，13，15，17}(第三组)，…则1991位于第组中.【答案】32【解析】因为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2，故第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1，可见有不等式2(n−1)2+1⩽1991⩽2n2−1.由前一不等式(n−1)2⩽995，故需n⩽32，由后一不等式，需满足2n2⩾1992，n⩾32，故n=32.29．【1991高中数学联赛（第01试）】设集合M={1，2，…，1000}，现对M的任一非空子集X，令a x表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的a x的算术平均值为.【答案】1001【解析】将M中非空子集进行配对，对每个非空集X̅⊂M，令X′={1001−x|x∈X}，则当X1也是M的一非空子集，且X'≠X时，有X′≠X1′.于是所有非空子集分成两类：(1)X'≠X；(2)X′=X.对于情形(2)中的X，必有a x=1001.对于情形(1)中的一对X与X'，有a x+a x′=1001×2=2002.由此可见，所有a x的算术平均值为1001.优质模拟题强化训练1．已知M={(x,y)|y≥x2} ， N={(x,y)|x2+(y−a)2≤1}.则使M∩N=N成立的充要条件是（）.A．a≥54.B．a=54.C．a≥1.D．0<a<1.【答案】A【解析】由M∩N=N得N⊂M,所以圆x2+(y−a)2=1在抛物线内部或上，所以a≥1+14=54，选A.2．已知集合M={1,2,...,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A．8B．7C．6D．5【答案】C【解析】注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.3．已知a为给定的实数，那么，集合M={x|x2−3x−a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（）A．1B．2C．4D．不确定【答案】C【解析】由方程x2−3x−a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有22=4个子集.选C.4．集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x∈A,2-x2∉A}，则集合B中所有元素的和为（）A．−4B．−5C．−6D．−7【答案】B【解析】由题意可得B={-2，-3}，则集合B中所有元素的和为-5.故选：B.5．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}则集合C={(a,b)|a∈A,b∈B，且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}的元素个数为( )．A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】由题意得Δ=4a2−4b2≥0∴a≥b∴元素个数为0+1+2+3+4=10,选D.6．集合A={x∈Z|log2x≤2}的真子集个数为（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】log2x≤2，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为24-1=15.故答案为：C7．如果集合A={1,2,3,⋯,10}，B={1,2,3,4}，C是A的子集，且C∩B≠∅，则这样的子集C有（）个. A．256B．959C．960D．961【答案】C【解析】满足C∩B=∅的子集C有26个，所以满足C∩B≠∅的子集C有210−26=960个.故答案为：C8．设A=[−2,4),B={x|x2−ax−4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）.A．[−3,0)B．[−2,0)C．[0,2)D．[0,3)【答案】D【解析】因为f(x)=x2−ax−4开口向上，且{x|x2−ax−4≤0}⊆[−1,4)，故{f(−2)≥0,f(4)>0.解得a∈[0,3).故答案为D9．设集合P={x|x∈R,|x+3|+|x+6|=3}，则集合C R P为( )．A．{x|x〈6,或x〉3}B．{x|x〈6,或x〉−3} C．{x|x〈−6,或x〉3}D．{x|x〈−6,或x〉−3}【答案】D【解析】因为|x+3|+|x+6|=3,所以由绝对值的几何意义得-6≤x≤-3.则P ={x|−6≤x ≤−3}.故C R P ={x|x〈−6,或x〉−3}.选D.10．已知集合M ={x|x =sin(2m−3)π6,m ∈Z},N ={y|y =cos nπ3,n ∈Z}，则M,N 的关系是（ ） A ．M ⊊NB ．M =NC ．N ⊊MD ．M ∩N =∅ 【答案】B【解析】易由周期性知M =N ={±1,±12}.11．在复平面上，任取方程z 100−1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.【答案】39200【解析】易知z 100−1=0的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2π100，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：{x +y +z =1001⩽x,y,z ⩽49⇒{x +y +z =970⩽x,y,z ⩽48① 计算方程组①的整数解个数，记P 1={x|x +y +z =97,x ⩾49}，P 2={y|x +y +z =97, y ⩾49}，P 3={z|x +y +z =97,z ⩾49}，S ={(x,y,z)|x +y +z =97,x,y,z ⩾0}，则|P̅1∩P ̅2∩P ̅3|=|S|−|P 1∪P 2∪P 3| =C 992−(|P 1|+|P 2|+|P 3|−∑|P i ∩P j |i<j +|P 1∩P 2∩P 3|)=C 992−3C 502=1176.由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为100×11763=39200.故答案为：39200．12．已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________.【答案】{334，335，336，337，338，339}【解析】由已知2k+n+12×n=3×673.当n=2m时，得到(2k+2m+1)m=3×673⇒m=3,n=6,k=333；当n=2m+1时，得到(k+m+1)(2m+1)=3×673⇒m=1,n=3.所以n的最大值为6，此时集合A={334,335,336,337,338,339}.故答案为：{334,335,336,337,338,339}．13．已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________.【答案】1【解析】易知xyz≠0，由两集合各元素之积得6x2yz=6x3yz,x=1.经验证，x=1符合题意.故答案为：1．14．已知实数a≥−2，且A={x|−2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}.若C⊆B，则a的取值范围是______________。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题25平面几何A辑(解析版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题25平面几何A辑L【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰Zk/IBC中,48 = BC，/为内心. M为出的中点/为边4C 上•点，满足NQ3PCJV延长线上•点H满足。
为，13C的外接圆上劣孤劣的中点.证明［解析］取AC的中点N由4P=3PC,可知P为NC的中点.易知BIN共线,NWO90。
.由/为」X3C的内心，可知C7经过点OM Z OIB= AIBC^rZICB= ZABI+ ZACO= ZABI±ZABO=Z OBI.又M为BI的中点，所以0M_L双进而OM// CN.考虑」HMQ与JfflA由于A<H一PH.W4HM5=90屋4HMI= NHIB.又/血m=N，VP=90。
,故詈=* h 日HM NP 1 NC 1 MQ MQr 足—= ---- - ---- - ----- - --HI N1 2 Nl 2 MI IB所以△ HMQ sA H1B,得N HQM= /HBL从而HMBQ四点共阅.于是有N5/QN氏1丝=90。
抑BHLQH.2. 12020高中数学联赛B卷（第02试）】如图是圆。
上顺次的五点，满足ABC=BCD=CDE,点P.O分别在线段AD.BE上，且P在线段CQ上证明:NR10=N庄Q【解析】记S为40与BE的交点,T为CQ延长线与圆Q的交点.注意到ABOBCACDEW设AB.CD所对的圆周角均为aJBCDE所对的圆周角均为£.于是N/Q/ATC=o邛,乙PTE=Z CTE=。
邛 2PS 折 ABDA- NDBE』-B.由ZATO=ZPSO得S4工Q四点共网，又由NP公NPS0得PST.E四点共圆.所以ZR4O=ZPTS= ZPEO.3.12019高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在锐角△HBC中，M是3C边的中点点尸在△Z3C内，使得乂尸平分NA4。
.直线MP与△43尸、ZUCP的外接圆分别相交于不同于点尸的两点。
专题02 函数与导数(新定义)(解析版)-新高考数学创新题型微专题
2 时，等号成立，
所以 m 2 2 2 ，即 m , 2 2 2 ．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为 g(x) 与 f (x) 在 0, 上有交点的
问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆 x2 y2 1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可 4
f
3 1
2
，
当t
1 时， 2
f
t
max
f
1 2
21 8.
所以
f
x
的值域为
1 2
,
21 8
.
当 1 f x 0 时， y INT f x 1，
2
当 0 f x 1时， y INT f x 0 ，
当1 f x 2 时， y INT f x 1， 当 2 f x 21 时， y INT f x 2 ，
对选项
B：
f
x
ln
5 5
x x
，函数定义域满足
5 5
x x
0 ，解得
5
x
5 ，且
f
x
ln
5 5
x x
f
x ，函数为
奇函数，满足；
对选项 C： f x sin x 为奇函数，满足；
对选项 D： f x ex ex ， f x ex ex f x ，函数为偶函数，且 f 0 2 0 ，不满足.
f
x
ex ex
1 1
，得
ex
f
1
x 1 f x
.
因为 ex
f x1 0 ，所以 1 f x
0 ，解得 1
f
专题02 函数(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)
一．基础题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，11】已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．【答案】19考点：分段函数求值2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，4】已知函数()221,1,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩，若()()04f f a =，则实数a 等于（ ） A ．12 B ．45C ．2D ．9 【答案】C 【解析】 试题分析：()()0(2)4242ff f a a a ==+=⇒=，选C.考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【江西南昌市2017届摸底考试，8】若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f > 【答案】D考点：函数性质4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，9】定义在R 上的函数()f x 满足在区间[)1,1-上,(),102,015x m x f x x x --≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩, 其中m R ∈,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f m =（ ） A ．85- B ．25- C ．35 D ．75【答案】B 【解析】试题分析：因为()()11 2.f x f x T +=-⇒=所以59111213()()||22222525f f f f m m ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-=--⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()325(3)(1)1.55f m f f =-=-=-+=-选B. 考点：分段函数性质5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】“2log (23)1x -<”是“48x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为2log (23)1x -<，所以3522x <<，又因为48x >，所以32x > ，所以3522x <<⇒32x >．即“2log (23)1x -<”是“48x >”的充分不必要条件，故选A. 考点：1、对数函数的性质及指数函数的性质；2、充分条件与必要条件.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,)2-∞ C ．1(1,0)(0,)2- D ．1(,1)(1,)2-∞-- 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、对数函数的.7.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，3】下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．cos y x =B ．21y x =-+ C ．2log ||y x = D ．xx y e e -=- 【答案】C【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.8.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，4】若0.2log 2a =，0.2log 3b =，0.22c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】B【解析】试题分析：0.2log y x =是减函数，所以0b a <<，又0c >，所以b a c <<.故选B. 考点：1、对数函数的性质；2、指数函数的性质.9.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，7】若3x a =，5x b =，则45x 等于（ ）A ． 2abB ．2a bC ．2a b +D ．22a b +【答案】A【解析】试题分析：()22459535x x xx x a b =⨯=⨯=.故选A.考点：指数的运算.10.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，9】已知函数(12),1,()1log ,13x a ax f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]3B ．11[,]32C ．1(0,]2D ．11[,]43【答案】A考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的单调性及数学的转化与划归思想.11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，10】若函数2()2(2)||f x x x a x a =+--在区间[-3,1]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[-4,1]B ．[-3,1]C ．（-6,2）D ．（-6,1） 【答案】C考点：1、分段函数的单调性；2、利用导数研究分段函数的极值点.12.【江西九江地区2017届高三七校联考，2】函数229log (1)x y x -=+的定义域是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(1,0)(0,3)-D ．(1,0)(0,3]-【答案】D 【解析】考点：函数定义域13.【江西九江地区2017届高三七校联考，4】幂函数2268()(44)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1 C.3 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：22441,6801m m m m m -+=-+>⇒=，选B. 考点：幂函数定义及性质14.【江西九江地区2017届高三七校联考，5】已知函数||()21x f x =-+，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A考点：分段函数奇偶性15.【江西九江地区2017届高三七校联考，7】若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]- C ．(,4)[2,)-∞+∞ D ．[4,4)- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得230x ax a -->在区间(,2]-∞-上恒成立且22a≥-，即2(2)(2)30a a ---->且4a ≥-，解得实数a 的取值范围是[4,4)-，选D.考点：复合函数单调性16.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），3】设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）A ．(2)()(3)f f f π-<<-B ．()(2)(3)f f f π<-<-C ．(2)(3)()f f f π-<-<D ．(3)(2)()f f f π-<-< 【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.17.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，4】设函数(),y f x x R =∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B .【解析】试题分析：当“()y f x =的图象关于原点对称”时，函数()y f x =为奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以)()(x f x f =-，所以()y f x =是偶函数；反过来，当“()y f x =是偶函数”时不能推出“()y f x =的图象关于原点对称”例如：2x y =，此时2x y =是偶函数，其图像不关于原点对称.所以“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的必要不充分条件，故应选B .18.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，8】设0x 是方程13xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 所在的范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B . 【解析】试题分析：构造函数x x f x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=31)(，所以01031)0(0>=-⎪⎭⎫⎝⎛=f ，031313131)31(213131>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，021312131)21(212121<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，所以由零点的存在性定理可得函数x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛=31)(在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点,故应选B .考点：1、函数与方程.19.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，6】设函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，求3(7)(log 12)f f -+=（ ）A ．8B ．15C ．7D ．16 【答案】C 【解析】考点：分段函数．20.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，4】若2a =，384b =，ln2c =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B考点：基本函数．21.【湖北2017届百所重点校高三联考，5】“11e eb dx x≤⎰”是“函数()2,03,0xx x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因e e b 1lnln -≤,即2≤b ；因函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数,故21≤+b ,即1≤b ,故2≤b 是1≤b 的必要非充分条件,应选B.考点：充分必要条件及运用.【易错点晴】本题是一道函数的单调性和充分必要条件整合在一起的综合问题．求解这类问题时，要充分借助题设条件，先搞清楚判定哪个命题是哪个命题的条件，再将问题转换为判定在一个命题成立的前提下，另一个命题的真假问题．本题求解时，要先将不等式“11eeb dx x≤⎰”翻译成2≤b 成立的前提下，命题“函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”是否成立的问题，当然这里要用到绝对值函数语指数函数的性质．验证必要性时，要考察这个命题的逆命题的真伪．显然命题不真；反之成立，故应选B.22.【江西九江地区2017届高三七校联考，13】若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是__________. 【答案】3m >【解析】考点：二次函数实根分布23.【江西九江地区2017届高三七校联考，15】若函数3211(),22()1log,2xaxf xx x-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（0a>，且1a≠）的值域是R，则实数a的取值范围是________.【答案】2[,1)2考点：分段函数值域【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.24.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，14】已知定义在R上的偶函数()f x在[0,)+∞上单调递减，且(1)0f=，则不等式(2)0f x-≤的解集是__________.【答案】(,1][3,)-∞+∞【解析】试题分析：因为()f x在R上为单调递减的偶函数，且(1)0f=，所以不等式(2)0f x-≤等价于|2|1x-≥，解得3x≥或1x≤，所以等式(2)0f x-≤的解集为(,1][3,)-∞+∞．