ch06通信网理论分析

p(k) (T )k eT / k! (k 0,1,2......)
其平均值E(k)和 方差：
E(k) kp(k) T k 0
2 k
E(k 2 )
E 2 (k)
E(k) T
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泊松过程和负指数分布的关系
如果到达是个泊松过程，则到达的时间间隔服从负 指数分布，反之亦然。
E(n) E(T )
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应用Little公式，M／M／1排队的平均时延E(T)可以 表示为：
E(T ) E(n) 1/ 1 1
•输入过程 (顾客按照怎样的规律到达);
•排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务);
•服务机构 (服务机构的设置,服务员的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
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基本排队模型 － 输入过程
主要考察的是顾客到达服务系统的规律。 可以用一定时间内顾客数或相继到达的间隔 时间描述，一般分为确定型和随机型。 随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n(t) 服从某一概率分布，如泊松分布。
m
i i 1
（证明略）
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/1排队
泊松
到达
μ
λ 无限大 负 指 缓存器 数 服 务
系统服务强度ρ＝λ/μ
利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系
统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、
平稳性:在区间[a，a+△t] 内有k个顾客到来的概率与
起点a无关，只与时间区间的长度有关。
无后效性：两顾客到达时刻相互独立。 稀疏性：在足够小的时间间隔△t内，到达两个或两
个以上的顾客的概率为0。
Δt t
a
a+Δt
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利用上述三点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客 到达的概率p(k)：
E(n)
0
nPn
1
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M/M/1排队的平均队长
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Little公式
Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平 均到达率λ、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间 的关系，这一关系式对所有排队系统，包括具有优 先级排队规则的系统都是适用的。
Pn n P0
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在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用
概率归一性条件:
Pn 1
0
求得：
P0 1 (队列空的概率 )
于是，可以得到无限存储容量M／M／1排队的平衡状 态概率：
Pn (1 ) n ( 1)
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根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计 特性。根据随机变量平均值的定义，排队系统中的平 均顾客数(包括正在被服务的一个)可以表示为：
第八章 通信网理论分析
参考教材第十一章
提纲
排队论基础 电路交换网分析 分组交换网分析
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排队论基础
排队Байду номын сангаас型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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基本排队模型
输入 过程
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待
时间E(w)等。
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假设，当系统中有n 个顾客时，称此系统处于 状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由 此，我们可以用下图表示系统的状态转移关系。
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在系统状态图中，有顾客到达时，状态以λ速 率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速 率μ向左移动一步。在系统处于统计平衡状态 下，可列出系统统计平衡方程：
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务员 服务员数量 服务时间分布
确定型 随机型（如：负指数分布）
♂
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常见排队模型
M/M/1 排队
表示泊松到达、服务时间服从负指数分布、单服务员的排队 系统。
M/M/m 排队
表示泊松到达、服务时间服从负指数服务分布、m个服务员的 排队系统。
一般用λ表示单位时间顾客平均到达率，1/λ为 平均间隔时间。
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基本排队模型－排队规则
不拒绝方式（等待制系统）
先到先服务（FIFO） 后到先服务（LIFO） 优先制服务
即时拒绝方式（损失制系统） 延时拒绝方式（混合制系统）
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基本排队模型－服务机构
证明：设 是一个随即变量，代表任一时间起点与第一次到 达之间的时间，取任一值t，则
时间起点
t
P( t) prob(在（0, t）中到达数 0) P(0) e t P( t) 1 e t
第一次到达 这正是随机变量 的概率分布函数：
F (t) 1 e t (负指数分布 )
概率密度函数 f (t) e t
M/G/1 排队
表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。
M/D/1 排队
表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。
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排队论基础
排队模型 泊松过程
定义 性质
M/M/1排队 M/M/m排队
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泊松过程定义
用下面三个条件来对泊松过程进行定义。
λP0 =μP1 (λ+μ)P1 =λP0 +μP2
┇
(λ+μ)Pn =λPn-1+μPn+1
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在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态 保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程， 我们可以得到：
P1
P0
P0
P2 (1 ) P1 P0 2 P0
依此类推，
E( ) 0f ( )d 1 /
2
1/ 2
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例题1
某电话局忙时平均呼叫率为1000次，则平均来 话时间间隔为多少？平均来话间隔小于等于10 秒的概率是多少？
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泊松过程的附加特性
假定有m个独立的泊松流，它们的到达率分 别为λ1 λ2 ……λn，则复合流本身也是泊松流， 其速率参数