数学物理方法期末重点

数学物理方法复习要点
第一章：解析函数形式
1.4平面直角坐标系下的柯西——黎曼公式：（小型计算题） u v y x
∂∂=-∂∂ 相关习题：P 14例1、 P 16习题2（1）、（2）、（6）、（7）
第二章：复变函数积分
柯西公式：（填空题）
()()1
2f z f dz i z απα
=-⎰ 求导公式：()()()()1!
2n n f z n f dz i z απα+=-⎰
相关习题见课件
第三章：幂级数展开（两道小型计算题）
1.泰勒展开：()()00k
k k f z a z z ∞==-∑
其中，()()101
2k k f a d i z ξξπξ+=-⎰
常用的级数展开形式：
11k k z z ∞==-∑ ()||1z < 0!k
z k z e k ∞
==∑ ()||z <∞
2.洛朗展开：
（以上展开都要注意表明展开形式，以及会求级数的收敛半径、收敛域） 相关习题：P 41习题（1）、（5）；P 46例2、P 47习题3、7、8
第四章：留数定理
4.1用留数定理求回路积分 P 55例4
留数定理：()()12Re n
i l i f z dz i sf b π==∑⎰ u v x y
∂∂=∂∂
对于单极点求留数：
()()()000Re lim z z sf z z z f z →=-⎡⎤⎣
⎦ ()()()()()()00000Re lim 'z z P z P z sf z z z Q z Q z →⎡⎤=-=⎢⎥⎣
⎦ 对于()1m m >阶极点求留数：
()()()()010011Re lim 1!m m m z z d sf z z z f z m dz --→⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-⎨⎬⎣⎦-⎪⎪⎩⎭
4.2用留数定理求实变函数定积分 例1——例7 （三种类型对应三道小型计算题）
○1类型一：()20cos ,sin R x x dx π
⎰，被积函数是三角函数的有理式，积分区间为[]02π，
，做自变数代换：ix z e =，则有： 1cos 2z z x -+=，1sin 2z z x i --=，dz dx iz
= 则：1120,2
2z z z z dz I R i iz π
--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰； ○2类型二：(),f x dx +∞
-∞⎰积分区间为：[],-∞+∞；复变函数()f z 在实轴上无奇点，
在上半个平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴趋于0时，()0zf z →。

则：()(){}2f x dx i f z π+∞
-∞=⎰在上半平面所有奇点留数之和。

○3类型三：()()00cos ,sin .F x mxdx G x mxdx +∞
+∞
⎰⎰，积分区间为：[]0,+∞；偶函数()F z 和奇函数()G z 在实轴上无奇点，在上半个平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴趋于0时，()()0F z G z →及。

则： ()(){}0
cos imz F x mxdx i F z e π+∞
=⎰在上半平面所有奇点的留数之和 ()(){}0
cos imz G x mxdx G z e π+∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和
第五章：傅里叶积分与傅里叶变换（一道计算题、一道填空题）
（一）实数形式的傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分：()()()cos sin o o f z A xd B xd ωωωωωω∞∞
=+⎰⎰ 傅里叶变换： ()()1cos A f d ωξωξξπ+∞-∞=
⎰ ()()1sin B f d ωξωξξπ+∞-∞
=
⎰ 特例： a)当()f z 为奇函数时：
傅里叶积分：()()sin o f z B xd ωωω∞
=⎰ 傅里叶变换： ()()02sin B f d ωξωξξπ+∞
=⎰
b)当()f z 为偶函数时：
傅里叶积分：()()cos o f z A xd ωωω∞
=⎰ 傅里叶变换： ()()02cos A f d ωξωξξπ+∞=⎰
（二）复数形式的傅里叶积分与傅里叶变换 傅里叶积分：()()i f x F e d ωωω+∞-∞=⎰
傅里叶变换：()()12i F f e d ξωξξπ+∞--∞=
⎰ （三）δ函数
性质1（挑选性）： ()()()00f t d f t τδττ+∞
-∞-=⎰
特例： ()()()0f d f τδττ+∞
-∞=⎰
性质2：若()0x ϕ=的实根()1,2,3,...k x k =全为单根，
则：()()()
|'|k x x x x δδϕϕ-=⎡⎤⎣⎦ 性质3：δ函数复数形式的傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分： ()()i x x C e d ωδωω+∞
-∞=⎰ 傅里叶变换：()()*01
11222i x i C x e dx e ωωωδπππ
+∞
---∞===⎰ 傅里叶积分： ()12i x x e d ωδωπ
+∞-∞⇒=⎰
（三）矩形函数
11 ||2rect 10 ||2x x x ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩
相关习题：P 81习题1、3；P 87例1
第六章：用拉普拉斯变换求解二阶常微分方程。

熟悉6.1节所有例题的拉普拉斯变换，重要的性质会直接使用。

相关习题：P 96例1、P 99习题1.（1）、（2）、（3）、（4），3
P 1039习题1.4
第七章：（填空题）
（一）泛定方程的书写：
1.均匀弦的微小横振动：20tt xx u a u -= 2T a ρ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ 2.均匀杆的纵振动：20tt xx u a u -= 2E a ρ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ 3.热传导方程： 20t xx u a u -= 2k a c ρ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ 4.扩散方程： 20t xx u a u -= ()2a D =
（二）第一、第二类边界条件的书写，如：
杆的一端固定：0|0x u ==
杆的一端自由振动：0|0x x u ==
杆的一端绝热：0|0x x u ==
（二）两个自变数方程的分类：
1112221220xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f ++++++= > 0 双曲型
2121122a a a - = 0 抛物型
< 0 椭圆型
第八章：分离变数法（两道大型计算题）
（一）分离变数法：
相关习题：例1——2，习题1、2、4、5
（二）泊松方程：
平面极坐标系下拉普拉斯方程的一般解形式：
0011(,)ln (cos sin )(cos sin )m
m m m m m m m u C D A m B m A m B m ρϕρρϕϕρϕϕ∞∞
-===+++++∑∑ 相关习题：例1，习题1
第九章：（填空题）
（一）常点、正则起点的判定：
()()()220d d p z q z t dz
dz ω
ωω++= 若方程的系数函数()p z ，()q z 在选定点0z 的邻域内是解析的，则0z 称为方程的常点，如果选定的点0z 是()p z 或()q z 的奇点，则0z 称为方程的奇点。

若0z 为方程的奇点，则在点0z 的邻域上，00||z z R <-<，方程有两个线性独立解，其解的形式为：
()()110s k
k z a z z ω+∞+-∞=-∑
和 ()()120s k
k z b z z ω+∞
+-∞=-∑ ()12s s -≠整数 或 ()()()()12100ln s k
k z A z z z b z z ωω+∞
+-∞=-+-∑ ()12s s -=整数 若方程的奇点0z 的邻域00||z z R <-<上，方程的两个先线性独立解全都具有有限个负幂项，则奇点0z 称为方程的正则奇点。

（二）发散指标的判定方程
()1210s s sp q ---++= （其中1s 是较大根） 相关习题：P 196 1、5、9
第十章 球函数（一道大题，原题，出自10.1节）
1.勒让德多项式：
()01P x =
()1P x x =
()()221312
P x x =-
()()331532
P x x x =
- 2.球对称方程的一般解： ()()()
()10,cos l l l l l l u r C r D r P θθ∞-+==+∑
相关习题：10.1节 例题3 ，习题3、4。