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法．25.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，2】函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是▲．【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域26.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，4】设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+=▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义27.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，5】计算121(lg lg 25)1004--÷= ▲ ．【答案】－20 【解析】试题分析：11211(lg lg 25)100lg 10204100---÷=÷=-考点：对数式运算28.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，7】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-29.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，8】已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集是 ▲ ．【答案】[]2,4- 【解析】试题分析：当0x ≥时，()22xf x =-单调递增，又()33226f =-=()16|1|324f x x x ∴-⇒-≤⇒-≤≤≤考点：利用函数性质解不等式30.【四川巴中市2017届“零诊”，14】若31044=+-x x ，则=4log 3x .【答案】1±.考点：对数的运算.二．能力题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，10】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且(1,3]x ∈-时，21cos ,13,()2,11,x x f x x x π⎧+<≤⎪=⎨⎪-<≤⎩则()()lg ||g x f x x =-的零点个数是（ ） A ．9 B ．10C ．18D ．20【答案】C 【解析】试题分析：(4)()()4f x f x f x T -==-⇒=，只需考虑(0,10]x ∈上()y f x =与lg y x =交点个数，在第一个周期(0,4]x ∈上有3个交点，第二个周期(4,8]x ∈上有4个交点，在 (8,10]x ∈上有2个交点，共有9个交点，因此零点个数一共是18个，选C. 考点：函数零点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.2.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，7】设e 是自然对数的底，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，则“log 2log a b e >”是“01a b <<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B3.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，11】函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C【解析】试题分析：取0a =，可知（4）正确；取4a =-，可知（3）正确；取1a =，可知（2）正确；无论a 取何值都无法作出（1）.故选C.考点：1、函数的图象和性质；2、选择题的“特殊值法”.【方法点睛】本题主要考查函数的图象和性质、选择题的“特殊值法”，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.4.【江西九江地区2017届高三七校联考，6】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是边1AA 、1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E 、M 、F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =， 则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A ．23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈B ．23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈ C ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈ D ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈【答案】A考点：函数解析式5.【江西九江地区2017届高三七校联考，8】函数221x x e x y e =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6.【江西九江地区2017届高三七校联考，11】已知函数()f x 和(1)f x +都是定义在R 上的偶函数，若[0,1]x ∈时，1()()2x f x =，则（ ）A ．15()()32f f ->B ．15()()32f f -<C ．15()()32f f -=D ．19()()32f f -<【解析】试题分析：()(),(1)(1)(2)()f x f x f x f x f x f x =-+=-+⇒+=-，所以5111(2)()2,()()()()2233f x f x T f f f f +=⇒==<=-，选A.考点：函数对称性与周期性7.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），8】已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为0x <时()()ln f x x x =--，()f x 在(0,)+∞上递增，0x >时，1()ln ,'()1f x x x f x x=-=-，可得()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以只有选项A 合题意，故选A.考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性.8.【河北衡水中学2017届上学期一调，6】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B考点：函数的奇偶性及函数的图象．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，12】已知函数()()()11 232 [2)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]08，内所有零点的和为（ ）A ．16B ．30C ．32D ．40 【答案】C 【解析】10.【湖北2017届百所重点校高三联考，8】函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出1,0±≠x ,且当0>x 时, x x y ln =,由于x y ln 1/+=,故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象的对称性可知应选D. 考点：函数图象的性质及运用.11.【湖北2017届百所重点校高三联考，11】设函数()()()211,ln 31f x x g x ax x =-+=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ） A ．94 B ．2 C ．92D ．4 【答案】A考点：函数的图象和性质及运用.12.【四川巴中市2017届“零诊”，11】定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足：xe x g xf =+)()(，给出如下结论：①2)(x x e e x f --=且)2()1(0g f <<；②R x ∈∀，总有1)]([)]([22=-x f x g ； ③R x ∈∀，总有0)()()()(=+--x g x f x g x f ； ④R x ∈∃0，使得)()(2)2(000x g x f x f >. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，()()()2()()()()()2x x x x x xe ef x f xg x e f x g x f x g x e e eg x ---⎧+=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=-+=+⎪⎩⎪=⎪⎩，①：1220(1)(2)222e e e e e f g ---+<=<<=，故①正确；②：2222[()][()]()()122x x x x e e e e g x f x --+--=-=，故②正确；③：()()()()()()()()0f x g x f x g x f x g x f x g x --+=-+=，故③正确；④：000000220002()()2(2)222x x x x x x e e e e e e f x g x f x ----+-=⋅⋅==，故④错误，即正确的结论为①②③，故选A.考点：函数的性质.13.【江西九江地区2017届高三七校联考，16】给出下列四个命题：①函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为2()||f x x x =-；③函数1||1y x =-的图象可由函数1||y x =图象向右平移一个单位得到；④函数1||1y x =-图象上的点到点(0,1)距离的最小值是3.其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】②④考点：函数性质14.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，16】已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．【答案】1724b <≤考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．15.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，10】已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 【答案】43【解析】试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3333,13,33b b b b b b b b a =⇒=>⇒==43a b +=考点：指对数式运算16.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，15】已知函数()()log 01a f x x a a =>≠且和函数()sin2g x x π=,若()f x 与()g x 的图象有且只有3个交点, 则a 的取值范围是 ．【答案】()11,5,973⎛⎫⎪⎝⎭考点：函数交点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.17.【湖北2017届百所重点校高三联考，16】设函数()f x 对任意实数x 满足()()1f x f x =-+，且当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，若关于x 的方程()f x kx =有3个不同的实数根，则k 的取值范围是___________． 【答案】(){}526,1322--+【解析】试题分析:因()()1f x f x =-+,故)()2(x f x f =+,即函数)(x f 是周期为2的周期函数,画出函数函数]1,0[),(∈=x x f y 的图象,再借助函数满足的条件()()1f x f x =-+及图象的对称性,画出函数)(x f y =的图象如图，结合图象可得12+=-kx x x ,故04)1(2>-+=∆k k ,解之可得1625<<-k 或223+-=k ,故应填(){}526,1322--+.y=kx+1yx-2-1O -2-12121考点：函数的图象等有关知识的综合运用．【易错点晴】函数图象和性质是高中数学教与学中的重点和难点之一,也是高考和各级各类考试的热点内容.本题以函数零点的个数的形式将二次函数与一次函数的零点问题进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先探求函数的周期性,再画出函数的图象,然后借助函数的图象进行分析探求建立不等式,进而求得实数k 的取值范围是(){}526,1322--+.18.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，15】若“m a >”是“函数11()()33x f x m =+-的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为__________. 【答案】1-三．拔高题组1.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，11】已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()fx a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，10】已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．2112⎫-⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．24⎫⎪⎪⎣⎭D ．2212⎫-⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】考点：对数函数的图象及二次函数的性质．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，9】已知()1145279722,,,log 979x x f x a b c --⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】B 【解析】试题分析：()22xxf x -=-为单调递增函数，而11144527997,log 09779a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>==< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f b f a <<，选B.考点：比较大小4.【河北邯郸2017届9月联考，12】已知函数42412sin4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++=（ ） A ．2017 B ．2016 C ．4034 D ．4032 【答案】D .考点：1、函数的基本性质；2、函数的奇偶性；3、函数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质、函数的奇偶性和函数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先将已知条件进行化简并得到222sin 2)21(xx x x f ++=+，并令222sin )21(xx x x g +=+，进而可判断出其奇偶性，再由奇函数的图像与性质可得出所求的结果即可.其解题的关键是正确的化简变形并判断出函数的奇偶性.5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，21】（本小题满分12分）已知函数()22xxf x -=+. （1）求方程5()2f x =的根； （2）求证：()f x 在[0,)+∞上是增函数；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，不等式(2)()f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）1x =或1x =-；（2）证明见解析；（3）0.（2）证明：设120x x ≤<，则211211221212(22)(12)()()22(22)022x x x x x x x x x x f x f x +-----=+-+=<， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数. （3）由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()f x f x m ≥-对于[0,)x ∈+∞恒成立，且()2f x ≥，2()(2)()[()]2m f x f x f x f x ≥-=-+.又0x ≥，∴由（2）知()f x 最小值为2， ∴()2f x =时，m 最小为2-4+2=0.考点：1、简单的指数方程；2、单调性的证明方法及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查、简单的指数方程、单调性的证明方法及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（3）是利用方法①求得m 的最小值的.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，18】（本小题满分12分）设222()(log )2log (0)f x x a x b x =-+>.当14x =时，()f x 有最小值-1. （1）求a 与b 的值；（2）求满足()0f x <的x 的取值范围. 【答案】（1）23a b =-⎧⎨=⎩；（2）11(,)82x ∈.考点：1、二次函数配方法求最值；2、简单的对数不等式.7.【江西九江地区2017届高三七校联考，17】（本小题满分10分）设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间3[0,]2上的值域. 【答案】（1）2a =，（2）215[log ,2]4【解析】试题分析：（1）由(1)2f =的log 42a =，解得2a =（2）因为22()log [(1)4]f x x =--+，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数.因此()f x 在区间3[0,]2上的值域是考点：函数定义域与值域8.【江西九江地区2017届高三七校联考，19】（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴2()x f x =-，的图象被x 轴截得的弦长为3(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若1(())2x f k >对[1,1]x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）由题意可得二次函数两个零点，所以用零点式设()(23)(23)f x a x x =++，再根据(0)1f =解得1a =（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题min 1(())2x f k >，而求函数最值，先确定内函数值域11()[,2]22x t =∈，即为外函数定义域，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最小值由(0)11f a =⇒=，∴2()(23)(23)41f x x x x x =++=++；………………6分（2）当[1,1]x ∈-时，11()[,2]22xt =∈，………………8分 ∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-.∴()f t 在1[,2]2t ∈上单调递增.………………9分 ∴min113()()24f t f ==.所以实数k 的取值范围是13(,)4-∞.………………12分 考点：二次函数解析式及最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.9.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，16】(本小题满分14分)已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈(1) 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论；【答案】(1) 偶函数(2) 27λ-≤考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，19】(本小题满分16分)已知函数()133x x af x b+-+=+．(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】试题分析：(1)根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3xf x =转化为一元二次方程：()2332310x x ⋅+⋅-=，再根据指数函数范围可得133x= ，解得1x =- (2) ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去 所以1,3a b ==， 所以()13133x x f x +-+=+ ………………………………………6分①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，所以440t ∆=+>，解得：1t >-，所以k 的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习02 函数的嵌套问题(解析版)
高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习第2讲函数的嵌套问题一．选择题（共15小题）1．（2021•合肥一模）已知函数,0()1,0x x e x f x xe x lnx x -⎧-=⎨--->⎩，则函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为()(e 是自然对数的底数）． A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：不妨设1()(0)x f x e x -=-，2()1(0)x f x xe x lnx x =--->， 易知，1()0f x <在(-∞，0]上恒成立，且在(-∞，0]单调递增；211()1(1)()x x x f x e xe x e x x '=+--=+-，设1()(0)x g x e x x=->，由当0x +→时，()g x →-∞，g （1）10e =->，且函数()g x 在(0,)+∞上单增，故函数()g x 存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得0()0g x =，即010x e x -=，则00001,0xx e lnx x =+=， 故当0(0,)x x ∈时，()0g x <，2()0f x '<，2()f x 单减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，2()0f x '>，2()f x 单增，故0220000()()10x min f x f x x e x lnx ==---=，故2()0f x ；令()t f x =，()()0F t f t et =-=，当0t 时，0t e et ---=，解得1t =-，此时易知()1f x t ==-有一个解；当0t >时，10t te t lnt et ----=，即1t te t lnt et ---=，作函数2()f t 与函数y et =如下图所示，由图可知，函数2()f t 与函数y et =有两个交点，设这两个交点为1t ，2t ，且10t >，20t >， 而由图观察易知，1()f x t =，2()f x t =均有两个交点，故此时共有四个解； 综上，函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为5． 故选：B ．【点评】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．2．（2021•绵阳模拟）已知函数()||x e f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是()A ．21(1,)21e e ---B ．(1,)+∞C ．21(21e e --，2)D ．21(21e e --，)+∞【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'==，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'=-=-，此时()0f x '>恒成立，此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根 当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e >， 设2()21h t t at a =-+-，则(0)0()0202h h e a a ⎧⎪>⎪<⎨⎪-⎪-=>⎩，即2102100a e ae a a ->⎧⎪-+-<⎨⎪>⎩，即21121a e a e >⎧⎪⎨->⎪-⎩， 即2121e a e ->-，即实数a 的取值范围是21(21e e --，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 3．（2021•海淀区校级开学）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数．当0x >时，5sin(),0142()1()1,14x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有2个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，55)(44-⋃，)+∞B ．(-∞，565){}(454-⋃，)+∞ C ．5(,)[14-∞--，51](4⋃，)+∞D ．5(4-，5)4【解答】解：作出函数的图象如图所示，令()f x t =，则由图象可得： 当11t -或54t =±时，方程()f x t =有1解；当514t -<<-或514t <<时，方程()f x t =有2解；当54t <-或54t >时，方程()f x t =无解； 因为25[()](56)()60fx a f x a -++=，所以6()5f x =或()f x a =，因为关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有2个不同实数根， 又6()5f x =有2 解，所以()f x a =无解或方程()f x a =的解也是方程6()5f x =的解，故54a <-或65a =或54a >， 故选：B ．【点评】本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用()f x t =的根的个数的应用是解答的关键． 4．（2021•三门峡一模）已知函数(1),0(),0xln x x f x xe x +⎧=⎨-<⎩，方程2()()0()f x mf x m R +=∈有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是() A ．1(,)e-∞-B ．1(e-，0)C ．1(e-，)+∞D ．1(0,)e【解答】解：当0x <时，()x f x xe =-， 则()(1)x f x x e '=-+， 由()0f x '=得1x =-，当1x <-时，()0f x '>， 当10x -<<时，()0f x '<，即当1x =-时，函数()f x 取得极大值，此时1(1)f e-=， 且当0x <时，()0f x >， 当0x 时，()(1)0f x ln x =+， 设()t f x =，则当1t e=时，方程()t f x =有两个根，当1t e >或0t =时，方程()t f x =有1个根，当10t e<<时，方程()t f x =有3个根， 当0t <时，方程()t f x =有0个根，则方程2()()0()f x mf x m R +=∈等价为20t mt +=， 即0t =或t m =-，当0t =时，方程()t f x =有1个根，∴若方程2()()0()f x mf x m R +=∈有四个不相等的实数根，则等价为()t f x =有3个根， 即10m e<-<，得10m e-<<， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数根的个数的判断，求函数的导数，研究函数的取值范围，利用换元法和图象法进行求解是解决本题的关键． 5．（2021秋•北碚区校级月考）已知函数(1),0(),0xln x x f x x e x +⎧=⎨-<⎩，函数1()(())2g x f f x =-零点的个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：令()u f x =，令()0g x =，则1()02f u -=，当0u 时，则()(1)f u ln u =+，所以，1(1)2ln u +=，∴1u =． 当0u <时，()u f u ue =-，则()(1)u f u u e '=-+， 当1u <-时，()0f u '>；当10u -<<时，()0f u '<．此时，函数()y f u =在1u =-处取得极大值，且极大值为11(1)2f e-=<．所以，当0u <时，1()2f u <，则方程1()02f u -=在0u <时无解．再考虑方程()1f x =的根的个数， 作出函数()u f x =的图象如下图所示，1112e>>，所以，直线1u=与函数()u f x=的图象只有一个交点，因此，函数()g x只有一个零点，故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数，考查复合函数的零点个数问题，解决本题的关键在于灵活处理内层函数与外层函数零点之间的关系，属于难题．6．（2021春•渝北区校级期末）已知函数(),0()21,0xxln x x xf x x xexe--<⎧⎪=⎨--⎪⎩，()()g x f x x a=+-．若()g x 存在三个零点，则实数a的取值范围是()A．23(1,)e--B．23(0,2)e-C．32(0,2)e-D．32[1,2)e--【解答】解：因为()()g x f x x a=+-存在三个零点，所以方程()f x x a=-+存在三个实根，因为当0x<时，()f x x a=-+，即()ln x a-=有且只有一个实根，所以当0x时，()f x x a=-+，即21xxae-=有且只有2个实根，令21xxye-=，0x，则22(21)32()x xx xe x e xye e---'==，由32x<，得0y'>，由32x>，得0y'<，所以21xxye-=在3[0,)2上递增，在3(,)2+∞上递减，所以当32x=时，21xxye-=取得最大值323222ee-=，又0x=时，1y=-，x→+∞时，0y→，由函数21xxye-=，0x的图象可知，3202a e-<<．所以实数a 的取值范围是32(0,2)e -． 故选：C ．【点评】本题考查了函数的零点方程根的关系，转化成函数图象的交点的关系是关键，考查数形结合的思想，是中档题．7．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是() A ．(,0)-∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2-∞，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞【解答】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩的图象如图：方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x ，2()2()10()f x af x a a R -+-=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a >，(0,1)a -．满足题意．当1a =时，2a ，0a =，不满足题意． 考察选项可知，D 正确；故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，函数与方程的应用，考察最值思想以及计算能力．本题如果直接求解，难度比较大，关于a 的不等式组不易求解．采用回代验证，方便快速得到结果．8．（2021•大东区一模）已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有3个相异的实数根，则a 的取值范围是()A ．21(21e e --，)+∞B ．21(,)21e e --∞-C ．21(0,)21e e --D ．21{}21e e --【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'==， 当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'=-=-，此时()0f x '>恒成立，此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有三个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e =， 当t e =时，2210e ae a -+-=，即2121e a e -=-，此时满足条件． 故选：D ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9．（2021秋•天津期末）已知函数2()(||xe f x e x =为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20()f x af x a a R -+-=∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2(,)21e e +∞-D ．242(,)41e e -+∞-【解答】解：2()||xe f x x =， 0x >时，2()x e f x x =，22(21)()x e x f x x -'=， 令()0f x '>，解得：12x >，令()0f x '<，解得：102x <<，故()f x 在1(0,)2递减，在1(2，)+∞递增，故1()()22min f x f e ==，0x <时，2()x e f x x =-，22(21)()0x e x f x x -'=->， 函数()f x 的图象，如图示：，设()t f x =，方程2[()]2()20f x af x a -+-=等价于2220t at a -+-=，而△2244(2)4480a a a a =--=-+>， 若关于x 的方程恰有四个不同的实数根， 则102t e <<，22t e >， 设2()22g t t at a =-+-，则(0)0(2)0g g e >⎧⎨<⎩，即2204420a e ae a ->⎧⎨-+-<⎩解得：24241e a e ->-，故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，换元思想，考查二次函数的性质，是一道中档题． 10．（2021秋•谯城区校级期末）已知函数2||,0()41,0lnx x f x x x x >⎧=⎨--+⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．(2,4)B ．(2，4]C ．[2，4]D ．[2，4) 【解答】解：设()f x t =，则22()2()10f x af x a -+-=， 化为22210t at a -+-=，作出()f x 的图象，由图知，若关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根， 则关于t 的方程22210t at a -+-=有两个不等实根1215t t <<． 设22()21(1)(1)g t t at a t a t a =-+-=---+，，则由图知，1115a a -⎧⎨+<⎩，解得：24a <，故选：D ．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．11．（2021•郑州校级模拟）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A ．01a <<或54a =B ．01a 或54a =C ．01a <或54a =D ．514a <或0a = 【解答】解：函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，当0x <时，5sin(),10()4241,1x x x f x x π⎧--⎪=⎨⎪+<-⎩． 作出函数()f x 的图象如右．由于关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=， 解得()f x a =或6()5f x =，当01x 时，()[0f x ∈，5]4，1x >时，()(1f x ∈，5)4．由65154<<，则6()5f x =有4个实根， 由题意，只要()f x a =有2个实根，则由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，当54a =时，()f x a =有2个实根．综上可得：01a <或54a =． 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．12．（2021•和平区四模）已知函数32()32f x x x =-+，函数22(3)1,0()1()1,02x x g x x x ⎧-++<⎪=⎨-+⎪⎩，则关于x 的方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根最多有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图： 由[()]0(0)g f x a a -=>得[()]g f x a =，(0)a > 设()t f x =，则()g t a =，(0)a > 由()y g t =的图象知，①当01a <<时，方程()g t a =有两个根143t -<<-，或242t -<<-， 由()t f x =的图象知，当143t -<<-时，()t f x =有0个根， 当242t -<<-时，()t f x =有0个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有0个根，②当1a =时，方程()g t a =有两个根13t =-，或212t = 由()t f x =的图象知，当13t =-时，()t f x =有0个根， 当212t =时，()t f x =有3个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有3个根，③当514a <<时，方程()g t a =有两个根1102t <<，或2112t <<， 由()t f x =的图象知，当1102t <<时，()t f x =有3个根， 当2112t <<时，()t f x =有3个根，此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有336+=个根， ④当54a =时，方程()g t a =有两个根10t =，或21t =， 由()t f x =的图象知，当10t =时，()t f x =有3个根， 当21t =时，()t f x =有3个根，此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有336+=个根 ⑤当54a >时，方程()g t a =有1个根11t >，由()t f x =的图象知，当1112t >时，()t f x =有3或2个或1个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有3或2个或1个根， 综上方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根最多有6个根， 故选：C ．【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．13．（2021•余姚市模拟）已知函数32()32f x x x =-+，210()420x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则方程[()]0(g f x a a -=为正实数）的根的个数不可能为()A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 【解答】解：函数32()32f x x x =-+，画出函数()f x 的图象，如图示：我们易求出()f x 与y a =的交点情况为： 当2a >时，有一个交点； 当2a =时，有两个交点； 当02a <<时，有三个交点；21,0()42,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩， 画出函数()g x 的图象，如图示：我们易求出()g x 与y a =的交点情况为： 当2a >时，有2个交点； 当2a =时，有2个交点；当02a <<时，有2个交点；∴方程[()]0(g f x a a -=为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个， 不可能为3个， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．14．（2021春•安徽期末）已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a【解答】解：函数32()31f x x x =-+，21,0()()468,0x x g x g x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪---⎩，2()36f x x x ∴'=-，令()0f x '=得：0x =，或2x =，故当0x =时，函数()f x 取极大值1，当2x =时，函数取极小值3-； 则()f x 与y m =的交点情况为： 当3m <-，或1m >时，有一个交点； 当3m =-，或1m =时，有两个交点； 当31m -<<时，有三个交点；()g x 与y a =的交点情况为：当01a <<时有两个交点，一个在区间(4,3)--上，一个在区间(3,2)--上； 当1a =时有两个交点，一个为3-，一个为12；当1a >时有两个交点，一个在区间1(0,)2上，一个在区间1(2-，1)上．若方程[()]0g f x a -=有6个解，()0g m a -=有两个根，均在(3,1)-上， 故5(1,)4a ∈， 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．15．（2021春•舒城县校级期中）已知函数()||(0)x f x x e x =≠，其中e 为自然对数的底数，关于x 的方程2()0()f x f x λ+-=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是()A ．1(0,)e B ．)+∞C ．2(,)e e ++∞D ．1(2,)e e++∞【解答】解：,0()||,0x xxx e x f x x e x e x ⎧>==⎨-<⎩． 当0x >时，由()x f x x e =，得()(1)0x x x f x e x e e x '=+=+>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数；当0x <时，由()x f x x e =-，得()(1)x x x f x e x e e x '=--=-+． 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，∴当1x =-时，函数()f x 取得极大值为1(1)f e-=． 作出函数()||(0)x f x x e x =≠的图象的大致形状：令()f x t =，则方程2()0()f x f x λ+-=化为20t tλ+-=， 即220t t λ-+=， 要使关于x 的方程2()0()f x f x λ+-=有四个相异实根， 则方程220t t λ-+=的两根一个在1(0,)e，一个在1(,)e+∞之间．则2120e e λ-+<，解得12e eλ>+． ∴实数λ的取值范围是1(2e e+，)+∞． 故选：D ．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题． 二．多选题（共1小题）16．（2021秋•广州月考）已知函数21,()()(2),x e x mf x m R x x m ⎧-=∈⎨-+<⎩，则() A ．对任意的m R ∈，函数()f x 都有零点B ．当3m -时，对12x x ∀≠，都有1212()(()())0x x f x f x --<成立C ．当0m =时，方程[()]0f f x =有4个不同的实数根D ．当0m =时，方程()()0f x f x +-=有2个不同的实数根【解答】解：对于A ：作出函数1x y e =-和244y x x =---的图象如图所示：当0m >时，函数()f x 只有1个零点， 当20m -<时，函数()f x 有2个零点，当2m -时，函数()f x 只有1个零点，故A 正确； 对于B ：当3m -时，函数()f x 单调递增，若当3m -时，对12x x ∀≠，都有1212()(()())0x x f x f x --<成立，则()f x 单调递减，故B 错误； 对于:0C m =时，()0f t =得12t =-，20t =， 当1()2f x t ==-时，方程有两个解， 当2()0f x t ==时，方程有两个解，所以方程[()]0f f x =有4个不同的实数根，故C 正确；对于D ：当0m =时，方程()()0f x f x +-=的根为()()f x f x =--的根， 令()()h x f x =--， 作出()f x ，()h x 的图象：可得函数()f x 与()h x 有三个交点，其中包括0x =， 即方程()()f x f x +-有三个根， 故选：AC ．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 三．填空题（共7小题）17．（2021春•安徽期末）已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()30()f x af x a a R -+-=∈有3个相异的实数根，则a的取值范围是23(,3)21ee--．【解答】解：由题得2(1)()(0)xe xf x xx-'=≠，当1x>时，()0f x'>，函数单调递增；当01x<<时，()0f x'<，函数单调递减；当0x<时，()0f x'<，函数单调递减；作出函数()xef xx=的图象如右图，令()t f x=，则2()23g t t at a=-+-，设函数()g t的两零点分别为1t，2t①1t<，2t e>，则2(0)30()230g ag e e ae a=-<⎧⎨=-+-<⎩，解得23(,3)21eae-∈-②1t e=，2t e>，则22()23044(4)0g e e ae aa ea a⎧=-+-=⎪>⎨⎪=-->⎩，此时无解，综上：23(,3)21eae-∈-，故答案为：23(,3)21ee--【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．18．（2021春•衡阳期末）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，则f （1）=54，若关于x 的方程2[()]()0(f x af x b a ++=，))b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是． 【解答】解：f （1）55sin()424π==，作函数()y f x =的图象如右图，设方程20x ax b ++=的两个根为1x ，2x ； ①若154x =，2514x <<， 故129(4x x a +=-∈，5)2， 故5(2a ∈-，9)4-；②若101x <，2514x <<， 故129(1,)4x x a +=-∈， 故9(4a ∈-，1)-；故答案为：54，5(2-，99)(44--⋃，1)-．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用． 19．（2021秋•全国Ⅰ卷月考）已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，当0x 时，3sin(),01,22()1()1,1,2x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩则函数3()(())4g x f f x =-的零点个数为2．【解答】解：()f x 是偶函数，∴作出函数()f x 的图象如图，当01x 时，022xππ，则，33sin()222x π， 当1x >时，13()1(1,)22x +∈，由3()(())04g x f f x =-=得3(())4f f x =，设()t f x =，则3()4f t =，由3()4f t =，得01t <<或10t -<<， 当10t -<<时，()t f x =无解，当01t <<时，()t f x =有两个交点，即()g x 有两个零点， 故答案为：2．【点评】本题主要考查函数与方程的关系，利用换元法转化为两个方程根的个数问题，以及利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．20．（2021秋•常熟市月考）已知函数32()31f x x x =-+，2442,0()1|2|1,02x x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++⎪⎩，若函数(())y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为1(,2)2． 【解答】解：作出函数()f x 与()g x 的图象如图：令()f x t =，则由图可知，当()f x t =有3个交点时，(3,1)t ∈-，当(3,1)t ∈-时，要使()0y g t a =-=，即函数图象在(3,1)t ∈-时，y a =与()y g t =要有2个交点，根据图象可知1(3)2g -=，故1(2a ∈，2)，故答案为：1(2，2)．【点评】本题主要考查函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图象的画法，数形结合是关键，综合性强，属于难题．21．（2021春•让胡路区校级月考）已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是21(21e e --，)+∞．【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x--'==， 当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x--'=-=-，此时()0f x '>恒成立， 此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根 当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e >， 设2()21h t t at a =-+-，则(0)0()0202h h e a a ⎧⎪>⎪<⎨⎪-⎪-=>⎩，即2102100a e ae a a ->⎧⎪-+-<⎨⎪>⎩，即21121a e a e >⎧⎪⎨->⎪-⎩， 即2121e a e ->-，故答案为：21(21e e --，)+∞【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 22．（2021春•鼓楼区校级期末）函数2()(3)x f x x e =-，关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为336(6e e +，)+∞． 【解答】解：2()(23)(3)(1)x xf x x x e x x e '=+-=+-， 令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,3)-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在(3,1)-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()36()3f x f e =-=极大值，()f x f =极小值（1）2e =-， 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在36(0,)e内，一个根在36(e，)+∞内， 或者两个根都在(2,0)e -内，或者一个根在(2,0)e -内，一个根为36e ，因为m 为正数，所以120t t m +=>，又121t t =，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在(2,0)e -内，令2()1g x x mx =-+，因为(0)10g =>， 所以只需36()0g e <，即6336610m e e-+<，得3366e m e >+， 即m 的取值范围为：336(6e e +，)+∞， 故答案为：336(6e e +，)+∞． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．23．（2021春•德阳期中）已知函数||()x x f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是1(1,1)e +． 【解答】解：化简得(0)()(0)x xx x e f x x x e ⎧⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩， 当0x 时，()0f x ，21()()x x x x e xe x f x e e--'==， 若01x <<时，()0f x '>，若1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极大值f （1）1e=， 当0x <时，2()1()0()x x x xe x e xf x e e ---⋅-+'==<，()f x 为减函数， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程2()()10f x mf x m -+-=得，(()(1))(()1)0f x m f x ---=，所以()1f x =或()1f x m =-，由图象知方程()1f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则()1f x m =-要有三个解，由函数图象知101m e <-<， 所以111m e <<+． 故答案为：1(1,1)e +【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，数形结合求得结果．四．解答题（共2小题）24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且(2)y f x =+的函数图象关于2x =-对称，当0x 时，3sin()(01)22()1()1(1)2x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程24()(45)()50()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有6个不相同实数根，则实数a 的取值范围．【解答】解：(2)y f x =+的函数图象关于2x =-对称，将(2)y f x =+的图象右移2个单位，可得()y f x =的图象，可知图象关于y 轴对称．作出函数()y f x =的图象，关于x 的方程24()(45)()50f x a f x a -++=， 即有5()4f x =或()f x a =．()y f x =和直线54y =的交点有4个，即5()4f x =的解的个数为4，由题意可得()f x a =有两个解．即()y f x =和直线y a =有两个交点， 由图象可得32a =或01a <．综上可得a 的范围是(0，31]{}2．【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，考查方程的根的分布情况，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．25．已知函数1()f x x x=+，若关于x 的方程2()(1)()20f x m f x m -++=有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围是多少？【解答】解：关于x 的方程2()(1)()20f x m f x m -++= 有4个不同的实数根，令1()t f x x x ==+，则2t ，或2t -，故关于t的一元二次方程2(1)20t m t m-++=有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于2-．令2()(1)2g t t m t m=-++，①若这两个根都大于2，则由2(1)80122(2)20m mmg⎧=+->⎪+⎪>⎨⎪=>⎪⎩，求得3m>+②若这两个根都小于2-，则由2(1)80122(2)460m mmg m⎧=+->⎪+⎪<-⎨⎪-=+>⎪⎩，求得m∈∅．③若这两个根一个大于2，另一个小于2-，则由(2)460(2)20g mg-=+<⎧⎨=<⎩，可得m∈∅．综上可得，m的范围为(3+，)+∞．【点评】本题主要考查方程根的个数判断，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于难题．。
专题32函数、集合与复数(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题32函数、集合与复数历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】设集合A={1,2,⋯,19}.是否存在集合A的非空子集S1,S2,满足(1) S1∩S2=∅,S1∪S2=A；(2) S1,S2都至少有4个元素;(3) S1的所有元素的和等于S2的所有元素的乘积?证明你的结论.【答案】答案见解析【解析】答案是肯定的.设S2=1,2,x,y﹐2<x<y≤19,则1+2+⋯+19−1−2−x−y=2xy,所以2xy+x+y=187,故(2x+1)(2y+1)=375=15×25,所以x=7,y=12是一组解.故取S1=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19, S2=1,2,7,12,则这样的S1,S2满足条件.2．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.【答案】2795【解析】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”先证明一个引理：]个两两无公共边的角(这里[a]表示实数a的整数部分).设G=(V，E)是一个简单图，且G是连通的，则G含有[|E|2引理的证明:对E的元素个数|E|归纳证明.当|E|=0，1，2，3时，结论显然成立.下面假设|E|≥4，并且结论在|E|较小时均成立.只需证明，在G中可以选取两条边a、b构成一个角，在G中删去a、b这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含|E|－2条边.对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.考虑G中的最长路P:v1v2⋯v k，其中v1,v2,⋯,v k是互不相同的顶点.因为G连通，故k≥3.情形1:deg(v1)⩾2.由于P是最长路，v1的邻点均在v2,⋯,v k中，设v1v i∈E，其中3≤i≤k.则{v1v2,v1v i}是一个角，在E 中删去这两条边.若v 1处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若v 1处仅有被删去的两条边，则v 1成为孤立点，其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有一个连通分支含有|E |－2条边.情形2:deg (v 1)=1,deg (v 2)=2.则{v 1v 2,v 2v 3}是一个角，在G 中删去这两条边后，v 1,v 2都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有|E|−2条边.情形3:deg (v 1)=1,deg (v 2)⩾3，且v 2与v 4,⋯,v k 中某个点相邻.则是一个角，在G 中删去这两条边后，v 1成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有|E|−2条边.情形4:deg (v 1)=1,deg (v 2)⩾3，且v 2与某个u ∉{v 1,v 3,⋯,v k }相邻.由于P 是最长路，故u 的邻点均在v 2,⋯,v k 之中.因{v 1v 2,v 2u }是一个角，在G 中删去这两条边，则v 1是孤立点.若处仅有边uv 2，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通.若u 处还有其他边uv i ，3≤i ≤k ，则删去所述边后，除v 1外其余点互相连通.总之，剩下的图中有一个连通分支含 有|E|−2条边. 引理获证.回到原题，题中的V 和E 可看作一个图G =(V ，E ) 首先证明n ≥2795.设V ={v 1,v 2,⋯,v 2019}.在v 1,v 2,⋯,v 61中，首先两两连边，再删去其中15条边(例如v 1v 2,v 1v 3,⋯,v 1v 16)，共连了C 612−15=1815条边，则这61个点构成的图是连通图.再将剩余的201－61=1958个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了1815+979=2794条线段.由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用v 1,v 2,⋯,v 61相连的边，因此至多有[18152]=907个两两无公共边的角.故满足要求的n 不小于2795.另一方面，若|E |≥2795，可任意删去若干条边，只考虑|E|=2795的情形.设G 有k 个连通分支，分别有m 1,⋯,m k 个点，及e 1,⋯,e k 条边.下面证明e 1,⋯,e k 中至多有979个奇数.反证法，假设e 1,⋯,e k 中有至少980个奇数由于e 1+⋯+e k =2795是奇数，故e 1,⋯,e k 中至少有981个奇数，k ≥981.不妨设e 1,e 2,⋯,e 981都是奇数，显然m 1,m 2,⋯,m 981⩾2.令m =m 981+⋯+m k ⩾2，则有C m i 2⩾e i (1⩽i ⩽980),C m 2>e 981+⋯+e k ，故2795=∑e ik i=1⩽C m2+∑C m i 2980i=1①利用组合数的凸性，即对x ≥y ≥3，有C x 2+C y 2⩽C x+12+C y−12，可知当m 1，…，m 980，m 由980个2以及一个59构成时，C m 2+∑C m i2980i=1取得最大值. 于是C m2+∑C m i2980i=1⩽C 592+980C 22=2691<2795，这与①矛盾.从而e1,⋯,e k中至多有979个奇数.对每个连通分支应用引理，可知G中含有N个两两无公共边的角，其中N=∑[e i2]k i=1⩾12(∑e iki=1−979)=12(2795−979)=908.综上，所求最小的n是2795.3．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】设n、k、m是正整数，满足k≥2，且n⩽m<2k−1kn.设A是{1，2，…，m}的n元子集.证明:区间(0,nk−1)中每个整数均可表示为a－a'，其中a，a'∈A.【答案】证明见解析【解析】用反证法.假设存在整数x∈(0,nk−1)不可表示为a－a'，a，a'∈A.作带余除法m=xq+r，其中0≤r<x.将1，2，…，m按模x的同余类划分成x个公差为x的等差数列，其中r个等差数列有q+1项，xr个等差数列有q 项.由于A中没有两数之差为x，故A不能包含以x为公差的等差数列的相邻两项.从而n=|A|⩽r⌈q+12⌉+(x−r)⌈q2⌉={x⋅q+12,2∤qx⋅q2+r,2|q①.这里⌈α⌉表示不小于α的最小整数.由条件，我们有n>k2k−1m=k2k−1(xq+r)②又x∈(0,nk−1)，故n>(k−1)x③情形一q是奇数.则由①知，n⩽x⋅q+12④结合②，④可知，x⋅q+12⩾n>k2k−1(xq+r)⩾k2k−1xq，从而q<2k－1.再由q是奇数可知，q≤2k－3，于是n⩽x⋅q+12⩽(k−1)x，与③矛盾.情形二q是偶数.则由①知，n⩽x⋅q2+r⑤结合②，⑤可知，x⋅q2+r⩾n>k2k−1(xq+r)，从而xq2(2k−1)<k−12k−1r<(k−1)x2k−1，故q<2(k－1).再由q是偶数可知，q≤2k－4，于是n⩽x⋅q2+r⩽(k−2)x+r<(k−1)x，与③矛盾.综上可知，反证法假设不成立，结论获证.4．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】设集合A={1，2，…，n}，X、Y均为A的非空子集(允许X=Y).X中的最大元与Y中的最小元分别记为max X、min Y.求满足max X>min Y的有序集合对(X，Y)的数目.【答案】22n −2n (n +1)【解析】先计算满足maxX ⩽minY 的有序集合对(X ，Y )的数目.对给定的m =maxX ，集合X 是集合{1，2，…，m －1}的任意一个子集与{m }的并，故共有2m−1种取法.又minY ≥M ，故Y 是{m ，m +1，…，n }的任意一个非空子集，共有2n+1−m −1种取法. 因此，满足maxX ⩽minY 的有序集合对(X ，Y )的数目是 (2n −1)2−n ⋅2n +2n −1=22n −2n (n +1).由于有序集合对(X ，Y )有(2n −1)⋅(2n −1)=(2n −1)2个，于是满足maxX >minY 的有序集合对(X ，Y )的数目是(2n −1)2−n ⋅2n +2n −1=22n −2n (n +1).5．【2017高中数学联赛B 卷（第02试）】给定正整数m ，证明:存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集A 1,A 2,⋯,A k ，每个子集A i 中均不存在4个数a 、b 、c 、d (可以相同)，满足ab －cd =m . 【答案】证明见解析【解析】取k =m +1，令A i ={x|x ≡i( mod m +1),x ∈N +}，i =1，2，…，m +1. 设a ，b ，c ，d ∈A i ，则ab −cd ≡i ⋅i −i ⋅i =0( mod m +1)，故m +1|ab －cd ，而m +1∤m ，所以在A 中不存在4个数a 、b 、c 、d ，满足ab −cd =m .6．【2015高中数学联赛（第02试）】设S ={A 1,A 2,⋯,A n }(n ⩾2)，其中A 1,A 2,⋯,A n 为n 个互不相同的有限集合，满足对任意A i ,A j ∈S ，均有A i ∪A j ∈S .若k =min 1⩽i⩽n |A i |⩾2(|X |表示有限集合X 的元素个数)，证明：存在x ∈∪A i n i=1，使得x 属于A 1,A 2,⋯,A n 中的至少nk 个集合.【答案】证明见解析【解析】证法一证明更强的结论：对任意集合A i (1≤i ≤n )，存在x ∈A i ，使得x 属于A 1,A 2,⋯,A n 中的至少n|A i|个集合.若A 1,A 2,⋯,A n 与A i 的交集均不为空集，则根据平均值原理，知集合A i 中必存在某个元素x ，使得x 属于A 1,A 2,⋯,A n 中的至少n|A i|个集合.若A 1,A 2,⋯,A n 中存在某些集合与A i 的交集为空集，不妨设这样的集合为A j 1,A j 2,⋯,A j i .则A i ∪A i j ，A i ∪A j 2,⋯,A i ∪A j i 互不相同，且均属于S.于是，S 中其余n －2t －1个集合均与A i 的交集非空.从而，集合A i 中所有元素在集合S 中出现的次数不少于k +tk +n −2t −1=n +(k −2)t +k −1>n . 故存在某个x ∈A i ，使得x 属于A 1,A 2,⋯,A n 中的至少n|A i|个集合.综上，命题得证证法二不妨设|A1|=k,|A1|⩽|A2|⩽⋯⩽|A n|，对A i(i=2,3,⋯,n)执行下列过程：(1)先考虑A2.若A2∩A1≠∅，则将A2分为一组；若A2∩A1=∅，则将A2∪A1与A2两个集合分为一组.(2)考虑A3.若A3=A2∪A1，已经进行过分组.若A3≠A2∪A1，再分两种情形考虑.(i)A3∩A1≠∅，则将A3分为一组；(ii)A3∩A1=∅，由A2≠A3，则A3∪A1≠A2∪A1.此时，可将A3∪A1与A3两个集合分为一组.7．【2014高中数学联赛（第02试）】设S={1，2，3，…，100}，求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.【答案】299−1【解析】对有限非空实数集A，用minA与maxA分别表示A的最小元素与最大元素，考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共299－1个，它们显然满足要求，因为min(A i∩A j)=1<maxA i，故k max⩾299−1，下面证明当k≥299时，不存在满足要求的k个子集.我们用数学归纳法证明：对整数n≥3，在集合{1，2，…，n}的任意m(m≥2n－1)个不同非空子集A1，A2，…，A m 中，存在两个子集A i,A j,i≠j，满足A i∩A j≠∅,min(A i∩A j)=maxA i①显然只需对m=2n−1的情形证明上述结论.当n=3时，将{1，2，3}的全部7个非空子集分成3组：第一组：{3}，{1，3}，{2，3}；第二组：{2}，{1，2}；第三组：{1}，{1，2，3}.由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为A i,A j，排在前面的记为A i，则满足式①假设结论在n≥3时成立，考虑n+1的情形.若A1,A2,⋯,A2n,中至少有2n−1个子集不含n+1，对其中的2n−1个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足式①.若至多有2n−1−1个子集不含n+1，则至少有2n−1+1个子集含n+1，将其中2n−1+1个子集都去掉n+1，得到{1，2，…，n}的2n−1+1个子集.由于{1，2，…，n}的全体子集可分成2n−1组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述2n−1+1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集A i ,A j ，满足A i ∩A j ={n +1}. 这两个集合显然满足式①.故n +1时结论成立 综上所述，所求k max =299−1.8．【2012高中数学联赛（第02试）】试证明：集合A ={2,22,⋯,2n ,⋯}满足： (1)对每个a ∈A 及b ∈N *，若b <2a －1，则b (b +1)一定不是2a 的倍数；(2)对每个a ∈A (其中A 表示A 在N *中的补集)，且a ≠1，必存在b ∈N *，b <2a －1，使b (b +1)是2a 的倍数. 【答案】证明见解析【解析】(1)对于任意的a ∈A ，设a =2k ，k ∈N *，则2a =2k+1， 如果b 是任意一个小于2a －1的正整数，则b +1⩽2a −1，由于b 与b +1中，一个为奇数，它不含素因子2，另一个为偶数，它含素因子2的幂的次数最多为k ，因此，b (b +1)一定不是2a 的倍数.(2)若a ∈A ，且a ≠1，设a =2k m ，其中h 为非负整数，m 为大于1的奇数.则2a =2k+1m . 下面给出三种证明方法：证法一令b =mx,b +1=2k+1y ，消去b 得2k+1y −mx =1，由于(2k+1,m )=1， 这方程必有整数解{x =x 0+2k+1t y =y 0+mt ，(其中t ∈Z ，(x 0,y 0)为方程的特解).把最小的正整数解记为(x ∗,y ∗)，则x ∗<2k+1， 故b =mx ∗<2a −1，使b (b +1)是2a 的倍数.证法二由于(2k+1,m )=1，由中国剩余定理知，同余方程组{x ≡0( mod 2k+1)x ≡m −1( mod m)在区间(0,2k+1m )上有解x =b ，即存在b <2a －1，使b (b +1)是2a 的倍数.证法三由于(2，m )=1，总存在r (r ∈N *，r ≤m －1)，使2r ≡1( mod m)， 取t ∈N *，使tr >k +1，则2tr ≡1( mod m).存在b =(2tr −1)−q ⋅2k+1m >0 (q ∈N)，使0<b <2a −1. 此时m |b,2k+1|b +1，因而b (b +1)是2a 的倍数.9．【2011高中数学联赛（第02试）】证明：对任意整数n ≥4，存在一个n 次多项式f(x)=x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0具有如下性质： (1)a 0,a 1,⋯,a n−1均为正整数；(2)对任意正整数m 及任意k (k ≥2)个互不相同的正整数r 1,r 2,⋯,r k ，均有f(m)≠f (r 1)f (r 2)⋯f (r k ). 【答案】证明见解析【解析】令f(x)=(x +1)(x +2)⋯(x +n)+2①将式①的右边展开即知f(x)是一个首项系数为1的正整数系数的n次多项式.下面证明f(x)满足性质(2).对任意整数t，由于n≥4，故连续的n个整数t+1,t+2,⋯,t+n中必有一个为4的倍数，从而由式①知f(t)≡2 ( mod 4)，因此，对任意k(k≥2)个正整数r1,r2,⋯,r k，有f(r1)f(r2)⋯f(r k)≡2k≡0( mod 4)，但对任意正整数m，有f(m)≡2( mod 4)，故f(m)≡f(r1)f(r2)⋯f(r k)( mod 4)，从而f(m)≠f(r1)f(r2)⋯f(r k)，所以f(x)符合题设要求.10．【2010高中数学联赛（第02试）】设k是给定的正整数，r=k+12.记f(1)(x)=f(x)=x[x]，f(l)(x)=f(f(l−1)(x))，x∈R+，l≥2.证明：存在正整数m，使得f(m)(r)为一个整数.这里，[x]表示不小于实数x的最小整数，例如[12]=1，[1]=1.【答案】证明见解析【解析】记v2(n)表示正整数n所含的2的幂次.则当m=v2(k)+1时，f(m)(r)为整数.下面我们对v2(k)=v用数学归纳法：当v=0时，k为奇数，k+1为偶数，此时f(r)=(k+12)[k+12]=(k+12)(k+1)为整数.假设命题对v－1(v≥1)成立.对于v≥1，设k的二进制表示具有形式k=2v+αv+1⋅2v+1+αv+2⋅2v+2+⋯，这里，αi=0或者1，i=v+1，v+2，…于是f(r)=(k+12)[k+12]=(k+12)(k+1)=12+k2+k2+k=12+2r−1+(αv+1+1)⋅2v+(αv+1+αv+2)⋅2v+1+⋯+22v+⋯=k′+12①这里k′=2v−1+(αv+1+1)⋅2v+(αv+1+αv+2)⋅2v+1+⋯+22v+⋯，显然k'中所含的2的幂次为v－1.故由归纳假设知r′=k′+12，经过f的v次迭代得到整数，由式①知，f(v+1)(r)是一个整数，这就完成了归纳证明. 11．【2006高中数学联赛（第02试）】解方程组{x−y+z−w=2x2−y2+z2−w2=6 x3−y3+z3−w3=20 x4−y4+z4−w4=66【答案】答案见解析【解析】令p=x+z,q=xz，我们有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q−2q2，同样，令s=y+w,t=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t−2t2，在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2①于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s+32s+16，现在将上面准备的p2,p3,p4和s2,s3,s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q−2q2=y4+w4+4s2t−2t2+8s3+24s+32s+16.利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s−1②pq=st+2s2+4s−4③2p2q−q2=2s2t−t2+4s3+12s2+16s−25④将式①和②代入式③，得t=s2−1⑤将式⑤代入式②，得q=52s−2⑥将式①，⑤，⑥代入式④，得s=2.所以有t=0,p=4,q=3.这样一来，x，z和y，w分别是方程X2－4X+3=0和Y2－2=0的两根，即{x=3z=1或{x=1z=3，且{y=2w=0或{y=0w=2.详言之，方程组有如下四组解x=3,y=2,z=1,w=0或x=3,y=0,z=1,w=2，或x=1,y=2,z=3,w=0，或x=1,y=0,z=3,w=2.12．【2005高中数学联赛（第02试）】对每个正整数n，定义函数f(n)={0,当n为平方数[{√n}],当n不是平方数，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x－[x].试求：∑240k=1f(k)的值.【答案】768【解析】对任意a ，k ∈N +，若k 2<a <(k +1)2，设a =k 2+m (m =1,2,⋯,2k)，√a =k +θ (0<θ<1)， 则[√{a}]=[√a−k]=[√a+k a−k 2]=[2k+θm]，因为0<2k+θm −2k m<1，若在2km 与2k+θm之间存在整数t ，则2k m<t <2k+θm，于是，一方面2k <mt ，故2k +1⩽mt ， 另一方面mt <2k +θ<2k +1，矛盾， 故[2k+θm]=[2km]，所以∑[1{a}]k 2<a<(k+1)2=∑[2km]2km=1，于是∑(n+1)2a=1f(a)=∑∑[2k i]2k i=1nk=1①下面计算∑[2k i]2k i=1：画一张2k×2k 的表，第i 行中，凡是i 的倍数处填写“*”号，则这行的“*”号共[2ki]个，全表的“*”号共∑[2ki]2k i=1个；另一方面，按列收集“*”号数：第j 列中，若j 有T (j )个正因数，则该列便有T (j )个“*”号，故全表的“*”号个数共∑2k j=1T(j)个，因此∑[2ki]2k i=1=∑2k j=1T(j).示例如下：则∑(n+1)2a=1f(a)=∑∑2k j=1T n k=1(j)=n[T(1)+T(2)]+(n −1)[T(3)+T(4)]+⋯+[T(2n −1)+T(2n)] ②由此∑162k=1f(k)=∑(16−k)15k=1[T(2k −1)+T(2k)]③记a k =T(2k −1)+T(2k) (k =1,2,⋯,15)，易知a k 的取值情况如下：因此∑256k=1f(k)=∑(16−k)15k=1a k =783④由定义f(256)=f (162)=0，当k ∈{241,242,⋯,255}， 设k =152+r (16⩽r ⩽30)，√k −15=√152+r −15=√152+r+15，r 31<√152+r+15<r 30，1⩽30r<√2<31r<2，则[{√k}]=1 (k ∈{241,242,⋯,255})⑤从而∑240k=1f(k)=783−∑256k=1f(k)=783−15=768.13．【2002高中数学联赛（第02试）】实数a ，b ，c 和正数λ，使得f(x)=x 3+ax 2+bx +c 有三个实数x 1,x 2,x 3，且满足： (i )x 1−x 2=λ； (ii)x 3>12(x 1+x 2).求2a 3+27c−9abλ3的最大值.【答案】3√32【解析】由于f(x)=f(x)−f (x 3)=(x −x 3)[x 2+(a +x 3)x +x 32+ax 3b ]， 所经x 1,x 2是方程x 2+(a +x 3)x +x 32+ax 3+b =0的两个根，由情形(i )可得(a +x 3)2−4(x 32+ax 3+b )=λ2，即3x 32+2ax 3+λ2+4b −a 2=0，再由情形(i )可得x 3=13[−a +√4a 2−12b −3λ]①且4a 2−12b −3λ2⩾0②可以得到f(x)=x 3+ax 2+bx +c =(x +a 3)3−(a 23−b)(x +a 3)+227a 3+c −13ab ，由f(x)=0可得13ab −227a 3−c =(x 3+a 3)3−(a 23−b)(x 3+a 3)③由式①得x 3+a3=13√4a 2−12b −3λ2=2√33√a 23−b −λ24，记p =a 23−b ，由式②和③可知p ⩾λ24，且13ab −227a 3−c =2√39√p −λ24(p −λ2)，令y =√p −λ24，则y ⩾0且13ab −227a 3−c =2√39y (y 2−34λ2)，则y 3−3λ24y +λ34=y 3−3λ24y −(λ2)3+3λ2λ4=(y −λ2)(y 2+λ2y +λ24−3λ24)=(y −λ2)2(y +λ)⩾0，所以13ab −227a 3−c ⩾−√318λ3，于是2a 3+27c −9ab ⩽3√32λ3， 由此可得2a 3+27c−9abλ3⩽3√32，取a =2√3,b =2,c =0,λ=2，则f(x)=x 3+2√3x 2+2x 有根−√3−1,−√3+1,0， 显然满足假设条件，且2a 3+27c−9abλ3=18(48√3−36√3)=3√32，综上所述2a 3+27c−9abλ3的最大值是3√32.14．【1999高中数学联赛（第02试）】给定实数a ，b ，c ，已知复数z 1,z 2,z 3满足{|z 1|=|z 2|=|z 3|=1z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=1 ，求|az 1+bz 2+cz 3|的值. 【答案】答案见解析 【解析】由已知z1z 2+z 2z 3+z 3z 1∈R ，所以(z 1z 2)+(z 2z 3)+(z3z 1)=z 1z 2+z 2z 3+z3z 1.即(z1z 2)+(z2z 3)+(z3z 1)=(z̅1z̅2)+(z̅2z̅3)+(z̅3z̅1)，又|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，所以z̅k =1z k(k =1,2,3)，代入式①得(z1z 2)+(z2z 3)+(z3z 1)=(z2z 1)+(z3z 2)+(z1z 3)，即z 12z 3+z 22z 1+z 32z 2=z 22z 3+z 32z 1+z 12z 2，分解因式，得(z 1−z 2)(z 2−z 3)(z 3−z 1)=0. 所以z 1=z 2或z 2=z 3或z 3=z 1. 如果z 1=z 2，代入原式得z 3z 1=±i ，这时|az 1+bz 2+cz 3|=|z 1|⋅|a +b ±c i |=√(a +b)2+c 2，类似地，如果z 2=z 3，则|az 1+bz 2+cz 3|=√(b +c)2+a 2， 如果z 3=z 1，则|az 1+bz 2+cz 3|=√(a +c)2+b 2.15．【1997高中数学联赛（第02试）】试问：当且仅当实数x 0,x 1,⋯,x n (n ⩾2)满足什么条件时，存在实数y 0,y 1,⋯,y n ，使得z 02=z 12+z 22+⋯+z n 2成立，其中z k =x k +i y k ,i 为虚数单位，k =0，1，…，n .证明你的结论.【答案】答案见解析【解析】易知题中式子等价于{∑x k 2n k=1−x 02=∑y k 2nk=1−y 02∑x k nk=1y k =x 0y 0 ①若存在实数y 0,y 1,⋯,y n 使式①成立，则x 02y 02=(∑x k n k=1y k )2， 由柯西不等式可得x 02y 02⩽(∑x k 2nk=1)(∑y k 2nk=1) ②如果x 02>∑x k 2nk=1，则由式①可得y 02>∑y k 2nk=1， 从而x 02y 02>(∑x k 2nk=1)(∑y k 2nk=1).与式②矛盾， 于是得x 02⩽∑x k 2n k=1③反之，若式③成立，有两种情况：(i )x 02=∑x k 2nk=1，则取y k =x k ,k =0,1,2,⋯,n ，显然式①成立. (ii )x 02<∑x i 2nk=1，记a 2=∑x k 2nk=1−x 02>0，从而x 1,⋯,x n 不全为0，不妨设x n ≠0，取y k =0，k =0，1，…，n －2，有 y n−1=n√x n−1+x n，y n =n−1√x n−1+x n.易知式①也成立.综上可知，所求的条件为x 02⩽∑x k 2nk=1.16．【1994高中数学联赛（第02试）】x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m =0中，z 1,z 2,m 均是复数，且z 12−4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α,β满足|α−β|=2√7，求|m|的最大值和最小值. 【答案】最大值是√41+7，|m|最小值是7−√41. 【解析】据表达定理有{α+β=−z 1αβ=z 2+m，因为(α−β)2=(α+β)2−4αβ=z 12−4z 2−4m ，所以|α−β|2=|4m −(z 12−4z 2)|=28，所以|m −14|(z 12−4z 2)=7.即|m −4+5i|=7，这表明复数m 在以A (4，5)为圆点，以7为半径的圆周上，又因为|OA|=√42+52=√41<7，故原点O在圆A内，联结OA，延长交圆A于两点B与C，则|OB|=|OA|+|AB|=√41+7为|m|最大值.|OC|=|CA|−|AO|=7−√41为|m|最小值.所以|m|最大值是√41+7，|m|最小值是7−√41.17．【1992高中数学联赛（第02试）】设集合S n={1，2，…，n}.若X是S n的子集，把X中的所有数的和称为X 的“容量”(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集.(1)求证：S n的奇子集与偶子集个数相等；(2)求证：当n≥3时，S n的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.(3)当n≥3时，求S n的所有奇子集的容量之和.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)设S n的奇子集的个数为a n，偶子集的个数为b n，则a n+b n=2n①直接求a n，以[x]表示为不超过实数x的最大整数.],l=n−k，从{2，4，…，2k}中任取一个子集(含空集)X1，设k=[n2再从{1，3，…，2l－1}中任取一个含奇数个元素的子集X2，则X1与X2的并集便是一个奇子集，反之，S n的任一奇子集可写成X1与X2之并.(C l0+C l1+⋯+C l1)=2l−1(种)X1的取法有2k种，X2的取法有C l1+C l3+⋯+C l2i−1=12(2i－1是不大于l的最大奇数).于是a n=2k⋅2l−1=2n−1.由式①知b n=a n=2n−1.(2)设A n(B n)表示S n中全体奇(偶)子集容量之和(I)若n为奇数(n≥3)，S n的所有奇子集可由下列两类子集组成：(i)S n－1的奇子集；(ii)S n－1的每一个偶子集与集{n}的并.于是A n=A n−1+(B n−1+n⋅b n−1)=A n−1+B n−1+n⋅2n−2②类似，可得B n=B n−1+(A n−1+n⋅a n−1)=A n−1+B n−1+n⋅2n−2③得A n=B n.(Ⅱ)若n是偶数(n≥4)，S的所有奇子集可由下列两类子集组成：(i)S n－1的所有奇子集；(i)S n－1的每一个奇子集与集{n}的并.于是A n =A n−1+(A n−1+n ⋅a n−1)=2A n−1+n ⋅2n−2 ④类似，可得B n =2B n−1+n ⋅2n−2 ⑤所以A n =B n .综合情形(I )与(Ⅱ)的结论，对任何n ≥3，A n =B n .(3)X 在S n 的余集记为X ̅，则X 与X ̅的容量之和等于S n 的容量， 即1+2+⋯+n =12n(n +1).因此，S n 中所有子集的容量之和是2n−1⋅12n(n +1)=2n−2⋅n(n +1).因A n =B n ，故A n =12⋅2n−2⋅n(n +1)=2n−3n(n +1)(n ≥3).18．【1990高中数学联赛（第02试）】设E ={1，2，3，…，20}，G ={a 1,a 2,a 3,⋯,a 100}⊂E ，且G 具有下列两条性质：(1)对任何1≤i ≤j ≤100，恒有a i +a j ≠201； (2)∑a i 100i=1=10080；试证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数. 【答案】证明见解析【解析】记αi =2i −1,βi =201−a i (i =1,2,⋯,100). 令E i ={αi ,βi }，则当i ≠j 时，E i ∩E j =∅，且∪E i 100i=1=E . 由性质(1)知对任何1≤i ≤100，不能有E i ⊂G .又由G 的元素个数恰等于集合E i 的个数，都是100， 因而G 必然恰只包含每个E i 中的一个元素.现设G 中有k 个奇数，设对1⩽i i <i 2<⋯<i k ⩽100，有αi t =βi t (1⩽t ⩽k). 于是对j ≠i t (1≤t ≤k )，必有由性质(2)，有∑αi t kt=1+∑βj j≠i t=10080①另一方面∑βj 100j=1=2∑100j=i j =10100 ② 由式②－①，有∑(βi t −αi t )kt=1=20③k ⋅201−2∑αi t k t=1=20，∑αi t k t=1=12(k ⋅201−20).④由式④首先推知k 必为正偶数，设k =2k ′，则∑αi i 2k ′k=1=k ′⋅201−10.注意到此式左端为偶数，从而k'必为正偶数，设k ′=2⋅k ′′，于是k =4k ′′.这就证明了G中奇数的个数必为4的倍数.现在来计算G中数的平方和，以下运算中应用了式③.∑αi2 100i=1=∑αii2ki=1+∑βj2kj≠i i=∑βj2100j=1−∑βil2kl=1+∑αil2kl=1=∑(2j)2 100j=1−∑(βii+αii)ki=1(βii−αii)=4∑j2100j=1−201×20=4×100(100+1)(200+1)6−4020=1353400−4020=1349380.19．【1983高中数学联赛（第02试）】函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x2)−f(x1)|<|x2−x1|，求证|f(x2)−f(x1)|<12.【答案】证明见解析【解析】不妨设0⩽x1<x2⩽1(1)如果x2−x1⩽12，则|f(x2)−f(x1)|<|x2−x1|⩽12，(2)如果x2−x1>12，由f(0)=f(1)得|f(x2)−f(x1)|=|f(x2)−f(1)+f(0)−f(x1)|⩽|f(x2)−f(1)|+|f(0)−f(x1)|⩽(1−x2)+(x1−0)=1−(x2−x1)<12.所以|f(x2)−f(x1)|<12(x1,x2∈[0,1]).20．【1981高中数学联赛（第02试）】下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正:【答案】答案见解析【解析】先考虑表中x的取值:0.021=3×7×10−3，0.27=33×10−2，1.5=3×2−1，2. 8=22×7×10−1，3，5=2−1×10；6=2×3，7，8=23，9=32，14=2×7.其中0.27，3，9的对数仅与lg3有关，lg0.27=3lg3−2=6a−3b−2.所以，推得lg3=2a−b，lg9=2lg3=4a−2b.因此推得lg3=2a−b.若上面三个对数有一个不正确，则三个数的对数值均错，与题设有两个错误矛盾.所以三个对数值均正确.然后讨论仅与l g3，lg2有关的对数值，即真数分别为1.5，5，6，8的对数值lg1.5=lg3−lg2=3a−b+c.所以lg2=−a−c，lg5=1−lg2=a+c.则lg2=1−a−c，lg6=lg2+lg3=1+a−b−c，所以lg2=1−a−c，lg8=3lg2=3−3a−3c，因此lg2=1−a−c.由上面讨论可见1.5的对数值表不正确.而其余三个数均正确，且由此作修正lg1.5=lg3−lg2=3a−b+c−1，lg0.021=lg3+lg7−3=2a+b+c−3.所以lg7=2b+c，lg2.8=2⋅lg2+lg7−1=1−2a+2b−c，所以lg7=2b+c，lg14=lg2+lg7=1−a+2b，所以lg7=2b+c.由上面讨论可见7的对数值表不正确.而其余三个数均正确，且作修正为表中lg7=2b+c.优质模拟题强化训练1．给定整数n(n≥3)，记f(n)为集合{1,2,⋯,2n−1}的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：ⅰ.1∈A，2n−1∈A；ⅱ.子集A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和.（1）求f(3)的值；（2）证明：f(100)≤108.【答案】（1）f(3)=5（2）见解析【解析】1.设集合A⊆{1,2,⋯,23−1}，且A满足(ⅰ)、(ⅱ).则1∈A，7∈A.由于{1,m,7}(m=2,3,⋯,6)不满足(ⅱ)，故|A|>3.又{1,2,3,7}，{1,2,4,7}，{1,2,5,7}，{1,2,6,7}，{1,3,4,7}，{1,3,5,7}，{1,3,6,7}，{1,4,5,7}，{1,4,6,7}，{1,5,6,7}都不满足(ⅱ)，故|A|>4.而集合{1,2,4,6,7}满足(ⅰ)、(ⅱ)，故f(3)=5.2.首先证明：f(n+1)≤f(n)+2(n=3,4,⋯).①事实上，若A⊆{1,2,⋯,2n−1}满足(ⅰ)、(ⅱ)，且集合A的元素个数为f(n).令B=A∪{2n+1−2,2n+1−1}.由2n+1−2>2n+1−1，知|B|=f(n)+2.又2n+1−2=2(2n+1−1)，2n+1−1=1+(2n+1−2)，则B⊆{1,2,⋯,2n+1−1}，且集合B满足(ⅰ)、(ⅱ).从而，f(n+1)≤|B|=f(n)+2.其次证明：f(2n)≤f(n)+n+1(n=3,4,⋯).②事实上，设A⊆{1,2,⋯,2n−1}满足(ⅰ)、(ⅱ)，且集合A的元素个数为f(n).令B=A∪{2(2n−1),22(2n−1),⋯,2n(2n−1),22n−1}.由2(2n−1)<22(2n−1)<⋯<2n(2n−1)<22n−1，则B⊆{1,2,⋯,22n−1}，且|B|=f(n)+n+1.而2k+1(2n−1)=2k(2n−1)+2k(2n−1)(k=0,1,⋯,n−1)，22n−1=2n(2n−1)+(2n−1)，则B满足(ⅰ)、(ⅱ).从而，f(2n)≤|B|=f(n)+n+1.由式,①、②得f(2n+1)≤f(n)+n+3.反复利用式②、③得f(100)≤f(50)+51≤f(25)+26+51≤f(12)+15+77≤f(6)+7+92≤f(3)+4+99=108.2．设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F={A1,A2,⋯,A t}.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，A⊂B,B⊂A均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足∀A∈S2,f(A)⊂A或A⊂f(A)成立.【答案】证明见解析【解析】记|S1|=r，称包含r个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一称F的子集P为链，如果∀A,B∈P,A⊂B,B⊂A之一成立.我们证明结论：F可以拆分为r个链P i(1⩽i⩽r)的并(即Dilworth定理).对t进行归纳证明.t=1时显然成立.设命题对t－1成立，先假设存在一个最大反链S，使得F中既有集合真包含S 中的某个集合，也有集合是S中的某个集合的真子集.记前者的全体为F1，后者的全体为F2，即F1={A i∈F|A i包含S中的某个集合}，F2={A i∈F|A i是S中的某个集合的子集}，则F1∪S,F2∪S均是F的真子集，从而由归纳假设可将F1∪S,F2∪S都可以拆成r个链的并.F1∪S中的链以S中的元素开始，F2∪S中的链以S中的元素结束.将这些链“接”起来就将F分成了r条链.现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足F1=∅，要么满足F2=∅.前者意味着S中的子集都是“极大”子集(不是另一个A i的真子集)，后者意味着S中的子集都是“极小”子集(不真包含另一个A i)，从而至多有两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集A，以及极小子集B⊂A，将A、B都去掉用归纳假设将剩下的集合拆分成r－1条链，再加上链B⊂A即可如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可.结论证毕.现在将F拆分成r条链，则每条链中恰有一个S1中的子集，且至多有一个S2中的子集.将每个S2中的子集对应到所在链中S1的元素，就得到了从S2到S1满足要求的映射.3．证明对所有的正整数n≥4，存在一个集合S，满足如下条件：（1）S由都小于2n−1的n个正整数组成；（2）对S的任意两个不同的非空子集A、B，集合A中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和．【答案】见解析【解析】当n=4时，取S={3,5,6,7}，则S满足条件．其次，当n≥5时，令S={3,23,24,⋯,2n−2,2n−1−3,2n−1−2,2n−1−1}．下面证明这样的S满足条件．事实上，设A、B是S的两个不同的非空子集，令f(X)表示集合X的所有元素之和，要证明的目标是f(A)≠f(B)．不妨设A∩B=∅，注意到，对任意m∈N∗均有1+2+4+⋯+2m−1=2m−1<2m．所以，当a=2n−1−3，b=2n−1−2，c=2n−1−1都不属于A∪B时，均有f(A)≠f(B)．进一步，由于3+23+24+⋯+2n−2=2n−1−5，所以当a、b、c中恰有一个属于A∪B时，例如a∈A，将有f(A)>f(B)，此时f(A)≠f(B)；类似地讨论a、b、c中有两个或3个同时属于A∪B时，均可得出f(A)≠f(B)．综上所述，当n≥4时满足条件的S都存在．4．设M是由有限个正整数构成的集合，且M=A1∪A2∪⋯∪A20=B1∪B2∪⋯∪B20，这里A i≠∅，B i≠∅，i =1，2，…，20．并对任意的1≤i<j≤20，都有A i∩A j=∅，B i∩B j=∅，已知对任意的1≤i≤20，1≤j ≤20，若A i∩B j=∅，则|A i∪B j|≥18．求集合M的元素个数的最小值．（这里，|X|表示集合X的元素个数）【答案】180【解析】记min{|A1|,|A2|,⋯,|A20|,|B1|,|B2|,⋯,|B20|}=t．不妨设|A1|=t，A1∩B i≠∅，i=1，2，...，k；A1∩B j=∅，j=k+1，k+2， (20)设a i∈A1∩B i，i=1，2，…，k．因为对任意的1≤i<j≤20，都有B i∩B j=∅，所以a1，a2，…，a k互不相同，|A1|≥k，即t≥k．又对任意的1≤i≤20，1≤j≤20，若A i∩B j=∅，则|A i∪B j|≥18，所以当j=k+1，k+2，…，20时，|A1|+|B j|=|A1∪B j|≥18．即，当j=k+1，k+2，…，20时，|B j|≥18−t．所以|M|=|B1∪B2∪⋯∪B20|=|B1|+|B2|+⋯+|B k|+|B k+1|+⋯+|B20|≥kt+(20−k)(18−t)=360+2kt−18k−20t=180+2(k−10)(t−9)．若t≤9，则k≤t≤9，|M|=180+2(k−10)(t−9)≥180．若t≥10，则|M|≥20t≥200．所以总有|M|≥180．另一方面，取A i=B i={9(i−1)+1,9(i−1)+2,⋯,9(i−1)+9}，其中i=1，2， (20)则M=A1∪A2∪⋯∪A20=B1∪B2∪⋯B20={1,2,⋯,180}符合要求．此时，|M|=180．综上所述，集合M的元素个数的最小值为180．5．已知n为正整数，集合I={1,2,⋯,n}(n>3)的k个三元子集A1，A2，…，A k满足：对任何I的其他三元子集B，均存在整数m和子集A i(1≤i≤k)使得{y|y≡x+m(modn),1≤y≤n,x∈A i}=B．求k的最小值．【答案】k min=1+[n2−3n6]【解析】若a、b、c∈Z+，且a+b+c=p，则称(a,b,c)是长为p的“循环组”，并约定(a,b,c)、(b,c,a)、(c,a,b)为同一个循环组．考虑长为n的循环组的数目．a、b、、c中有两个相等的循环组有[n−12]个；若3|n，a、b、、c互不相等的循环组个数为13[C n−12−1−3([n−12]−1)]；若n≡0(mod3)，互不相等的循环组个数为13(C n−12−3[n−12])．综上，长为n的不同循环组的总个数为1+[n 2−3n6]．对于每个长为n的循环组(a,b,c)，取集合I的一个三元子集B={1,a+1,a+b+1}，存在一个子集A i与之对应，且易验证不同的循环组对应的子集A i也不同，从而，k≥1+[n 2−3n6]．另一方面，对于前面的1+[n 2−3n6]个循环组中的每个(a,b,c)，取与之对应的子集{1,1+a,1+a+b}，共得到1+[n2−3n6]个不同子集．接下来说明这些子集满足要求．事实上，对集合I的每个子集B={x1,x2,x3}（不妨设x1<x2<x3），令a=x2−x1，b=x3−x2，c=n−(x3−x1)．则得到一个长为n的循环组(a,b,c)，该循环组对应的子集A i满足存在整数m=x1−1（或x2−1或x3−1）使得{y|y≡x+m(mod n),1≤y≤n,x∈A i}=B．综上，kmin =1+[n2−3n6]．6．求m的最大值，使得从一个n元集的子集中可以选出m个不同的子集A1，A2，…，A m，满足(A i∩A k)⊆A j对所有1≤i<j<k≤m成立．【答案】2n【解析】不妨设此n元集为M={1,2,⋯,n}．则对任意的i ∈M ，设包含i 的M 的子集为A i 1，A i 2，…，A i t (i 1<i 2<⋯<i t )． 由(A i ∩A k )⊆A j 对所有1≤i <j <k ≤m 成立，知i 1，i 2，…，i t 为连续正整数． 考虑A 1，A 2，…，A m 中的相邻集合对(A 1,A 2)，(A 2,A 3)，…，(A m−1,A m )． 当i 恰属于两个集合A k 、A k+1中的一个时，称(A k ,A k+1)为“i 分离集合对”． 对任意的1≤j ≤m −1，(A j ,A j+1)必被某一元素分离，否则A j =A j+1，矛盾． 又集合M 中任意一个元素至多分离两个集合对，则m −1≤2n ⇒m ≤2n +1． 当m =2n +1时，必有A 1=A 2m+1=∅，矛盾．故m ≤2n ． 又A 1=∅，A 2={1}，A 3={1,2}，…，A n+1={1,2,⋯,n}，A n+2={2,3,⋯,n}，…，A 2n ={n}， 此时，所选的子集满足题意，且m =2n ． 综上，m 的最大值为2n ．7．取集合S ={a 1,a 2,⋅⋅⋅,a 70}的子集A i ={a i ,a i+1,⋅⋅⋅,a i+59}(i =1,2,⋅⋅⋅,70)，其中，a 70+i =a i 。
专题02 函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题(全国通用版)(原卷版)
C．2．5天D．3．5天
7．(2020新高考II卷(海南卷)·第8题)若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是()
A． B．
C． D．
8．(2020新高考II卷(海南卷)·第7题)已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是()
A． B． C． D．
A．10名B．18名C．24名D．32名
18．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则()
A a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b
19．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为()(ln19≈3)
49．(2015高考数学新课标1理科·第13题)若函数 为偶函数，则
50．(2014高考数学课标2理科·第15题)已知偶函数 在 单调递减， ．若 ，则 的取值范围是__________．
51．(2013高考数学新课标1理科·第16题)若函数 = 的图像关于直线 =－2对称，则 的最大值是______．
A B
()
C D
41．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数 , 的定义域都为R,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论正确的是()
A． 是偶函数B．| | 是奇函数
C． | |是奇函数D．| |是奇函数
专题03 导数(2)(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)
一．基础题组1.【河北衡水中学2017届上学期一调，8】定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A2.【河北衡水中学2017届上学期一调，9】若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值 为（ ） A 2 B ．2C ．22D ．8【答案】D 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．3.【河北衡水中学2017届上学期一调，11】设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C考点：根的存在性及根的个数判断．4.【湖北2017届百所重点校高三联考，3】已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A考点：导数的几何意义及运用.5.【四川巴中市2017届“零诊”，5】函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（ ）【答案】D. 【解析】试题分析：'()sin cos f x x x x =+，∴'()f x 是奇函数，故排除B ，取x π=，'()0f ππ=-<， 排除A ，取2x π=，'()102f π=>，排除C ，故选D.考点：导数的运用.6.【河北衡水中学2017届上学期一调，14】函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．7.【河北衡水中学2017届上学期一调，15】已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 【答案】11 【解析】试题分析：因为()3223f x x mx nx m =+++，所以()236f x x mx n '=++，所以(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩2130360m n m m n ⎧-+-+=⇒⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1,3m n ==时，函数()32331f x x x x =+++，则()223633(1)0f x x x x '=++=+≥，函数在R 单调递增，函数无极值，所以m n +=11．考点：利用导数研究函数的极值．二．能力题组1.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，12】设函数()()3213853f x x x a x a =-+---，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦ B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．15,418⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，12】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，12】已知函数()2ln 2,03,02xx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A考点：函数零点(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，12】设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->的解集为（ ）A ．(2012,)+∞B ．(0,2012)C ．(0,2016)D ．(2016,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由'22()()f x xf x x +>且0x >，得2'32()()0xf x x f x x +>>．令2()()g x x f x =(0)x >，则2'()2()()0g x xf x x f x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(2)4(2)g f =，(2014)g x -＝2(2014)(2014)x f x --，所以不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->等价于(2014)(2)g x g ->，所以20142x ->，解得2016x >，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的解法．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，11】已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B6.【湖北2017届百所重点校高三联考，12】若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=可得0ln )42(3=-+x y e x y a ,令t xy=,则原方程可化为0ln )2(23=-+t e t a ,若0=a ,等式不成立,故0≠a ,所以t e t aln )2(23-=-,令t e t t h ln )2()(-=,则t e t t h 21ln )(/-+=,故021)(2//>+=t e t t h ,即tet t h 21ln )(/-+=是增函数,所以当e t >时, 02221ln )()(//>->-+=>t et e t e h t h ,函数t e t t h ln )2()(-=是单调递增函数,当et <<0时,02221ln )()(//<-<-+=<tet e t e h t h , 函数t e t t h ln )2()(-=是单调递减函数,所以当e t =时,函数t e t t h ln )2()(-=取最小值e e e e e h -=-=ln )2()(,即e a -≥-23,也即e a≤23.当0<a 时,成立;当0>a 时,则e a 23≥,综上所求实数a 的取值范围是),23[)0,(+∞-∞e ,应选D.考点：函数方程思想综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题0ln )42(3=-+xye x y a 进行化归和转化为t e t aln )2(23-=-,再构造函数t e t t h ln )2()(-=运用求导法则求导,判断函数t e t t h ln )2()(-=的单调性,利用最小值建立不等式e a -≥-23,最后通过解不等式e a-≥-23求出a 的范围是),23[)0,(+∞-∞e.7.【四川巴中市2017届“零诊”，12】已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．),1(2+∞+e eB ．)1,(2e e +--∞C ．2),1(2-+-e eD ．)1,2(2ee + 【答案】A.考点：函数与方程.8.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，16】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 29.【河北邯郸2017届9月联考，16】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个. 【答案】2.考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，12】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】考点：函数单调区间11.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，13】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，14】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()53,44--xy 121 O【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,()0,03m f f m -><<，解得5153,43244m m m ->->⇒-<<-13.【四川巴中市2017届“零诊”，16】设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值是 . 【答案】15. 【解析】试题分析：由题意得，问题等价于min 4()5f x ≤，而()f x 的集合意义为函数2()ln (0)g x x x =>上任意一考点：1.导数的综合运用；2.数形结合的数学思想；3.转化的数学思想.三．拔高题组1.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，17】(本小题满分14分)已知函数()1ln ,f x a x a R x=+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2) 2ln 2a =考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.2.【河南百校联考2017届高三9月质检，22】（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明：()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立． 【答案】（1）()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值（2）详见解析考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式 【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3.【河北邯郸2017届9月联考，21】（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-； （Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,1)-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将所证问题“对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-”转化为“2()()x g x f x x x e e ->++-”，进而转化为“ln 0x e x e +->”，然后令()ln xh x e x e =+-，并求出其导函数并判断其函数的单调性，进而得出所证的结果；（Ⅱ）首先将问题“对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立”转化为“22(24)ln 0x ax x x a -+->”，然后构造函数22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞，并求出导函数并进行分类讨论：当1a ≤时和当1a >时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果． 试题解析：（Ⅰ）当1a =，1b =-时，22()(2)ln f x x x x x =--， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln xh x e x e =+-，则1'()0x h x e x=+>，可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)h x h >，即ln x e x e +>，亦即ln 0x e x e +->， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-.所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.考点：1.利用导函数判断函数的单调性与极值；2.构造函数.【方法点睛】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，21】（本小题满分12分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-（a R ∈）. （1）当12a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）设24()23g x x bx =-+，当13a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,3]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；当102a <<时，增区间为1(1,)aa-，减区间为(0,1)和1(,)a a -+∞；当12a =时，减区间为(0,)+∞；（2）2b ≥．（2）当13a =时，由（1）知()f x 在(0,2)，min 2(1)3f f ==-，依题意有2min 2()3g x f ≤=-， ∵2[1,3]x ∈⇒2222b x x ≥+在2[1,3]x ∈上有解， 令2()h x x x=+，知()h x 在2)单调递减，在2,3)单调递增， ∴min ()(2)22h x h ==∴min 2()222b h x b ≥=⇒，∴b 的取值范围为2b ≥或用min min ()()f x g x ≥，而min 2(1)3f f ==-，对min ()g x 分三种情况： ①min 172()(1)233b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒无解；②2min 1342()()33b g x g b b <<⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩ ⇒23b ≤<；③min 3312()(3)633b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒3b ≤.综上：∴b 的取值范围为2b ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、函数的最值．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，20】（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()2221220x m x x x x--'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭， 从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．6.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，21】（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-时，函数()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2124k k mx +-+=，2224k k m x +++=）（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---，∴()()()()21ln ln 1,11mmx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---，∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>，∴()12h x x x =+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞，∴()()()()222211111x k x k m m k x x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得2k m <--或2k m >-，当2k m <--221224241,1k k m k k m x x +-++++=<=<， 故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当2k m >-221224241,1k k m k k m x x +-++++=>=>， 则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．7.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，18】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】(1) ()()210473h x x x =+-- （37x <<）(2) 13 4.33x =≈(2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--， 设每日销售套题所获得的利润为()F x 则()()()()()2210347104733F x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦32468364578x x x =-+- ………………………………………10分考点：利用导数求函数最值8.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，20】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x a x =-.（1）若()f x 在1=x 处取最值．求a 的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．【解析】试题分析：(1) 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′，解得2a = ，需验证(2) ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：(1) ()2a f x x x=-′ 由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 26m x x x x x =--+所以())()2122222221x x x x x x x x m x x x x x --+=--+==′ ………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，21】（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a =+-，()2x g x xe =．（Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有唯一正整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()f x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，在()(),ln a -∞-上单调递减；（Ⅱ）32532e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅱ）由()()f x g x >得：()()121x a x e x ->-当1x =时，不等式显然不成立，又x 为正整数，所以1x >，()211x e x a x ->-，………………………………………………………………………………7分 记()()211x e x x x ϕ-=-，则()()()223'1x e x x x x ϕ-=-，∴()x ϕ在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，…………………………10分 且32342e a ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()()23a aϕϕ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得3 25 32e e a<≤，综上所述，a的取值范围为32532ee⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………12分考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值.10.【四川巴中市2017届“零诊”，21】(本小题满分12分)已知函数23)(bxaxxf+=在1=x处取得极值61.（1）求ba，的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x，都有)1ln()('+≤xkxf成立(其中)('xf是函数)(xf的导函数)，求实数k的最小值；（3）证明：11ln(1)2nini=<++∑(*∈Nn).【答案】（1）31-=a，21=b；（2）1k=；（3）详见解析.考点：1.导数的综合运用；2.等价转化的数学思想.【思路点睛】1.可导函数在某点处取得极值的充要条件；2.用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；3.用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式. 11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，20】（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos f x x a x x =++在点6x π=处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当7[,]66x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）4a =；（2）536π+.（2）()sin 24cos f x x x x =++，22'()2cos 24sin 12(12sin )4sin 14sin 4sin 3(2sin 3)(2sin 1)f x x x x x x x x x =-+=--+=--+=-+-∵7[,]66x ππ∈-，∴5'()0(,)66f x x ππ<⇒∈，57'()0[,)(,]6666f x x ππππ>⇒∈-， ∴()f x 在[,]66ππ-，57[,]66ππ上都是增函数，在5[,]66ππ上是减函数， 又353()23666f πππ=+=+，737733()23666f πππ=-=， 7()()43066f f πππ-=>， ∴7()()66f f ππ>，()f x 在7[,]66x ππ∈-536π+. 考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性及最值. 12.【江西九江地区2017届高三七校联考，20】（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式2104(6)2y x x =+--，其中26x <<. （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.（保留1位小数点）【答案】（1）42（2）3.3（2）该店每日销售产品A 所获得的利润223210()(2)[4(6)]104(6)(2)456240278(26)2f x x x x x x x x x x =-+-=+--=-+-<<- 从而2'()121122404(310)(6)(26)f x x x x x x =-+=--<<.………………8分令'()0f x =，得103x =，且在10(2,)3上，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 在10(,6)3上，'()0f x <，函数()f x 单调递减，………………10分 所以103x =是函数()f x 在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，………………11分 所以当10 3.33x =≈时，函数()f x 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/件时，利润最大.………………12分考点：利用导数求函数最值13.【湖北2017届百所重点校高三联考，21】（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0a x f x a x a x a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 没有零点（提示：ln 20.69≈）．【答案】(1)单调增区间为()2,a +∞，单调减区间为()20,a ，极小值为()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦；(2)证明见解析.（2）由（1）可知：当2x a =时，()f x 取得极小值，亦即最小值()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦，又因为122a ≤≤，所以2144a ≤≤，设()()111ln 44g x x x x x ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭，则()1ln g x x x '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分 因为()g x '在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()10,20g g ''><， 所以()g x '有唯一的零点()1,2m ∈，使得()g x 在1,4m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(],4m 上单调递减，．．．．．9分 又由于()156ln 20,456ln 2044g g -⎛⎫=>=-> ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以()0g x >恒成立，从而()()2222111ln 0f a a a a a ⎡⎤=+-->⎣⎦恒成立，则()0f x >恒成立， 考点：导数的知识和函数的零点等有关知识的综合运用．14.【湖北2017届百所重点校高三联考，22】（本小题满分12分）已知函数()()ln ,,0x ae b x f x a b R a x+=∈≠且． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，且()f x 有极大值，求实数a 的取值范围； （2）若1a b ==，试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明．（提示：2334169,94e e ><）． 【答案】(1)(),0-∞；(2)证明见解析.（2）当1a b ==时，()ln x e x f x x+=，则()()211ln x e x x f x x -+-'=， 设()()11ln x g x e x x =-+-，则()21x g x x e x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，考点：导数的知识及函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数b a ,的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助题设中有极大值这一信息,对参数a 进行分类分析极大值取得的条件,从而求出参数a 的取值范围是(),0-∞；第二问中的推证过程中先构造函数()()11ln x g x e x x =-+-,然后再借助导数,运用导数的知识推证出()0g x >,进而得到()0f x '>,从而证得()f x 在()0,+∞上递增,使得问题简捷巧妙获解.。
专题03函数B辑(原卷版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题03函数B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a>0,函数f(x)=x+100x在区间(0,a]上的最小值为m1,在区间[a,+∞)上的最小值为m2.若m1m2=2020,则a的值为.2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a,b>0,满足:关于x的方程√|x|+√|x+a|=b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3=b,则a+b的值为.3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足log2x=log4(2x)+log8(4x),则x=. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足: f(n)=8n,n=1,2,⋯,5,则f(x)的一次项系数为.5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足a a=(9a)8a，则log a(3a)的值为. 6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组{1⩽x⩽21⩽f(x)⩽2的解集为.7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=0，则不等式组{0⩽x⩽10⩽f(x)⩽1的解集为.8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)⋅f(x−4)=−1.又当0≤x<7时，f(x)=log2(9−x)，则f(－100)的值为.9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足x2+2cosy=1，则x−cosy的取值范围是.10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为.11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数u,v,v均不等于1，若log u vw+log v w=5,logu+log w v=3，则log w u的值为.12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为.13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则1a +1b的值为.14．【2014高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=x2+a|x−1|在[0，+∞]上单调递增，则实数a的取值范围是.15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a +2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是.16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x2+1x−1的值域为.17．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x−5−√24−3x的值域是.18．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=a2x+3a x−2(a>0,a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.19．【2009高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=2，且f(n)(x)=f[f[f⋯f(x)]]⏟n，则f(99)(1)=.20．【2009高中数学联赛（第01试）】使不等式1n+1+1n+2+⋯+12n+1<a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为.21．【2009高中数学联赛（第01试）】若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是.22．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=ax+b，其中a，b为实数，f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(f n(x))，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，则a+b=.23．【2006高中数学联赛（第01试）】方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004)=2006x2005的实数解的个数为.24．【2005高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)<f(3a2−4a +1)成立，则a的取值范围是.25．【2004高中数学联赛（第01试）】设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=.26．【2003高中数学联赛（第01试）】已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=.27．【2002高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1－x，则g(2002)=.28．【2001高中数学联赛（第01试）】函数y=x+√x2−3x+2的值域为.29．【1998高中数学联赛（第01试）】若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x1 1998，则f(98 19),f(10117),f(10415)由小到大的排列是.30．【1997高中数学联赛（第01试）】设x，y为实数，且满足{(x−1)3+1997(x−1)=−1(y−1)3+1997(y−1)=1，则x+y=.31．【1995高中数学联赛（第01试）】用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x−[lgx]−2=0的实根个数是.32．【1990高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点A n(n，n+3)，用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f(1)+f(2)+…+f(1990)= .33．【1989高中数学联赛（第01试）】(1)若log a√2<1，则a的取值范围是.(2)已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l'⊥l，则l'与l的交点坐标为.(3)设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)−1|，f2(x)=|f1(x)−2|，则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.(4)一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身构成等比数列，则该数为.(5)如果从数1，2，…，14中，按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足a2−a1⩾3与a3−a2⩾3，那么所有符合上述要求的不同取法有种.(6)当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值是.34．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+1y)+(x2+1y2)+(x3+1y3)+⋯+(x2001+1y2001)的值等于.35．【1985高中数学联赛（第01试）】对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x都有x*d=x，则d=.优质模拟题强化训练1．设f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|，则f(f(x))+1=0有________个不同的解.2．设a、b为不相等的实数.若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为______.3．已知定义在R上的奇函数f(x)，它的图象关于直线x=2对称．当0<x≤2时，f(x)=x+1，则f(−100)+ f(−101)=______．4．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2，当时x>0时，f(x)是增函数，且对任意的x、y∈R，都有f(x+y )=f(x)+f(y)．则函数f(x)在区间[−3,−2]上的最大值是______．5．设函数f(x)=1−4x2x−x，则不等式f(1−x2)+f(5x−7)<0的解集为________.6．若x、y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y=___________。
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52，c＝0.50.2．而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．5．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．8．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．10．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．11．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．12．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．13．【2018年天津理科05】已知a＝log2e，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．14．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．15．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．16．【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（），故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．17．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：A．18．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．19．【2017年天津理科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b ＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．20．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．21．【2019年全国新课标2理科14】已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣e ax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣322．【2019年江苏04】函数y的定义域是．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．23．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．24．【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．25．【2018年江苏09】函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x），则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1|，f（）＝cos（）＝cos，即f（f（15）），故答案为：26．【2018年浙江11】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z＝81时，x＝，y＝．【解答】解：，当z＝81时，化为：，解得x＝8，y＝11．故答案为：8；11．27．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．28．【2018年上海04】设常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）＝3，解得a＝7．故答案为：7．29．【2018年上海07】已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．32．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）33．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：834．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．35．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．36．【2017年上海08】定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若g（x）为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为．【解答】解：若g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f﹣1（x）＝2，可由f（2）＝1﹣3﹣2，可得f﹣1（x）＝2的解为x．故答案为：．37．【2017年上海09】已知四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从四个函数中任选2个，基本事件总数n，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）．故答案为：．38．【2019年江苏18】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB （AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．39．【2018年上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f （x ）＝2x90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40；当30＜x ＜100时，g （x ）＝（2x 90）•x %+40（1﹣x %）x +58；∴g （x ）；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．4C ．2±D ．4±【答案】C 【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(()ln g x ax =也为奇函数.而(()ln g x ax -=-+，故((()()ln ln 0g x g x ax ax -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴()()22f log 3?f log 3-= ∵320log 21,log 31,< f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23f log 3f log 2f 0<<，即()()()23f log 3f log 2f 0-<<故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【解析】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==--- 故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误； 当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误； ()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4 又()f x 为奇函数()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==即：()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()()()1232019505123440f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅=⨯+++-=⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,4【答案】D 【解析】 解：y 211111111x x x x x x x -+-⎧==⎨----⎩，＞或＜，＜＜， 画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4，①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
专题02 一元二次函数、方程与不等式(解析版)备考2025高考数学一轮知识清单
专题02一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1等式性质与不等式性质1、等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a =⇔=可逆2传递性,a b b c a c ==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2一元二次不等式的解集1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()ab a b a b R +≥+∈，22a b +≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号．（3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =，则222a b +的最小值为（）A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】D【解析】2222222222242a b a b +≥=⨯=当且仅当222a b =时，等号成立.故选：D.【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（）A 2mB 2mC ．2mD ．2m【答案】A【解析】因为22a b m +=，0,0a b >>，所以2222a b a b ++≤，即2222a b a b m +⋅+当且仅当2ma b ==时等号成立，所以a b +2m 故选：A.法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
2021全国高中数学联赛（A卷）加试第四题详解
2021全国⾼中数学联赛（A卷）加试第四题详解引⾔问题求具有下述性质的最⼩正数：对任意整数，以及集合，若，则存在函数，满⾜分析⾸先猜测很关键。
先尝试⼏种⽐较简单的情况，⽐如的情况，以此掌握到的⼤致范围，不难猜到要证明它符合要求。
注意到题⽬中出现的函数满⾜的条件，其实是说将划分为两个⼦集，它们各⾃的所有元素之和的差不超过 1，进⽽需要对其中⼀个⼦集进⾏构造。
本题需要⽤到⼀个引理：引理：设是正整数，总和为，且，则对任意整数，存在指标集，满⾜接下来本题的证明将基于这个引理进⾏构造，这个引理对于本题来说⾄关重要。
下⾯给出本题的详细解答，引理放在最后证明。
解答解：所求的最⼩的⾸先，当,时，不存在满⾜条件的，因为这些数的总和为 16，⽽并不能划分为两个元素和均为 8⼦集的并，此时，故不具有题述性质。
接下来说明时满⾜题⽬要求，我们要使⽤分析中的引理。
注意到，我们分两种情况讨论。
（1）若为偶数，令将中元素从⼩到⼤依次记为此时由题设知即令，，则从⽽满⾜引理的条件。
取，由引理知存在，使得令则从⽽结论成⽴。
（2）若为奇数，令将中元素从⼩到⼤依次记为此时由题设知即令，，则同情况（1）可知从⽽满⾜引理的条件。
⼜因为取，由引理知存在，使得令则从⽽结论成⽴。
引理的证明：对进⾏归纳。
当时，结论显然成⽴。
假设，并且结论在时成⽴。
不妨设，则⼜由于，从⽽对任意整数，若，由归纳假设知存在，使得若，则对使⽤归纳假设，存在，使得从⽽存在，使得证毕！点评这道题是本次加试最难的⼀道题，若事先不知道这个引理，则很难做出此题。
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备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题02函数A辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+x22−x在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+(4−4x+x 2)2−x =12−x+(2−x)⩾2⋅√12−x⋅(2−x)=2，当且仅当12−x=2−x时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．2．【2006高中数学联赛（第01试）】设log x(2x2+x−1)>log x2−1，则x的取值范围为( )A．12<x<1B．x>12且x≠1C．x>1D．0<x<1【答案】B【解析】因为{x>0,x≠12x2+x−1>0，解得x>12,x≠1，由log x(2x2+x−1)>log x2−1，所以log x(2x3+x2−x)>log x2，则{0<x<12x3+x2−x<2，解得0<x<1或{x>12x3+x2−x>2，解得x>1.所以x的取值范围为x>12且x≠1.故选B．3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+√x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f (b)⩾0的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3+log2(x+√x2+1)为奇函数，且单调递增.于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，从而有f(a)+f(b)⩾0.反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，推出a⩾−b，即a+b⩾0.故选A．4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=log12(x2−2x−3)的单调递增区间是( )A．(−∞,−1)B．(−∞,1)C．(1,+∞)D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或x>3.故函数log12(x2−2x−3)的定义域为x<－1或x>3.又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log12u在(0，+∞)上单调递减，所以log12(x2−2x−3)在(－∞，－1)单调递增，故选A.5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x1−2x −x2( )A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(−x)=−x1−2−x−−x2=−x2x2x−1+x2=x+x(2x−1)1−2x+x2=x1−2x −x+x2=x1−2x−x2=f(x).所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x2−4x+3=0，有Δ<0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，Δ=4a2−4bc，由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d2=(−3d)d+d2=−2d2<0可得Δ<0，故选：A.7．【1999高中数学联赛（第01试）】若(log23)x−(log53)x⩾(log23)−y−(log53)−y，则( )A．x−y⩾0B．x+y⩾0C．x−y≤0D．x+y⩽0【答案】B【解析】记f(t)=(log23)t−(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+c<n,ab +cd<1，证明ab+cd<1−1n3.值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( )A．等于l g2B．等于1C．等于0D．不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )A．4+1132√23+√43B．4−52√23+√43C．1−12√23−√43D．以上答案都不对【答案】B【解析】函数f (x )在(−p 2,4q−p 24)上取到最小值，而g(x)=x 2+x 2+1x 2⩾3(x 2x 21x2)13=3×413，等号取到当x 2=1x2时，即x =213，则有−p2=213，4q−p 24=3×413，解得p =−243,q =3×2−23+223.由于213−1<2−213，那么f (x )在区间[1，2]的最大值在x =2处取到， 即f(x)=f(2)=4−5×2−23+223.10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程|x −2n|=k √x(n ∈N)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．0<k ⩽2n+1C ．12n+1<k ⩽√2n+1D ．以上都不是.【答案】B【解析】显然k ≥0，而k =0导出x =2n .原方程只有一根，故k >0.又由(x −2n)2=k 2x 知，抛物线y =(x −2n)2与直线y =k 2x 在区间(2n －1，2n +1)上有两个不同交点， 所以，当x =2n －1时，有(x −2n)2>k 2x ， 而当x =2n +1时，有(x −2n)2⩾k 2x . 从而k 2(2n +1)⩽1，即k ⩽√2n+1.故选B .11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知f(x)=asinx +b √x 3+4(a ，b 为实数)且f (lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是( ) A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值 【答案】C【解析】因为f (x )－4是奇函数，故f(−x)−4=−(f(x)−4)，即f(−x)=−f(x)+8. 而lglg3=−lglog 310，所以f(lglg3)=f (−lglog 310)=−f (lglog 310)+8=−5+8=3.12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：f (10+x )=f (10－x )，f (20－x )=－f (20+x ).则f (x )是( ) A ．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f[10+(10−x)]=f[10−(10−x)]，所以f(x)=f(20−x)①又由所给第二式得f(x)=−f(20+x)②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=−f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式①，②得f(−x)=f(20+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数.13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( )A．18B．12C．9D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3−a)=f(3+a)=0，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3±a1,3±a2,3±a3.于是它们的和等于18.14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是( )A．f(x)=x+4B．f(x)=2−xC．f(x)=3−|x+1|D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x(2⩽x⩽3)及周期为2，有f(x+2)=x.(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=−x+2(−1⩽x⩽0).15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f (－x+1)的图像恒( )A．关于x轴对称B．关于直线x=1对称C．关于直线x=－1对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称.16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是( )A．y=−φ(x)B．y=−φ(−x)C．y=−φ−1(x)D．y=−φ−1(−x)【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x−y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a−1>b−1.那么( )A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是( )A．1B．2C．3D．大于3【答案】C【解析】判断方程sinx=lgx解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx的图像的交点个数.首先确定x的范围.由lgx的定义知x>0，又因为sinx⩽1，所以lgx⩽1.从而得0<x⩽10.在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1<sin1，lgπ>sinπ=0，所以当x∈(1,π)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x∈(2π,2π+π2)和x∈(2π+π2,3π)时，方程各有一解.19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)⋅(1a x−1+12)是( )A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)⋅a x+12(a x−1)，所以G(−x)=F(−x)⋅a −x+12(a−x−1)=−F(x)⋅a x+12(1−a x)=G(x).即G(x)是偶函数20．【1984高中数学联赛（第01试）】若F(1−x1+x)=x，则下列等式中正确的是( )A．F(−2−x)=−2−F(x)B．F(−x)=F(1+x1−x)C．F(x−1)=F(x)D．F(F(x))=−x【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1−x1+x ，得x=1−t1+t.所以F(t)=1−t1+t，然后一一验证，知F(−2−x)=−2−F(x).21．【1983高中数学联赛（第01试）】x=1log1213+1log1513的值是属于区间( )A.(−2,−1)B.(1,2)C.(−3,−2)D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310，2=log39<log310<log327<3.22．【1983高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax2－c，满足：－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.那么，f(3)应满足( )A．7⩽f(3)⩽26B．−4⩽f(3)⩽15C．−1⩽f(3)⩽20D．−283⩽f(3)⩽353【答案】C【解析】由−4⩽f(1)⩽−1得−4⩽a−c⩽−1，所以1⩽c−a⩽4①由−1⩽f(2)⩽5得−1⩽4a−c⩽5②由①+②得0⩽3a⩽9，即0⩽a⩽3.所以0⩽5a⩽15.由②+③得−1⩽9a−c⩽20，即−1⩽f(3)⩽20.23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果log2[log12(log2x)]=log3[log13(log3y)]=log5[log15(log5z)]=0，那么( )A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x 【答案】A【解析】由条件可得x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110.据幂函数的单调性可知z<x<y.24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是( )A．19B．18C．559D．不存在【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以Δ=[−(k−2)]2−4⋅1⋅(k2+3k+5)⩾0，可解得−4⩽k⩽−43.由韦达定理，经整理，得到x12+x22=−(k+5)2+19，所以当k=－4时，x12+x22取到最大值，这最大值为18.25．【1981高中数学联赛（第01试）】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( )A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)={x2+px+q(x⩾0)−x2+px+q(x<0)f(x)={(x+p2)2+4q−p24(x⩾0)−(x−p2)2+4q+p24(x<0)由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立优质模拟题强化训练1．方程组{y=e|x|−e||x|−|y||=1的解的组数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|−e与||x|−|y||=1的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.2．已知abc<0，则在下图的四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图像只可能是（）。